人教A版（2019） 高中数学 必修1 5.1.2 弧度制课件

(共27张PPT)
第5章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解弧度制，体会引入弧度制的必要性； 1.数学抽象素养.
2.理解1弧度的角及弧度的定义； 2.数学抽象素养.
3.掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的互化，并熟记几个特殊角的弧度数. 3.数学运算素养.
温故知新
任意角
正角：按逆时针方向旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角　
零角：一条射线没有作任何旋转形成的角
象限角
为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.
终边相同角
－32°
一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合
S={β|β=α+k·360°，k∈Z}
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
温故知新
－32°
1.初中所学的角的度量单位：
度
规定周角的为1度的角，这种用度做单位来度量角的制度叫角度制.
角度制使用的是六十进制.
2.初中所学过的弧长公式、面积是什么？
已知扇形的半径为r,圆心角为,则扇形弧长、面积分别为
新知引入
度量长度可以用米、英尺、码等单位制；
度量质量可以用千克、磅等单位制；
不同的单位制能给解决问题带来方便.
角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
新知探究
如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角α.在旋 转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.
设α=n°，OP=r，点P形成的圆弧的长为，则
于是
新知探究
如图，在射线OA上任取一点Q（不同于点O),OQ=,
在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为,与的
比值是多少？你能得出什么结论？
=n·,
可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值, 只与α的大小有关.也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定.这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.
一.弧度制
新知形成
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度.
我们把半径为1的圆叫做单位圆.如图，在单位圆O中，弧AB的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角.
根据上述：在半径为的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角为rad，那么有：
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.
一.弧度制
新知形成
一.弧度制
弧度制与角度制比较：
（1）弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制.
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周所对的圆心角的大小,1弧度≠1 .
（3）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值.
新知形成
一.弧度制
(4) 角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.
(5) 角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，虽然单位、进制不同，但反映了事物的本质属性不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同.
新知形成
二.弧度制与角度制的换算
角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间可以换算，如何换算？
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）；
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数不同.因为周角的弧度数是,而在角度制下的度数是360.
所以 360°=2πrad，180°=πrad，
反过来， 1°=rad≈0.01745rad，1rad=≈57.30°
新知形成
二.弧度制与角度制的换算
（1）把角度换成弧度
（2）把弧度换成角度
新知形成
二.弧度制与角度制的换算
完成下列表格(一些特殊角的角度制和弧度制的转化)：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度
角度 270° 300° 315° 330° 360°
弧度
0
新知形成
二.弧度制与角度制的换算
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系：每个角都有唯一的实数(等于这个角的弧度)；同样地，每个实数也都有唯一一个对应的角(弧度数等于这个实数).
弧度制下角的集合与实数集的一一对应：
正角
零角
负角
正实数
零
负实数
任意角的集合
实数集R
新知形成
【例1】按照下列要求，把67 30′化成弧度：
⑴精确值； ⑵精确到0.001的近似值.
解：
⑴因为67 30′=，所以
67 30′=.
⑵67 30′=.
新知探求
【例2】把下列弧度化为角度：
⑴3.14 rad（用度数表示，精确到0.001）；
⑵ rad.
解：
⑴3.14 rad.
⑵ rad.
今后用弧度制表示角时，“弧度”或者“rad”通常略去不写，而只写该角对应的弧度数.例如，角α=2表示α是2rad的角；sin表示角的正弦值，即sinsin.
新知探求
【例3】利用弧度制证明下列关于扇形的公式
⑴ ; ⑵ ; ⑶.
其中R是圆的半径，α（0<α<2)为圆心角，是扇形的弧长，S是扇形的面积.
证明：
⑴由公式可得
.
⑵半径为R,圆心角为的扇形的弧长和面积公式为
, .
新知探求
【例3】利用弧度制证明下列关于扇形的公式
⑴ ; ⑵ ; ⑶.
其中R是圆的半径，α（0<α<2)为圆心角，是扇形的弧长，S是扇形的面积.
证明：
将转换为弧度，得 ,
于是 ,
⑶将代入上式，即得
.
新知探求
【例4】将-1125°表示成2kπ+α（k∈Z，0≤α<2π）的形式，并在［-4π，0）上找出与角-1125°终边相同的角.
解：
∵-1125°=-4×360°+315°，而315°=，
则-1125°=,
∴与-1125°终边相同得角为.
由,得.
∴k=-1或-2，
当k=-1时，;当k=-2时，.
则在［-4π，0）上与角-1125°终边相同的角为 .
新知探求
弧度制下终边相同角的表示：
1.与角α终边相同的角，连同角α在内，构成集合S={β|β=2kπ+α,k∈z}.
2.用弧度制表示终边相同的角α+2kπ(k∈z)时,注意2kπ是π的偶数倍.
3.在进行“弧度”与“角度”换算时，若无特别要求不进行近似运算，也不必将π化为小数.
4.角度制和弧度制不得混用.如2kπ+60°(k∈z),k 360+π（k∈z)都是不正确的写法.
初试身手
1.下列选项错误的是（ ）
A.“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；
B.1度的角是周角的，1弧度是周角的； C.180°一定等于π弧度；
D.无论用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关.
2.一场数学科考试需要2小时，则时钟走了 弧度.
3.下列个式中，不正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则(　　)
A.扇形的圆心角大小不变 B.扇形的圆心角增大到原来的2倍
C.扇形的圆心角增大到原来的4倍 D.扇形的圆心角减小到原来的一半
D
D
-
A
初试身手
5.用弧度制表示终边在x轴上的角的集合为 ；用弧度制表示终边在y轴上的角的集合为 .
6.若α∈(0,2π), 且与角终边相同，则α= .
7.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧的弧长为 .
{α|α=kπ,k∈z}
{α|α=kπ+,k∈z}
课堂小结
一.弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度.
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.
二.弧度制与角度制的换算
（1）把角度换成弧度
（2）把弧度换成角度
作业布置
作业：p176 习题5.1 第5，6，8，9,11题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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