2023-2024学年福建省三明地区部分高中校协作高二上学期期中联考数学试题(含解析）

2023-2024学年福建省三明地区部分高中校协作高二上学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为
( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.如果，且，那么直线不通过
( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知直线与平行，则与的距离为
( )
A. B. C. D.
5.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则芒种日影长为
( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
6.动圆过定点，且与圆：相内切，则动圆圆心的轨迹方程是
( )
A. B.
C. D.
7.已知椭圆的右焦点为，左顶点为若点为椭圆上的点，轴，且，则椭圆的离心率的取值范围为
( )
A. B. C. D.
8.若曲线与曲线的图像恰有三个不同的交点，则的取值范围为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知数列的前项和，则
( )
A. 不是等差数列 B.
C. 数列是等差数列 D.
10.已知点为圆：上的动点，直线过点，，过上一点作圆的切线，，切点分别为，，则下列说法正确的有
( )
A. 点到的距离的最大值为
B. 当最大时，
C. 四边形的面积的最小值为
D. 四边形的面积最小时，直线的方程为
11.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过的直线交抛物线于两点，，则( )
A. 的准线方程为
B. 若，则
C. 若，则的斜率为
D. 过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则
12.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则
( )
A. 满足平面的点的轨迹长度为
B. 满足的点的轨迹长度为
C. 存在唯一的点满足
D. 存在点满足
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为______．
14.已知抛物线：，直线：交于，两点，则线段的长是 ．
15.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为 ．
16.已知数列满足，，记数列的前项和为，则___．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知圆的圆心为，半径为，是过点的直线．
求圆的方程，并判断点是否在圆上，证明你的结论；
若圆被直线截得的弦长为，求直线的方程．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
求的最大值．
19.本小题分
已知双曲线：的离心率为，且过点．
求的方程；
若斜率为的直线与交于，两点，且与轴交于点，若为的中点，求的方程．
20.本小题分
在三棱锥中，底面与侧面均为正三角形，，为的中点．
证明：平面平面；
为线段上一点，且，求二面角的正弦值．
21.本小题分
已知点为抛物线的焦点，点，且点到抛物线准线的距离不大于，过点作斜率存在的直线与抛物线交于两点在第一象限，过点作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点．
求抛物线的标准方程；
求证：直线过定点．
22.本小题分
已知圆：，是圆上的点，关于轴的对称点为，且的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．
求的方程；
坐标原点关于的对称点分别为，点关于直线的对称点分别为，过的直线与交于点，直线相交于点请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明．
的面积是定值；的面积是定值；的面积是定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，注意椭圆的焦点坐标的位置，是基础题．
利用椭圆方程，结合焦点坐标，列出方程求解即可．
【解答】解：椭圆的一个焦点坐标为，
可得，解得．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】
解：，，
则，，
故向量在向量上的投影向量为．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角与斜率及确定直线位置的方法以及直线的一般方程，属于基础题．
先把化为，再结合，分析即可求解．
【解答】
解：将直线化为，
因为，且，
所以，
所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的位置关系，考查平行线间的距离公式，属于基础题．
根据直线平行求出的值，根据平行线间的距离公式计算即可．
【解答】
解：若直线与平行，
则，解得：，
故：与：的距离是：
，
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设此等差数列的公差为，则，，解得：，利用通项公式即可得出．
【解答】
解：设此等差数列的公差为，
则，，
解得：，．
则．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查与双曲线有关的轨迹问题，考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，属于基础题．
根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心的轨迹方程．
【解答】
解：圆：的圆心为，半径为，且，
设动圆的半径为，则，即．
即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，虚轴长为的双曲线上，且点在靠近点这一支上，即下半支．
故动圆圆心的轨迹方程是．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的概念以及椭圆的性质，考查学生的思维能力，属中档题．
由椭圆的性质，表示出右焦点，左顶点和点，由题设，化简得到，结合椭圆离心率的范围，得到其取值范围．
【解答】
解：由题意，可得：，
，
，
，
，
，
解得：．
．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程、直线与圆的位置关系的判断及求参、抛物线的标准方程、由标准方程确定圆心和半径、直线过定点问题，属于较难题．
曲线即为或，曲线即为，先判定抛物线和半圆有且仅有个交点，可得直线和半圆有个不同于点的交点，利用数形结合可得的取值范围．
【解答】
解：曲线，即为或，
则曲线表示一条过点的直线和抛物线，
曲线，即为，
则曲线表示以为圆心，为半径的半圆其中，
如图所示：
由与联立，可得
即抛物线与曲线有且仅有个交点，
因为曲线与曲线有个不同交点，
则直线与曲线有个不同于点的交点，
由图可知当直线过点时，
由，可得，
当直线与半圆相切时，
圆心到直线的距离为，解得或，
由图可知，
故的取值范围为．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的递推公式，等差数列的通项公式以及求和，属基础题．
由题意得到，即可逐项判定，
【解答】
解：当时，，
当时，，
也适合，故故A错，B正确；
，所以数列是等差数列，故 C正确 ；
D错误，
故选BC．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆与直线的方程、直线与圆的位置关系、圆上的点到直线的距离、与圆的切线相关的问题等知识
结合直线与圆的位置关系、圆上的点到直线的距离逐项分析判断即可
【解答】
解：对于因为圆心到直线的距离是，
所以点到的距离，
所以A正确．
由已知直线的方程为．
到直线的距离，所以直线与圆相离．
对于当过点的直线与圆相切时，最大，如图：
此时，
所以B错误．
对于、因为，
当时，最小，四边形的面积最小又，
所以四边形的面积的最小值为，
此时直线的方程为．
所以C正确，D错误．
故选AC．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义，抛物线的标准方程以及几何意义，考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
根据抛物线的几何意义求出，即可得到抛物线的方程，再根据抛物线的定义判断、、，
设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元列出方程，由韦达定理，根据焦半径公式计算即可判断．
【解答】
解：因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
所以抛物线方程为，则焦点，准线为，故A错误
若，则，所以，所以，故B正确
可设，，
直线的方程为，与抛物线联立，
消去，可行，
可得，，
由抛物线的定义可得
即，即，
解得，则直线的斜率为，故C正确
对于，若轴平分，则，又轴，
所以，
而 ，故，而，故三角形为等边三角形，
所以，
所以即，所以，故D正确
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹，进而判断建立空间直角坐标系，得到，，为正方形上的点，可设，且，，进而对各个选项进行计算验证即可判断并得到答案．
【解答】
对于，取的中点，的中点，又点为的中点，
由正方体的性质知，，，，
所以平面平面，又平面，平面，
故点的轨迹为线段，故A正确
以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，设，且，，
，，
对于，，即，
又，，则点的轨迹为线段，，
且，故B正确
对于，
显然，只有，时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确
对于，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，
故，故不存在点满足，故D错误．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了圆的标准方程，求出圆的半径是解本题的关键，属于基础题．
由题意得到圆的半径为点纵坐标的绝对值，求出半径，写出圆的标准方程即可．
【解答】解：以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为，
故圆的标准方程是．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系中求焦点弦长问题，属于基础题．
解题时将直线方程与抛物线方程联立，结合抛物线的定义可得 即可求解．
【解答】
解：设直线与抛物线的两个交点
将直线与抛物线的方程联立得：
整理得，
抛物线：的焦点的坐标为，
直线过点，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查用椭圆的定义求最值，属于基础题．
由椭圆方程可得椭圆的焦点坐标，由椭圆的定义可得， ，从而可得的最大值．
【解答】
解： 由椭圆方程可得，，．
，，如图所示．
由椭圆的定义可得，

，
当且仅当，，三点共线时等号成立，
则的最大值为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列分组求和，属于中档题．
由题意，令 ，得到 ，从而利用分组求和求出 即可．
【解答】
解：由 可得：
当 时， ．
所以 ， ， ， ，又 ，
因此 ．
17.【答案】解：点不在圆上，
理由如下：由圆的圆心为，半径为，
圆的方程为，
又，
故点不在圆上；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为，弦长为，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
圆心到直线的距离，
圆被直线截得的弦长为，
，
解得，
切线方程为，即，
综上所述：直线的方程为或．
【解析】【分析】本题考查求圆的方程，考查利用弦长求直线的方程，考查运算求解能力，属基础题．
利用已知可求得圆的方程，代入点的坐标可判断点不在圆上；
当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由垂径定理可得，可求，进而可求直线的方程．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，
，，
，解得，
；
由可知，，
，，
，
，
故的最大值为．
【解析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解；
根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
19.【答案】解：因为双曲线离心率为，
则，所以，
又点在上，则，
由可得，，，
所以双曲线的方程为；
设，，，
因为为的中点，所以，
因为直线斜率为，所以可设直线的方程为，
联立，得，
，
由韦达定理可得，，
又，所以，所以，
2，解得，即，
故直线的方程为．
【解析】本题考查求双曲线的方程与双曲线的性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属中档题．
利用离心率以及点在双曲线上，列出关于，的关系，求解，，即可得到双曲线的方程；
设直线的方程为，与双曲线方程联立，可得，，利用为的中点，可得，从而解得的值，即可得直线方程．
20.【答案】解：因为 是边长为的正三角形，为的中点，
所以，，同理，，
又，因为，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面
因为 是正三角形，为的中点，所以，又，，
故以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为平面，平面，所以．
在中，，
设，则
又，，由得，
由得，
设面的法向量为， ，，
取，
设面的法向量为， ，，
取，
设二面角的大小为，则，
所以，即二面角的正弦值为．

【解析】本题主要考查面面垂直的判定，三棱锥体积的计算，考查化归与转化思想，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．
由是正三角形得出，利用得出，即证平面，从而证明平面平面；
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设面的法向量为，设面的法向量为， 设二面角的大小为，则，即可求出二面角的正弦值．
21.【答案】解：焦点，，
解得或．
，又点到抛物线准线的距离不大于，
则，解答，．
抛物线的标准方程为
依题意直线斜率存在，设的方程为，
由，化简得，
所以，，
设，，，
则，，
消去得
又，则
由得，
若直线没有斜率，则，又，
舍去
若直线有斜率为，
直线的方程为，
即，
将代入得，
，
则，解得
故直线有斜率时过定点．
【解析】本题考查抛物线的标准方程、抛物线中的定点问题、直线与抛物线位置关系，属于较难题．
利用表示出，即可求出的值，从而得到抛物线的标准方程．
设出直线，、、三点坐标，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理则可表示出，两点坐标间的关系，再写出直线的斜率，最后分斜率存在与不存在讨论即可求解．
22.【答案】解：由题意得，，．
因为为的垂直平分线上的点，所以，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆．
设 ，其中，．
则，，，．
故 ．
结论正确下证：的面积是定值．
由题意得，，，，，且直线的斜率不为，
可设直线，，，且，
由得，
所以，，
所以，
直线的方程为：，直线的方程为：，
由
得，
解得，
故点在直线，所以到的距离，
因此的面积是定值，为．

【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的轨迹问题，圆锥曲线中的定点与定值问题，属于较难题．
根据题意，得出点的轨迹是以，为焦点的椭圆左、右顶点除外，再求解椭圆方程；
设直线，，，且，，联立直线与椭圆方程，，，由推出点在直线，得出到的距离，即可得出的面积是定值．
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