2023-2024学年山东省淄博市高二上学期部分校期中考试数学试题
一、单选题(本大题共8小题,共40分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.经过两点的直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.圆关于点对称的圆的标准方程为
( )
A. B.
C. D.
3.已知直线经过点,且与圆相切,则的方程为
( )
A. B.
C. D.
4.如图,平行六面体中,为的中点.若,则( )
A. B. C. D.
5.已知直线与直线互相平行,则实数的值为
( )
A. B. 或 C. D.
6.在一个不透明的袋子里装有四个小球,球上分别标有,,,四个数字,这些小球除数字外都相同.小红、小明两人玩“猜数字”游戏,小红先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为,再由小明猜这个小球上的数字,记为如果,满足,那么就称小红、小明两人“心心相印”,则两人“心心相印”的概率是
( )
A. B. C. D.
7.若圆上总存在两个点到点的距离为,则实数的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
8.设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,点与点,不重合,则的面积最大值是
( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题,共20分。在每小题有多项符合题目要求)
9.向量,则下列说法正确的是
( )
A. ,使得
B. 若,则
C. 若,则
D. 当时,在方向上的投影向量为
10.直线与圆,则下列说法正确的是
( )
A. 直线恒过定点 B. 圆的半径为
C. 存在实数,使得直线与圆相切 D. 直线被圆截得的弦长最短为
11.已知实数,满足方程,则下列说法正确的是
( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的范围是
12.正方体棱长为,为空间中一点.下列论述正确的是
( )
A. 若,则的面积为定值
B. 若,三棱锥的体积为定值
C. 若,则面
D. 若,有且仅有一个点,使得平面
三、填空题(本大题共4小题,共20分)
13.已知点在直线上,则的最小值为_______
14.经过点,且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线的方程为________.
15.设与相交于两点,则 .
16.若斜率为的直线与轴交于点,与圆相切于点,则 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.本小题分
已知直线经过点,且与直线垂直.
求直线的方程;
若直线与直线平行且点到直线的距离为,求直线的方程;
18.本小题分
某电视台举行冲关直播活动,该活动共有四关,只有一等奖和二等奖两个奖项,参加活动的选手从第一关开始依次通关,只有通过本关才能冲下一关已知第一关的通过率为,第二关第三关的通过率均为,第四关的通过率为,四关全部通过可以获得一等奖奖金为元,通过前三关就可以获得二等奖奖金为元,如果获得二等奖又获得一等奖,奖金可以累加假设选手是否通过每一关相互独立,现有甲乙两位选手参加本次活动.
求甲最后没有得奖的概率;
已知甲和乙都通过了前两关,求甲和乙最后所得奖金总和为元的概率.
19.本小题分
已知圆经过,且圆心在直线上
求圆的方程;
若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周,求反射光线所在直线的方程.
20.本小题分
如图,正三角形与菱形所在的平面互相垂直,,,是的中点.
求点到平面的距离;
已知点在线段上,且直线与平面所成的角为,求出的值.
21.本小题分
如图在直三棱柱中,侧面为正方形,分别为和的中点,为棱上的点,
证明:;
当为何值时,直线与平面所成角的正弦值最大.
22.本小题分
已知点,为坐标原点,圆:.
若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
已知点在圆上运动,线段的中点为,设动点的轨迹为曲线;若直线:上存在点,过点作曲线的两条切线,,切点为,且,求实数的取值范围.
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题.
根据给定条件求出直线的倾斜角的正切值即可得解.
【解答】
解:由题意得,
且倾斜角范围为
所以直线的倾斜角为.
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的标准方程,是基础题.
求出对称圆的圆心坐标,半径相同,由圆的标准方程求解即可.
【解答】
解:圆的圆心,半径等于,
圆心关于原点对称的圆的圆心,半径等于,
故对称圆的方程为.
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆相切的等价条件,直线方程的求解,属于基础题.
根据题意,设直线的方程为,进行求解即可.
【解答】
解:直线经过点,
直线的斜率一定存在,可设方程为,
又因为直线与圆相切,
圆心到的距离,解得,
故直线的方程为,
故选D.
4.【答案】
【解析】【分析】
利用向量的加减法公式,对向量进行分解,进而求出,,的值.
本题考查空间向量的线性运算,是基础题.
【解答】
解:,
故,,,
即
故选:.
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两直线平行的判定,属于基础题.
利用直线平行的性质求解即可.
【解答】
解:直线:与直线:平行,
,
解得或,
当时,经检验两直线平行,
当时,直线与都可以化为,两直线重合,
所以.
故选D.
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查古典概型相关知识,属于基础题.
根据古典概型的计算公式,结合绝对值不等式进行求解即可.
【解答】
解:根据题意,,的情况如下:,,,,,,,,
,,,,,,,,共种情况,
其中,满足的情况如下:
,,,,,,,,,,共种情况,
所以两人“心领神会”的概率是,
故选:.
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆与圆的位置关系,属于基础题.
求出以点为圆心,半径为的圆的方程,问题转化为两圆相交,即可解决.
【解答】
解:到点的距离为的点在圆上,
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上,
即两圆相交,故,
解得或,
所以实数的取值范围为,
故选A.
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线方程、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
点为,动直线过定点动直线过定点分类讨论:时,两条直线分别为,,交点,可得时,两条直线相互垂直.当时,的面积取得最大值.即可得出.
【解答】
解:设点为
动直线,令,解得,因此此直线过定点.
动直线,即,
令,,解得,,因此此直线过定点.
时,两条直线分别为,,交点,.
时,两条直线的斜率分别为:,,则,因此两条直线相互垂直.
则,
则,
当且仅当时等号成立;
综上可得:的面积最大值是.
故选:.
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标运算,考查投影向量,属中档题.
对于,若,则存在使得,列方程组可判断;对于,由模长公式可判断;对于,由可判断;对于,根据在方向上的投影向量为即可判断.
【解答】
解:对于,若,则存在使得,
所以,无解,
所以不存在使得,故A错误;
对于,若,则,解得,故B正确;
对于,若,则,解得,故C正确;
对于,若,则,,
则在方向上的投影向量为,故D正确.
故选BCD.
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的综合应用,是中档题.
求出直线恒过定点,化圆方程为标准方程,再对选项逐个判断即可.
【解答】
解:直线,即,
令 ,得直线恒过定点,故A正确
圆 化为标准方程为 ,
即圆圆心坐标为,半径为,故B正确;
将点坐标代入圆的方程,易得点在圆内,所以直线横与圆相交,C错误;
圆心,直线恒过定点,
则,
当直线垂直于时,
直线被圆截得的弦长最短,为,故D正确.
11.【答案】
【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系及其应用,考查点到直线距离公式,考查点与圆的位置关系及应用,考查两点间距离公式,属于中档题.
对于,令,再利用点到直线距离公式求出的取值范围即可判断;
对于,令,再利用点到直线距离公式求出的取值范围即可判断;
对于,利用两点间距离公式,求出圆上的点到原点的距离的取值范围,再平方即可判断;
对于,令,求出圆上的点到直线的距离的取值范围即可判断.
【解答】解:实数,满足方程
,
即为,
则方程表示圆心为,半径为的圆,
对于,令,则,
由题意可知直线与圆有公共点,
由点到直线距离公式可得,
解得,
即的最大值为,故A正确;
对于,令,
由题意可知直线与圆有公共点,
由点到直线距离公式可得,
解得,
即的最大值为,故B正确;
对于,原点到圆心的距离为,
则圆上的点到原点的距离为,
,
,
故的最大值为,故C错误;
对于,令,
则表示点到直线的距离,
即圆上的点到直线的距离,
由点到直线距离公式可知圆心到该直线的距离为,
则圆与该直线相离,
则圆上的点到直线的距离最大值为,最小值为,
即圆上的点到直线的距离的取值范围是,
即的范围是,故D正确.
故选ABD.
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱柱及其结构特征,考查空间中直线与平面的位置关系,面面垂直的判定,考查空间思维能力与分析计算能力,属于较难题.
由空间中直线与平面的位置关系,平面与平面的位置关系等知识点,逐一对选项进行分析,判断其正确性即可.
【解答】
解:选项A:若,则点的轨迹为直线,
又因为,所以点到直线的距离为定值,
所以的面积为定值,故 A正确;
选项B,由条件,,可知点的轨迹为线段,
因为,根据线面平行的判定定理易知平面,
故到平面的距离为定值.
又三角形面积为定值,故三棱锥体积为定值,故B正确;
选项C,若,则点的轨迹为直线,
根据正方体的性质易得,平面,
因为平面,所以,
又,、平面,
所以平面,又平面,
所以平面平面,故C正确;
选项D,由 ,,可知点在线上分别为,中点.
因为平面,所以平面即为平面,
点即为平面与直线交点,此交点在延长线上,故 D错误;
故选ABC.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要点到直线的距离公式,属于基础题.
将所求式子最小值转化为原点到所给直线的距离,再利用点到直线的距离公式即可求解.
【解答】
解:的几何意义是点到原点的距离,
又点在直线上,
它的最小值转化为原点到直线的距离:.
故答案为.
14.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查直线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意不要丢解.
分截距为零和截距不为零两种情况求解即可.
【解答】
解:设直线在轴上的截距为,则在轴上的截距为.
当时,直线过点,
又直线过点,故直线的斜率,
故直线的方程为,即;
当时,直线的方程为,即,
直线过点,
,
,
直线的方程为.
综上可知,直线的方程为或.
故答案为:或.
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两圆相交弦长问题,属于基础题.
先求出两圆的公共弦所在的直线方程,然后求出其中一个圆心到该直线的距离,再根据弦长、半径以及弦心距三者之间的关系求得答案
【解答】解:将和两式相减:
得过两点的直线方程: ,
则圆心到的距离为,
所以 ,
故答案为:
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆相切的位置关系,考查点到直线的距离公式,是基础题.
设直线的方程为,则点,利用直线与圆相切求出的值,求出,利用勾股定理可求得.
【解答】
设直线的方程为,则点,
由于直线与圆相切,且圆心为,半径为,
则,解得或,所以,
因为,故.
故答案为:.
17.【答案】解:因为直线与直线垂直,
所以直线的斜率为.
又因为直线经过点,
故直线的方程为,
即.
由直线与直线平行,
可设直线的方程为,
由点到直线的距离公式得,
即,
解得或.
故直线的方程为或.
【解析】本题考查直线的方程,属于基础题.
根据题意直线与直线垂直,直线经过点,即可根据点斜式方程得到直线;
根据两直线平行的性质得出直线的方程为,从而根据点到直线的距离公式得出,即可得到答案.
18.【答案】解:记第一关未通过为事件,第一关通过第二关未通过为事件,
前两关通过第三关未通过为事件,甲最后没有得奖为事件,
则,,,
故.
记通过了前两关时最后获得二等奖为事件,通过了前两关时最后获得一等奖为事件,
则,.
因为甲和乙最后所得奖金总和为元,所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖,
故甲和乙最后所得奖金总和为元的概率为.
【解析】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,属于中档题.
分第一关未通过,第一关通过第二关未通过,前两关通过第三关未通过三种情况,结合独立事件和互斥事件的概率公式,求解即可;
若奖金为,则甲和乙一人得一等奖一人得二等奖,计算对应概率即可.
19.【答案】解:由题知 中点为 , ,
所以 的垂直平分线方程为 ,即 ,
联立 ,解得 ,即圆心为 ,
所以圆 的半径为 ,
故圆 的方程为 .
设 关于 的对称点为 ,
则直线 与 垂直,且 的中点 在直线 上,
则 ,解得 ,
由题意知反射光线过圆心,故 ,
即 .
【解析】【分析】先求 的垂直平分线方程,联立直线 的方程可得圆心坐标,然后可得半径,进而得出圆的标准方程;
设 关于 的对称点为 ,结合反射光线原理可得其对称点坐标,进而利用直线的两点式方程即可得出结果.
20.【答案】解:连接,,是的中点,,
平面平面,平面平面,平面,
平面,平面,
,菱形中,,所以是正三角形,
.
两两垂直.
建立如图所示空间直角坐标系.
则,,,,,
,,,
设是平面的一个法向量,
则
令,得,
设点到平面的距离为,则,
点到平面的距离为.
因为轴垂直平面,所以设平面的法向量为,
,,
设,,
则,
直线与平面所成的角为,
,
由,解得,
.
【解析】本题考查线线垂直的证明,点到平面的距离,线面角,属于中档题.
推导出,从而平面,推导出,,从而、、两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向量法求出点到平面的距离;
求出和平面的法向量,利用向量法能求出在线段上存在点,使得直线与平面所成的角为,且.
21.【答案】解:证明:在直三棱柱中,侧面为正方形,则,,而,
即有,又,,平面,因此平面,
而平面,则,故BB,
以为原点,分别以、、所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,如图,
则,,,设,即,
则,即有,
所以.
设平面的法向量为,由知,,
则,令,得,而,
设直线与平面所成的角为,则,
当时,,
所以当时,直线与平面所成角的正弦值最大.
【解析】本题考查了空间向量在立体几何的综合应用,涉及了利用空间向量求解线线角的应用,空间向量垂直的坐标表示,二面角的求解,在求解有关空间角问题的时候,一般会建立合适的空间直角坐标系,将空间角问题转化为空间向量问题进行研究,属于中档题.
根据给定条件,证明平面,再建立空间直角坐标系,利用空间位置关系的向量证明推理作答.
设出点的坐标,利用空间向量求解作答.
22.【答案】解:由题意,圆 : ,可得圆心 ,半径 ,
因为直线 被圆 截得的弦长为 ,则圆心到直线 的距离为 ,
当直线 的斜率不存在时,此时直线 的方程为 ,满足题意;
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,即 ,
则 ,解得 ,即 ,
综上可得,所求直线的方程为 或 .
设点 , ,
因为点 ,线段 的中点为 ,
可得 ,解得 ,
又因为 在圆 上,可得 ,即 ,
所以点 的轨迹即曲线 的方程为圆 : ,
由 ,可得 ,
在直角 中, ,所以 到直线 距离 ,
解得 ,即实数 的取值范围为 .
【解析】本题考查直线与圆的位置关系,圆的弦长问题,方程思想,分类讨论思想,化归转化思想,不等式思想,属中档题.
根据圆的弦长公式,方程思想,分类讨论思想即可求解;
先根据“相关点法“求出的轨迹方程,再根据圆的切线的性质及直线与圆的位置关系,建立不等式即可求解.
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