山东省菏泽市重点中学校2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（含解析）

菏泽市重点中学校2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为，若它的两底面边长分别为和，则此时鱼塘的水深
( )
A. B. C. D.
3. 非零实数，，满足，，成等差数列，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
4.设数列的前项和为，点均在函数的图象上，，则数列的前项之和为
( )
A. B. C. D.
5.设函数，则( )
A. 在单调递增 B. 在上存在最大值
C. 在定义域内存在最值 D. 在上存在最小值
6.已知，则下列结论正确的是
( )
A. B. C. D.
7.函数的单调增区间为( )
A. B.
C. D.
8.已知是边长为的等边三角形，，当三棱锥体积取最大时，其外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.定义满足以下两个性质的有穷数列，，，，为阶“理想数列”
，
则以下说法正确的是( )
A. 若为阶“理想数列”，则不可能是等比数列
B. 存在阶“理想数列”，使得
C. 若公差为正的等差数列是阶“理想数列”，则
D. 记阶“理想数列”的前项和为，，则
10.已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，则
( )
A. ，，，则
B. ，且，则
C. ，，且，则
D. ，，，则
11.已知函数，下列说法正确的是
．( )
A. 是周期函数 B. 函数的最小值为
C. 函数在，上单调递增 D. 在上有两解
12.“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧、内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图；它的画法是这样的：正方形的边长为，取正方形各边的四等分，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，作第个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，，，；如图阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，，，下列说法正确的是( )
A. 数列是以为首项，为公比的等比数列
B. 从正方形开始，连续个正方形的面积之和为
C. 使得不等式成立的的最大值为
D. 数列的前项和
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若一个偶函数的值域为，则这个函数的解析式可以是__________．
14.已知向量，，满足，，若对任意模为的向量，均有，则向量，的夹角的取值范围为 ．
15.若，且，则实数的值为 ．
16.某生物科学研究院为了研究新科研项目需建筑如图所示的
生态穹顶
建筑不计厚度，长度单位：，其中上方为半球形，下方为圆柱形，按照设计要求
生态穹顶
建筑的容积为 ，且其中为圆柱的高，为半球的半径，假设该
生态穹顶
建筑的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为万元，当__ 时该
生态穹顶
建筑的总建造费用最少公式：，
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，若
且．
求角的值；
若，且的面积为，求边上的中线的长．
18.本小题分
已知等差数列满足：，，其前项和为．
求数列的通项公式与前项和
若，求数列的前项和．
19.本小题分
已知平面向量，，记，
对于，不等式其中恒成立，求的最大值．若的内角，，所对的边分别为，，，且，，，成等比数列，求的值．
20.本小题分
在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，，平面，，点为中点．
在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由；
请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值
； ．
21.本小题分
已知数列的前项和为，且___请在；是公差为的等差数列；是公比为的等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
求的通项公式
在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，数列的前项和证明：
22.本小题分
已知，且，函数．
设，函数若，证明：；
若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，设，，是函数的图象上两点，若存在，使得，试比较、与的大小，并说明理由．
菏泽市重点中学校2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合运算，属于基础题．
【解答】
解：集合，，则
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了台体的体积公式，属于基础题．
根据棱台的体积公式可由体积直接计算出水深．
【解答】
解：由于台体的体积，
则 ．
故此时水深为．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的求解，注意等差数列性质的使用，属于中档题．
【解答】
解：，，成等差数列，则有，则有，
则，
，当且仅当时取等号．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式，裂项法求和，属于中档题．
【解答】
解：由已知得，故
当时，，解得，
故是以为首项，为公比的等比数列，，
，

5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究三角函数的单调性，属于难题．
【解答】
解：，
则，
当时，存在使得，
则时单调递减时单调递增，故A错误
当时，在上不存在最大值，故B错误；
易知函数的周期为，定义域关于原点对称，且为奇函数，
当时单调递减时单调递增，时单调递增，即当时，，
由奇偶性得时，，故在定义域内不存在最值，故C错误
若令，则在上单调递增，且，，
结果前面分析的单调性可知，
故答案选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查指数、对数函数性质，考查数学抽象、数学运算等核心素养，体现试题的综合性，解决本题首先用均值不等式放缩，比较和，也可用换底公式；比较和需要构造函数和运用对数运算性质本题属于较难题．
【解答】
解：由题知，、均在和之间，
，于是，
又易证时，，所以，
，于是
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质、单调区间、复合函数的单调性，令，根据二次函数的性质求出的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的单调增区间，本题属于基础题．
【解答】
解：设，则有且；，
所以函数的定义域为：且，
由二次函数的性质可知的单调递增区间为，；单调递减区间为：；又因为在区间和上单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题以三棱锥为载体，考查了多面体及其外接球的体积计算，根据球心在各面的射影为三角形的外心，运用正弦定理可得答案．本题属于中档题．
【解答】
解：由题可知，平面平面，且时，三棱锥体积达到最大，如右图所示，
则点，点分别为，的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点．
点是此三棱锥外接球的球心，即为球的半径．
在中，，，由正弦定理可知，，，
延长交于点，延长交于点，四边形是矩形，且平面，则有，又，
．
．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题是新定义数列问题，考查在新的情境下对知识的理解和转化．
【解答】解：对于当时，假设是等比数列，则，
因为，而无解，故不可能是等比数列，A正确
对于由条件可知，，，从而，不正确
对于设公差为，则，则，
又，
则，
即，
，有，
则，，C正确
对于设阶“理想数列”的所有非负数项之和为，所有负数项之和为，
则，，即，，当所有非负数项一起构成，最大为，即，
当所有负数项一起构成，最小为，即，D正确
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，由直线与直线、直线与平面、平面与平面平行垂直定理可以分析判断出正确结论．本题是基础题．
【解答】
解：若，，，与有可能是异面直线，故错误；
因为且，可得出，再由，可得出，故正确；
若，，则，又，所以，故正确；
若，，则或，又，则，故正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正余弦函数的图像性质，考查考查函数图象的对称性、单调性、周期性和零点，涉及到二倍角公式，分类讨论思想等，利用分段函数画出一个周期图像，可分析出正确选项本题属于中档题．
【解答】
，
是以为周期的函数，故A正确．
对于，，时，函数的最小值为，故B错误
对于，当时，，
在上单调递减，故C错误
对于，，
，在上有两解，故D正确
故本题选AD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数学建模、数学运算等核心素养通过建模，找到规律，得到，推导出等比数列，求出通项公式，再利用求和公式计算，可以判断出各选项正确性．本题属于难题．
【解答】
解：由题意， ，
，， ，
于是数列是以为首项，为公比的等比数列，则故A正确．
由题意可得：，
即，于是．
对，连续三个正方形面积之和为：，正确；
对，令，而，错误；
对，，正确．
故选：．
13.【答案】，答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查函数的性质及应用，考查运算求解能力，
取，，验证函数为偶函数且值域为即可．本题是基础题．
【解答】
解：取，，函数的定义域关于坐标原点对称，且，函数为偶函数，
当时，，，满足题意．
故答案为：，答案不唯一．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量数量积的应用，首先要根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系放缩，再通过向量平方去掉模，最后解三角不等式本题综合性较强本题属于难题．
【解答】
解：由，，若对任意模为的向量，均有，
由三角不等式得，
，因为向量为任意模为的向量，所以当向量与向量夹角为时，上式也成立设向量，的夹角为．
，
平方得到，即，即，
同时，
平方得到，即，即，
综上，即，
向量，的夹角的取值范围
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
分别令和可得系数的和与奇数项与偶数项系数的差，进而利用平方差公式整体代入可得关于的方程，求解即可．
【解答】解：在中，
令得，
令得，
所以
，
所以，实数的值为
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了组合体的表面积和体积，以及导数在实际问题中的应用，属于难题．
根据题意确定总建造费用与半径的函数关系式，再利用导数确定总建造费用最少时的值．
【解答】
解：设该建筑的容积为，由题意，知，
又，故
由于，因此，
设建筑的总建造费用为万元，则，
于是，
由于，所以，
当时，，
所以在上单调递减，
故当时，建筑的总建造费用取最小值．
17.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
即，
因为，得，
又即，
所以，可得．
由知，若，则，可得，
则，
所以，舍，
又在中，，
所以
，
所以．

【解析】本题考查两角和的正弦公式，三角形的面积公式，正、余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知等式可求，由范围，进而可得的值．
由已知利用三角形的面积公式可求的值，在中，利用余弦定理即可求解的值本题属于较易题．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，首项为，
则，
解得：，，
，
．
，
数列的前项和为
．
【解析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项相消求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用已知条件列方程组可求出等差数列的通项公式，套用求和公式可得出．
利用裂项相消求和方法即可得出前项和为．
19.【答案】解：由，，
得
又，则，故，
，故，，
则的最大值为
又，得，
因为，，成等比数列，所以
由正弦定理，得
又
故
【解析】本题考查平面向量的数量积，三角函数的恒成立问题，三角恒等变换的综合应用，及利用正弦定理解三角形，属于中档题．
20.【答案】解
连接交于点，连接，，取的中点，
连接，，可得平面平面．
理由：因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面，
因为点与点分别为与的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
而，平面平面；
选择，
在中，，，
由余弦定理知，取中点，连接，，
在中，，，所以，
因为是正三角形，所以，
因为，所以平面，
平面，，，
以为原点分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
以，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，故，
同理可求得平面的法向量，可求得，所以
为．
若选：
由可知，，取中点，连接，，，
在中，，，，所以，
因为是正三角形，所以，
又，，平面，
则平面，
因为是正三角形，所以，
因为，所以平面，
平面，，，
同选择的方法，可求得为．

【解析】本题考查面面平行的判定，利用空间向量求二面角的余弦值．
由题意根据条件求出平面，平面，再根据面面平行的判定定理求出答案．
属于结构不良题型，需要从两个条件选一个解答．
若选，在中，利用，求出，取中点，连接，，从而证明，，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，再利用法向量求二面角即可．
若选，由，求出，取中点，连接，，，从而证明，，仿照选的方法可求二面角．本题属于较难题．
21.【答案】解：若选：当时，，所以，
故因为
所以，则，
累加得故，
当时，满足，故．
若选，数列是公差为的等差数列，首项为，
故，则，
两式相减得，则，累加得，
当时，满足，故．
若选，数列是公比为的等比数列，首项为，
故，则，
累加得故，
当时，满足，故．
由于，所以
所以，
故，
，得
，
即．
【解析】本题考查求数列的通项公式，错位相减法求和，考查数列与不等式问题，属于中档题．
22.【答案】解：，是增函数，
若，则，令，则，
故，，
当，即时，，
当即时，当时，，故．
因为函数，且的图象与函数的图象关于直线对称，所以，且，因为点在函数的图象上，所以．
，
由得，，
，
，，
令，
在上，，
所以在上为增函数，
当时，，即，从而．
同理可证，于是
【解析】本题考查对数函数、二次函数的性质，第一问通过换元把问题转化为二次函数最值问题，对最大值配方可证不等式成立第二问先求出，再由得，，作差：，构造函数，利用导数可判断的单调性，借助单调性即可判断差的正负号，从而得到结论本题属于难题．