新人教A版选择性必修第二册2023年高中数学第五章一元函数的导数及其应用 质量评估（含解析）

第五章质量评估
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.下列求导正确的是(　　)
A.'=B.(ex-x2)'=ex-x2·(1+2x2)
C.(6cos x)'=6sin xD.(+ln x)'=
2.设f(x)在x=x0处可导,则=(　　)
A.-f'(x0)B.f'(-x0)C.f'(x0)D.2f'(x0)
3.函数f(x)=x2-ln(2x)的单调递减区间是(　　) A.B.,
C.,D.
4.函数f(x)=的大致图象是(　　)
5.(2023·广东高州一模)若曲线f(x)=(a+2)x+上存在点A,B,使得曲线f(x)在点A,B处的切线互相垂直,则a的取值范围是 (　　)
A. B.(-1,2)C. D.
6.某底面为正方形的长方体箱子的容积V与底面边长x之间的关系为V(x)=x2·(07.设函数f(x)的导函数是f'(x),若f(x)=f'cos x-sin x,则f'= (　　)
A.- B.C. D.-
8.已知f(x)为定义在区间(0,+∞)上的可导函数,若f(x)>xf'(x)恒成立,则不等式x2f-f(x)>0的解集为(　　) A.(0,1) B.(1,2)C.(1,+∞) D.(2,+∞)
二、多项选择题:本题共4小题,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)的定义域为R,且导数为f'(x),函数y=xf'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的单调递增区间是(-2,0),(2,+∞)
B.函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2),(2,+∞)
C.-2是函数f(x)的极小值点
D.2是函数f(x)的极小值点
10.若函数f(x)的导数f'(x)的图象关于y轴对称,则函数f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)=3cos x
B.f(x)=x3+x
C.f(x)=x+
D.f(x)=ex+x
11.直线y=x+b能作为下列函数图象的切线的有(　　) A.f(x)= B.f(x)=x4
C.f(x)=sin x D.f(x)=ex
12.已知函数f(x)=x3-2x2-4x-7,其导数为f'(x),下列命题中真命题为 (　　)
A.函数f(x)的单调递减区间是
B.函数f(x)的极小值是-15
C.当a>2时,对任意的x>2,且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f'(a)(x-a)
D.函数f(x)有且只有一个零点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .
14.(2023·广东广州一模)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数为f'(x),若xf'(x)-1<0,f(e)=2,则关于x的不等式f(ex)15.设某工厂生产x件产品的成本(单位:元)为C=25 000+200x+x2,则当平均每件产品的成本最低时,x= 此时平均最低成本为 元.(本题第一空2分,第二空3分)
16.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)内单调递增,则实数m的取值范围是 .
四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.
17.(10分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R,已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
18.(12分)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当a>0时,f(x)>2ln a+.
19.(12分)某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形,且面积为200 m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16 m,如果处理池的外周壁每米的建造价格为400元,中间两条隔墙每米的建造价格为248元,池底每平方米的建造价格为80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖),那么当污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低 并求最低总造价.
20.(12分)已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1与x=2处都取得极值.
(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-2,3],不等式f(x)+c22.(12分)(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值.
(1)求a;
(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
第五章质量评估
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.下列求导正确的是(　　)
A.'=B.(ex-x2)'=ex-x2·(1+2x2)
C.(6cos x)'=6sin xD.(+ln x)'=
答案:D
2.设f(x)在x=x0处可导,则=(　　)
A.-f'(x0)B.f'(-x0)C.f'(x0)D.2f'(x0)
解析:=-=-f'(x0).
答案:A
3.函数f(x)=x2-ln(2x)的单调递减区间是(　　) A.B.,
C.,D.
答案:A
4.函数f(x)=的大致图象是(　　)
解析:因为f(x)的定义域为{x|x≠0},f(-x)==-=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B,D.
因为当x∈(0,+∞)时,f'(x)=,令f'(x)=0,解得x=e,
所以当x∈(0,e)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
所以选A.
答案:A
5.(2023·广东高州一模)若曲线f(x)=(a+2)x+上存在点A,B,使得曲线f(x)在点A,B处的切线互相垂直,则a的取值范围是 (　　)
A. B.(-1,2)C. D.
解析:由题意,得f'(x)=a+2-.
因为设f(x)在A,B两点处的切线的斜率分别为k1,k2,
则a-2由题可知k1k2=-1,
所以a-2<0,a+1>0,(a-2)(a+1)<-1,
解得答案:A
6.某底面为正方形的长方体箱子的容积V与底面边长x之间的关系为V(x)=x2·(0解析:因为V(x)=-x3+30x2,
所以V'(x)=-x2+60x=-x(x-40).
令V'(x)=0,得x=0或x=40,
所以当00,
当40所以V(x)在区间(0,40)内单调递增,在区间(40,60)内单调递减,
所以x=40是V(x)的极大值点,也是最大值点.
答案:B
7.设函数f(x)的导函数是f'(x),若f(x)=f'cos x-sin x,则f'= (　　)
A.- B.C. D.-
解析:由f(x)=f'cos x-sin x,
得f'(x)=-f'sin x-cos x,
所以f'=-f'sin-cos,
所以f'=0,所以f(x)=-sin x,
所以f'(x)=-cos x,所以f'=-,故选A.
答案:A
8.已知f(x)为定义在区间(0,+∞)上的可导函数,若f(x)>xf'(x)恒成立,则不等式x2f-f(x)>0的解集为(　　) A.(0,1) B.(1,2)C.(1,+∞) D.(2,+∞)
解析:令F(x)=(x>0),则F'(x)=.因为f(x)>xf'(x),所以F'(x)<0,即F(x)在区间(0,+∞)上为减函数.由不等式x2f-f(x)>0,得>,所以1.
答案:C
二、多项选择题:本题共4小题,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)的定义域为R,且导数为f'(x),函数y=xf'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的单调递增区间是(-2,0),(2,+∞)
B.函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2),(2,+∞)
C.-2是函数f(x)的极小值点
D.2是函数f(x)的极小值点
解析:由题图可知,当x<-2时,xf'(x)<0,即f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当-20,即f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当02时,xf'(x)>0,即f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2),(2,+∞),则B项正确,A项错误;-2是函数f(x)的极大值点,2是函数f(x)的极小值点,则D项正确,C项错误.
答案:BD
10.若函数f(x)的导数f'(x)的图象关于y轴对称,则函数f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)=3cos x
B.f(x)=x3+x
C.f(x)=x+
D.f(x)=ex+x
解析:根据题意,依次分析各选项.
对于选项A,f(x)=3cos x,其导数f'(x)=-3sin x为奇函数,图象不关于y轴对称,不符合题意;
对于选项B,f(x)=x3+x,其导数f'(x)=3x2+1为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;
对于选项C,f(x)=x+,其导数f'(x)=1-为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;
对于选项D,f(x)=ex+x,其导数f'(x)=ex+1不是偶函数,图象不关于y轴对称,不符合题意.
答案:BC
11.直线y=x+b能作为下列函数图象的切线的有(　　) A.f(x)= B.f(x)=x4
C.f(x)=sin x D.f(x)=ex
解析:直线y=x+b的斜率为,对于f(x)=,f'(x)=-=不成立,所以选项A不符合题意;
对于f(x)=x4,f'(x)=4x3=可以成立,所以选项B符合题意;
对于f(x)=sin x,f'(x)=cos x=可以成立,所以选项C符合题意;
对于f(x)=ex,f'(x)=ex=可以成立,所以选项D符合题意.
答案:BCD
12.已知函数f(x)=x3-2x2-4x-7,其导数为f'(x),下列命题中真命题为 (　　)
A.函数f(x)的单调递减区间是
B.函数f(x)的极小值是-15
C.当a>2时,对任意的x>2,且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f'(a)(x-a)
D.函数f(x)有且只有一个零点
解析:f(x)=x3-2x2-4x-7的导数为f'(x)=3x2-4x-4.
令f'(x)=0,解得x=-或x=2.
当f'(x)>0,即x<-或x>2时,函数f(x)单调递增;
当f'(x)<0,即-故当x=2时,函数有极小值,极小值为f(2)=-15,当x=-时,函数有极大值,极大值为f=-,
故函数f(x)只有一个零点.
故选项A错误,选项B,D正确.
当a>2时,要证明对任意的x>2且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f'(a)(x-a),即证明f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=x3+2a3-2x2-2a2-3a2x+4ax>0在x>2,a>2,且x≠a时恒成立,
令g(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a),
则g'(x)=3x2-4x-3a2+4a,
令h(x)=g'(x),h'(x)=6x-4.
因为当x>2时,h'(x)>0,所以g'(x)在区间(2,+∞)上单调递增.
又因为g'(a)=0,所以当2a时,g'(x)>0,
所以g(x)在区间(2,a)内单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增.
因为x≠a,所以g(x)>g(a)=0恒成立,
所以恒有f(x)>f(a)+f'(a)·(x-a).
故选项C正确.
答案:BCD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.
解析:y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=ex(3x2+9x+3),所以所给曲线在点(0,0)处的切线的斜率k=e0×3=3,所以切线方程为y=3x.
14.(2023·广东广州一模)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数为f'(x),若xf'(x)-1<0,f(e)=2,则关于x的不等式f(ex)解析:设g(x)=f(x)-ln x,x∈(0,+∞),则g'(x)=f'(x)-=.又xf'(x)-1<0,则g'(x)<0,所以函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递减.因为f(e)=2,所以g(e)=f(e)-ln e=1.由f(ex)e,解得x>1,即不等式f(ex)15.设某工厂生产x件产品的成本(单位:元)为C=25 000+200x+x2,则当平均每件产品的成本最低时,x=1 000,此时平均最低成本为250元.(本题第一空2分,第二空3分)
解析:设平均成本为y元,
则y==+200+(x>0),y'=+.
令y'=0,得x=1 000或x=-1 000(舍去).
当01 000时,y'>0,
故当x=1 000时,y取得最小值,最小值为250,即平均最低成本为250元.
16.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)内单调递增,则实数m的取值范围是(-1,0].
解析:f'(x)=.由f'(x)>0,解得-1又因为函数f(x)在区间(m,2m+1)内单调递增,
所以解得-1四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.
17.(10分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R,已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
解:(1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a.
因为f(x)在x=3处取得极值,
所以f'(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3.
所以f(x)=2x3-12x2+18x+8.
(2)易知点A在f(x)的图象上,
由(1),可知f'(x)=6x2-24x+18,
所以f'(1)=6-24+18=0,
所以切线方程为y=16.
18.(12分)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当a>0时,f(x)>2ln a+.
(1)解:因为f(x)=a(ex+a)-x,f(x)的定义域为R,所以f'(x)=aex-1.
当a≤0时,由于ex>0,则aex≤0,故f'(x)=aex-1<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减.
当a>0时,令f'(x)=aex-1=0,解得x=-ln a,
当x<-ln a时,f'(x)<0,则f(x)在区间(-∞,-ln a)上单调递减;
当x>-ln a时,f'(x)>0,则f(x)在区间(-ln a,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在区间(-∞,-ln a)上单调递减,f(x)在区间(-ln a,+∞)上单调递增.
(2)证明:由(1)得,f(x)min=f(-ln a)=a(e-ln a+a)+ln a=1+a2+ln a.
要证f(x)>2ln a+,即证1+a2+ln a>2ln a+,即证a2--ln a>0恒成立,
令g(a)=a2--ln a(a>0),则g'(a)=2a-=.
令g'(a)<0,则00,则a>.
所以g(a)在区间内单调递减,在区间上单调递增.所以g(a)min=g=2--ln=ln>0,则g(a)>0恒成立.
所以当a>0时,f(x)>2ln a+恒成立.
19.(12分)某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形,且面积为200 m2的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16 m,如果处理池的外周壁每米的建造价格为400元,中间两条隔墙每米的建造价格为248元,池底每平方米的建造价格为80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖),那么当污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低 并求最低总造价.
解:设矩形污水处理池的长为x m,则宽为 m.
根据题意,得解得10≤x≤16,总造价f(x)=×400+×2×248+200×80=800x++16 000(10≤x≤16).
令f'(x)=800-=0,解得x=18(负值舍去).
当x∈(0,18)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(18,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
因此在定义域内,函数f(x)为减函数,当且仅当长为16 m,宽为12.5 m时,总造价最低,最低总造价为45 000元.
20.(12分)已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-.
(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1-(x>0),
所以f(1)=1,f'(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)由f'(x)=1-=(x>0),知
①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为区间(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a.
则当x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
故函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1与x=2处都取得极值.
(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-2,3],不等式f(x)+c解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b,
由题意,得即解得
所以f(x)=x3-x2-6x+c,f'(x)=3x2-3x-6.
令f'(x)<0,解得-1令f'(x)>0,解得x<-1或x>2.
所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,2),单调递增区间为(-∞,-1),(2,+∞).
(2)由(1),知函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,2)内单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.
当x∈[-2,3]时,f(-1)=+c,f(3)=-+c,
所以当x=-1时,函数f(x)取得最大值.
要使f(x)+cf(-1)+c,即2c2>7+5c,解得c<-1或c>.
所以c的取值范围为(-∞,-1)∪.
22.(12分)(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值.
(1)求a;
(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
(1)解:f(x)的定义域为R.因为f(x)=ex-ax,所以f'(x)=ex-a.
若a≤0,则f'(x)>0.f(x)无最小值,故a>0.
令f'(x)=0,解得x=ln a.所以当xln a时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(ln a,+∞)上单调递增.故f(x)min=f(lna)=a-aln a.
g(x)的定义域为(0,+∞).因为g(x)=ax-ln x,所以g'(x)=a-.
令g'(x)=0,解得x=.所以当0时,g'(x)>0,函数g(x)在区间上单调递增.故g(x)min=g=1+ln a.
因为函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值,所以a-aln a=1+ln a.又a>0,所以a-aln a=1+ln a化为ln a-=0.
令h(x)=ln x-,x>0,则h'(x) =-=-=,又x>0,所以h'(x)=>0恒成立,所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,h(a)=0,且a>0,所以a=1.
(2)证明:由(1)知a=1,函数f(x)=ex-x在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=x-ln x在区间(0,1)内单凋递减,在区间(1,+∞)上单调递增.
设u(x)=f(x)-g(x)=ex-2x+ln x(x>0),则u'(x)=ex-2+>ex-2.当x≥1时,u'(x)≥e-2>0,所以函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
因为u(1)=e-2>0,所以当x≥1时,u(x)≥u(1)>0恒成立,即f(x)-g(x)>0在x≥1时恒成立,所以x≥1时,f(x)>g(x).
因为f(0)=1,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,g(1)=1,函数g(x)在区间(0,1)内单调递减,所以函数f(x)与函数g(x)的图象在区间(0,1)内存在唯一交点,设该交点为M.此时可作出函数y=f(x)和y=g(x)的大致图象,如图所示.
当直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点时,设这三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,则由图象知,x1<0又f(x1)=b=g(x2),则-x1=x2-ln x2,即-x1=-ln x2,f(x1)=f(ln x2).又x1,ln x2∈(-∞,0),且f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,所以x1=ln x2.
又g(x3)=b=f(x2),则x3-ln x3=-x2,即-ln x3=-x2,f(ln x3)=f(x2).又ln x3,x2∈(0,+∞),且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以x2=ln x3.
因为x2-x1=x2-ln x2=g(x2)=b,x3-x2=x3-ln x3=g(x3)=b,所以x1,x2,x3成等差数列.
即存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.