全等三角形复习课
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课件41张PPT。全等三角形的应用将两个全等的等边三角形△ABC和△ACD如图所示
拼在一起，把含60°角的三角板与这个图形重合，使
三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、
AC重合。将三角板绕点A按逆时针方向旋转。
(1)当三角板的两边分别与两边BC、CD相交于
点E、F时，如图，通过观察或根据定义你能得
出图中有哪几对三角形全等？并说明理由。
ABECDF将两个全等的等边三角形△ABC和△ACD如图所示
拼在一起，把含60°角的三角板与这个图形重合，使
三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、
AC重合。将三角板绕点A按逆时针方向旋转。
(2)当三角板两边分别与两边BC、CD的延长线
相交于E、F时，如图，你在①中得出的结论还
成立吗？简要说明理由。ABDCEF习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）图1图3图2习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；图4图3习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；图3图5习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH图6图3(1)操作:固定△ABC,将△C D E绕点C顺时针旋转30? 得到△CDE，联结AD、BE,CE的延长线交AB于F（如图②）；′′′′′′ 探究：在图②中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.( ′)(1)操作:固定△ABC,将△C D E绕点C顺时针旋转30? 得到△CDE，联结AD、BE,CE的延长线交AB于F（如图②）；′′′′′′ 探究：在图②中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.ABCDEF图②(30? 已知:△ABC 和△EFG是两块完全重合的等边三角形纸片，O是AC（或EF）的中点， △ABC不动，将△EFG绕O点顺时针转X度（0 < X<120）角(2007江西)（1）试分别说明X
为多少时，点F在
△ABC外部、BC边
上、内部
（不要求证明）A(E)B(G)C(F)OABCOABCGEFX。PGEF图1图2Q（2）当点F不在BC上时，在图1和图2两种情况下，分别写出OP与OQ的数量关系，并对图2的情况给予说明。X。PO△OCP≌△OEQQ如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。 问题 ⑴在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①证明DM＝DN；②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边DMBN的面积是否发生变化？ 若发生变化，请说明 是如何变化的？ 若不发生变化， 求出其面积； 问题第25题图图3图2图1NFEBCDAM⑵继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立， 请给出证明； 若不成立， 请说明理由； 第25题图图2⑶继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？ 若成立， 请给出写出结论， 不用证明。第25题图图3图2四边形背景（07．佳木斯）已知四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°， ∠ MBN=60°，∠ MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠ MBN绕点B旋转到时AE=CF（如图1），易证AE+CF=EF．
当∠ MBN绕点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 已知正方形ABCD,现将三块不同的
三角板纸片的一个锐角顶点与A重合,适
当绕A点旋转该三角形纸片,该锐角的两
边分别交直线BC、 CD于M、 N,且满足
AN平分 DAM
(1)当M、 N分别
在BC、 CD上时，
求证：
AM=BM+DN
ABMCND且满足AN平分 DAM
(2)当M、 N分别在BC、 CD所在的直线上时，线段AM 、 BM 、DN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论.
ABMCND图2且满足AN平分 DAM
(2)当M、 N分别在BC、 CD所在的直线上时，线段AM 、 BM 、DN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论.
图3ABMCND图3ABMCNDK4xDN=AM+BM5x-1x（07．四川资阳）已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.(1) 求证：BP=DP；
(2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论阶梯式习题 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在线段CF上，M 为AE的中点，且CF＝2AD.
探 究：线段MD、MF的关系 .MF的关系，并加以证明。 MD=MF
MD⊥MF 阶梯1 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在线段CF上， M 为AE的中点，且CF＝2AD.
探究：线段MD、MF的关系 . 究：线段MD、MF的关系， 延长
DM交
FE于N 阶梯1 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在
线段CF上， M 为AE的中点.
探究：线段MD、MF的关系 . 探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。 MD=MF
MD⊥MF 阶梯2延长
DM交
FE于N 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在线
段CF上， M 为AE的中点.
探究：线段MD、MF的关系 . 探究：线段MD、MF的 。 阶梯2四边形 ABCD与四边形CGEF为正方形， D在线段CF上， 将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，DM的延长线交CE于点N，
且AD＝NE；其他条件不变； 探究：线段MD、MF的关系 . 连结
FD、
FN
阶梯3 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在线段 CF上， M 为AE的中点.将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°， 其他条件不变；
探究：线段MD、MF的关系 . MD=MF
MD⊥MF 阶梯4 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在线段CF上， M 为AE的中点。 将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°， 其他条件不变；
探究：线段MD、MF的关系 . 延长DM交CE于N，连结 FD、FN .阶梯4方法1 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在线
段CF上， M 为AE的中点. 将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°， 其他条件不变；
探究：线段MD、MF的关系 . 连结AC、FD，延长DM交CE于N，连结 CM并延长交FE于H. 阶梯4方法2 将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不变.
探究：线段MD、MF的关系.阶梯5 方法1：延长DM到N，使MN=MD，连结FD、FN、
EN，延长EN与DC延长线交于点H. 方法2：过点E作AD的平行线交DM、DC的延长线于N、H，连结DF、FN.阶梯5 阶梯式习题如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF＝AE．
（1）若把△ADE绕点D旋转一定的角度时，能否与△CDF重合？请说明理由．
（2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ ABH，AH交ED于点G．
求证：AH⊥ED，
并求AG的长． 与平面直角坐标系如图，点A在Y轴上，点B在X轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线X=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论。
xyOABC11 在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B，点C在轴的负半轴上，
（1）求点C的坐标；
（2）将 绕点C按顺
时针方向旋转30°到
的位置，其中
交直线OA于点E， 分
别交直线OA,CA于点F,G，
则
除外，还有哪几对
全等的三角形，
请直接写出答案；
xyOABC11BAFEG
拼在一起，把含60°角的三角板与这个图形重合，使
三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、
AC重合。将三角板绕点A按逆时针方向旋转。
(1)当三角板的两边分别与两边BC、CD相交于
点E、F时，如图，通过观察或根据定义你能得
出图中有哪几对三角形全等？并说明理由。
ABECDF将两个全等的等边三角形△ABC和△ACD如图所示
拼在一起，把含60°角的三角板与这个图形重合，使
三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、
AC重合。将三角板绕点A按逆时针方向旋转。
(2)当三角板两边分别与两边BC、CD的延长线
相交于E、F时，如图，你在①中得出的结论还
成立吗？简要说明理由。ABDCEF习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）图1图3图2习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；图4图3习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；图3图5习题如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH图6图3(1)操作:固定△ABC,将△C D E绕点C顺时针旋转30? 得到△CDE，联结AD、BE,CE的延长线交AB于F（如图②）；′′′′′′ 探究：在图②中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.( ′)(1)操作:固定△ABC,将△C D E绕点C顺时针旋转30? 得到△CDE，联结AD、BE,CE的延长线交AB于F（如图②）；′′′′′′ 探究：在图②中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.ABCDEF图②(30? 已知:△ABC 和△EFG是两块完全重合的等边三角形纸片，O是AC（或EF）的中点， △ABC不动，将△EFG绕O点顺时针转X度（0 < X<120）角(2007江西)（1）试分别说明X
为多少时，点F在
△ABC外部、BC边
上、内部
（不要求证明）A(E)B(G)C(F)OABCOABCGEFX。PGEF图1图2Q（2）当点F不在BC上时，在图1和图2两种情况下，分别写出OP与OQ的数量关系，并对图2的情况给予说明。X。PO△OCP≌△OEQQ如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。 问题 ⑴在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①证明DM＝DN；②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边DMBN的面积是否发生变化？ 若发生变化，请说明 是如何变化的？ 若不发生变化， 求出其面积； 问题第25题图图3图2图1NFEBCDAM⑵继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立， 请给出证明； 若不成立， 请说明理由； 第25题图图2⑶继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？ 若成立， 请给出写出结论， 不用证明。第25题图图3图2四边形背景（07．佳木斯）已知四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°， ∠ MBN=60°，∠ MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠ MBN绕点B旋转到时AE=CF（如图1），易证AE+CF=EF．
当∠ MBN绕点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 已知正方形ABCD,现将三块不同的
三角板纸片的一个锐角顶点与A重合,适
当绕A点旋转该三角形纸片,该锐角的两
边分别交直线BC、 CD于M、 N,且满足
AN平分 DAM
(1)当M、 N分别
在BC、 CD上时，
求证：
AM=BM+DN
ABMCND且满足AN平分 DAM
(2)当M、 N分别在BC、 CD所在的直线上时，线段AM 、 BM 、DN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论.
ABMCND图2且满足AN平分 DAM
(2)当M、 N分别在BC、 CD所在的直线上时，线段AM 、 BM 、DN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论.
图3ABMCND图3ABMCNDK4xDN=AM+BM5x-1x（07．四川资阳）已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.(1) 求证：BP=DP；
(2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论阶梯式习题 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在线段CF上，M 为AE的中点，且CF＝2AD.
探 究：线段MD、MF的关系 .MF的关系，并加以证明。 MD=MF
MD⊥MF 阶梯1 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在线段CF上， M 为AE的中点，且CF＝2AD.
探究：线段MD、MF的关系 . 究：线段MD、MF的关系， 延长
DM交
FE于N 阶梯1 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在
线段CF上， M 为AE的中点.
探究：线段MD、MF的关系 . 探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。 MD=MF
MD⊥MF 阶梯2延长
DM交
FE于N 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在线
段CF上， M 为AE的中点.
探究：线段MD、MF的关系 . 探究：线段MD、MF的 。 阶梯2四边形 ABCD与四边形CGEF为正方形， D在线段CF上， 将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，DM的延长线交CE于点N，
且AD＝NE；其他条件不变； 探究：线段MD、MF的关系 . 连结
FD、
FN
阶梯3 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在线段 CF上， M 为AE的中点.将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°， 其他条件不变；
探究：线段MD、MF的关系 . MD=MF
MD⊥MF 阶梯4 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在线段CF上， M 为AE的中点。 将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°， 其他条件不变；
探究：线段MD、MF的关系 . 延长DM交CE于N，连结 FD、FN .阶梯4方法1 四边形 ABCD与四边形CGEF都为正方形，点 D在线
段CF上， M 为AE的中点. 将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°， 其他条件不变；
探究：线段MD、MF的关系 . 连结AC、FD，延长DM交CE于N，连结 CM并延长交FE于H. 阶梯4方法2 将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不变.
探究：线段MD、MF的关系.阶梯5 方法1：延长DM到N，使MN=MD，连结FD、FN、
EN，延长EN与DC延长线交于点H. 方法2：过点E作AD的平行线交DM、DC的延长线于N、H，连结DF、FN.阶梯5 阶梯式习题如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF＝AE．
（1）若把△ADE绕点D旋转一定的角度时，能否与△CDF重合？请说明理由．
（2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ ABH，AH交ED于点G．
求证：AH⊥ED，
并求AG的长． 与平面直角坐标系如图，点A在Y轴上，点B在X轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线X=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论。
xyOABC11 在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B，点C在轴的负半轴上，
（1）求点C的坐标；
（2）将 绕点C按顺
时针方向旋转30°到
的位置，其中
交直线OA于点E， 分
别交直线OA,CA于点F,G，
则
除外，还有哪几对
全等的三角形，
请直接写出答案；
xyOABC11BAFEG