4 探索三角形相似的条件
第1课时 两角分别相等的两个三角形相似
教学目标：
1.理解相似三角形的概念.
2.掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法;能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
3.经历两个三角形相似的探索过程,进一步提高学生的探究、交流能力.培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
教学重难点：
重点:掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法.
难点:“两角分别相等的两个三角形相似”的归纳及运用.
教学过程：
导入新课
1.什么叫相似多边形
解:对应角相等,对应边成比例的多边形叫相似多边形.
2.相似多边形有哪些性质
解:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
3.已知,如图所示的两个四边形相似,则∠α的度数是(A)
A.87° B.60° C.75° D.120°
讲授新课
知识点1 相似三角形概念及性质
如图所示,在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF,则∠BAC的度数为 135° .
[归纳] (1)概念:三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫相似三角形;
(2)性质:①相似三角形的对应角相等,对应边成比例;②全等三角形是相似三角形的一种特殊情况(相似比为1).
知识点2 相似三角形的判定定理1
动手操作:与同伴合作,两人分别画△ABC和△A'B'C',使得∠A=∠A'=30°,∠B=∠B'=45°.
这两个三角形相似吗 ∠C=∠C'吗 量出这两个三角形的三边,计算对应边是否对应成比例 由此你可以得出什么结论
[归纳] 两角对应相等的两个三角形相似.
范例应用
例1 如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB边上一点,连接CE,F为CE上一点,且∠DFE=∠A.求证:△DCF∽△CEB.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,DC∥AB.
∴∠A+∠B=180°,∠DCF=∠BEC.
∵∠DFC+∠DFE=180°,∠DFE=∠A,
∴∠DFC=∠B.
∴△DCF∽△CEB.
[方法归纳] 根据已有条件能得出两个三角形已有一对角相等,故只要看是否还有一对角相等即可.一般地,在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角(或等角)的余角”等隐含条件.
例2 如图所示,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,使得AE⊥DE.
(1)求证:△ABE∽△ECD;
(2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长.
(1)证明:∵AB⊥BC,DC⊥BC,
∴∠B=∠C=90°,∠BAE+∠AEB=90°.
∵AE⊥DE,
∴∠AED=90°.
∴∠AEB+∠DEC=90°.
∴∠BAE=∠DEC.
∴△ABE∽△ECD.
(2)解:在Rt△ABE中,∵AB=4,AE=5,
∴BE==3.
∵BC=5,∴EC=5-3=2.
由(1),得△ABE∽△ECD,
∴ =.
∴=.
∴CD=.
[方法归纳] 利用相似三角形的性质可以求线段的长度和角的度数.解题关键是先判断出两个三角形相似,然后找准对应边和对应角.
课堂训练
1.下列说法正确的是(D)
A.两个直角三角形相似 B.有一组角对应相等的两个三角形相似
C.有一个角为40°的两个等腰三角形相似 D.有一个角为100°的两个等腰三角形相似
2.如图所示,AB∥CD∥EF,则图中相似三角形的对数是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
第2题图 第3题图
3.如图所示,△ABC的高AD,BE相交于点O,写出一个与△AOE相似的三角形,这个三角形可以是 △BOD(答案不唯一) .
4.已知:如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,求证:△ACD∽△CBD.
证明:∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCD=90°.
∴∠A=∠BCD.
∴△ACD∽△CBD.
5.如图所示,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且△ACP∽△PDB.
(1)求∠APB的度数;
(2)说明线段AC,CD,BD之间的数量关系.
解:(1)∵△PCD是等边三角形,
∴∠PCD=60°.
∴∠A+∠APC=60°.
∵△ACP∽△PDB,
∴∠APC=∠PBD.
∴∠A+∠B=60°.
∴∠APB=120°.
(2)∵△ACP∽△PDB,
∴=.
∴CD2=AC·BD.
小结
1.相似三角形
(1)定义:三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形;
(2)表示方法:若△ABC与△A'B'C'相似,记作△ABC∽△A'B'C',读作△ABC相似于△A'B'C'.
2.相似三角形的判定方法一
(1)两角分别相等的两个三角形相似;
(2)应用格式:因为∠A=∠D,∠B=∠E,
所以△ABC∽△DEF.
板书
4 探索三角形相似的条件
第1课时 两角分别相等的两个三角形相似
1.相似三角形的定义:三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫相似三角形.
2.相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似.
反思
感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的合情推理能力,培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.4 探索三角形相似的条件
第3课时 三边成比例的两个三角形相似
教学目标：
1.掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法;能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
2.经历两个三角形相似的探索过程,进一步提高学生的探究、交流能力.
3.培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
教学重难点：
重点:相似三角形判定定理3的掌握.
难点:相似三角形判定方法的归纳与运用.
教学过程：
导入新课
1.什么样的三角形叫做相似三角形
解:三角分别相等,三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形.
2.你学过哪些判定三角形相似的方法
解:相似三角形的定义;两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,其中的角必须是夹角.
新课讲授
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
动手操作:画△ABC和△A'B'C',使AB=1.5 cm,BC=2.5 cm,AC=2 cm;A'B'=3 cm,B'C'=5 cm,A'C'=4 cm.度量这两个三角形的对应角,它们相等吗 这两个三角形相似吗
解:对应角相等,两个三角形相似.
[归纳] 三边成比例的两个三角形相似.
知识点2 三角形相似判定方法的灵活应用
根据下列条件.可以判定△ABC与△A'B'C'相似的条件有(C)
①∠C=∠C'=90°,∠A=25°,∠B'=65°;
②∠C=90°,AC=6 cm,BC=4 cm,∠C'=90°,A'C'=9 cm,B'C'=6 cm;
③AB=10 cm,BC=12 cm,AC=15 cm,A'B'=150 cm,B'C'=180 cm,A'C'=225 cm;
④△ABC与△A'B'C'是有一个角为80°的等腰三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
范例应用
例1 如图所示,△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中,它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置,试判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由.
解:相似.理由如下:
∵AB==,BC=5,AC==,DE=1,EF==,DF=,
∴ =, = =, ==.
∴ = =.
∴△ABC∽△DEF.
[方法归纳] 已知两个三角形三边的大小,要判断它们是否相似,关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中,最短(长)边与最短(长)边是对应边,所以在判定两个三角形的三边是否成比例时,应先确定边的大小,以便找准对应关系.
例2 如图所示,已知 =.
(1)添加条件 (答案不唯一,写出一个即可),使得△ABC∽△ADE;
(2)在(1)的条件下,你还能得到哪两个三角形相似 说明理由.
解:(1)∠BAC=∠DAE,或者 =.
(2)△AOE∽△DOC.理由如下:
∵△ABC∽△ADE,
∴∠E=∠C.
∵∠AOE=∠COD(对顶角相等),
∴△AOE∽△DOC.
课堂训练
1.如图所示,在下列方格纸中的四个三角形,是相似三角形的是(B)
A.①和② B.①和③ C.②和③ D.②和④
2.如图所示,在5×6的方格纸中,画有格点△EFG,下列选项中的格点,与E,G两点构成的三角形中和△EFG相似的是(D)
A.点A B.点B C.点C D.点D
3.在下列条件中,不能判断△ABC与△DEF相似的是(B)
A.∠A=∠D,∠B=∠E B.=且∠B=∠E C.== D.=且∠A=∠D
4.△ABC的三边长为,,2,△A'B'C'的两边长为1,,要使△ABC∽△A'B'C',那么△A'B'C'的第三条边长是 .
5.如图所示,已知 = =.求证:∠ABD=∠CBE.
证明:∵ = =,
∴△ABC∽△DBE.
∴∠ABC=∠DBE,
则∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC,
即∠ABD=∠CBE.
小结
相似三角形的判定方法三
1.三边成比例的两个三角形相似.
2.应用格式:如图所示,因为 = =,所以△ABC∽△DEF.
板书
第3课时 三边成比例的两个三角形相似
1.三边成比例的两个三角形相似.
2.例题.
反思
从学生已学的知识入手,通过设置问题,引导学生进行计算、推理和归纳,提高分析问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理(SSS)的区别与联系,体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从试验探究到归纳证明的过程,发展学生的合情推理能力,培养学生与他人交流、合作的意识和品质.4 探索三角形相似的条件
第2课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
教学目标：
1.掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法;能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
2.经历两个三角形相似的探索过程,体验用类比、试验操作、分析归纳得出数学结论的过程,激发学生探索知识的兴趣,体验数学活动的探索性和创造性.
教学重难点：
重点:掌握相似三角形的判定定理2,会运用该定理判定两个三角形相似.
难点:相似三角形的判定定理2的归纳及运用.
教学过程：
导入新课
1.什么是相似三角形 相似三角形具备哪些性质
解:三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫相似三角形.
相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
2.判断两个三角形相似你有什么方法
解:相似三角形的定义,相似三角形的判定定理1.
3.如图所示,已知DE∥BC,AE=5 cm,EC=3 cm,BC=7 cm,∠BAC=45°,∠C=40°.
(1)求∠AED和∠ADE的大小;
(2)求DE的长.
解:(1)∵∠BAC=45°,∠C=40°,
∴∠B=180°-45°-40°=95°.
∵DE∥BC,
∴∠AED=∠C=40°,∠ADE=∠B=95°.
(2)∵∠AED=∠C,∠ADE=∠B,
∴△ADE∽△ABC.
∴ =,
即 =,
解得DE= cm.
新课讲授
知识点1 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
动手操作:画△ABC与△A'B'C',使∠A=∠A',和都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B'的大小(或∠C与∠C'的大小),△ABC与△A'B'C' 相似吗
解:可得到∠B=∠B',∠C=∠C',
从而得到△ABC∽△A'B'C'.
[归纳] 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
知识点2 两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似
动手操作:画△ABC与△A'B'C',使∠B=∠B',和都等于给定的值k.设法比较∠A与∠A'的大小(或∠C与∠C'的大小),△ABC与△A'B'C' 相似吗
解:如图所示,∠A与∠A'、∠C与∠C'不一定相等,所以这两个三角形不一定相似.
[归纳] 用两边成比例且一角相等判断三角形相似时,其中的角必须是夹角.
范例应用
例1 如图所示,已知AB∥DC,点E,F在线段BD上,AB=2DC,BE=2DF.求证:△ABE∽△CDF.
证明:∵AB∥DC,
∴∠B=∠D.
∵AB=2DC,BE=2DF,
∴AB∶DC=BE∶DF=2.
∴△ABE∽△CDF.
例2 如图所示,已知∠B=∠C=90°,点E在BC上,且满足AB=4,BE=2,CE=6,CD=3.求证:AE⊥DE.
证明:∵AB=4,BE=2,CE=6,CD=3,
∴ =.
∵∠B=∠C=90°,
∴△ABE∽△ECD.
∴∠A=∠CED.
∵∠B=90°,
∴∠A+∠AEB=90°.
∴∠CED+∠AEB=90°.
∴∠AED=180°-∠AEB-∠CED=90°.
∴AE⊥ED.
课堂训练
1.下列可以判定△ABC∽△A'B'C'的条件是(C)
A.∠A=∠B'=∠C' B.=且∠C=∠C' C.=且∠A=∠A' D.以上条件都不对
2.如图所示,下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是(D)
A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB C.AC2=AD·AB D.BC2=BD·AB
第2题图 第3题图
3.如图所示,在△ABC中,P是AB边上一点(与A,B不重合),过点P作直线截△ABC,所截得的三角形与原△ABC相似,满足这样条件的直线共有 4 条.
4.在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=105°,AC=4 cm,AB=6 cm,DE=3 cm,则DF= 2 cm或4.5 cm 时,△ABC与△DEF相似.
5.如图所示,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DC与BE相交于点O,且DO=2,BO=DC=6,OE=3.
(1)求证:△DOE∽△COB;
(2)如果AD=5,那么AB的长是多少
解:(1)∵OD=2,DC=6,
∴OC=4.
∴ =, =.
∴ =.
又∠DOE=∠COB,
∴△DOE∽△COB.
(2)∵△DOE∽△COB,
∴∠EDC=∠DCB.
∴DE∥BC.
∴△ADE∽△ABC.
∴ = = =.
∴AB=2AD=2×5=10.
小结
相似三角形的判定方法二
1.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.应用格式:因为 =,∠A=∠D,
所以△ABC∽△DEF.
板书
第2课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1.相似三角形的判定定理2.
2.例题.
反思
经历两个三角形相似的探索过程,体验分析归纳得出数学结论的过程,培养学生的观察、发现、比较、归纳能力,进一步提高学生的探究、交流能力.4 探索三角形相似的条件
第4课时 黄金分割
教学目标：
1.知道黄金分割的定义,会找一条线段的黄金分割点,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
2.通过找一条线段的黄金分割点,培养学生的理解与动手能力.
3.让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.
教学重难点：
重点:了解黄金分割的意义,并能运用.
难点:找黄金分割点.
教学过程
导入新课
通过观察,你觉得下面那幅图最有美感
讲授新课
知识点1 黄金分割
1.一个五角星如图所示.
(1)用刻度尺分别度量线段AC,BC的长度,然后计算,,它们的值相等吗
(2)从图中找出两对相似比不同的相似三角形.
解:(1)相等.
(2)△ADC∽△DIC,△DIC∽△EIB.
[归纳] 一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果=,那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
2.如上图,你能计算AC∶AB的值吗
解:由题意,得 =,即AC2=AB·BC.
设AB=1,AC=x,则BC=1-x,
所以x2=1×(1-x),
解得x1=,x2=(舍去).
∴AC∶AB=≈0.618.
知识点2 作黄金分割点
如图所示,已知线段AB,按照如下方法作图:
(1)经过点B作BD⊥AB,使BD=AB;
(2)连接DA,在DA上截取DE=DB;
(3)在AB上截取AC=AE,则点C为线段AB的黄金分割点.
范例应用
例1 如图所示的是一种贝壳的俯视图,点C分线段AB近似于黄金分割,且点C靠近点B,已知AB=10 cm,则AC的长约为 6.2 cm.(结果精确到0.1 cm)
例2 在人体躯干与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的身高为1.60 m,她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美
解:设肚脐到脚底的距离为x m,根据题意,得
=0.60,解得x=0.96.
设穿上y m高的高跟鞋看起来会更美,则 =0.618,解得y≈0.075,
而0.075 m=7.5 cm.
答:她应该穿约为7.5 cm高的高跟鞋看起来会更美.
课堂训练
1.如果点P是线段AB的黄金分割点,且APA.+1 B.-1 C. D.
2.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,若AB=2,则BC的值为(A)
A.3- B.1+ C.-1 D.-2
3.如图所示,某人跳芭蕾舞,踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长.若以裙子腰节为分界点,身材比例正好符合黄金分割,已知从脚尖到头顶高度为176 cm,那么裙子的腰节到脚尖的距离为 (88-88) cm.(结果保留根号)
4.如图所示,以矩形ABCD的宽为边作正方形AEFD,若矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值,则将矩形ABCD称为“黄金矩形”.若AD=2,求BE的长.
解:∵四边形AEFD是正方形,
∴AE=AD=2.
∵矩形ABCD为黄金矩形,
∴AD=AB,
即2=AB.
解得AB=+1.
∴BE=AB-AE=+1-2=-1.
5.如图所示,以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.
(1)求AM,DM的长;
(2)点M是AD的黄金分割点吗 为什么
解:(1)在Rt△APD中,AP=1,AD=2,
由勾股定理,知
PD===,
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=-1,
DM=AD-AM=3-.
故AM的长为-1,DM的长为3-.
(2)点M是AD的黄金分割点.理由如下:
由于 =,
∴点M是AD的黄金分割点.
小结
黄金分割
一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果=,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,其比值为≈0.618.
板书
第4课时 黄金分割
1.黄金分割的概念及黄金比.
2.黄金分割点的作法.
反思
经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程,通过问题情境的创设和解决过程,体会黄金分割的文化价值,在应用中进一步理解相关内容,在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心.感受数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的兴趣.
