云南省楚雄州楚雄市天人中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·楚雄开学考）下列几组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．（2023九上·楚雄开学考）下列二次根式中，不是最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·楚雄开学考）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·楚雄开学考）一元二次方程的一般形式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2017九下·泰兴开学考）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
6．（2023九上·楚雄开学考）已知、、是的三边长，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
7．（2023九上·楚雄开学考）下列分式变形中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·合川九上期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）.
A． B．且 C．k<2 D．且
9．（2023九上·楚雄开学考）某商品原价元，连续两次降价后售价为元，若每次降价的百分率为，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023九上·楚雄开学考）如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论：；；；其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022八上·杏花岭期中）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AC的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
12．（2023九上·楚雄开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13．（2023九上·楚雄开学考）函数的自变量的取值范围是 ．
14．（2021八上·如皋月考）已知，则 .
15．（2023九上·楚雄开学考）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
16．（2023九上·楚雄开学考） 如果关于的方程无解，则的值为 ．
17．（2017七下·独山期末）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，则D点的坐标是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（2023九上·楚雄开学考） 计算：
（1）解方程：；
（2）计算：．
19．（2023九上·楚雄开学考） 聚焦“双减”政策，某校利用课后服务时间开展了“感悟与构想”为主题的绘画比赛活动学校名学生全部参加了活动，结果所有学生成绩都不低于分满分分为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表，根据表中所给信息，解答下列问题：
成绩分分组 频数 频率
（1）表中 ， ；
（2）这组数据的中位数落在 范围内：
（3）若成绩不小于分为优秀，则全校大约有多少名学生获得优秀成绩．
20．（2023九上·楚雄开学考） 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积．
21．（2023九上·楚雄开学考） 如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用长为米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为平方米？
22．（2023八上·镇海区期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
23．（2023九上·楚雄开学考） 现有正方形和一个以为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的直角边所在直线分别与直线、交于点、．
（1）如图，若点与点重合，则与的数量关系是 ；
（2）如图，若点在正方形的中心即两对角线的交点，则中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图，若点在正方形的内部含边界，当时，请探究点在移动过程中可形成什么图形？请说理证明．
（4）如图是点在正方形外部的一种情况当时，请你就“点的位置在各种情况下含外部移动所形成的图形”提出一个正确的结论不必说理
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：可以组成直角三角形，不符合题意；
B：，可以组成直角三角形，不符合题意；
C：，可以组成直角三角形，不符合题意；
D：，不能组成直角三角形，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据勾股定理的逆定理即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：是最简形式，不符合题意；
B：是最简形式，不符合题意；
C：是最简形式，不符合题意；
D：，不是最简形式，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：A：，A错误，不符合题意；
B：已是最简性质，B错误，不符合题意；
C：，C正确，符合题意；
D：，D错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意可得：
将括号展开得：
合并同类项得：
故答案为：A
【分析】将先将括号展开，再合并同类项，根据一元二次方程的一般形式的定义即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD，
∵H为AD边中点，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OH= AB= ×7=3.5．
故选：A．
【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH= AB．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意可得：
，整理得：
则为等腰直角三角形
故答案为：C
【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得，即，再根据勾股定理的逆定理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A：，不符合题意；
B：，不符合题意；
C：，符合题意；
D：(y≠0)，不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 且，
∴且.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得△=b2-4ac>0且k-1≠0，联立求解可得k的范围.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每次降价的百分率为，由题意可得：
故答案为：B
【分析】根据降价后价格=降价前价格×（1-a），即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵F是AD的中点
∴AF=FD
∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB
∴AF=FD=CD
∵AD平行BC
结论正确
（2）延长EF，交CD延长线于M
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∵F是AD中点
∴AF=FD
在△AEF和△DFM中
∴△AEF≌△DFM（ASA）
∵FM=EF
∴EF=CF
结论正确
（3）∵EF=FM
∴
∵MC>BE
结论错误
（4）设，则
结论正确
故答案为：B
【分析】根据平行四边形性质：平行四边形的对边相等且平行，再根据全等三角形的判定定理可得△AEF≌△DFM（ASA），再根据全等三角形的性质即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图2可知，AB＝a cm，BC＝4 cm，当点P到达点B时，△APC的面积为，
∴ AB BC＝6，即 a 4＝6，
解得a＝3．
即AB的长为3cm．
∵∠B=90°，
∴，
故答案为：C．
【分析】由图2可知AB＝a cm，BC＝4 cm，当点P到达点B时，△APC的面积为，利用三角形的面积公式求出a值，即得AB的长，再利用勾股定理求出AC即可.
12．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；探索数与式的规律；一次函数的性质
【解析】【解答】解：与轴交于点，与轴交于点，
，，
以为边长作等边三角形，
的横坐标，
，，
，
，
，
的横坐标，
，
的横坐标，
同理可得的横坐标，
的横坐标，
故答案为：．
【分析】根据直线与坐标轴交点的坐标可得，，再根据直线的解析式，等边三角形的性质分别求出点A1，A2，A3的恒左边，再归纳类推得出规律，即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件及二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】负整数指数幂；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】利用二次根式的被开方数不能为负数，可求出x，y的值，然后将x，y的值代入代数式进行计算，可求出结果.
15．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将x=3代入二次方程可得：9-12+c=0
解得：c=3
∴一元二次方程为：
因式分解得：
解得：x=1或x=3
故答案为：1
【分析】将方程的根代入方程可得c值，再根据因式分解解方程即可求出答案.
16．【答案】1或-3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边同乘x-3，得
x-4+m=(m+4)(x-3)，整理得：(3+m)x=4m+8
当x-3=0，即x=3时，原方程无解
则(3+m)×3=4m+8，解得：m=1
当3+m=0，即m=-3时，整式方程(3+m)x=4m+8无解，原分式方程也无解
综上所述，当m=1或m=-3时，原方程无解
故答案为：1或-3
【分析】将分式方程化成整式方程，可得(3+m)x=4m+8，根据原方程无解可得x=3代入方程可得m值；再根据m=-3时，整式方程(3+m)x=4m+8无解，原分式方程也无解，即可求出答案.
17．【答案】（0，5）
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=OC=8，BC=OA=10，
∵纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，
∴AE=AO=10，DE=DO，
在Rt△ABE中，AB=8，AE=10，
∴BE= =6，
∴CE=BC﹣BE=4，
设OD=x，则DE=x，DC=8﹣x，
在Rt△CDE中，∵DE2=CD2+CE2，
∴x2=（8﹣x）2+42，
∴x=5，
∴D点坐标为（0，5）．
故答案为（0，5）．
【分析】先由矩形的性质得到AB=OC=8，BC=OA=10，再根据折叠的性质得AE=AO=10，DE=DO，在Rt△ABE中，利用勾股定理可计算出BE=6，则CE=BC-BE=4，设OD=x，则DE=x，DC=8-x，在Rt△CDE中根据勾股定理有x2=（8-x）2+42，解方程求出x，即可确定D点坐标.
18．【答案】（1）解：，
，
，即，
，
，；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）移项，根据配方法的定义即可求出答案；
（2）根据平方差公式，二次根式的加法，除法即可求出答案.
19．【答案】（1）；
（2）
（3）解：获得优秀成绩的学生数：名．
故全校大约有名学生获得优秀成绩．
【知识点】利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
调查总人数为：15÷0.3=50
∴的频数为：50×0.4=20，即a=20
的频率为：10÷50=0.2，即b=0.2
故答案为：20，0.20
（2）共50名学生，由图表可知：
中位数落在范围内
故答案为：
【分析】（1）根据的频数和频率，可求出总人数，再根据频数=总人数×频率即可求出答案.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）不小于80分，则优秀为：及，人数为：15，则优秀成绩的学生数为：，即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，
由勾股定理得：，
，，
，
解得：，
，
的面积．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质，角平分线性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，再根据培训四边形性质可得四边形是平行四边形，由，可得四边形是菱形，即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据勾股定理求出AM的值，再根据三角形面积公式即可求出答案.
21．【答案】解：设的长为，则的长为．
依题意得：，
化简，得，
解得：，舍去，
米，
答：若矩形猪舍的面积为平方米，长和宽分别为米和米；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设的长为，则的长为，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：
，
整理得，
解得（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，进而利用直接开平方法求解并检验即可得出答案；
（2） 设该品牌头盔的实际售价为y元/个 ，则每个头盔的利润为（y-30）元每个，每月的销售数量为[600-10(y-40)]个，根据单个头盔的利润×每月的销售数量=当月的总利润建立方程，求解并检验即可.
23．【答案】（1）
（2）解： 仍成立．
证明：如图，连接、，
则由正方形可得，，，
在和中，
≌
（3）解：如图，过点作，作，垂足分别为、，
则
又
在和中，
≌
又，
点在的平分线上，
点在正方形的内部含边界
在移动过程中可形成线段
（4）解：如图，过点作，作，垂足分别为、，则
又
在和中，
≌
又，
点在的平分线上，
点在正方形外部，
在移动过程中可形成直线中除去线段的部分．
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴，AB=AD
∵
∴
在Rt△ABM和Rt△ADN中
∴Rt△ABM≌Rt△ADN
∵点O与点A重合
∴OM=ON
故答案为：OM=ON
【分析】（1）根据正方形性质，三角形板性质可得，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ABM≌Rt△ADN，再根据全等三角形性质即可求出答案.
（2）连接、， 根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，再根据其性质即可求出答案.
（3）过点作，作，垂足分别为、，根据全等三角形判定定理可得≌，则，根据角平分线的性质可得点在的平分线上，再根据题意即可求出答案.
（4）过点作，作，垂足分别为、，则，根据全等三角形判定定理可得≌，则根据角平分线的性质可得点在的平分线上，再根据题意即可求出答案.
1 / 1云南省楚雄州楚雄市天人中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·楚雄开学考）下列几组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：可以组成直角三角形，不符合题意；
B：，可以组成直角三角形，不符合题意；
C：，可以组成直角三角形，不符合题意；
D：，不能组成直角三角形，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据勾股定理的逆定理即可求出答案.
2．（2023九上·楚雄开学考）下列二次根式中，不是最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：是最简形式，不符合题意；
B：是最简形式，不符合题意；
C：是最简形式，不符合题意；
D：，不是最简形式，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
3．（2023九上·楚雄开学考）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：A：，A错误，不符合题意；
B：已是最简性质，B错误，不符合题意；
C：，C正确，符合题意；
D：，D错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.
4．（2023九上·楚雄开学考）一元二次方程的一般形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意可得：
将括号展开得：
合并同类项得：
故答案为：A
【分析】将先将括号展开，再合并同类项，根据一元二次方程的一般形式的定义即可求出答案.
5．（2017九下·泰兴开学考）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD，
∵H为AD边中点，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OH= AB= ×7=3.5．
故选：A．
【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH= AB．
6．（2023九上·楚雄开学考）已知、、是的三边长，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意可得：
，整理得：
则为等腰直角三角形
故答案为：C
【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得，即，再根据勾股定理的逆定理即可求出答案.
7．（2023九上·楚雄开学考）下列分式变形中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A：，不符合题意；
B：，不符合题意；
C：，符合题意；
D：(y≠0)，不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案.
8．（2023·合川九上期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）.
A． B．且 C．k<2 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 且，
∴且.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得△=b2-4ac>0且k-1≠0，联立求解可得k的范围.
9．（2023九上·楚雄开学考）某商品原价元，连续两次降价后售价为元，若每次降价的百分率为，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每次降价的百分率为，由题意可得：
故答案为：B
【分析】根据降价后价格=降价前价格×（1-a），即可求出答案.
10．（2023九上·楚雄开学考）如图，在平行四边形中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论：；；；其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵F是AD的中点
∴AF=FD
∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB
∴AF=FD=CD
∵AD平行BC
结论正确
（2）延长EF，交CD延长线于M
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∵F是AD中点
∴AF=FD
在△AEF和△DFM中
∴△AEF≌△DFM（ASA）
∵FM=EF
∴EF=CF
结论正确
（3）∵EF=FM
∴
∵MC>BE
结论错误
（4）设，则
结论正确
故答案为：B
【分析】根据平行四边形性质：平行四边形的对边相等且平行，再根据全等三角形的判定定理可得△AEF≌△DFM（ASA），再根据全等三角形的性质即可求出答案.
11．（2022八上·杏花岭期中）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AC的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图2可知，AB＝a cm，BC＝4 cm，当点P到达点B时，△APC的面积为，
∴ AB BC＝6，即 a 4＝6，
解得a＝3．
即AB的长为3cm．
∵∠B=90°，
∴，
故答案为：C．
【分析】由图2可知AB＝a cm，BC＝4 cm，当点P到达点B时，△APC的面积为，利用三角形的面积公式求出a值，即得AB的长，再利用勾股定理求出AC即可.
12．（2023九上·楚雄开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；探索数与式的规律；一次函数的性质
【解析】【解答】解：与轴交于点，与轴交于点，
，，
以为边长作等边三角形，
的横坐标，
，，
，
，
，
的横坐标，
，
的横坐标，
同理可得的横坐标，
的横坐标，
故答案为：．
【分析】根据直线与坐标轴交点的坐标可得，，再根据直线的解析式，等边三角形的性质分别求出点A1，A2，A3的恒左边，再归纳类推得出规律，即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13．（2023九上·楚雄开学考）函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件及二次根式有意义的条件即可求出答案.
14．（2021八上·如皋月考）已知，则 .
【答案】
【知识点】负整数指数幂；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】利用二次根式的被开方数不能为负数，可求出x，y的值，然后将x，y的值代入代数式进行计算，可求出结果.
15．（2023九上·楚雄开学考）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将x=3代入二次方程可得：9-12+c=0
解得：c=3
∴一元二次方程为：
因式分解得：
解得：x=1或x=3
故答案为：1
【分析】将方程的根代入方程可得c值，再根据因式分解解方程即可求出答案.
16．（2023九上·楚雄开学考） 如果关于的方程无解，则的值为 ．
【答案】1或-3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边同乘x-3，得
x-4+m=(m+4)(x-3)，整理得：(3+m)x=4m+8
当x-3=0，即x=3时，原方程无解
则(3+m)×3=4m+8，解得：m=1
当3+m=0，即m=-3时，整式方程(3+m)x=4m+8无解，原分式方程也无解
综上所述，当m=1或m=-3时，原方程无解
故答案为：1或-3
【分析】将分式方程化成整式方程，可得(3+m)x=4m+8，根据原方程无解可得x=3代入方程可得m值；再根据m=-3时，整式方程(3+m)x=4m+8无解，原分式方程也无解，即可求出答案.
17．（2017七下·独山期末）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，则D点的坐标是 ．
【答案】（0，5）
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=OC=8，BC=OA=10，
∵纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，
∴AE=AO=10，DE=DO，
在Rt△ABE中，AB=8，AE=10，
∴BE= =6，
∴CE=BC﹣BE=4，
设OD=x，则DE=x，DC=8﹣x，
在Rt△CDE中，∵DE2=CD2+CE2，
∴x2=（8﹣x）2+42，
∴x=5，
∴D点坐标为（0，5）．
故答案为（0，5）．
【分析】先由矩形的性质得到AB=OC=8，BC=OA=10，再根据折叠的性质得AE=AO=10，DE=DO，在Rt△ABE中，利用勾股定理可计算出BE=6，则CE=BC-BE=4，设OD=x，则DE=x，DC=8-x，在Rt△CDE中根据勾股定理有x2=（8-x）2+42，解方程求出x，即可确定D点坐标.
三、解答题（本大题共6小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（2023九上·楚雄开学考） 计算：
（1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1）解：，
，
，即，
，
，；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）移项，根据配方法的定义即可求出答案；
（2）根据平方差公式，二次根式的加法，除法即可求出答案.
19．（2023九上·楚雄开学考） 聚焦“双减”政策，某校利用课后服务时间开展了“感悟与构想”为主题的绘画比赛活动学校名学生全部参加了活动，结果所有学生成绩都不低于分满分分为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表，根据表中所给信息，解答下列问题：
成绩分分组 频数 频率
（1）表中 ， ；
（2）这组数据的中位数落在 范围内：
（3）若成绩不小于分为优秀，则全校大约有多少名学生获得优秀成绩．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：获得优秀成绩的学生数：名．
故全校大约有名学生获得优秀成绩．
【知识点】利用统计图表描述数据
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
调查总人数为：15÷0.3=50
∴的频数为：50×0.4=20，即a=20
的频率为：10÷50=0.2，即b=0.2
故答案为：20，0.20
（2）共50名学生，由图表可知：
中位数落在范围内
故答案为：
【分析】（1）根据的频数和频率，可求出总人数，再根据频数=总人数×频率即可求出答案.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）不小于80分，则优秀为：及，人数为：15，则优秀成绩的学生数为：，即可求出答案.
20．（2023九上·楚雄开学考） 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，
由勾股定理得：，
，，
，
解得：，
，
的面积．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质，角平分线性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，再根据培训四边形性质可得四边形是平行四边形，由，可得四边形是菱形，即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据勾股定理求出AM的值，再根据三角形面积公式即可求出答案.
21．（2023九上·楚雄开学考） 如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用长为米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为平方米？
【答案】解：设的长为，则的长为．
依题意得：，
化简，得，
解得：，舍去，
米，
答：若矩形猪舍的面积为平方米，长和宽分别为米和米；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设的长为，则的长为，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
22．（2023八上·镇海区期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：
，
整理得，
解得（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，进而利用直接开平方法求解并检验即可得出答案；
（2） 设该品牌头盔的实际售价为y元/个 ，则每个头盔的利润为（y-30）元每个，每月的销售数量为[600-10(y-40)]个，根据单个头盔的利润×每月的销售数量=当月的总利润建立方程，求解并检验即可.
23．（2023九上·楚雄开学考） 现有正方形和一个以为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的直角边所在直线分别与直线、交于点、．
（1）如图，若点与点重合，则与的数量关系是 ；
（2）如图，若点在正方形的中心即两对角线的交点，则中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图，若点在正方形的内部含边界，当时，请探究点在移动过程中可形成什么图形？请说理证明．
（4）如图是点在正方形外部的一种情况当时，请你就“点的位置在各种情况下含外部移动所形成的图形”提出一个正确的结论不必说理
【答案】（1）
（2）解： 仍成立．
证明：如图，连接、，
则由正方形可得，，，
在和中，
≌
（3）解：如图，过点作，作，垂足分别为、，
则
又
在和中，
≌
又，
点在的平分线上，
点在正方形的内部含边界
在移动过程中可形成线段
（4）解：如图，过点作，作，垂足分别为、，则
又
在和中，
≌
又，
点在的平分线上，
点在正方形外部，
在移动过程中可形成直线中除去线段的部分．
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴，AB=AD
∵
∴
在Rt△ABM和Rt△ADN中
∴Rt△ABM≌Rt△ADN
∵点O与点A重合
∴OM=ON
故答案为：OM=ON
【分析】（1）根据正方形性质，三角形板性质可得，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ABM≌Rt△ADN，再根据全等三角形性质即可求出答案.
（2）连接、， 根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，再根据其性质即可求出答案.
（3）过点作，作，垂足分别为、，根据全等三角形判定定理可得≌，则，根据角平分线的性质可得点在的平分线上，再根据题意即可求出答案.
（4）过点作，作，垂足分别为、，则，根据全等三角形判定定理可得≌，则根据角平分线的性质可得点在的平分线上，再根据题意即可求出答案.
1 / 1
