山东省菏泽市成武县育青中学2023-2024学年八年级上学期分班考试数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1．（2023·武威）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：如图，∵BM⊥CD，∠ABC=50°，
∴∠ABM=∠CBM+∠ABC=90°+50°=140°，
∴∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，
由题意知∠ABE=∠MBF，
∴∠ABE=∠MBF=20°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°；
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义及角的和差可得∠ABM=∠CBM+∠ABC=140°，从而求出∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，根据“ 反射角等于入射角 ”可得∠ABE=∠MBF=20°，从而求出∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°.
2．（2023·宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图，
由题意得∠4=30°，a//b.
∴∠1=∠3=70°
∵∠3=∠4+∠5，∠2=∠5
∴∠2=∠3-∠4=70°-30°=40°.
故答案为：C.
【分析】根据平行的性质可以求出∠3的度数，再根据三角形外角定理可以求出∠5的度数，最后再根据对顶角相等，即可求出∠2的度数.
3．（2023·眉山）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，
①-②得2x-2y=2m+6，
∴m+3=4，
∴m=1，
故答案为：B
【分析】运用加减消元法结合题意即可求解。
4．（2023八上·成武开学考）已知，，其中m，n为正整数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：C.
【分析】将代数式变形为，再将，代入即可.
5．（2023八上·成武开学考）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加10米，相邻的另一边减少10米，变成一个长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据题意可得，矩形的面积=（a+10）×（a-10）=a2-100，
∴矩形的面积比正方形的面积小了100平方米，
故答案为：A.
【分析】先求出矩形的面积，再根正方形的面积比较大小即可.
6．（2023八上·成武开学考）观察：，，，根据此规律，当时，代数式的值为（ ）
A．1 B．0 C．0或-2 D．-1或-3
【答案】D
【知识点】代数式求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
解得x=±1，
①当x=1时，，
②当x=-1时，；
综上，的值为-1或-3，
故答案为：D.
【分析】先求出x的值，再分类将x的值代入计算即可.
7．（2023八上·成武开学考）如图，在中，E是BC上的一点，，点D是AC的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴S△AEC=S△ABC=×18=12，
∵点D是AC的中点，
∴S△BCD=S△ABC=×18=9，
∴S△AEC-S△BCD=3，
∴
故答案为：3.
【分析】先求出S△AEC=S△ABC=×18=12，S△BCD=S△ABC=×18=9，再求出即可.
8．（2023八上·成武开学考）如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若，，根据所标数据，则的度数为（ ）
A．54° B．64° C．66° D．72°
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得：∠DEF=126°，∠FGC=118°，
∴∠AED=180°-126°=54°，∠BGF=180°-118°=62°，
∵DE//CG，FG//CD，
∴∠B=∠AED=54°，∠C=∠BGF=62°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=64°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠B=∠AED=54°，∠C=∠BGF=62°，再利用角的运算求出∠A=180°-∠B-∠C=64°即可.
9．（2023八上·成武开学考）自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出螺旋曲线．在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，，，…，得到一组螺旋线，连接，，，…，得到一组螺旋折线，如图所示．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得：
P1（-1，0）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到P2（0，1）；
P2（0，1）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P3（1，0）；
P3（1，0）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到P4（-1，-2）；
P4（-1，-2）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到P5（-4，1）；
P5（-4，1）先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到P6（1，6）；
P6（1，6）先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P7（9，-2）；
故答案为：D.
【分析】观察图形，再找出每个点的运动轨迹与斐波那契数结合推出P7的位置，再求出点坐标即可.
10．（2023八上·成武开学考）尺规作图：如图（1），在中，，，在AC边上求作一点P，使．如图（2）是四名同学的作法，其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①根据图象的作图步骤及痕迹，无法判断出BP⊥AC，∴①不正确；
②根据图象的作图步骤及痕迹，可得，∴②正确；
③根据图象的作图步骤及痕迹，可得点P在BC的垂直平分上，∴BP=CP，∴，∴③正确；
④根据图象的作图步骤及痕迹，点P在以AB为直径的圆上，∴∠APB=∠C+∠PBC=90°，∴∠PBC=45°，∴④正确；
综上，正确的结论是②③④，共3个，
故答案为：B.
【分析】分别根据题干中图象的作图步骤及痕迹，逐个分析判断即可.
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2019·高台模拟）已知两个角的和是67°56′，差是12°40′，则这两个角的度数分别是 .
【答案】40°18′、27°38′
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设较大的角的度数是x，则较小的角为67°56′-x，由题意得，
x-(67°56′-x)= 12°40′，
解之得，
x =40°18′，
∴67°56′-x=67°56′-40°18′=27°38′，
故答案为：40°18′，27°38′.
【分析】设较大的角的度数是x，则较小的角为67°56′-x，根据差是12°40′列出方程，解这个方程求解即可.
12．（2018·滨州）若关于x、y的二元一次方程组 ，的解是 ，则关于a、b的二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，
∴将解 代入方程组
可得m=﹣1，n=2
∴关于a、b的二元一次方程组 整理为：
解得：
【分析】根据二元一次方程组解的定义，将x，y的值，代入第一个方程组，求出m，n的值；再将m，n的值代入第二个方程组得出一个关于a，b的方程组，求解即可得出a，b的值。
13．（2023八上·成武开学考）已知，则 ．
【答案】2
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：2.
【分析】将直接代入计算即可.
14．（2023八上·成武开学考）如图，是一副三角板拼成的图形，边EF和BC在同一条直线上，则 ．
【答案】75°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：根据题意可得：∠C=30°，∠E=45°，
∴∠DNM=∠C+∠E=75°，
故答案为：75°.
【分析】利用三角形外角的性质可得∠DNM=∠C+∠E=75°.
15．（2023八上·成武开学考）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边OA、OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合．过角尺顶点C的射线OC便是的平分线．在这个过程中先可以得到，其依据是 ．
【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据题意可得：OM=ON，CM=CN，OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠MOC=∠NOC，
∴OC是的平分线，
故答案为：SSS.
【分析】先利用“SSS”证出△OCM≌△OCN，可得∠MOC=∠NOC，即可得到OC是的平分线.
16．（2023八上·成武开学考）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作，与OB相交于点N，，则 ．
【答案】25°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠AOB=∠MNB=50°，
根据题意可得：OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠MOB=∠AOB=25°，
故答案为：25°.
【分析】利用平行线的性质可得∠AOB=∠MNB=50°，再利用角平分线的定义可得∠AOM=∠MOB=∠AOB=25°.
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（2023八上·成武开学考）某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得
②小华同学：设整治任务完成后，m表示 ▲ ，n表示 ▲ ；
则可列方程组为
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
【答案】（1）解：①②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
（2）解：选择①
解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则，
解得，
经检验，符合题意．（没有扣1分）
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
选择②
设甲工程队工作的天数是m天，乙工程队工作的天数是n天．则，
解得，
经检验，符合题意．（没有扣1分）
甲整治的河道长度：（米）；乙整治的河道长度：（米）．
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）①根据“河道的长度为360米”，“ 共用时20天 ”列出方程组即可；②根据小华的方程组分析求解即可；
（2）任选小明或小华的思路，再利用方程组的计算方法求解即可.
18．（2023七下·晋中期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系 ；
（3）两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）6；2；7
（2）
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积．
∴阴影部分的面积为8．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵=6a2+7ab+2b2，
∴ 要拼出一个面积为的矩形，需要6张A号卡片，2张B号卡片，7张C号卡片，
故答案为：6，2，7；
（2）图2的面积=（a+b）2=a2+2ab+b2①，
∵（a-b）2=a2-2ab+b2②，
∴①+②得 ；
故答案为： .
【分析】（1）利用多项式乘多项式可得原式6a2+7ab+2b2，根据正方形的面积及矩形的面积即可得解；
（2）根据完全平方公式的几何意义即可求解；
（3）由可得， 即得（x-y）2=4，由（2）知 ， 据此求出x+y的值，由阴影部分的面积，继而得解.
19．（2023八上·成武开学考）如图，在中，CD平分，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使．
（1）求证：；
（2）当，时，求的度数．
【答案】（1）证明：∵CD平分，∴，
又，∴，∴
（2）解：∵，，∴，
在中，，，∴，
又∵CD平分，∴，∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再结合，可得，即可证出；
（2）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可.
20．（2023八上·成武开学考）如图，在中，，请用尺规作图法在边AB上找一点P，使得CP的长最小．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：点P如图所示：
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：以点C为圆心，适当的长为半径作出弧与边AB交于两点，再作出垂线即可，
如图所示，点P即是要求的点.
【分析】根据要求，过点C作CP⊥AB，垂足为P，即可得到CP的最小值.
21．（2023八上·成武开学考）如图，在中，，BD是的平分线，于点E，．
（1）证明：．
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵BD是的平分线，，∴，
在和中，，
∴（SAS）
（2）解：∵，∴，
∵BD是的平分线，∴，∴，
∵，∴，∴的度数为30°．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质可得，再利用“SAS”证出即可；
（2）利用角平分线的定义可得，再结合，可得，再利用角的运算求出即可.
22．（2023八下·茶陵期中）已知当，都是实数，且满足时，称为“好点”．
（1）判断点，是否为“好点”，并说明理由；
（2）若点是“好点”，请判断点在第几象限？并说明理由．
【答案】（1）解：点为“好点”，理由如下，
当时，，，得，，
则，，所以，
所以是“好点”；
当，，得，，
则，，所以，
所以不是“好点”；
（2）解：点在第三象限，理由如下：
∵点是“好点”，
∴，，
∴，，
代入，得，
∴，，
∴，故点在第三象限．
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）点为“好点”，理由如下：将点A代入即可求出m和n，进而即可得到，，所以，从而即可得到所以是“好点”；将点A代入即可求出m和n，进而即可得到则，，所以，从而得到不是“好点”；
（2）点在第三象限，理由如下：先根据“好点”的定义结合题意即可得到，，进而代入，即可得到点M的坐标，再根据坐标与象限的关系结合题意即可求解。
23．（2023八上·成武开学考）阅读材料：一般地，若，则x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：（，，，）；理由如下：设，，则，，∴，由对数的定义得．又∵，∴．
解决问题：
（1）将指数转化为对数式 ；
（2）证明（，，，）；
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）解：设，，则，，
∴，由对数的定义得．
又∵，∴
拓展运用：
（3）解：．
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法分析求解即可；
（3）利用题干中的定义及公式求解即可.
24．（2023八上·成武开学考）定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成1∶2两部分，这条射线叫做这个角的内倍分线．
（1）如图1，OM是的一条内倍分线，满足，若，求的度数．
（2）已知，把一块含有60°角的三角板COD按如图2叠放．将三角板COD绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转t秒（）．
①t为何值时，射线OC是的内倍分线；
②在三角板COD转动的同时，射线OB以每秒度的速度绕O点逆时针方向旋转至，在旋转过程中存在恰好同时是，的内倍分线，请直接写出n的值．
【答案】（1）解：∵OM是的一条内倍分线，满足，
∴
（2）解：①∵将三角板COD绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转t秒，
∴，
当时，∴，即，∴解得；
当时，∴，即，∴解得；
综上所述，当或60时，射线OC是的内倍分线；
②．
【知识点】角的运算；定义新运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用“内倍分线”的定义可得，再求出即可；
（2）①分类讨论： 当时，当时，再分别求解即可；
②利用“内倍分线”的定义及角的运算方法求解即可.
1 / 1山东省菏泽市成武县育青中学2023-2024学年八年级上学期分班考试数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1．（2023·武威）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·眉山）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2023八上·成武开学考）已知，，其中m，n为正整数，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·成武开学考）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加10米，相邻的另一边减少10米，变成一个长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
6．（2023八上·成武开学考）观察：，，，根据此规律，当时，代数式的值为（ ）
A．1 B．0 C．0或-2 D．-1或-3
7．（2023八上·成武开学考）如图，在中，E是BC上的一点，，点D是AC的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023八上·成武开学考）如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若，，根据所标数据，则的度数为（ ）
A．54° B．64° C．66° D．72°
9．（2023八上·成武开学考）自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，8，13，……画出螺旋曲线．在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，，，…，得到一组螺旋线，连接，，，…，得到一组螺旋折线，如图所示．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八上·成武开学考）尺规作图：如图（1），在中，，，在AC边上求作一点P，使．如图（2）是四名同学的作法，其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2019·高台模拟）已知两个角的和是67°56′，差是12°40′，则这两个角的度数分别是 .
12．（2018·滨州）若关于x、y的二元一次方程组 ，的解是 ，则关于a、b的二元一次方程组 的解是 ．
13．（2023八上·成武开学考）已知，则 ．
14．（2023八上·成武开学考）如图，是一副三角板拼成的图形，边EF和BC在同一条直线上，则 ．
15．（2023八上·成武开学考）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边OA、OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合．过角尺顶点C的射线OC便是的平分线．在这个过程中先可以得到，其依据是 ．
16．（2023八上·成武开学考）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作，与OB相交于点N，，则 ．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（2023八上·成武开学考）某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得
②小华同学：设整治任务完成后，m表示 ▲ ，n表示 ▲ ；
则可列方程组为
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
18．（2023七下·晋中期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系 ；
（3）两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分面积和．
19．（2023八上·成武开学考）如图，在中，CD平分，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使．
（1）求证：；
（2）当，时，求的度数．
20．（2023八上·成武开学考）如图，在中，，请用尺规作图法在边AB上找一点P，使得CP的长最小．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（2023八上·成武开学考）如图，在中，，BD是的平分线，于点E，．
（1）证明：．
（2）求的度数．
22．（2023八下·茶陵期中）已知当，都是实数，且满足时，称为“好点”．
（1）判断点，是否为“好点”，并说明理由；
（2）若点是“好点”，请判断点在第几象限？并说明理由．
23．（2023八上·成武开学考）阅读材料：一般地，若，则x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：（，，，）；理由如下：设，，则，，∴，由对数的定义得．又∵，∴．
解决问题：
（1）将指数转化为对数式 ；
（2）证明（，，，）；
（3）计算：．
24．（2023八上·成武开学考）定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成1∶2两部分，这条射线叫做这个角的内倍分线．
（1）如图1，OM是的一条内倍分线，满足，若，求的度数．
（2）已知，把一块含有60°角的三角板COD按如图2叠放．将三角板COD绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转t秒（）．
①t为何值时，射线OC是的内倍分线；
②在三角板COD转动的同时，射线OB以每秒度的速度绕O点逆时针方向旋转至，在旋转过程中存在恰好同时是，的内倍分线，请直接写出n的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：如图，∵BM⊥CD，∠ABC=50°，
∴∠ABM=∠CBM+∠ABC=90°+50°=140°，
∴∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，
由题意知∠ABE=∠MBF，
∴∠ABE=∠MBF=20°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°；
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义及角的和差可得∠ABM=∠CBM+∠ABC=140°，从而求出∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，根据“ 反射角等于入射角 ”可得∠ABE=∠MBF=20°，从而求出∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°.
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图，
由题意得∠4=30°，a//b.
∴∠1=∠3=70°
∵∠3=∠4+∠5，∠2=∠5
∴∠2=∠3-∠4=70°-30°=40°.
故答案为：C.
【分析】根据平行的性质可以求出∠3的度数，再根据三角形外角定理可以求出∠5的度数，最后再根据对顶角相等，即可求出∠2的度数.
3．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，
①-②得2x-2y=2m+6，
∴m+3=4，
∴m=1，
故答案为：B
【分析】运用加减消元法结合题意即可求解。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：C.
【分析】将代数式变形为，再将，代入即可.
5．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：根据题意可得，矩形的面积=（a+10）×（a-10）=a2-100，
∴矩形的面积比正方形的面积小了100平方米，
故答案为：A.
【分析】先求出矩形的面积，再根正方形的面积比较大小即可.
6．【答案】D
【知识点】代数式求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
解得x=±1，
①当x=1时，，
②当x=-1时，；
综上，的值为-1或-3，
故答案为：D.
【分析】先求出x的值，再分类将x的值代入计算即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴S△AEC=S△ABC=×18=12，
∵点D是AC的中点，
∴S△BCD=S△ABC=×18=9，
∴S△AEC-S△BCD=3，
∴
故答案为：3.
【分析】先求出S△AEC=S△ABC=×18=12，S△BCD=S△ABC=×18=9，再求出即可.
8．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得：∠DEF=126°，∠FGC=118°，
∴∠AED=180°-126°=54°，∠BGF=180°-118°=62°，
∵DE//CG，FG//CD，
∴∠B=∠AED=54°，∠C=∠BGF=62°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=64°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠B=∠AED=54°，∠C=∠BGF=62°，再利用角的运算求出∠A=180°-∠B-∠C=64°即可.
9．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得：
P1（-1，0）先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到P2（0，1）；
P2（0，1）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P3（1，0）；
P3（1，0）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到P4（-1，-2）；
P4（-1，-2）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到P5（-4，1）；
P5（-4，1）先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到P6（1，6）；
P6（1，6）先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P7（9，-2）；
故答案为：D.
【分析】观察图形，再找出每个点的运动轨迹与斐波那契数结合推出P7的位置，再求出点坐标即可.
10．【答案】B
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①根据图象的作图步骤及痕迹，无法判断出BP⊥AC，∴①不正确；
②根据图象的作图步骤及痕迹，可得，∴②正确；
③根据图象的作图步骤及痕迹，可得点P在BC的垂直平分上，∴BP=CP，∴，∴③正确；
④根据图象的作图步骤及痕迹，点P在以AB为直径的圆上，∴∠APB=∠C+∠PBC=90°，∴∠PBC=45°，∴④正确；
综上，正确的结论是②③④，共3个，
故答案为：B.
【分析】分别根据题干中图象的作图步骤及痕迹，逐个分析判断即可.
11．【答案】40°18′、27°38′
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设较大的角的度数是x，则较小的角为67°56′-x，由题意得，
x-(67°56′-x)= 12°40′，
解之得，
x =40°18′，
∴67°56′-x=67°56′-40°18′=27°38′，
故答案为：40°18′，27°38′.
【分析】设较大的角的度数是x，则较小的角为67°56′-x，根据差是12°40′列出方程，解这个方程求解即可.
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，
∴将解 代入方程组
可得m=﹣1，n=2
∴关于a、b的二元一次方程组 整理为：
解得：
【分析】根据二元一次方程组解的定义，将x，y的值，代入第一个方程组，求出m，n的值；再将m，n的值代入第二个方程组得出一个关于a，b的方程组，求解即可得出a，b的值。
13．【答案】2
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：2.
【分析】将直接代入计算即可.
14．【答案】75°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：根据题意可得：∠C=30°，∠E=45°，
∴∠DNM=∠C+∠E=75°，
故答案为：75°.
【分析】利用三角形外角的性质可得∠DNM=∠C+∠E=75°.
15．【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据题意可得：OM=ON，CM=CN，OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠MOC=∠NOC，
∴OC是的平分线，
故答案为：SSS.
【分析】先利用“SSS”证出△OCM≌△OCN，可得∠MOC=∠NOC，即可得到OC是的平分线.
16．【答案】25°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠AOB=∠MNB=50°，
根据题意可得：OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠MOB=∠AOB=25°，
故答案为：25°.
【分析】利用平行线的性质可得∠AOB=∠MNB=50°，再利用角平分线的定义可得∠AOM=∠MOB=∠AOB=25°.
17．【答案】（1）解：①②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
（2）解：选择①
解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则，
解得，
经检验，符合题意．（没有扣1分）
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
选择②
设甲工程队工作的天数是m天，乙工程队工作的天数是n天．则，
解得，
经检验，符合题意．（没有扣1分）
甲整治的河道长度：（米）；乙整治的河道长度：（米）．
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）①根据“河道的长度为360米”，“ 共用时20天 ”列出方程组即可；②根据小华的方程组分析求解即可；
（2）任选小明或小华的思路，再利用方程组的计算方法求解即可.
18．【答案】（1）6；2；7
（2）
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积．
∴阴影部分的面积为8．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵=6a2+7ab+2b2，
∴ 要拼出一个面积为的矩形，需要6张A号卡片，2张B号卡片，7张C号卡片，
故答案为：6，2，7；
（2）图2的面积=（a+b）2=a2+2ab+b2①，
∵（a-b）2=a2-2ab+b2②，
∴①+②得 ；
故答案为： .
【分析】（1）利用多项式乘多项式可得原式6a2+7ab+2b2，根据正方形的面积及矩形的面积即可得解；
（2）根据完全平方公式的几何意义即可求解；
（3）由可得， 即得（x-y）2=4，由（2）知 ， 据此求出x+y的值，由阴影部分的面积，继而得解.
19．【答案】（1）证明：∵CD平分，∴，
又，∴，∴
（2）解：∵，，∴，
在中，，，∴，
又∵CD平分，∴，∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再结合，可得，即可证出；
（2）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可.
20．【答案】解：点P如图所示：
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：以点C为圆心，适当的长为半径作出弧与边AB交于两点，再作出垂线即可，
如图所示，点P即是要求的点.
【分析】根据要求，过点C作CP⊥AB，垂足为P，即可得到CP的最小值.
21．【答案】（1）证明：∵，∴，
∵BD是的平分线，，∴，
在和中，，
∴（SAS）
（2）解：∵，∴，
∵BD是的平分线，∴，∴，
∵，∴，∴的度数为30°．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质可得，再利用“SAS”证出即可；
（2）利用角平分线的定义可得，再结合，可得，再利用角的运算求出即可.
22．【答案】（1）解：点为“好点”，理由如下，
当时，，，得，，
则，，所以，
所以是“好点”；
当，，得，，
则，，所以，
所以不是“好点”；
（2）解：点在第三象限，理由如下：
∵点是“好点”，
∴，，
∴，，
代入，得，
∴，，
∴，故点在第三象限．
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）点为“好点”，理由如下：将点A代入即可求出m和n，进而即可得到，，所以，从而即可得到所以是“好点”；将点A代入即可求出m和n，进而即可得到则，，所以，从而得到不是“好点”；
（2）点在第三象限，理由如下：先根据“好点”的定义结合题意即可得到，，进而代入，即可得到点M的坐标，再根据坐标与象限的关系结合题意即可求解。
23．【答案】（1）
（2）解：设，，则，，
∴，由对数的定义得．
又∵，∴
拓展运用：
（3）解：．
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法分析求解即可；
（3）利用题干中的定义及公式求解即可.
24．【答案】（1）解：∵OM是的一条内倍分线，满足，
∴
（2）解：①∵将三角板COD绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转t秒，
∴，
当时，∴，即，∴解得；
当时，∴，即，∴解得；
综上所述，当或60时，射线OC是的内倍分线；
②．
【知识点】角的运算；定义新运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用“内倍分线”的定义可得，再求出即可；
（2）①分类讨论： 当时，当时，再分别求解即可；
②利用“内倍分线”的定义及角的运算方法求解即可.
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