【深圳专用】北师大版八年级上一次函数压轴训练02（含解析）

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一次函数压轴训练02
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，已知直线：分别交轴、轴于点两点，，分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、解答题
2．（2020秋·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图1，已知直线AO与直线AC的表达式分别为：和．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）若点M在直线AC上，点N在直线OA上，且MN//y轴，MN=OA，求点N的坐标；
（3）如图2，若点B在x轴正半轴上，当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，求∠ACO+∠BCO的大小．
3．（2022春·广东深圳·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x交于点A（2，a），与y轴交于点B（0，6），与x轴交于点C．
(1)求直线l1的函数表达式；
(2)在平面直角坐标系中有一点P（5，m），使得S△AOP＝S△AOC，求出点P的坐标；
(3)点M为直线l1上的动点，且点M不在坐标轴上，过点M作y轴的平行线，交l2于点N，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的坐标．
4．（2021·广东深圳·八年级深圳市南山外国语学校校考期中）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A(4，0)，交y轴正半轴于点B．
（1）①求m的值；
②点Q为直线AB上一点，且S△OBQ＝3，求点Q的坐标；
（2）如图2，直线AC与y轴负半轴交于C，且AB=BC，若直线y＝kx+b与直线AB、直线AC不能围成三角形，k＝ ；
（3）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB＝BC，P为线段AB（不含A，B两点）上一点，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式．
5．（2021秋·广东深圳·八年级校考期中）阅读下列两段材料，回答问题：
材料一：点A（x1，y1），B（x2，y2）的中点坐标为（，）．例如，点（1，5），（3，﹣1）的中点坐标为（，），即（2，2）．
材料二：如图1，正比例函数l1：y＝k1x和l2：y＝k2x的图象相互垂直，分别在l1和l2上取点A，B，使得AO＝BO．分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点C，D．显然，△AOC≌△OBD．设OC＝BD＝a，AC＝OD＝b，则A（﹣a，b），B（b，a）．于是k1＝﹣，k2＝，所以k1 k2的值为一个常数．一般地，一次函数y＝k1x+b1，y＝k2x+b2可分别由正比例函数l1，l2平移得到．
所以，我们经过探索得到的结论是：任意两个一次函数y＝k1x+b1，y＝k2x+b2的图象相互垂直，则k1 k2的值为一个常数．
（1）在材料二中，k1 k2＝　 （写出这个常数具体的值）；
（2）如图2，在矩形OBAC中A（4，2），点D是OA中点，用两段材料的结论，求点D的坐标和OA的垂直平分线l的解析式；
（3）若点C′与点C关于OA对称，用两段材料的结论，求点C′的坐标．
6．（2019秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线BC：，直线BD与x轴交于点A，点B（2，3），点D（0，）．
（1）求直线BD的函数解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得△ABC与△ACP的面积相等，求出点P的坐标；
（3）如图2，E为线段AC上一点，连结BE，一动点F从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位运动到点E再沿线段EA以每秒个单位运动到A后停止，设点F在整个运动过程中所用时间为t，求t的最小值．
7．（2021春·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线于点E．
（1）直线l对应的函数表达式是__________，点E的坐标是__________；
（2）在直线上存在点F（不与点E重合），使，求点F的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2021春·广东深圳·八年级深圳市福田区莲花中学校考阶段练习）某商场计划用元从厂家购进台新型电子产品，已知该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型 乙型 丙型
价格（元/台）
销售获利（元/台）
购买丙型设备 台(用含的代数式表示) ；
若商场同时购进三种不同型号的电子产品(每种型号至少有一台)，恰好用了元，则商场有哪几种购进方案
在第题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案 此时获利为多少
三、应用题
9．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于两点，直线与y轴交于点，与直线交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)点是线段上一点，连接，当的面积为9，求点坐标；
(3)若正比例函数的图像与直线交于点，且点、点到直线的距离相等，请直接写出符合条件的的值．
四、问答题
10．（2023秋·广东深圳·八年级深圳市大鹏新区华侨中学校联考期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且．
(1)点的坐标为___________；点的表达式为___________；
(2)在轴上有一点，在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由：
(3)若轴上的动点在点的右侧，以为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长，交轴于点，当运动时，点的位置是否发生变化？若不变，请求出点的坐标；若变化，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】首先求得， 取点，连接，证明，即可推导，即有，因为，即当共线时，的值最小；利用待定系数法求出直线的解析式，即可获得答案．
【详解】解：对于直线：，
当时，可有，
当时，可有，解得，
∴，
又∵，
∴，
如下图，取点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为线段的长，
即当共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
将点代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点，
∴当的值最小时，点的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征、待定系数法求一次函数解析式、最短路径、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用相关知识，并学会构建全等三角形解决问题．
2．（1）A点的坐标为（4，2）；（2）N的坐标为（），（）；（3）∠ACO+∠BCO=45°
【分析】（1）利用直线AO与直线AC交点为A即可求解；
（2）先求出MN的长，再设设M的坐标为（a，2a-6），则则N的坐标为（a，），表示出MN的长度解方程即可；
（3）作∠GCO=∠BCO，把∠ACO+∠BCO转化成∠ACG。题目条件没出现具体角度，但结论又要求角度的，这个角度一定是一个特殊角，即∠ACG的度数一定是个特殊角；即∠ACG处于一个特殊的三角形中，于是有了作DE⊥GC的辅助线思路，运用勾股定理知识即可解答．
【详解】（1）联立和得：
解得
A点的坐标为（4，2）；
（2）∵A点的坐标为（4，2）
∴OA=，
∴MN=OA=2，
∵点M在直线AC上，点N在直线OA上，且MN//y轴，
∴设M的坐标为（a，2a-6），则N的坐标为（a，），
则存在以下两种情况：
①当M在N点下方时，如图3，
则MN=-（2a-6）=2，解得a=，
∴N点的坐标为（）；
②当M在N点上方时，如图4，
则MN=（2a-6）-=2，解得a=，
∴N点的坐标为（）；
综上所述，N的坐标为（），（）
（3）∵△BOC与△AOC有相同的底边OC，
∴当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，△BOC的高OB的长度是△AOC的高的一半，
∴OB=2，
设直线AC与x轴的交点为点D，则D（3，0），
作点B关于y轴的对称点G，则OG=0B=2，GD=5，∠BCO=∠GCO，
则∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠GCO=∠ACG，
连接GC，作DE⊥GC于点E，如图5
由勾股定理可得：GC=，DC=，
在△CGD中，由等面积法可得：OC DG=DE GC，
可得DE=，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得EC=，
∴ED=EC，∴∠ECD=45°，即∠ACO+∠BCO=45°．
【点睛】本题考查一次函数的综合运用，坐标结合勾股定理计算边长是解题的关键.
3．(1)
(2)（5，2）或（5，8）
(3)或或
【分析】（1）根据A（2，a）在y=x图象上，求出点A的坐标，根据待定系数法求直线l1的函数表达式即可；
（2）作平行线，根据平行线之间的距离处处相等即可得到S△AOP=S△AOC，求出直线的解析式，把P（5，m）代入即可求出答案；
（3）根据直角的不确定性，分情况分别计算即可．
【详解】（1）解：∵点A（2，a）在直线l2：y＝x上，
∴a＝2，即A（2，2），
∵直线l1：y＝kx+b过点A（2，2）、点B（0，6），
∴ 解得：，
∴直线直线l1的函数表达式为：y＝﹣2x+6；
（2）解：∵S△AOP＝S△AOC，
∴当以AO为底边时，两三角形等高，
∴过点P且与直线AO平行的直线l3为：y＝x+d，
①直线l3过点C（3，0），得l3为：y＝x﹣3，
当x＝5时，m＝5﹣3＝2，
∴点P（5，2），
②点C（3，0）关于点A（2，2）的对称点为（1，4），
直线l3过点（1，4），得l3为：y＝x+3，
当x＝5时，m＝5+3＝8，
∴点P（5，8），
综上所述，点P坐标为（5，2）或（5，8）；
（3）解：设M（a，-2a+6），则N（a，a），
∴MN=|-2a+6-a|=|-3a+6|，
如图，当∠MQN=90°时，过点Q作QD⊥MN于D，
∵△MNQ为等腰直角三角形，
∴MD=ND=QD，
∴MN=2QD，
∴|-3a+6|=2|a|，
解得：a=或a=6，
∴M（，）或M（6，-6）；
如图，当∠QMN=90°或∠QNM=90°时，
∵MN=MQ或MN=NQ，
∴|-3a+6|=|a|，
解得a=或a=3，
∴M（，3）或M（3，0），
∵点M不在坐标轴上，
∴M（，3）；
综上所述，M（，）或M（6，-6）或M（，3）．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，考查分类讨论的思想，根据直角的不确定性，分情况分别计算是解题的关键．
4．（1）①3；②Q（2，）或Q（-2，）；（2）直线y＝kx+b不过点A， 或；直线y＝kx+b过点A，=-；（3）
【分析】（1）①把A（4，0）代入直线解析式求解即可；
②设，根据求解即可；
（2）分两种情况，直线y＝kx+b不过点A时与直线AB、直线AC不能围成三角形，则直线y＝kx+b与直线AB平行或与直线AC平行；直线y＝kx+b过点A时，不能围成三角形，由此求解即可；
（3）设点P的横坐标为t，则P、Q的坐标分别为，，则．
【详解】解：（1）①∵直线经过点A（4，0），
∴，
∴；
②由直线的解析式为，设，
∵B是直线与y轴的交点，
∴B（0，3），
∴OB=3
∵，
∴，
解得，
∴Q（2，）或Q（-2，）；
（2）直线的解析式为与y轴交点B的坐标为（0，3）
∵点A（4，0）
在Rt△AOB中
∴AB=
∴OC=BC-OB=5-3=2，
∴点C（0，-2），
设AC解析式为，将A、C两点坐标代入得
解得
∴直线AC的解析式为，
设直线y＝kx+b与x轴交于F，与y轴交于E，
分两种情况，直线y＝kx+b不过点时，
当EF∥AB时，直线y＝kx+b与直线AB、直线AC不能围成三角形，
∴当直线y＝kx+b与直线AB平行时，
当EF∥AC时，直线y＝kx+b与直线AB、直线AC不能围成三角形，
∴直线y＝kx+b与直线AC平行时，
当直线y＝kx+b过点A时
当点F与点A重合时，直线y＝kx+b与直线AB、直线AC不能围成三角形，
∴4k+b=0，即=-，
∴直线直线y＝kx+b过点A，=-，
综上所述，直线y＝kx+b不过点A， 或；直线y＝kx+b过点A，为任意值；
（3）由（2）直线AC的解析式为
设点P的横坐标为t，
∵PQ∥y轴，
∴点P与点Q的横坐标相同，
则P、Q的坐标分别为，，
∵点P在AB上运动，
∴0＜t＜4
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，与坐标轴的交点等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5．（1）﹣1；（2）点D的坐标为（2，1），OA的垂直平分线l的解析式为y＝﹣2x+5；（3）点C′的坐标为（，﹣）．
【分析】（1）将，的值相乘，即可得出结论；
（2）由点，的坐标可求出其中点的坐标，由点的坐标可得出直线的解析式，由（1）的结论可设直线的解析式为，代入点的坐标即可求出直线的解析式；
（3）由矩形的性质可得出点的坐标，由（1）的结论可设直线的解析式为，代入点的坐标可求出直线的解析式，联立直线和的解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，再由点为线段的中点可求出点的坐标．
【详解】解：（1），，
．
故答案为：；
（2）点的坐标为，点的坐标为，点是中点，
点的坐标为．
点的坐标为，
直线的解析式为．
直线直线，
设直线的解析式为．
直线过点，
，解得：，
的垂直平分线的解析式为；
（3）点的坐标为，四边形为矩形，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，
，即直线的解析式为．
联立直线和的解析式成方程组，得：，
解得：，
点的坐标为，，
点为线段的中点，
点的坐标为，，即，．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及中点坐标公式，解题的关键是：（1）将，的值相乘；（2）利用中点坐标公式求出点的坐标；（3）联立两直线的解析式成方程组，通过解方程组求出点的坐标．
6．（1）y=x+；（2）P（0，3）或（0，-3）；（3）
【分析】（1）设直线BD的解析式y=kx+b，将B（2，3）和D（0，）两点代入，利用待定系数法即可求得
（2）根据△ABC与△ACP的面积相等，得出P点纵坐标的绝对值，再根据点P在y轴上，从而确定点P的坐标
（3）根据题意可得，过点A作倾斜角为45度的直线l2，过点E作EF⊥l2交于点F，当B、E、F三点共线且垂直于直线l2时，t最小，即t=BF′，再求出直线l2和直线BF的交点，从而求出F′的坐标，继而求出BF′即可．
【详解】解：（1）设直线BD的解析式为：y=kx+b，
将 B（2，3）和D（0，）两点代入解析式
得：解得：
∴直线BD的表达式为：y=x+；
（2）∵△ABC与△ACP的面积相等
∵△ABC与△ACP同底，
∴
∵点P在y轴上，
∴
∴P（0，3）或（0，-3）
（3）根据题意可得：
过点A作倾斜角为45度的直线l2，过点E作EF⊥l2交于点F，
则：EF=AE，即t=BE+EF，
当B、E、F三点共线且垂直于直线l2时，t最小，即：t=′，
直线l2的表达式为：y=-x-2，直线BF表达式为：y=x+1，
将上述两个表达式联立并解得：即：点F′
s
【点睛】本题为一次函数综合运用题，涉及到待定系数法求一次函数的解析式、以及两直线的交点、三角形的面积等知识，其中（3）构造适当路径，是求解此类题目的一个基本方法．
7．（1），；（2）存在，；（3）或
【分析】（1）根据一次函数平移的方法求出直线l对应的函数表达式，再联立两个直线解析式求出交点坐标；
（2）作轴于M，轴于N，利用，得到F点的横坐标，再代入解析式求出F点纵坐标即可；
（3）在y轴正半轴上取一点Q，使，利用等腰三角形的性质得，即可求出，再由勾股定理求出OP的长，得到点P坐标．
【详解】解：（1）正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度，
得，
联立两个直线解析式，得，解得，
∴，
故答案是：，；
（2）如图，作轴于M，轴于N，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴；
（3）易知，，
∴，，
如图，在y轴正半轴上取一点Q，使，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴或．
【点睛】本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数解析式的求法，以及利用数形结合思想解决一次函数与几何综合问题．
8．(1) ； (2) 购进方案有三种，分别为:方案一:甲型台，乙型台，丙型台；方案二:甲型台，乙型台，丙型台；方案三:甲型台，乙型台，丙型台；(3) 购进甲型台，乙型台，丙型台，获利最多，为元
【分析】（1）用总台数减去甲、乙两型的数量及得丙的数量；
（2）根据总费用恰好是56000元可列写一个等式方程，其中包含2个未知数，仅能得出x、y之间的关系式：.再利用x、y都是正数，可得y必须是5的倍数；
（3）在（2）中得出的几种方案中，分别求解利润，得出利润最多的情况
【详解】解：
由题意得，
化简整理得：
当时，；
当时，；
当时，．
购进方案有三种，分别为:
方案一:甲型台，乙型台，丙型台；
方案二:甲型台，乙型台，丙型台；
方案三:甲型台，乙型台，丙型台．
方案一:(元)，故可获利元，
方案二一:(元)，故可获利元，
方案三:(元)，故可获利元，
因为
所以购进甲型台，乙型台，丙型台，获利最多，为元．
【点睛】本题的难点是利用二元一次不定方程求解，当方程数量少于未知数时，通常是无法直接求解出未知数的值的.此刻，我们还需要根据“整数”这个条件，进行分析.
9．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意将点代入解方程组即可得到答案；
（2）联立两个函数解出点坐标，求出与x轴交点坐标，根据面积列方程即可得到答案；
（3）分两种情况讨论：当点P在下方时，设正比例函数的图像与直线交于点，过点作于点，过点作于点，根据题意可得，即G是的中点，联立函数得到两个交点，根据中点公式即可得的值；当正比例函数的图像与直线平行时，由“两直线平行，值相等”即可获得的值．
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于两点，
∴ ，
解得 ，
∴，
即的表达式为；
（2）解：联立两个函数，
可得
解得，
∴点的坐标为，
设与x轴交点为，
当时，可有，
解得，
∴，，
∵，
∴点在上，如图所示，设点的坐标为，
∵的面积为9，
∴，
∴，
即可得到，解得，
∴点坐标为；
（3）解：∵点、点到直线的距离相等，可分两种情况讨论：
①点P在下方时，如图所示，设正比例函数的图像与直线交于点，过点作于点，过点作于点，
由题意可得，，，
在与中，
∵，
∴，
∴是的中点，
联立函数得，
，解得：，即，
，解得：，即，
根据中点坐标关系得，
，
解得；
②当正比例函数的图像与直线平行时，如下图，
∵直线的解析式为，
∴．
综上所述，符合条件的的值为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法解一次函数解析式、一次函数交点问题及到直线距离相等问题，解题的关键是利用数形结合的思想将几何转换成方程求解．
10．(1)；
(2)或或或
(3)
【分析】（1）由，得，从而得到，再用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）设点，可得，分情况三种：；；，分别求出的值即可得解；
（3）过点作轴，由证得，从而得到，进而推导出为等腰直角三角形，，故 ．
【详解】（1）解：∵，
∴，
设直线的解析式为，把 分别代入得：
故直线的解析式为；
故答案为：；；
（2）在轴上存在点，使是等腰三角形，设．
依题意得，，
当时，点位置如图中的点，如图，
，
，
；
当，时点位置如图1中的点，
此时，，
在中，，
解得：．
；
当时，点位置如图1中的点、，
，
解得：或．
，，
综上所述，点的坐标为或或或；
（3）当运动时，点的位置不发生变化，点的坐标为，
理由如下：
过点作轴，则，则，如图，
为等腰直角三角形，，
，，
在中，，
，
在和中，
，
，，
设，则，，
为等腰直角三角形，
，
，
．
【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及全等三角形的判定与性质作辅助线构造全等是解答此题的关键．
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