【深圳专用】九上数学反比例函数压轴专项训练01

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2023年11月18日初三数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（2022秋·广东深圳·九年级校考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式：
(2)根据图象，直接写出满足的的取值范围；
(3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求ABC的面积．
2．（2021秋·广东深圳·九年级统考期末）点A（﹣3，1），B（﹣2，2），反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象记为L．
（1）若L经过点A．
①图象L的解析式为　 　．
②点B在图象L上，还是在图象L的上方或下方？为什么？
（2）如图在（1）的条件下，L上纵坐标为3的点P与点C关于原点O对称，PQ⊥x轴于点Q，CD⊥x轴于点D．求△QCD的面积．
（3）若L与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围．
3．（2020秋·广东深圳·九年级统考期末）在一个不透明的袋子中，放有四张质地完全相同的卡片，分别标有数字“”．
（1）随机抽出一张卡片是负数的概率是_________；
（2）第一次从袋中随机地抽出一张卡片，把所抽到的数字记为横坐标，不放回袋中，再随机地从中抽出一张，把所抽到的数字记为纵坐标．请用数状图或列表法求所得的点在反比例函数上的概率．
4．（2020秋·广东深圳·九年级深圳实验学校中学部校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上，且OA＝4，OC＝2，∠COA＝45°．反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接CD．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）如图2，连接OD，在反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△POC＝S△COD？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．

5．（2022秋·广东深圳·九年级校考期末）如图，已知Rt△ABO，点B在轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=，反比例函数的图象经过OA的中点C，交AB于点D．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积；
（3）点P是轴上的一个动点，请直接写出使△OCP为直角三角形的点P坐标.
6．（2020秋·广东深圳·九年级统考期末）如图，已知A（4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b图象与反比例函数图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
7．（2020秋·广东深圳·九年级校联考期末）如图，直线y=ax+b(a≠0)与双曲线(k≠0)交于一、三象限内的A，B两点与x轴交于点C，点A的坐标为(2，m)，点B的坐标为( 1，n)，cos∠AOC=.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点Q为y轴上一点，△ABQ是以AB为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；
(3)点P(s，t)(s>2)在直线AB上运动，PM∥x轴交双曲线于M，PN∥y轴交双曲线于N，直线MN分别交x轴，y轴于E，D，求的值.
8．（2019秋·广东深圳·九年级校考期末）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
9．（2023秋·广东深圳·九年级深圳中学校考期末）已知一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝图象相交于A(-4，2)，B(n，－4)两点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx＋b－＜0的解集．
二、证明题
10．（2020秋·广东深圳·九年级统考期末）如图，直线：与坐标轴交于两点，以为边在右侧作正方形，过作轴于点．过点的反比例函数与直线交于两点．
（1）求证：△AOD≌△DGC；
（2）求E、F两点坐标；
（3）填空：不等式的取值范围是_________．
参考答案：
1．(1)反比例函数解析式为 ，次函数解析式为
(2)x≥4或-1≤x＜0
(3)
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式；
（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；
（3）过C点作CDy轴，交直线AB于D，求出D的坐标，即可求得CD，然后根据 即可求出答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（4，1），
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
又点B（﹣1，n）在反比例函数上，
∴ ，
∴B的坐标为（-1，-4），
把A（4，1），B（﹣1，-4）代入 ，
得 ，
解得 ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）解：由图象及交点坐标可知：
当x≥4或-1≤x＜0时，k1x+b≥﹣；
（3）解：过C点作CDy轴，交直线AB于D，
∵B（-1，-4），B、C关于原点对称，
∴C（1，4），
把x=1代入y=x-3，得y=-2，
∴D（1，-2），CD=6，
∴．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
2．（1）①； ②点B在图象L的上方，理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）①将点A坐标代入图象L的解析式，即可求出结果；
②将代入解析式，求出，再与2比较大小，即可得出结果；
（2）先求出点P坐标，根据对称关系得到点C坐标，再由点D和点Q坐标得到三角形的边长，即可求出面积
（3）求出图象L经过点A和点B时的k值，再求出图象L与线段AB相切时的k值，即可得出结果．
【详解】解：（1）①∵L经过点A，
∴，解得，
∴图象L的解析式为：；
②当时，，
∵，
∴点B在图象L的上方；
（2）当时，，
∴，
∵点P与点C关于原点O对称，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（3）当图象L过点A时，由（1）知，，
当图象L过点B时，
将点B坐标代入解析式，得，解得，
当线段AB与图象L相切时，
设直线AB的解析式为，
由待定系数法得，，解得，
∴直线AB的解析式为，
联立直线AB的解析式和图象L的解析式，得，
化为关于x的一元二次方程，
∴，解得，
综上，．
【点睛】本题考查反比例函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法，三角形面积公式，对称点的性质，以及函数图象交点问题转换成方程解的问题．
3．（1）；（2）．
【分析】（1）用负数的个数除以总个数即可求解；
（2）法一：画出树状图，用符合条件的情况数除以所有可能发生的总数即可；法二：列出表格，用符合条件的情况数除以所有可能发生的总数即可．
【详解】解：（1）P=，
故答案为：；
（2）法 1：
法 2：
符合情况的坐标有：，，，，
．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
4．（1）y＝；（2）点D（2+2，2﹣2）；（3）点P的坐标为（﹣1，+1）或P（+1，﹣1）．
【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于E，已知OC=2，∠COA=45°，根据勾股定理求得OE=CE=2，即可得点C的坐标，代入y=求得k值，即可得反比例函数的解析式；
（2）先求OC解析式为：y＝x，由四边形OABC是平行四边形，BC＝OA＝4，点B（6，2），求AB解析式为：y＝x﹣4，联立方程组可得：，即可求交点；
（3）存在，分点P在点C右侧时和点P在点C左侧时两种情况求点P的坐标即可．
【详解】解：（1）如图1，过点C作CE⊥x轴于E，
∴∠CEO＝90°，
∵∠COA＝45°，
∴∠OCE＝45°，OE=DE，
∵OC＝2，由勾股定理得，
∴OE＝CE＝2，
∴C（2，2），
∵点C在反比例函数图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵点C（2，2），点O（0，0），
∴OC解析式为：y＝x，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝OA＝4，BC∥OA，AB∥OC，
∴点B（6，2），
∴设AB解析式为：y＝x+b，
∴2＝6+b，
∴b＝﹣4，
∴AB解析式为：y＝x﹣4，
联立方程组可得：，
∴或（舍去），
∴点D（2+2，2﹣2）；
（3）存在，
∵S△POC＝S△COD，
∴点P到OC的距离等于CD的一半，
Ⅰ、如图2，当点P在点C右侧时，即：点P的横坐标大于2，

∵S△POC＝S△COD，
∴设CD的中点为M，
∴M（+2，），
过点M作MP∥OC交双曲线于P，
∴直线PM的解析式为y＝x﹣2③，
∵反比例函数解析式为y＝④，
联立③④解得，
或（舍去），
∴P（+1，﹣1）；
Ⅱ、当点P'在点C左侧时，即：点P'的横坐标大于0而小于2，
设点M关于OC的对称点为M'，M'（m，n），
∴＝2，＝2，
∴m＝2﹣，n＝4﹣，
∴M'（2﹣，4﹣），
∵P'M'∥OC，
∴直线P'M'的解析式为y＝x+2⑤，
∵反比例函数解析式为y＝④，
联立④⑤解得，或（舍去），
∴P'（﹣1，+1）．
即：点P的坐标为（﹣1，+1）或P（+1，﹣1）．
【点睛】本题考查引辅助线，勾股定理，平行四边形的性质，求一次函数与反比例函数的解析式，利用函数求交点坐标等问题，掌握引辅助线的方法，勾股定理的应用，平行四边形的性质，求一次函数与反比例函数的解析式的方法，利用函数求交点坐标的方法是解题关键．
5．（1）；（2）面积为；（3）P（2，0）或（4，0）
【分析】（1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）补形法，求出各点坐标，S△OCD =S△AOB-S△ACD- S△OBD；
（3）分两种情形：①∠OPC=90°．②∠OCP=90°，分别求解即可．
【详解】解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=，
∴AB= OB=2，
作CE⊥OB于E，
∵∠ABO=90°，
∴CE∥AB，
∴OC=AC，
∴OE=BE=OB=，CE=AB=1，
∴C（，1），
∵反比例函数（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴1=，∴k=，
∴反比例函数的关系式为；
（2）∵OB=，
∴D的横坐标为，
代入得，y=，
∴D（，），
∴BD=，
∵AB=，
∴AD=，
∴S△OCD =S△AOB-S△ACD- S△OBD =OB AB-AD BE-BD OB=
（3）当∠OPC=90°时，点P的横坐标与点C的横坐标相等，C（2，2），
∴P（2，0）．
当∠OCP=90°时．
∵C（2，2），
∴∠COB=45°．
∴△OCP为等腰直角三角形．
∴P（4，0）．
综上所述，点P的坐标为（2，0）或（4，0）．
【点睛】本题主要考查的是一次函数、反比例函数的综合应用，列出关于k、n的方程组是解答问题（2）的关键，分类讨论是解答问题（3）的关键．
6．（1）y＝﹣，y＝﹣x﹣2；（2）S△AOB＝6；（3）﹣4＜x＜0或x＞2．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数的解析式；
（2）由（1）求出的一次函数解析式求出AB与x轴的交点坐标（-2,0），从而将△AOB分解为两个底边长为2的三角形，然后结合A、B两点纵坐标求出各自三角形面积，最后相加即可；
（3）根据一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围就是对应的一次函数图像在反比例函数图像下方的自变量的取值范围求解即可.
【详解】解：（1）把（﹣4，2）代入y＝得2＝，则m＝﹣8．
则反比例函数的解析式是y＝﹣；
把（n，﹣4）代入y＝﹣得n＝﹣＝2，
则B的坐标是（2，﹣4）．
根据题意得：，，
解得：，，，
∴一次函数的解析式是y＝﹣x﹣2；
（2）设AB与x轴的交点是C，则C的坐标是（﹣2，0）．
则OC＝2，
S△AOC＝2，S△BOC＝4，
则S△AOB＝6；
（3）由函数图象可知x的取值范围时﹣4＜x＜0或x＞2．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式以及反比例函数图像的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
7．（1），（2）Q（0，）或（0，）（3）1
【分析】(1)连接AO，根据，点A横坐标为2，可以得出点A的纵坐标，把A的坐标代入反比例函数就可得出其解析式,求出A、B坐标分别代入一次函数可求出一次函数表达式；
(2)根据点Q在y轴正半轴和负半轴两种情况去构建直角三角形借助于勾股定理求出点Q坐标即可；
(3)根据题意求出M、N的坐标分别用s、t表示，然后求出PM和PN的长，根据进而求出答案.
【详解】解：(1)连接AO，根据，点A横坐标为2，
得：,得,
即：，把其代入反比例表达式
，进而得出：，
把、两点代入一次函数表达式：
，解得：，
.
(2)如图所示：
①当点位于y轴正半轴的时候：
此时
即：
解得：，
；
②当点位于y轴负半轴的时候：
此时
即：
解得：，
，
综合得：或.
(3)根据题意可得：，
点，则，
进而得出：，，
，
而点P在直线，即：，
两边除以t得：，
综合上述可得：，
故答案为：1
【点睛】本题考查的是反比例函数和一次函数的综合题，解题关键在于巧妙的构造辅助线求出各个解析式，然后通过等量代换进行解题即可.
8．（1）y＝x+1；y＝；（2）0＜x＜4；（3）存在；D（8，1）．
【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=即可得出m的值，进而得出结论；
（2）利用图象法，写出反比例函数图象想一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可；
（3）根据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），
∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝．
（2）观察图象可知，kx+b＜时，x的取值范围0＜x＜4．
（3）如图所示，
∵点C（0，1），B（4，0）
∴BC＝，PC＝，
∴以BC、PC为边构造菱形，
当四边形BCPD为菱形时，
∴PB垂直且平分CD，
∵PB⊥x轴，P（4，2），
∴点D（8，1）．
把点D（8，1）代入y＝，得左边＝右边，
∴点D在反比例函数图象上．，
∵BC≠PB，
∴以BC、PB为边不可能构造菱形，
同理，以PC、PB为边也不可能构造菱形．
综上所述，点D（8，1）．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
9．(1) y＝－, y＝－x－2;(2)6;(3) x＞2或-4＜x＜0.
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=-8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y=-x-2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＞2或-4＜x＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
【详解】(1)把A(－4，2)的坐标代入y＝，得m＝2×(－4)＝－8，
∴反比例函数的解析式为y＝－.
把B(n，－4)的坐标代入y＝－，得－4n＝－8，
解得n＝2.∴B(2，－4)．
把A(－4，2)和B(2，－4)的坐标代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的解析式为y＝－x－2.
（2）y＝－x－2中，令y＝0，则x＝－2，
即直线y＝－x－2与x轴交于点C(－2，0)．
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×4＝6.
（3）由图可得，不等式kx＋b－＞0的解集为x＞2或-4＜x＜0.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
10．（1）证明见解析；（2）；（3）或．
【分析】（1）由题意易得，进而可得，然后问题可求证；
（2）由直线AD的解析式可求出，由（1）可得，则有，然后联立一次函数与反比例函数解析可求解；
（3）由（2）及图像可直接进行求解．
【详解】（1）证明：正方形，
，
，
，
，
；
（2）解：时，，
，
由可知，
，
即，即，
联立，解得：；
；
（3）由图像及（2）可得：
不等式的取值范围是或；
故答案为或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合及正方形的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合及正方形的性质是解题的关键．
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