滨城高中联盟 2023-2024学年度上学期高三期中Ⅱ考试
数学试卷
第Ⅰ卷（共 60分）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
2
1.已知 R是实数集，M = { | < 1}，N = {y│y = √1 }则M ∪ =（ ）
A.R B.[0， +∞) C.(2， +∞) D.( ∞，1] ∪ (2，+∞)
2. 在复平面内，复数 z 的对应点为(1, - 1) ，则 2 =（ ）
A. 2 B.-2 C. 2i D. 2i
3. 已知m，n为两条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列命题正确的
是（ ）
A. 若m / / ，n// ，则m // n
B. 若m ，n ，m / / ，n// ，则 //
C. 若m⊥ ，n// ， ⊥ ，则m⊥ n
D. 若 ⊥ ， ⊥ ，且 = m ，则m⊥
4．设{ }是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q 0”是“对任意的正整数 n，
a2n 1 +a2n 0”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
5. 8月 29日，华为在官方网站发布了 Mate60 手机，其中大部分件已实现国产化，5G
S
技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =W log2 1+ ，
N
它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信
S
号的平均功率S 以及信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 叫做信噪比．当信噪
N
比比较大时，公式中真数中的 1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而
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将信噪比从 1000提升至 5000，则 C大约增加了（ ）（参考数值： lg2 0.301）
A. 43% B. 33% C. 23% D. 13%
6.在四面体 ABCD中， AD ⊥底面 ABC ， AB = AC = 10，BC = 2，点G 为三角形
244
ABC 的重心，若四面体 ABCD的外接球的表面积为 ，则 tan AGD =（ ）
9
1 2
A. B. 2 C. D. √2
2 2
x2 y2
7.设F1, F2 是双曲线C : =1(a 0,b 0)的左，右焦点，点 P在 C上，若
a2 b2
F1PF2 = ，且 |OP |= 2a (O为坐标原点)，则 C的渐近线方程为（ ）
3
A. y = x B. y = 2x
C. y = 3x D. y = 2x
8.已知实数x x1、 2满足
1
1 =
4； 82( 2 4) = ，则 x1x2 =（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分．
9.已知实数a b 0，则下列不等式成立的是（ ）
b b + 2 1 1
A. B. a + b+
a a + 2 b a
a +b lg a + lgb
C. ab ba D. lg
2 2
10.抛物线C: 2=4x的焦点为F，过点F的直线 交抛物线C于A、B两点（点A在x 轴的下
方），则下列结论正确的是（ ）
A.若| |=8，则AB中点到y轴的距离为 4 B.弦AB中点的轨迹为抛物线
C.若 = 3 ，则直线AB斜 率 k = 3 D.4| | + | | ≥ 9
1 1
11.已知函数 f (x) = + ，在下列结论中正确的是（ ）
sin x cos x
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π
A．2π是 f ( x)的一个周期 B. f ( x)的图象关于直线 x = 对称
4
π π
C. f ( x)在区间 ,0 上无最大值 D. f ( x)在区间 ,0 上有最小值
2 2
12. 已知四棱锥P ABCD，底面 ABCD是正方形，PA ⊥平面 ABCD，
PA = AD = 2，点M 在平面 ABCD上，且 AM = AD(0 1)，则（ ）
π
A. 存在 ，使得直线 PB与 AM 所成角为
6
B. 不存在 ，使得平面PAB ⊥平面PBM
C. 当 一定时，点 P 与点M 轨迹上所有的点连线和平面 ABCD围成的几何体的
2
外接球的表面积为4( 2 +1) π
2
D. 若 = ，以 P 为球心，PM 为半径的球面与四棱琟P ABCD各面的交线
2
2 + 6
长为 π
2
第Ⅱ卷（共 90 分）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13. 已知正四棱台ABCD 1 1 1 1中，AB = 3 1 1 = 3， 1 = √6，则其体积为______．
1
14. 若函数 f (x) = x3 + x2 2 在区间 (a 4,a)上存在最小值，则实数a的取值范围
3
______．
15. 已知数列 a *n 满足a = 2，a = 5， a + 4a1 2 n+2 n = 5an+1，n N ，设
2023
bn = log4an+1 ，其中 x 表示不超过 x的最大整数， Sn 为数列 的前 n项和，
bnbn+1
若 Sn = 2021，则正整数 n的取值范围为__________.
16．古希腊数学家阿波罗尼奥斯详尽、系统的研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了
圆锥曲线的光学性质。如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，
反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线 ′表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直
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线。如图乙，椭圆C的中心在坐标原点， 1、 2分别是其左、右焦点，直线 与椭圆C相
切于点P（ 点 P在第一象限），过点P 且与切线 垂直的法线 ′与x轴交于点Q，若直线 2
的斜率为 2，| | = | 2|，则椭圆C的离心率为__________.
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分 10分）
已知圆 M的圆心与点 N( 1,4)关于直线x y + 1 = 0对称，且圆 M与 y轴相切于原点O.
(1) 求圆 M的方程;
(2) 若在圆 M中存在弦AB，| | = 4，且弦AB中点 P在直线2x + y + k = 0上，求实数k的
取值范围。
18.（本小题满分 12分）
已知a,b,c是 ABC的内角 A,B,C 的对边， AD 是BC 边上的中线，设 BAD = ，
且 +C = 900 .
（1）试判断 ABC的形状；
（2）若b = 8,c = 6，试求 ADC的余弦值。
19.（本小题满分 12分）
已知 为数列{ } 的前 n项和， 1 = 2， +1 = +4 3，记 = 2( 1)+3
（1） 求数列{ }的通项公式；
1+ 2
（2） 已知 = ( 1)
+1 ，记数列{ }的前 n 项和为 ，求证： ≥ 。 +1 21
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20．（本小题满分 12分）
如图，在多面体 ABCDE 中，平面 ACD ⊥平面 ABC，BE ⊥平面 ABC， ABC 和 ACD均为正
三角形， AC = 2，BE = 3，点 M为线段 CD上一点．
(1)求证：DE ⊥ AM ；
π
(2)若直线 EM 与平面 ACD 所成角为 ，求平面 AMB 与平面 ACD
3
所成锐二面角的余弦值。
21. （本小题满分 12分）
在平面直角坐标系 xOy中，点 P到点F (1,0)的距离比到 y轴的距离大 1，记点 P的轨迹
为曲线 C．
（1）求曲线 C的方程；
x2 y2
（2）过点 F 且斜率不为零的直线 交椭圆 E： + =1于 A，B 两点，交曲线 C 于 M，
4 3
1
N两点，若 为定值，求实数 λ的值。
AB MN
22. （本小题满分 12分）
已知函数 f (x) = asinx ln (1+ x)．
（1）若对 x ( 1,0 时， f (x) 0，求正实数 a的最大值；
n 1
（2）证明： sin ln22 。
k=2 k
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数学试卷答案
一、单项选择题：1-4 ACDB 5-8 CBAD
二、多项选择题：9. ABD 10.BCD 11. CD 12. BCD
26
三、13. 14. 1 a 4 15. 1011 n 2021,n N 16. 53 2
四．解答题
4 = 1
17、解：(1)设 M 坐标 ， ，则 +1 1 +4 + 1 = 0
2 2
= 3
解得 = 0，即 M 坐标 3，0
∵ 圆 M与 y轴相切于 O ∴ 圆 M方程 3 2 + 2 = 9. …………… 5分
(2)∵ = 4,圆 半径 3，∴ PM = 5
∴ P 轨迹是以 M为圆心， 5为半径的圆，
又 P在直线 2x + y + k = 0 6+ 上， ∴直线与圆有公共点，即 ≤ 5，
5
∴ 11 ≤ k ≤ 1 ………… 10 分
0 0
18、 CAD B 90解： （1）设 ，因为 C 90 ，所以 ，
在 ABC中， AD 是 BC 边上的中线，所以 BD DC ，
AD BD BD
在 ABD中，由正弦定理及诱导公式可得 = ，
sin B sin cosC
AD DC = DC在 ACD中，由正弦定理及诱导公式可得 sinC sin cos B ，
sin B sinC
所以 ，即 sin 2B= sin 2C ，
cosC cosB
ABC B C ∈ 0 在 中， 、 ， ，所以 B=C 或 B C 900，2
因此 ABC的形状是等腰三角形或是直角三角形. ……………………………6分
（2）因为 b 8, c 6 ，所以 B C，
由（1）可知 ABC的形状是直角三角形.
且 A 900 ，所以 a2 b2 c2 100所以 AD BD DC=5，
在 ACD中，由余弦定理可得，
2 2 2
所以 cos ADC
AD DC b 25 25 64 7
.……………………………12 分
2AD DC 2 25 25
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19（1）由 +1 = +4 3，得 +1 =4 3 ∴ +1 = 4 3，
则 +1 1 = 4 1 ， 1 1 = 2 1 = 1 ≠ 0，∴ 1 ≠ 0
∴数列 1 是以 1为首项，4为公比的等比数列
∴ 1 = 4 1 = 22 2
∵ = 2 1 +3
∴ = 222 2+3= 2n + 1 …………… 6分
（2）∵ = 1 +1
1+
+1
∴ = 1 +1
2 +2
2 +1 2 +3 = 1
+1 1 1 + 1
2 2 +1 2 +3
∴ = 1 + 2 + 3 +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= + + + + + 1 +1 +
2 3 5 5 7 7 9 2 + 1 2 + 3
当 1 1 1 1 2为奇数时， = + > >2 3 2 +3 6 21
当 1 1 1为偶数时， = ，由2 3 2 +3 +2 > 0，可知 是递增数列，
∴ ≥
2 2
2 = ∴ ≥ …………… 12 分21 21
20．解：（1）取 AC中点 O，连接 DO、OB，
在正 ACD和正 ABC中， AC 2，则DO AC,BO AC,DO BO 3，
而平面 ACD 平面 ABC，平面 ACD 平面 ABC AC，DO 平面 ACD，BO 平面ABC，
于是 DO 平面 ABC，BO 平面 ACD，
又 BE 平面 ABC，即有DO / /EB，
而DO EB 3．因此四边形 DOBE是平行四边形，
则DE / /OB，从而DE 平面 ADC，
AM 平面 ADC，所以DE AM . …………… 6分
（2）由（1）知，DE 平面 ADC， EMD为 EM与
π
平面 ADC所成的角，即 EMD ，………7 分
3
DM DE 3 1
在Rt△EDM 中， π 3 ，即 M为 DCtan
3
中点， …………… 8 分
由（1）知，OB,OC,OD两两垂直，建立如图所示的空
间直角坐标系O xyz，
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则 A(0, 1,0),B( 3,0,0),D(0,0, 3),C(0,1,0),M (0, 1, 3) ，
2 2
AB ( 3,1,0),AM (0, 3, 3) ，显然平面 DAC的一个法向量为n (1,0,0)，
2 2 1
设平面 MAB的一个法向量为 n2 (x, y, z)，
n AB 3x y 0
2
则 3 3 ，令 x 1，得 nn AM y z 0 2
(1, 3,3)，
2 2 2
| cos n ,n | | n1 n2 | 1 13 1 2 | n || n | ，1 121 2 ( 3)2 32 13
所以平面 AMB与平面 ACD 13所成锐二面角的余弦值为 ． …………… 12 分
13
21 2解：（1）设 P x, y ，依题意， x 1 y2 x 1，
2
两边平方并整理，得 y 2 x 2x，
2
所以曲线 C的方程为 y 2 x 2x．（写成分段函数也可以）…………… 4分
（2）设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，M x3, y3 ，N x4 , y4 ，
依题意，设直线 l的方程为 y k x 1 ，
x2 y2
1
由 4 3 消去 y并整理，得
y k x 1
3 4k 2 x2 8k 2x 4k 2 12 0，
因为点 F 为椭圆 E的右焦点，∴ > 0恒成立
8k 2 4k 2 12
因此 x1 x2 2 ， x1 x2 ，………… 5 分，则3 4k 3 4k 2
8k 2 2AB 1 k 2 (x x )2 4x x 1 k 2 ( )2 4 4k 12 12(k
2 1)
1 2 1 2 2 ，…3 4k 3 4k 2 3 4k 2
……… 7分
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2 4x, x 0
由（1）知， y 2 x 2x ，
0, x 0
若直线 l交曲线 C于 M、N两点，且 k 0 2，则直线 l与 y 4x x≥ 0 相交，
y2 4x 2 2 2 2
由 消去 y并整理，得
k x
y k x 1 2k 4 x k 0，
而点 F 为抛物线 y2 4x的焦点，∴ > 0恒成立
2k 2
则 x 43 x4 ，k 2
4 k 2 1
于是 MN x ，3 x4 2 k 2
4k 2 1 3 3k 2 4 3 k 2 3
从而 ，
AB MN 12 k 2 1 12 k 2 1 12 k 2 1
1
要使 AB MN 为定值，则 4 3 3 ，即 3，
所以实数λ的值为 3． …………… 12 分
22.解：（1）由题知 f x acosx 1 1 ，令 h(x) acosx ，所以
1 x 1 x
h (x) asinx 1 ，
(1 x)2
又因为 x 1,0 时，sinx ≤ 0，a为正实数，故 h (x) 0在区间 1,0 恒成立，
所以函数 f x 在区间 1,0 上单调递增，且 f 0 a 1．
①当0 a 1时， f x f 0 0在区间 1,0 上恒成立，函数 f x 在 1,0 上
单调递减，
此时 f x f 0 0，符合题意．
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1 1
②当 a 1时， f 0 a 1 0， f 1 acos 1 a a a 0，
a a
1
由零点存在定理， x0 1,0 时，有 f x0 0，
a
即函数 f x 在区间 1, x0 上单调递减，在区间 x0 , 0 上单调递增，
所以当 x x0 ,0 时，有 f x f 0 0，此时不符合，
综上所述，正实数 a的最大值为 1． …………… 6 分
（2）由（1）知，当 a 1， x 1,0 时， sinx ln 1 x ， …………… 7分
2
令 x 1 2 (k 1,k N)时，有sin
1 1 2 ln 1 2 ln
k 1
k k k k 2
，
2
sin 1 ln k ln k k即 2 2 ，所以 sin
1
ln 2 2 ，sin 1 ln 3 3 ，……，
k k 1 k 1 k 1 22 1 3 32 2 4
sin 1 ln n n
n2 n 1 n 1 ，
累加得
sin 1 sin 1 sin 1 ln 2 2 3 32 2 2 ln ln
n n
2 3 k 1 3 2 4 n 1 n 1 ，…… 10 分
即
n
sin 12 ln
2 2 3 3 n n
ln
2n
ln2 ln n k 2 k 1 3 2 4 n 1 n 1
n 1 n 1
n
，所以 sin 12 ln2 ……………12 分
k 2 k
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