【深圳专用】九上数学反比例函数压轴专项训练03

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反比例函数压轴专项训练03
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（2022秋·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2
(1)y关于x的函数关系式是______，x的取值范围是______；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)将直线y＝－x＋2向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
2．（2022秋·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它．
(1)构建模型：
当时，设矩形的长和宽分别为x，y，则，，满足要求的可以看成反比例函数的图象与一次函数在第一象限内的交点坐标．从图①中观察到，交点坐标为______，即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的；
(2)问题探究：
根据（1）的结论，当，时，满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数______的交点坐标，而此一次函数图象可由直线平移得到．请在图②的平面直角坐标系中直接画出直线．当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为______；
(3)拓展应用：
写出周长m的取值范围．
3．（2018秋·广东深圳·九年级统考期末）如图，一次函数（）与反比例函数（）的图象交于， 两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出使成立的的取值范围；
(3)求的面积．
4．（2022秋·广东深圳·九年级统考期末）如图：为等腰直角三角形，斜边在轴上，，一次函数的图象经过点A交轴于点，反比例函数的图象也经过点A．
(1)求反比例函数的解析式：
(2)若，求的面积；
(3)当时对应的自变量的取值范围是__________（请直接写出答案）
5．（2022秋·广东深圳·九年级统考期末）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图1，即），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧10cm的处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为1kg的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与称砣绳长的重量忽略不计）
(1)图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为 kg，的长为 cm．则关于的函数解析式是______；若，则的取值范围是______．
(2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡，如图3．设重物的质量为kg，的长为 cm．完成下列问题：
①关于的函数解析式是______；
②完成下表：
/kg … 0.25 0.5 1 2 4 …
/cm … ______ ______ ______ ______ ______ …
③在直角坐标系中画出该函数的图象．
6．（2022秋·广东深圳·九年级校联考期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 　 　，自变量x的取值范围为 　 　；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 　 　．
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　 　分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
7．（2022秋·广东深圳·九年级红岭中学校考期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，8），B（8，n）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．
(1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式：
(2)当＜时，直接写出自变量x的取值范围为_________；
(3)点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，求出点P的坐标．
8．（2022秋·广东深圳·九年级统考期末）如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点（﹣a，y1），（﹣2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
(3)求△AOB的面积．
9．（2022秋·广东深圳·九年级统考期末）小明为探究反比例函数y＝的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到．
(1)他列出y与x的几组对应值如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣0.5 0.5 1 b 3 4 …
y … ﹣1 ﹣ a ﹣4 ﹣8 8 4 2 1 …
表格中，a＝　 　，b＝　 　；
(2)结合表，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时的函数y的图象；
(3)①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，则m　 　n（填“＞”，“＝”或“＜”）；
②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，且x1＜x2＜0，则y1　 　y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
10．（2022秋·广东深圳·九年级校联考期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．
（1）求直线的解析式；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．
参考答案：
1．(1)，x＞0
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可；
（3）将直线y＝ x＋2向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝ x＋2＋a，根据一元二次方程根的判别式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，
∴，
∴xy＝4，
∴y关于x的函数关系式是，
x的取值范围为x＞0，
故答案为：，x＞0；
（2）解：在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；
（3）解：将直线y＝ x＋2向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝ x＋2＋a，
联立方程组，
整理得，
∵平移后的直线与反比例函数图象有且只有一个交点，
∴，
解得a＝2，a＝ 6（不合题意舍去），
故此时a的值为2．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的性质，一次函数与几何变换，正确的理解题意是解题的关键．
2．(1)，
(2)，
(3)
【分析】(1)由图即可得到两交点的坐标，即可求解；
(2) 由得，直接画出的图象，根据两图象只有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数解，据此即可求解；
(3) 当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点，一元二次方程有实数解，据此即可求解．
【详解】（1）解：从图①中观察到，交点坐标为，；
故答案为：，；
（2）解：由得，
故满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数的交点坐标，
画出直线如下：
，得，
直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点，
，
解得或(舍去)；
故答案为：，；
（3）解：当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点，
，
解得或(舍去)，
故周长m的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与交点问题，一元二次方程根的判别式，函数图象的平移，此类探究题，通常按照题设条件依次求解．
3．(1)一次函数解析式为；
(2)当或时，；
(3)8．
【分析】（1）把A，B两点的坐标分别代入中，求得m，n的值，即可确定A，B两点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）找出图象中一次函数图象低于反比例函数图象部分对应的x的取值范围；
（3）分别过点A、B作轴，轴，垂足分别是E、C点．直线交x轴于D点，当时，求得D点坐标，继而可得，，，代入，求解即可．
【详解】（1）解：分别把，代入得，，
解得，，
所以点坐标为，点坐标为，
分别把，代入得：，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：根据图象可知：
当或时，；
（3）解：如图，分别过点A、B作轴，轴，垂足分别是E、C点．直线交x轴于D点．
当时，，解得，则点坐标为，
∴，
∵，，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、割补法求三角形的面积是解题的关键．
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点A作，求出,进而即可求解；
（2）先证明，可得，进而即可求解；
（3）根据A的坐标和函数图象直接写出答案即可．
【详解】（1）解：过点A作，
∵为等腰直角三角形，斜边在轴上，，
∴，，
∴，
∴,
∵反比例函数的图象也经过点A．
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴的面积=；
（3）解：∵，
∴当时对应的自变量的取值范围：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质和判定，求出函数图像的交点坐标，掌握相似三角形的判定和性质是关键．
5．(1)，
(2)； 40，20，10，5，2.5；画出图如图所示．
【分析】（1）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂即可求出关系式，再根据的范围即可求得的范围；
（2）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂即可求得关系式；根据中求得的关于的解析式为：，将的值分别取0.25,0.5,1，2,4代入解析式求出的值即可；在图中根据算出来的坐标值，进行描点连线即可．
【详解】（1）解：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
，
即，
关于的解析式为：，
，
，
，
的取值范围为：．
（2）解： 阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
，
即，
，
关于的函数解析式是：；
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，；
画出图如图所示：
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，以及列表、描点、连线、画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键．
6．(1)yx，0≤x≤8；y（x＞8）
(2)30
(3)有效，理由见解析
【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y，把点（8，6）代入即可；
（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效．
【详解】（1）解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1，
∴k1设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（k2＞0）代入（8，6）为6，
∴k2＝48，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为yx（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（x＞8）；
（2）（2）结合实际，令y中y≤1.6得x≥30，
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．
（3）（3）把y＝3代入yx，得：x＝4，
把y＝3代入y，得：x＝16，
∵16﹣4＝12，
所以这次消毒是有效的．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
7．(1)一次函数 反比例函数
(2)或
(3)或
【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；
（2）根据图象中的信息即可得到结论；
（3）先求得D的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD求得△AOB的面积，即可求得S△PAC＝S△AOB＝24，根据中心对称的性质得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，从而得到2×OP×8＝24，求得OP，即可求得P的坐标．
【详解】（1）解：将A（2，8）代入得，解得k＝16，
∴反比例函数的解析式为，
把B（8，n）代入得，n＝＝2，
∴B（8，2），
将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+10；
（2）解：由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，
故答案为x＞8或0＜x＜2；
（3）解：由题意可知关于原点成中心对称，则OA＝OC，
∴S△APC＝2S△AOP，
如图，记与轴的交点为D，把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，
∴D（10，0），
∴，
∵，
∴2S△AOP＝24，
∴，即，
∴OP＝3，
∴P（3，0）或P（﹣3，0）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．
8．(1)
(2)y1＜y2
(3)3
【分析】（1）由，设反比例函数的解析式，则；
（2）由于反比例函数的性质是：在时，随的增大而减小，，则；
（3）连接，过点作轴，交轴于点，通过分割面积法求得．
【详解】（1）解：，
；
；
（2）解：，
函数的值在各自象限内随的增大而减小；
，
；
；
（3）解：连接，过点作轴，
，
，；
，
．
【点睛】此题考查了函数性质的应用和图形的分割转化思想，解题的关键是掌握分割的思想．
9．(1)-2，2
(2)见解析
(3)①＞；②＞
【分析】（1）把（-4，-1）代入y＝解方程得到反比例函数的解析式为y＝，把x=-2，把y=2时，分别代入反比例函数的解析式即可得到答案；
（2）根据题意画出图象即可；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：把（-4，-1）代入y＝得，-1＝，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
当x=-2时，y==-2，即a=-2；
当y=2时，2=，则x=2，即b=2；
故答案为：-2，2；
（2）如图所示，
（3）∵反比例函数的解析式为y＝，
∴k=4＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，
∵6＜10，
∴m＞n；
故答案为：＞；
②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，反比例函数的图象，正确的作出图象是解题的关键．
10．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案；
（2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案.
【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上，
则
设直线为：
则
所以直线为：
（2） 轴， ．
所以反比例函数为：
（3）设 而为的中点，
【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.
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