课时评价作业（十九）函数的最大（小）值
A级 基础巩固
1.函数f(x)=x+cos x在区间[0,π]上的( ) A.最小值为0,最大值为
B.最小值为0,最大值为+1
C.最小值为1,最大值为
D.最小值为1,最大值为π-1
答案:D
2.函数f(x)=-x在区间(0,+∞)上( ) A.有最大值,无最小值
B.有最大值和最小值
C.无最大值和最小值
D.无最大值,有最小值
解析:由已知得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-,令f'(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为(0,1);令f'(x)<0,得函数f(x)的单调递减区间为(1,+∞).所以函数f(x)在区间(0,+∞)上有最大值,无最小值.
答案:A
3.函数y=的最大值为( ) A. B.e C.e2 D.
解析:y'==(x>0),
令y'=0,得x=e.
所以当0
0,y=为增函数;
当x>e时,y'<0,y=为减函数.
所以y=在区间(0,+∞)上的最大值ymax==.
答案:A
4.设f(x),g(x)是定义在区间[a,b]上的可导函数,且f'(x)>g'(x),令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)的最小值为f(a)-g(a).
解析:由f'(x)>g'(x),得F'(x)=f'(x)-g'(x)>0,
所以函数F(x)在区间[a,b]上单调递增.
所以F(x)min=F(a)=f(a)-g(a).
5.多空题函数f(x)=x3+x2-2x+3,x∈[-3,4]的最大值为,最小值为.
6.已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.
解:(1)因为f'(x)=3ax2+2x+b,
所以g(x)=f(x)+f'(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.
因为g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),
从而3a+1=0,b=0,
解得a=-,b=0,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=-x3+x2.
(2)由(1)知g(x)=-x3+2x,
所以g'(x)=-x2+2.
令g'(x)=0,
解得x1=-,x2=.
在区间[1,2]上,g(1)=,g()=,g(2)=.
因此,函数g(x)在区间[1,2]上的最大值为,最小值为.
B级 能力提升
7.(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)= ( )
A.-1 B.-C. D.1
解析:因为f(1)=aln 1+b=-2,所以b=-2.因为f'(x)=+=,当且仅当a<0时,f(x)在区间内单调递增,在区间上单调递减,所以当x=-时取得最大值,即-=1,所以a=-2,即f'(x)=-+,所以f'(2)=-1+=-.故选B.
答案:B
8.多选题已知函数f(x)=ln|x|-x+,给出下列四个结论,其中正确的是( ) A.曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为x+y+1=0
B.f(x)恰有2个零点
C.f(x)既有最大值,又有最小值
D.若x1x2>0且f(x1)+f(x2)=0,则x1x2=1
解析:函数f(x)=ln-x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
当x>0时,f(x)=ln x-x+,f'(x)=-1-=;当x<0时,f(x)=ln(-x)-
x+,f'(x)=-1-=.
对于A项,f(-1)=ln 1+1-1=0,f'(-1)==-3,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0,A错误.
对于B项,当x>0时,f'(x)==<0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
当x<0时,f'(x)==<0,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减.
因为f(-1)=0,f(1)=0,所以函数f(x)恰有2个零点,B正确.
对于C项,由函数f(x)的单调性易知,C错误.
对于D项,当x1>0,x2>0时,
因为f(x1)+f(x2)=0,
所以f(x1)=-f(x2)=-ln x2+x2-=ln-+x2=f.
因为f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以x1=,x1x2=1.
同理可证得当x1<0,x2<0时命题也成立,D正确.
故选BD.
答案:BD
9.已知函数f(x)=ax3-3x+1,若对任意x∈(0,1],f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是[4,+∞).
解析:当x∈(0,1]时,不等式ax3-3x+1≥0可化为a≥.设g(x)=,x∈(0,1],则g'(x)==-.令g'(x)=0,得x=.
在区间(0,1]上,g'(x)与g(x)随x的变化情况如下表:
x
g'(x) + 0 -
g(x) 单调递增 4 单调递减
故g(x)的最大值为4,实数a的取值范围是[4,+∞).
10.已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).
(1)当f'(1)=3时,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
解:f'(x)=3x2-2ax.
(1)因为f'(1)=3-2a=3,所以a=0.
当a=0时,f(1)=1,f'(1)=3,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
(2)令f'(x)=0,解得x1=0,x2=.
当≤0,即a≤0时,函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,
从而函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为f(2)=8-4a.
当≥2,即a≥3时,函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,
从而f(x)在区间[0,2]上的最大值为f(0)=0.
当0<<2,即0从而在区间[0,2]上,f(x)max=
综上所述,在区间[0,2]上,f(x)max=
11.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值是20,求它在该区间上的最小值.
解:(1)f'(x)=-3x2+6x+9.
令f'(x)<0,解得x<-1或x>3.
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2).
因为在区间(-1,3)内f'(x)>0,
所以函数f(x)在区间(-1,2)内单调递增.
又因为函数f(x)在区间(-2,-1)内单调递减,
所以f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.
所以22+a=20,解得a=-2.
所以f(x)=-x3+3x2+9x-2.
所以f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
C级 挑战创新
12.多选题已知函数f(x)=,则y=f(x)的大致图象不可能为 ( )
解析:由题意,得则f(x)的定义域为{x|x>-1,且x≠0},所以选项D不可能.
令g(x)=ln(x+1)-x(x>-1),则g'(x)=-.
由g'(x)>0,得-1由g'(x)<0,得x>0,故g(x)从而x>0或-1故选项A,C不可能,选项B可能为该函数的大致图象.
答案:ACD
13.多空题若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在区间(0,+∞)上有且只有一个零点,则a=3,此时函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.
解析:f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a)(a∈R),当a≤0时,f'(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,则f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
又因为f(0)=1,所以此时f(x)在区间(0,+∞)上无零点,不满足题意.
在区间(0,+∞)上,当a>0时,由f'(x)>0,得x>,由f'(x)<0,得0又因为f(x)在区间(0,+∞)上有且只有一个零点,所以f=-+1=0,解得a=3,所以f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=6x(x-1).
当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,则在区间[-1,1]上,f(x)max=f(0)=1,f(-1)=-4,f(1)=0,则f(x)min=-4,所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.课时评价作业（十六）简单复合函数的导数
A级 基础巩固
1.下列等式正确的是( ) A.'=1-
B.(cos2x)'=2cos x
C.'=
D.(2sin 2x)'=2cos 2x
解析:A项,'=1+;
B项,(cos2x)'=2cos x·(-sin x)=-sin 2x;
D项,(2sin 2x)'=2cos 2x×2=4cos 2x.
答案:C
2.函数y=sin2x的图象在点处的切线的斜率是( )
A. B. C. D.
解析:因为y'=2sin xcos x,
所以y'=2sincos=.
答案:D
3.曲线y=cos在x=处的切线的斜率为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
解析:因为y'=-2sin,
所以曲线y=cos在x=处的切线的斜率k=-2sin=-2.
答案:D
4.函数f(x)=的导数f'(x)=.
解析:设y=f(x)=,u=2x+x2,故y=可以看成是由y=和u=2x+x2复合而成的,
所以f'(x)=y'x=y'u·u'x=×(2+2x)=.
5.求下列函数的导数:
(1)y=;
(2)y=log2(4x+7);
(3)y=.
解:(1)令u=1-3x,则y=u-4,
所以y'=-4u-5×(1-3x)'=-4(1-3x)-5×(-3)=12(1-3x)-5.
(2)令u=4x+7,则y=log2u,
所以y'=·(4x+7)'=.
(3)令u=x2+3x+1,则y=2u,
所以y'=2u(ln 2)·(x2+3x+1)'=(ln 2)(2x+3).
B级 能力提升
6.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=2x B.y=x
C.y=-2x D.y=-x
解析:因为y=2ln(x+1),所以y'=.当x=0时,y'=2,所以曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.
答案:A
7.若直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
解析:设切点为(x0,y0),
则y0=x0+1,y0=ln(x0+a).
对于曲线y=ln(x+a),y'=,所以=1,即x0+a=1,
所以y0=ln 1=0,x0=-1,所以a=2.
答案:B
8.在平面直角坐标系中,曲线y=在点(4,e2)处的切线与两条坐标轴所围成三角形的面积S=e2.
解析:因为y'=,
所以切线的斜率k=y'|x=4=e2.
所以切线的方程为y-e2=e2(x-4),即y=x-e2.
所以切线与两条坐标轴的交点分别为(2,0),(0,-e2),所以所求三角形的面积S=×2×e2=e2.
9.已知f(x)=(x+)10,求.
解:因为()'=[(1+x2]'=(1+x2×2x=x(1+x2,
所以f'(x)=10(x+)9[1+x(1+x2]=.
所以f'(0)=10.
又因为f(0)=1,所以=10.
10.曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为 ,求直线l的方程.
解:y'=(e2x)'·cos 3x+e2x·(cos 3x)'=2e2xcos 3x-3e2xsin 3x,
所以y'|x=0=2.
所以曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.
设所求直线l的方程为y=2x+b,
则=,所以b=6或b=-4.
所以直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.
C级 挑战创新
11.多选题已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )
A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z)
B.函数g(x)的最大值为2
C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行
D.若方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为
解析:根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2,=-=,所以T=2π,ω==1.
根据图象知,当x=时,ωx+φ=+φ=+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.所以f'(x)=2cos.
所以g(x)=f(x)+f'(x)=2sin+2cos=2sin=2sin.
令x+=+kπ,k∈Z,解得x=-+kπ,k∈Z.
所以函数g(x)图象的对称轴方程为x=-+kπ,k∈Z,A正确.
当x+=+2kπ,k∈Z时,函数g(x)取得最大值2,B错误.
因为g'(x)=2cos,所以g'(x)≤2<3,所以不存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误.
方程g(x)=2,即2sin=2,所以sin=,解得x+=+2kπ,k∈Z或x+=+2kπ,k∈Z,所以当方程的两个不同的解分别为x2时,|x1-x2|的最小值为,D正确.
故选AD.
答案:AD
12.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离等于.
解析:设l是曲线y=ln(2x-1)的切线,且与直线2x-y+3=0平行.
对于曲线y=ln(2x-1),y'=.
令y'==2,解得x=1,则易知切线l与曲线y=ln(2x-1)的切点的坐标为(1,0).
由点到直线的距离公式,得d==.
13.多空题函数f(x)=的导数是f'(x)=-,曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x+y-5=0.
解析:因为()'=[(x2+1]'=(x2+1×2x=x(x2+1,
所以f'(x)='
=
=
=
=-.
则f'(1)=-.
当x=1时, f(1)=,
故曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-(x-1),即3x+y-5=0.
14.(2023·广东汕头一模)已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=ex-1-1,求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程.
解:由f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,可得f(-x)=-f(x).
当x>0时,f(x)=ex-1-1,可得当x<0时,f(x)=-f(-x)=-e-x-1+1,
所以当x<0时,f(x)的导数f'(x)=e-x-1,则f'(-1)=1,又f(-1)=0,所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为1,切点为(-1,0),则切线的方程为y-0=x+1,即有x-y+1=0.课时评价作业（十三）导数的几何意义
A级 基础巩固
1.下列说法中正确的是( ) A.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在x=x0处没有切线
B.若曲线y=f(x)在x=x0处有切线,则f'(x0)必存在
C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率不存在,则曲线在该点处的切线的方程不存在
解析: f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率,当切线的斜率不存在时,其切线方程可能为x=x0,所以A,B,D三项均错误.
答案:C
2.如图所示,若函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)=( )
A. B.1 C.2 D.0
解析:由题意,知f(5)=-5+8=3.由导数的几何意义,知f'(5)=-1.所以f(5)+f'(5)=3-1=2.
答案:C
3.曲线y=f(x)=x2-2在点处的切线的倾斜角为( )
A.1 B. C. D.-
解析:f'(1)==1,即曲线y=f(x)在点处切线的斜率为1,故切线的倾斜角为.
答案:B
4.曲线y=f(x)=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程为4x+y-2=0.
解析:因为曲线方程为y=x2-2x+3,切点为点A(-1,6),
所以斜率k==-4,
所以切线方程为y-6=-4(x+1),即4x+y-2=0.
5.若曲线y=x2+2x在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,则点P的坐标为(0,0).
解析:设点P的坐标为(x0,y0),
则f'(x0)==2x0+2.
因为曲线在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,
所以曲线在点P处的切线的斜率为2,
所以2x0+2=2,解得x0=0,所以y0=0,所以点P 的坐标为(0,0).
6.求曲线f(x)=x3+2x-1在点P(1,2)处的切线方程.
解:由f(x)=x3+2x-1,得f'(x)==3x2+2,所以f'(1)=5.
故曲线在点P处的切线的斜率k=5,
所以曲线在点P处的切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.
B级 能力提升
7.在平面直角坐标系中,曲线y=x2在点(1,1)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为( )
A. B. C.1 D.2
解析:f'(1)==2,
则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,
所以这条切线与两条坐标轴的交点坐标分别为(0,-1),,故它与两条坐标轴围成的三角形的面积为×1×=.
答案:A
8.已知点P在曲线F:y=x3-x上,若曲线F在点P处的切线与直线x+2y=0垂直,则点P的坐标为( ) A.(1,0)或(1,1) B.(1,1)
C.(-1,0)或(1,0) D.(-1,0)
解析:设点P的坐标为(x0,y0).由题意,得f'(x0)==3-1=2,解得x0=±1.
当x0=-1时,y0=0;当x0=1时,y0=0.
故点P的坐标为(-1,0)或(1,0).
答案:C
9.已知曲线y=2x3上某点处的切线的斜率等于6,求此点的坐标.
解:设此点的坐标为(x0,y0).
因为y'==6,
所以6=6,解得x0=±1.
当x0=-1时,y0=-2;当x0=1时,y0=2.
故此点的坐标为(-1,-2)或(1,2).
C级 挑战创新
10.多选题已知直线l过点P(3,5),若直线l与曲线 y=x2相切于点A,则切点A的坐标可能是( ) A.(1,1) B.(1,2)C.(5,25) D.(5,5)
解析:y'===2x.
设点A的坐标为(x0,y0).
因为点A在曲线y=x2上,
所以y0=.
又因为A为切点,
所以过点A的切线的斜率k=2x0.
因为直线l过P(3,5),A(x0,y0)两点,
所以直线l的斜率为=,
所以2x0=,解得x0=1或x0=5.
当x0=1时,y0=1;当x0=5时,y0=25.
故切点A的坐标为(1,1)或(5,25).
答案:AC
11.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx,曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值.
解:因为f'(x)==2ax,
所以f'(1)=2a,即曲线f(x)在点(1,c)处的切线的斜率k1=2a.
因为g'(x)==3x2+b,
所以g'(1)=3+b,即曲线g(x)在点(1,c)处的切线的斜率k2=3+b.
因为曲线f(x)与曲线g(x)在交点(1,c)处有公切线,所以2a=3+b.
又因为两条曲线交于点(1,c),
所以a+1=c=1+b,即a=b,
联立解得课时评价作业（十四）基本初等函数的导数
A级 基础巩固
1.下列结论不正确的是( ) A.若y=5,则y'=0
B.若y=,则y'=-
C.若y=-,则y'=-
D.若y=3x,则y'=3
解析: 若y=,则y'='=()'=-.
答案:B
2.若函数f(x)=cos x,则f'+f的值是( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
答案:A
3.已知曲线y=x3在点P处的切线的斜率为k,则当k=3时,点P的坐标为( ) A.(-2,-8)
B.(-1,-1)或(1,1)
C.(2,8)
D.
解析:因为y'=3x2,k=3,所以3x2=3,所以x=±1,则点P的坐标为(-1,-1)或(1,1).
答案:B
4.若函数f(x)=,则f'(2)和f'(3)的大小关系是f'(2)5.已知直线l过点P,且与曲线y=sin x在点P处的切线垂直,求直线l的方程.
解:因为y=sin x,所以y'=cos x.
曲线y=sin x在点P处的切线的斜率是y'=cos=,
所以直线l的斜率为-.
因为直线l过点P,
所以直线l的方程为y-=-,
即2x+y--=0.
B级 能力提升
6.若直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为 ( )
A.2 B.ln 2+1C.ln 2-1 D.ln 2
解析:因为y=ln x的导数y'=,
所以令y'==,得x=2,
所以切点的坐标为(2,ln 2).
代入直线y=x+b,得b=ln 2-1.
答案:C
7.曲线y=ex在点(0,1)处的切线与x轴交点的横坐标是( ) A.e B.1 C.-1 D.-e
解析:因为y'=ex,所以y'|x=0=e0=1,
所以切线的方程为y-1=x,即y=x+1.令y=0,得x=-1.
答案:C
8.多空题若函数y=f(x)满足f(x-1)=1-2x+x2,则y'=f'(x)=2x,曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为2x-y-1=0.
解析:因为f(x-1)=1-2x+x2=(x-1)2,所以f(x)=x2,f'(x)=2x.因为点(1,1)在曲线y=f(x)上,所以f'(1)=2,所以曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
C级 挑战创新
9.多选题若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中不具有T性质的有( ) A.y=ex B.y=ln xC.y=sin x D.y=x3
解析:对于函数y=ex,因为y'=ex,k1=,k2=均大于0,所以k1·k2≠-1,所以函数y=ex不具有T性质.
对于函数y=ln x,则y'=,k1·k2=·.因为x1>0,x2>0,所以k1·k2≠-1,所以函数y=ln x不具有T性质.
对于函数y=sin x,则y'=cos x.设图象上存在这样两点(x1,sin x1),(x2,sin x2),那么两切线的斜率k1=cos x1,k2=cos x2.
当x1=2kπ,x2=2kπ+π(或x1=2kπ+π,x2=2kπ),k∈Z时,k1·k2=
cos x1·cos x2=-1,即存在这样的两点,所以函数y=sin x具有T性质.
对于函数y=x3,则y'=3x2,k1=3,k2=3,
显然k1·k2≠-1,所以函数y=x3不具有T性质.
答案:ABD
10.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,求a1+a2+…+a99的值.
解:由题意,可知y'=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=y'|x=1=n+1,所以切线方程为y=(n+1)x-n,所以切线与x轴的交点为,则an=lg=lg n-lg(n+1).
所以a1+a2+…+a99=(lg 1-lg 2)+(lg 2-lg 3)+…+(lg 99-lg 100)=
lg 1-lg 100=-2.课时评价作业（十一）数学归纳法
A级 基础巩固
1.在应用数学归纳法证明“凸n边形的对角线为n(n-3)条”时,第一步检验n=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
2.利用数学归纳法证明“++…+>(n≥2,且n∈N*)”的过程中,由假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,推导当n=k+1时不等式也成立时,该不等式左边的变化是( )
A.增加
B.增加++
C.增加并减少+
D.增加++并减少+
解析:当n=k(k∈N*)时,不等式为+++…+>;
当n=k+1时,不等式为++…++++>,
故左边增加++,并减少+.
答案:D
3.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可得当n=k+1时该命题也成立,若已知n=5时命题不成立,那么下列说法正确的是①④(填序号).
①当n=4时,该命题不成立;
②当n=6时,该命题不成立;
③当n=1时,该命题可能成立;
④当n=6时,该命题可能成立也可能不成立,但若当n=6时命题成立,则对任意n≥6,该命题都成立.
解析:①“当n=4时,该命题不成立”正确.理由:如果n=4时命题成立,那么可推出当n=5时命题成立,与题设矛盾,故n=4时,该命题不成立.
③“当n=1时,该命题可能成立”错误.理由:若当n=1时命题成立,则可得当n=2时命题成立,继续推导得到当n=5时命题成立,这与题设矛盾.
由当n=5时命题不成立,不能确定当n=6时命题是否成立.但若当n=6时命题成立,则可得当n=7时命题成立,继续推导得到对任意n≥6,该命题都成立.故②错误,④正确.
4.多空题已知n为正偶数,当用数学归纳法证明“1-+-+…+-=2”时,第一步的验证为当n=2时,左边=1-=,右边=2×=,等式成立;若已假设n=k(k≥2,且k为偶数)时等式成立,则还需要用数学归纳法证明当n=k+2时等式成立.
5.设数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n.
(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.
解:(1)因为数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n,
所以a2=3a1-4=5,a3=3a2-4×2=7.
猜想{an}的通项公式为an=2n+1.
证明如下:①当n=1时,猜想显然成立.
②假设n=k(k∈N*)时,ak=2k+1成立,
则当n=k+1时,ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1,故n=k+1时,猜想成立.
由①②,知an=2n+1对任何n∈N*都成立,
所以{an}的通项公式为an=2n+1.
(2)令bn=2nan=(2n+1)·2n,则数列{2nan}的前n项和Sn=3×21+5×22+…+(2n+1)2n, ①
则2Sn=3×22+5×23+…+(2n-1)2n+(2n+1)2n+1. ②
-②,得-Sn=3×2+2×22+…+2×2n-(2n+1) ×2n+1=6+-(2n+
1)2n+1,
所以Sn=(2n-1)2n+1+2.
B级 能力提升
6.用数学归纳法证明“42n-1+3n+1(n∈N*)能被13整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用归纳假设,对42k+1+3k+2变形正确的是( )
A.13×42k-1+3(42k-1+3k+1)
B.4×42k+9×3k
C.(42k-1+3k+1)+15×42k-1+2×3k+1
D.3(42k-1+3k+1)-13×42k-1
解析:假设当n=k(k∈N*)时命题成立,则42k-1+3k+1能被13整除,则当n=k+1时,42k+1+3k+2=16×42k-1+3×3k+1=13×42k-1+3×42k-1+3×3k+1=13×42k-1+3×(42k-1+3k+1),能被13整除.故选A.
答案:A
7.已知正项数列{an}满足a1=1,前n项和Sn满足4Sn=(n≥2,n∈N*),则数列{an}的通项公式为an=2n-1.
解析:当n=1时,a1=1;
当n=2时,4S2==16,所以S2=4,可得a2=3;
当n=3时,4S3==36,所以S3=9,可得a3=5;
当n=4时,4S4==64,所以S4=16,可得a4=7;
……
猜想an=2n-1.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=1满足an=2n-1.
②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=2k-1,可得Sk=k2,
则当n=k+1时,
因为4Sk+1==(2k+2)2=4(k+1)2,
所以Sk+1=(k+1)2,则ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)2-k2=2k+1=2(k+1)-1.
所以当n=k+1时,结论也成立.
结合①②可知,an=2n-1对任何n∈N*都成立.
8.给出下列不等式:
1>,
1++>1,
1++++++>,
1+++…+>2.
(1)根据给出不等式的规律,归纳猜想出不等式的一般结论;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
(1)解:将第1个不等式左边的1写成,可以看出不等式左边最后一个数的分母的特点:1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,
猜想不等式左边最后一个数的分母为2n-1,对应各式右边为,
所以猜想不等式的一般结论为1++++…+>(n∈N*).
(2)证明:①当n=1时,结论显然成立;
②假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即1++++…+>成立,
则当n=k+1时,
1++++…+++…++>>+2k×=+=,
即当n=k+1时结论也成立.
由①②可知,对任意n∈N*结论都成立.
C级 挑战创新
9.已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=+-1,且an>0,n∈N*.
(1)求a1,a2,a3;
(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.
解:(1)由a1=S1=+-1,得a1=-1±.
又因为an>0,所以a1=-1.
因为S2=a1+a2=+-1,a2>0,所以a2=-.
因为S3=a1+a2+a3=+-1,a3>0,所以a3=-.
(2)由(1)猜想an=-,n∈N*.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,由(1)知a1=-1,猜想成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,ak=-成立.
则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=-
=+--
=+-,
所以+2ak+1-2=0,
又ak+1>0,
所以ak+1=-,
所以ak+1=-,
即当n=k+1时猜想也成立.
综合①②可知,猜想对一切n∈N*都成立.课时评价作业（四）等差数列的性质及其应用
A级 基础巩固
1.已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2,且n∈N*),若a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4= ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析:因为2an=an-1+an+1(n≥2,且n∈N*),所以数列{an}是等差数列.
由等差数列性质,得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,所以a3+a4=3+4=7.
答案:B
2.多选题已知递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 ( )
A.a1+a101>0 B.a2+a100=0
C.a3+a100≤0 D.a51=0
解析:设等差数列{an}的公差为d,易知 d>0,因为等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,
所以a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,
所以a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B，D正确,A错误.
又a51=a1+50d=0,所以a1=-50d.
所以a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误.
答案:BD
3.(2023·广东惠州一模)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=.
解析:由等差数列的性质可得2b=2+9,解得b=.
又2a=2+b=2+=,解得a=.
又2c=b+9=+9=,解得c=.
所以c-a=-==.
4.已知数列{an}为等差数列,若a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为-.
解析:由等差数列的性质,得a1+a7+a13=3a7=4π,所以a7=,
所以tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan=tan=-.
5.已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.
解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,
则
所以解得或
所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
6.在等差数列{an}中,已知a1+a2+a3=21,a1a2a3=231.
(1)求该数列中a2的值;
(2)求该数列的通项公式an.
解:(1)由等差数列的性质,得a1+a2+a3=3a2=21,所以a2=7.
(2)设等差数列{an}的公差为d,
则a1a2a3=(a2-d)a2(a2+d)=7(7-d)(7+d)=7(49-d2)=231,解得d=±4.
当d=4时,an=a2+(n-2)d=4n-1,当d=-4时,an=a2+(n-2)d=-4n+15.
B级 能力提升
7.多选题下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题,其中的真命题为 ( )
A.数列{an}是递增数列
B.数列{nan}是递增数列
C.数列是递增数列
D.数列是递增数列
解析:d>0,an+1-an=d>0 ,所以{an}是递增数列,故A正确;
nan=n[a1+(n-1)d]=dn2+(a1-d)n=d2-2d,当n≤时,数列{nan}不是递增数列,故B不正确;
=d+,当a1-d≥0时,不是递增数列,故C不正确;
an+3nd=4nd+a1-d,因为d>0,所以{an+3nd}是递增数列,故D正确.
答案:AD
8.将给定的9个数排成如图所示的数表,若每行的3个数按从左至右的顺序构成等差数列,每列的 3个数按从上到下的顺序也构成等差数列,且 a22=2,则表中所有数之和为 ( )
A.2 B.18 C.20 D.512
解析:因为每行的3个数按从左至右的顺序构成等差数列,所以a11+a12+a13=3a12,a21+a22+a23=3a22,a31+a32+a33=3a32.因为每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列,所以a12+a22+a32=3a22,所以表中所有数之和为9a22=9×2=18.
答案:B
9.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为 1或2.
解析:因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.所以二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为1或2.
10.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,则k=18.
解析:因为a4+a7+a10=3a7=17,所以a7=.
因为a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=11a9=77,所以a9=7,
所以公差d=(a9-a7)=,所以ak-a9=(k-9)d=(k-9)=6,解得k=18.
11.(2023·山东淄博校级期中)若数列是等差数列,则称数列{an}为调和数列.若实数a,b,c依次成调和数列,则称b是a和c的调和中项.
(1)求和1的调和中项;
(2)已知调和数列{an},a1=6,a4=2,求数列{an}的通项公式.
解:(1)设和1的调和中项为b,依题意,得3,,1依次成等差数列,所以==2,所以b=.
(2)依题意,是等差数列,设其公差为d,则3d=-,解得d=.
所以=+(n-1)d=+(n-1)×=,故an=.
12.设Tn为数列{an}的前n项的积,即Tn=a1·a2·…·an.
(1)若Tn=n2,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}满足Tn=(1-an)(n∈N*),证明数列为等差数列,并求{an}的通项公式.
解:(1)当n=1时,a1=T1=1.
当n≥2时,an==,n=1不符合此式.
所以an=
(2)当n=1时,a1=T1=(1-a1),所以a1=,
当n≥2时,2Tn=1-an=1-,
所以-=2,所以数列为等差数列,
所以=3+2(n-1)=2n+1,
所以Tn=,
所以an=1-2Tn=.
C级 挑战创新
13.多空题若关于x的方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0(m>n)的四个根组成一个首项为的等差数列,则m=,n=.
解析:由题意,设原方程的四个根分别为,+d,+2d,+3d,则+++=2+2,解得d=,所以这四个根依次为,,,.又因为m>n,且要保证每组两数和为2,所以n=×=,m=×=.
14.多空题已知f(x)=x2-4x+2,若数列{an}是递减的等差数列,a1=f(a+1),a2=0,a3=f(a-1),则数列{an}的公差为-2,数列{an}的通项公式为an=4-2n.
解析:因为数列{an}是等差数列,所以a1+a3=2a2,所以f(a-1)+f(a+1)=0,即(a-1)2-4(a-1)+2+(a+1)2-4(a+1)+2=0,解得a=1或a=3.又因为数列{an}是递减的等差数列,所以当a=1时,a1=f(2)=-2,公差为a2-a1=2,不符合题意,舍去.当a=3时,a1=f(4)=2,公差为a2-a1=-2,符合题意,所以数列{an}的通项公式为an=2-2(n-1)=4-2n.
15.多空题若数列{an},{bn}满足a1=1,且an+1,1+an是函数f(x)=x2-bnx+an的两个零点,则a2=.当bn>时,n的最大值为5.
解析:由已知可得
所以a2==,-=1,
所以是等差数列,
所以=+(n-2)×1=n,所以an=.
因为bn=an+1+an+1=++1>,
所以n2-5n-3<0,
解得A级 基础巩固
1.在等差数列{an}中,如果++2a3a8=9,且an<0,那么S10= ( )
A.-9 B.-11 C.-13 D.-15
解析:由++2a3a8=9,得(a3+a8)2=9.
因为an<0,所以a3+a8=-3,
所以S10====-15.
答案:D
2.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若 Sn=(n+1)2+λ,则λ的值为 ( )
A.-2B.-1 C.0 D.1
解析:因为等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,所以λ=-1.
答案:B
3.多选题等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各数也为定值的有 ( )
A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
解析:由等差中项的性质可得a3+a8+a13=3a8.又a3+a8+a13为定值,所以a8为定值.所以S15==15a8为定值,但a7=a8-d不是定值,S16==8(a8+a9)不是定值.
答案:BC
4.已知等差数列{an}的前3项和为30,后3项和为90,若前n项和为200,则n=10.
解析:依题意得a1+a2+a3=30,an-2+an-1+an=90,
所以a1+a2+a3+an-2+an-1+an=3(a1+an)=120,所以a1+an=40,
所以Sn=200=×n=20n,解得n=10.
5.若Sn为等差数列{an}的前n项和,其首项a1>0,a99+a100>0,a99a100<0,则使Sn>0成立的最大自然数n为198.
解析:因为a99a100<0,所以a99和a100异号.因为a1>0,a99+a100>0,所以a99>0,a100<0,即a1+99d<0,所以d<0,所以2a1+198d<0,即a1+a199<0.
因为a99+a100>0,a99+a100=a1+a198,所以a1+a198>0,
所以S198=>0,S199=<0,
所以使Sn>0成立的最大自然数n=198.
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=-5,S4=-24.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则解得
所以数列{an}的通项公式为an=-9+2(n-1)=2n-11.
(2)由(1),知an=2n-11,令an=2n-11≤0,得n≤5.5,所以当n=5时,数列{an}的前n项和Sn取得最小值,即Sn的最小值为S5=5a1+10d=5×(-9)+2×10=-25.
B级 能力提升
7.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n(n∈N*)年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额=收入-成本),则n等于 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:设该设备第n年的运营费用为an万元,
则数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n,
所以该设备使用n年的运营费用总和为Tn==n2+n.
设第n年的盈利总额为Sn万元,
则Sn=11n-(n2+n)-9=-n2+10n-9,
所以年平均盈利额为万元.
因为10-≤10-2=4,所以当且仅当n=,即n=3时,年平均盈利额取得最大值,最大值为4万元.
答案:D
8.多选题设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论正确的是 ( )
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
解析:由S50.因为S6=S7,所以a7=0,所以d<0.当n≤6时,an>0,Sn随n的增大而增大;当n≥8时,an<0,Sn随n的增大而减小,所以S6与S7均为Sn的最大值,a8<0,所以S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=2a8<0,即S9答案:ABD
9.已知等差数列{an}的公差为d,若关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9],则使数列{an}的前n项和Sn取得最大值的正整数n的值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:因为关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9],所以0,9是关于x的一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根,且d<0,所以-=9,即2a1+9d=0,所以a1=-.所以an=a1+(n-1)d=d,所以a5=-d>0,a6=d<0.所以使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.
答案:B
10.已知正项数列{an}满足递推关系an=(n≥2),且a1=,若数列{bn}满足bn=,则++…+=2n2+6n.
解析:将an=两边取倒数,整理得-=2,所以是一个等差数列.又因为首项=4,公差为2,所以=4+(n-1)×2=2n+2,所以bn==4(n+1)2,所以=4n+4,所以数列是以8为首项,4为公差的等差数列,故++…+=8n+×4=2n2+6n.
11.(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知{an}为等差数列,bn=
记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.
(1)解:设等差数列{an}的公差为d.由题可知bn=
k∈N*,则b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3-6=a1+2d-6.
所以解得
所以an=a1+(n-1)d=2n+3.
(2)证明:由(1)知,Sn==n2+4n,bn=k∈N*.
当n为偶数时,Tn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=·+·=n2+n,
当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)=n(n-1)>0,因此Tn>Sn.
当n为奇数时,
若n≥3,则Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn-1)=·+·=n2+n-5,
Tn-Sn=-(n2+4n)=(n+2)(n-5),
当n>5时,(n+2)(n-5)>0,因此Tn>Sn.
综上所述,当n>5时,Tn>Sn.
C级 挑战创新
12.多选题设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若a3=12,S12>0,a7<0,则 ( )
A.a6>0
B.-C.当Sn<0时,n的最小值为14
D.数列中最小项为第7项
解析:依题意,得a3=a1+2d=12,a1=12-2d.
因为S12=×12=6(a6+a7)>0,a7<0,所以a6>0,A选项正确.
解得-因为S13=×13=13a7<0,S12>0,所以当Sn<0时,n的最小值为13,C选项错误.
由上述分析可知,当1≤n≤6时,an>0,当n≥7时,an<0;当1≤n≤12时,Sn>0,当n≥13时,Sn<0.所以当n∈[1,6]时,>0;当n∈[13,+∞)时,>0;当n∈[7,12]时,an<0,Sn>0,<0,且{|an|}为递增数列,{Sn}为递减数列,所以为递减数列,因为<0,所以随着n的增大,逐渐增大,所以数列中最小项为第7项,故D选项正确.
答案:ABD
13.多空题设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=6,S7=28,则an=n,的最大值是.
解析:设等差数列{an}的公差为d,
则解得
所以an=a1+(n-1)d=n,Sn==,
所以=.
令t=n+1,则t≥2,且t∈N*,
所以==.
因为函数y=t++7在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,
当t=3,即n=2时,=,
当t=4,即n=3时,=,
所以当n=2或n=3时,取得最大值,最大值为.
14.(2023·广东深圳一模)设Sn为数列{an}的前n项和,已知Sn=+n2+1,n∈N*.
(1)求a1+a2,并证明{an+an+1}是等差数列;
(2)求Sn.
解:(1)当n=1时,S1=a1=+12+1,解得a1=4.
当n=2时,S2=a1+a2=+22+1,解得a2=2.
所以a1+a2=6.
由Sn=+n2+1,得2Sn=an+2n2+2①,
则2Sn+1=an+1+2(n+1)2+2②.
②-①得2an+1=an+1-an+4n+2,则an+1+an=4n+2.
令bn=an+1+an=4n+2,则b1=6,bn+1-bn=4,
所以{an+an+1}是以6为首项,以4为公差的等差数列.
(2)当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=6+14+…+
(4n-2)=×(6+4n-2)=n2+n.
由an+1+an=4n+2①,得an+an-1=4n-2(n≥2)②,
-②得an+1-an-1=4(n≥2),
所以当n为奇数时,Sn=(a1+a3+…+an)+(a2+a4+…+an-1)=4+
8+…++2+6+…+,
即Sn=×(4+2n+2)+×(2+2n-4)=n2+n+2.
综上,Sn=课时评价作业（一） 数列的概念与简单表示方法
A级 基础巩固
1.数列2,3,4,5,…的一个通项公式为 ( )
A.an=n B.an=n+1
C.an=n+2 D.an=2n
答案:B
2.数列,,,,…的第10项是 ( )
A. B. C. D.
解析:根据数列,,,,…,可求得数列的一个通项公式为an=,所以这个数列的第10项为 a10==.
答案:C
3.数列2,,,,,…的通项公式an= ( )
A. B.
C. D.
解析:将2写成,因为数列各项的分子分别为2,4,8,16,32,…,即21,22,23,24,25,…,分母分别为1,3,5,7,9,…,是连续的奇数,所以此数列的一个通项公式为an=.
答案:C
4.若数列的前4项为1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是 ( )
A.an=[1+(-1)n-1]
B.an=[1-cos(n·180°)]
C.an=sin2(n·90°)
D.an=(n-1)(n-2)+[1+(-1)n-1]
答案:D
5.观察下列数列的特点,用适当的一个数填空:1,,,,3,,….
解析:因为数列的前4项的被开方数分别为1,3,5,7,是由小到大的奇数,所以应该填的数为=3.
6.如图,用火柴棒按下面的方法搭三角形:
……
按此规律搭下去,则所用火柴棒的数量an与所搭三角形的数量n之间的关系式可以是an=2n+1.
解析:由题图,易得a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,所以an=2n+1.
7.写出下列数列的一个通项公式.
(1),,,,,…;
(2),-1,,-,,-,….
解:(1)每一项的分子都比分母小1,而分母分别为21,22,23,24,25,…,所以an=.
(2)数列的偶数项为负数,奇数项为正数,故通项公式必含因式(-1)n+1.观察各项绝对值组成的数列,由第3项到第6项可知,分母分别由奇数7,9,11,13组成,而分子则是32+1,42+1,52+1,62+1,按照这样的规律,前两项可分别改写为,-,所以an=(-1)n+1.
B级 能力提升
8.设an=+++…+ (n∈N*),那么an+1-an= ( )
A. B.
C.+ D.-
解析:由an=+++…+(n∈N*),
得an+1=+++…+++,
则an+1-an=+-=-.
答案:D
9.多空题在数列0,,…,,…中,第3项是;是它的第7项.
10.在以下数列的通项公式an中,满足对一切n∈N*恒有an(1)an=7n;
(2)an=;
(3)an=;
(4)an=(-1)n+1·;
(5)an=(10n+1-1)+1;
(6)an=2+(-1)n.
解析:(1)an=7n为递增数列,符合题意;
(2)由an=知,a2=,a3=,所以a2>a3,这与an(3)an==3-,当n变大时,变小,3-变大,所以该数列为递增数列,符合题意;
(4)由an=(-1)n+1·知,a1=,a2=-,所以a1>a2,这与an(5)an=(10n+1-1)+1,当n变大时,10n+1变大,(10n+1-1)+1也变大,所以该数列为递增数列,符合题意;
(6)由an=2+(-1)n知,a2=3,a3=1,所以a2>a3,这与an11.已知数列{an}满足an=若对任意n∈N*都有an>an+1,则实数a的取值范围是.
解析:因为an=对任意n∈N*都有an>an+1,
所以即
解得12.已知数列{an}满足an=.
(1)求这个数列的第10项.
(2)是不是该数列中的项,为什么
(3)在区间内有无数列中的项 若有,有几项 若没有,请说明理由.
解:(1)因为an===,所以a10=.
(2)令=,解得n=.
因为 N*,所以不是该数列中的项.
(3)令所以解得所以又因为n∈N*,所以n=2.故区间内有数列中的项,且只有一项为a2=.
C级 挑战创新
13.多选题若数列{an}的通项公式为an=(3n+7)×0.9n,则关于数列{an}的说法正确的是( )
A.数列先减后增 B.数列先增后减
C.最大项为a7 D.最大项为a6
解析:由=×>1,解得n<.
又因为n∈N*,所以n≤6,
所以a1当n≥7时,<1,故a7>a8>…>an,
所以数列先增后减,其中最大项为a7.
答案:BC
14.根据下列5个图形及相应的点的个数的变化规律,试猜测第(n)个图形中有多少个点.
……
(1) (2) (3) (4) (5)
解: 观察题图易知,第(1)个图形中只有1个点,无分支;第(2)个图形中除中间1个点外,有两个分支,每个分支有1个点;第(3)个图形中除中间1个点外,有三个分支,每个分支有2个点;第(4)个图形中除中间1个点外,有四个分支,每个分支有3个点;第(5)个图形中除中间1个点外,有五个分支,每个分支有4个点;……;根据以上规律猜测第(n)个图形中除中间一个点外,有n个分支,每个分支有(n-1)个点,故第(n)个图形中点的个数为1+n(n-1)=n2-n+1.