2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高一上学期11月月考数学试题(含解析）

2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高一上学期11月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知函数是定义在上的奇函数，，且时，，则( )
A. B. C. D.
2.下列每组中的两个函数是同一函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与．
3.已知集合，，则
A. B. C. D.
4.函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则使成立的实数的范围是
( )
A. B.
C. D.
5.如果定义在上的奇函数在内是减函数，又有，则的解集为
( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
6.已知二次函数满足，且的最大值是，则此二次函数的解析式为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
8.已知实数，记函数构成的集合已知实数、，若，，则下列结论正确的是( )
A. B. 若，则
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题中正确的是( )
A. 对任意，、均成立
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，且，则
10.已知集合有个元素且集合和集合的元素个数之和为，则集合的子集个数可能是( )
A. B. C. D.
11.已知实数，满足，则下列结论正确的是
( )
A. B. 当时，
C. D.
12.已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是
( )
A.
B.
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，且，则
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数是幂函数，则 ．
14.若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是____________．
15.已知函数是偶函数，则的值域是 ．
16.已知函数，定义域均为，且，，，，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合满足，写出集合所有可能情况；
巳知非空集合，且当时，有，试求所有可能的结果．
18.本小题分
设函数．
将函数写成分段函数的形式并画出其图像；
写出函数的单调递增区间和值域．
19.本小题分
解关于的不等式
20.本小题分
已知函数．
若函数为偶函数，求的值；
若，求函数的单调递增区间．
21.本小题分
若给定集合，对，，有且，则称集合为“好集合”．
判断，是否为“好集合”？只需结果，不需过程
证明：为“好集合”；
若集合，均为“好集合”，则是否一定为“好集合”；如果是，请加以证明，如果不是，请说明理由．
22.本小题分
设函数．
若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
解关于的不等式；
当时，记不等式的解集为，集合若对于任意正数，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】先求出函数的周期，再利用函数的周期性和奇偶性计算求解．
解：因为，
所以函数是周期为的周期函数，
则，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域和对应关系是否一致，根据选项进行分析即可．
解：关于选项A的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，故选项 A错误
关于选项B的定义域为，的定义域为，且，故两个函数解析式相同，故选项 B正确
关于选项C的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，故选项 C错误
关于选项D，两个函数解析式不同，故选项 D错误．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】交集及其运算．
求解一元一次不等式化简，然后利用交集运算得答案．
解：，，
则，．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查利用函数奇偶性与单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题．
根据函数奇偶性与单调性作出函数示意图，根据图象化简不等式，解得结果．
解：因为函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，
所以函数示意图如下，由图可得
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】由可得出或，然后利用单调性可得出不等式的解集．
解：因为，所以当时，，
因为在内是减函数，且有，所以；
当时，，
因为为奇函数，且在内是减函数，从而可知在内是减函数，又有，从而，
所以．
因此，不等式 的解集为．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可．
解：根据题意，由得：图象的对称轴为直线，
设二次函数为，
因的最大值是，所以，当时，，
即二次函数，
由得：，解得：，
则二次函数，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】根据条件分，和三种情况讨论，由，求出的取值范围．
解：显然当时，，不满足条件；
当时，易知，当时，，于是，
而由，可得，即，所以也不满足条件，
当时，函数
因为关于的不等式的解集为，若，则在上，函数的图象应在函数的图象的下方，
如图所示，要使在上，函数的图象在函数的图象的下方，
只要即可，即，
化简可得，解得，
所以的取值范围为．
综上，的取值范围为．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查集合与元素的关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．
根据，，结合其定义以及不等式的性质即可结合选项逐一求解．
【解答】
解：因为，，设，
则，
，
即有，
所以，故D正确；
由于，则，即，
所以，
所以，故C错误；
根据，，
无法得到，故A错误；
由于，
所以，
又，故无法得到，故B错误．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据基本不等式判断．
解：只有当，时，成立，故 A错；
只有当时，，故 B错；
若，则，即，所以，故 C正确；
若，，则，当且仅当时等号成立，故 D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合元素的性质以及子集的定义，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题．
根据已知判断出集合中的元素个数，进而可以求解．
【解答】
解：因为集合有个元素且集合和集合的元素个数之和为，
则集合中的元素个数可能有个，个，个，
所以集合的子集个数可能有个，个，个，
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】由作差法可判断，根据基本不等式可判断．
解：对于，，由于，所以，故，因此，故 A错误，
对于，当时，由于，所以，因此，故 B正确，
对于，由于，所以，所以，故 C正确，
对于，由于，，故 D正确，
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的子集、基本不等式、一元二次不等式和一元二次方程的关系，属于中档题．
根据二次函数零点个数，结合根与系数的关系和基本不等式的应用等逐一判断即可．
【解答】
解：由题知：函数有且只有一个零点，
所以，即．
对，等价于，
显然恒成立，所以A正确；
对，，
当且仅当即时等号成立，所以B正确；
对，因为不等式的解集为，
所以，所以C错误；
对于，因为不等式的解集为，且，
则方程的两根为，
所以，
所以，所以D正确．
故选ABD．
13.【答案】或
【解析】【分析】
根据幂函数的定义，即可求解．
本题考查幂函数的定义，基础题．
【解答】
解：是幂函数，
，解得，或．
故答案为：或．
14.【答案】
【解析】【分析】充分条件与必要条件
解：，由题意可知，实数的取值范围是
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性以及函数的值域，属于中档题．
根据偶函数，求出，的值，得到的解析式，进而求得函数的值域．
【解答】
解：因为是偶函数，
则，解得
所以，
故的值域是．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的周期性，为较难题．
【解答】解：由，得，
．
将，代入，并整理得：
，
．
是以为周期的周期函数．
由可知，也是以为周期的周期函数，．
由得，
又，，解得，
．
注意到，，
．
17.【答案】解：集合满足，
集合所有可能情况为：，，，，，，，．
非空集合，且当时，有，
所有可能的结果为：，，，，，，．
【解析】本题主要考查了集合间的基本关系，考查了元素与集合的关系，是基础题．
利用集合间的包含关系求解．
利用集合间的包含关系以及元素与集合间的关系求解．
18.【答案】解：
当时，，
当时，，
所以
其图像如下所示：
因为，
由图像可得的单调递增区间为，值域为．

【解析】【分析】分和分情况去绝对值即可得到解析式，根据解析式画出图像即可；
根据图像即可得的单调递增区间和值域．
19.【答案】解：当时，不等式为，解得；
当时，不等式变形为，
若，则，
若，，所以，
若时，，
若，则或．
综上所述，当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．

【解析】【分析】本小题主要考查含参数分类讨论一元二次不等式的解法，属于中档题．
当时，变为一元一次不等式来求解；当时，对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集．
20.【答案】解：任取，则有恒成立，
即恒成立，
即恒成立，．
当时，，由函数的图象可知，函数的单调递增区间为：、．

【解析】【分析】函数的奇偶性；函数的图象．
根据恒成立，求得的值；化简函数的解析式，数形结合求得的单调增区间．
21.【答案】解：
不是“好集合”，
是“好集合”；
证明：对，，
存在，，使，，
则，，
，，，，
，，
故集合为“好集合”；
若集合，均为“好集合”，则不一定为“好集合”，
例如，，
易知、为“好集合”，
则或，，
则，，但；
故不是好集合．

【解析】【分析】可判断不是“好集合”，是“好集合”；
对，，存在，，使，，可得，，从而证明；
若集合，均为“好集合”，则不一定为“好集合”，举例，即可．
22.【答案】解：
由题设，又有且只有一个元素，
所以有且仅有一个根，
当时，，即，则，满足题设；
当时，，即，则，满足题设；
所以的取值集合为．
由题设，整理得，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
由，恒有，故，
且，故开口向上且，故对应一元二次方程恒有两个不等实根，且在轴两侧，
因为，即在上有解，且，
又区间关于对称，且区间长度，
综上，只需保证，则，且，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为．

【解析】【分析】第三问，将问题转化为在上有解，且，根据区间的特点得到．
由题设有且仅有一个根，讨论参数，结合函数性质求参数值；
由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集；
由题意在上有解，且，而区间关于对称，且区间长度为，进而只需保证得到参数的数量关系，应用基本不等式“”的代换求最值即可，注意取值条件．
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