第一章 空间向量与立体几何
——2023~2024学年高二数学人教A版(2019)
期末复习敲重点
学习目标整合
空间向量的概念及运算 （1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握空间两点间的距离公式.（2）了解空间向量的概念及运算，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
空间向量的应用 （1）能用向量方法证明直线、平面位置关系的判定定理.（2）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.
思维导图回顾知识
重难知识易混易错
重难知识点
1.空间向量的运算律
a.空间向量的加法、减法及数乘运算：
（1）；
（2）；
（3）当时，；当时，；当时，.
b.空间向量线性运算的运算律：
交换律：；
结合律：，；
分配律：，.（其中，）
2.共线向量和共面向量
（1）共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使.
（2）直线的方向向量： O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
（3）共面向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
3.空间向量数量积的运算律：，；（交换律）；（分配律）.
4.空间向量基本定理
（1）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
（2）如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
5.空间向量运算的坐标表示：设，，则
，，
，，.
空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示：
当时，，，；
；
；
.
空间两点间的距离公式：设，是空间中任意两点，则.
6.用空间向量研究直线、平面的位置关系
（1）空间中直线、平面的平行
①直线与直线平行：设，分别是直线，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得.
②直线与平面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则.
③平面与平面平行：设，分别是平面，的法向量，则，使得.
（2）空间中直线、平面的垂直
①直线与直线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则.
②直线与平面垂直：直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得.
③平面与平面垂直：设平面，的法向量分别为，，则.
7.点到直线的距离：向量在直线l上的投影向量为，设，则向量在直线l上的投影向量. 在中，由勾股定理，得.
8.点到平面的距离：已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点. 过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此.
10.异面直线所成的角：若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
11.直线与平面所成的角：直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则.
12.二面角：若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则.
易混易错例题
1.若向量，，且a与b的夹角的余弦值为，则( )
A.3 B.-3 C.11 D.3或-11
2.如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且.设，则x，y，z的值分别是( )
A.，， B.，， C.，， D.，，
3.如图，在正方体中，若棱长为1，点E，F分别为线段，上的动点，则( )
A.平面.
B.平面平面
C.点F到平面的距离为定值
D.直线AE与平面所成角的正弦值为定值
4.已知向量，，且与平行，则_________.
5.如图，在正六棱柱中，.
（1）求BC到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值.
核心素养对接高考
考情分析
利用空间向量证明平行与垂直以及求空间角、空间距离均是高考的热点，通过向量的运算来证明直线平行、垂直，求夹角，难度中等，以解答题形式出现，把立体几何问题转化为空间向量问题.
情境真题应用
1.（多选）如图所示，在一个密封的长方体装置中放一个棱长为1的正方体礼盒，已知，，的长分别为2，3，4.现以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则( )
A.
B.的中点坐标为
C.在方向上的投影的数量为
D.的长为
2.《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.该羡除是一个五面体ABCDFE，如图四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分别为3，7，且，，，则________.
3.若点M在平面外，过点M作平面的垂线，则称垂足N为点M在平面内的正投影，记为.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面ABCD为，点P是棱上一动点（与C，不重合），，.则下列三个结论：
①线段的取值范围是；
②存在点P，使得平面；
③存在点P，使得.
其中正确结论的序号是__________.
4.【2023年 新课标Ⅰ卷】如图，在正四棱柱中，，.点，，，分别在棱，，，上，，，.
(1)证明：；
(2)点P在棱上，当二面角为时，求.
5.【2023年 新课标Ⅱ卷】如图，三棱锥中，，，，E为BC中点.
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值.第一章 空间向量与立体几何
——2023~2024学年高二数学人教A版(2019)
期末复习敲重点
学习目标整合
空间向量的概念及运算 （1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握空间两点间的距离公式.（2）了解空间向量的概念及运算，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
空间向量的应用 （1）能用向量方法证明直线、平面位置关系的判定定理.（2）能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.
思维导图回顾知识
重难知识易混易错
重难知识点
1.空间向量的运算律
a.空间向量的加法、减法及数乘运算：
（1）；
（2）；
（3）当时，；当时，；当时，.
b.空间向量线性运算的运算律：
交换律：；
结合律：，；
分配律：，.（其中，）
2.共线向量和共面向量
（1）共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使.
（2）直线的方向向量： O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
（3）共面向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
3.空间向量数量积的运算律：，；（交换律）；（分配律）.
4.空间向量基本定理
（1）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
（2）如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
5.空间向量运算的坐标表示：设，，则
，，
，，.
空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示：
当时，，，；
；
；
.
空间两点间的距离公式：设，是空间中任意两点，则.
6.用空间向量研究直线、平面的位置关系
（1）空间中直线、平面的平行
①直线与直线平行：设，分别是直线，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得.
②直线与平面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则.
③平面与平面平行：设，分别是平面，的法向量，则，使得.
（2）空间中直线、平面的垂直
①直线与直线垂直：设直线，的方向向量分别为，，则.
②直线与平面垂直：直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得.
③平面与平面垂直：设平面，的法向量分别为，，则.
7.点到直线的距离：向量在直线l上的投影向量为，设，则向量在直线l上的投影向量. 在中，由勾股定理，得.
8.点到平面的距离：已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点. 过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此.
10.异面直线所成的角：若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
11.直线与平面所成的角：直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则.
12.二面角：若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则.
易混易错例题
1.若向量，，且a与b的夹角的余弦值为，则( )
A.3 B.-3 C.11 D.3或-11
答案：A
解析：因为，所以，解得.
2.如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且.设，则x，y，z的值分别是( )
A.，， B.，， C.，， D.，，
答案：D
解析：连接ON.由题知，，
，，.
3.如图，在正方体中，若棱长为1，点E，F分别为线段，上的动点，则( )
A.平面.
B.平面平面
C.点F到平面的距离为定值
D.直线AE与平面所成角的正弦值为定值
答案：ABC
解析：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，.
对于A，，，，，，，，又，平面，A正确；对于B，，，，，，，又，平面，又平面，平面平面，B正确；对于C，设，由，得，，点F到平面的距离，为定值，C正确；对于D，设，由，得，，易得是平面的一个法向量，设直线AE与平面所成的角为，则，不是定值，D错误.
4.已知向量，，且与平行，则_________.
答案：
解析：，.因为与平行，所以当时，，解得；当时，，.综上，.
5.如图，在正六棱柱中，.
（1）求BC到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值.
答案：（1）
（2）
解析：（1）连接AE.
因为ABCDEF为正六边形，所以.
因为，所以，故.
因为底面ABCDEF，所以以点E为坐标原点，EA，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，.
在正六棱柱中，.
因为平面，平面，
所以平面，
所以BC到平面的距离等于点B到平面的距离.
设平面的法向量为.
，.
由取，
得为平面的一个法向量.
又，所以直线BC到平面的距离.
（2）设平面的法向量为.
，.
由取，
得为平面的一个法向量，
则，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
核心素养对接高考
考情分析
利用空间向量证明平行与垂直以及求空间角、空间距离均是高考的热点，通过向量的运算来证明直线平行、垂直，求夹角，难度中等，以解答题形式出现，把立体几何问题转化为空间向量问题.
情境真题应用
1.（多选）如图所示，在一个密封的长方体装置中放一个棱长为1的正方体礼盒，已知，，的长分别为2，3，4.现以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则( )
A.
B.的中点坐标为
C.在方向上的投影的数量为
D.的长为
答案：AD
解析：对于A，因为，所以，故A正确.
对于B，，，则的中点坐标为，故B错误.
对于C，，，，所以在方向上的投影的数量为，故C错误.
对于D，，，，，故D正确.
2.《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.该羡除是一个五面体ABCDFE，如图四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分别为3，7，且，，，则________.
答案：14
解析：如图所示，过点A分别作CD，EF的垂线，垂足分别为N，M，平面平面，，平面平面，且，平面，平面，，又，，，两两垂直.以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.
3.若点M在平面外，过点M作平面的垂线，则称垂足N为点M在平面内的正投影，记为.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面ABCD为，点P是棱上一动点（与C，不重合），，.则下列三个结论：
①线段的取值范围是；
②存在点P，使得平面；
③存在点P，使得.
其中正确结论的序号是__________.
答案：①②
解析：如图，取的中点为，连接，过点P作交于E，再过点E作交CD于.在正方体中，平面，平面，，又，，平面，.同理可证平面，平面，，.
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，.，，，，，，故①正确.
平面，平面的一个法向量为，又，令，解得，存在点P，使得平面，故②正确.令，整理得，该方程无解，不存在点P，使得，故③错误.
4.【2023年 新课标Ⅰ卷】如图，在正四棱柱中，，.点，，，分别在棱，，，上，，，.
(1)证明：；
(2)点P在棱上，当二面角为时，求.
答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)法一：依题意，得，
所以.
法二：以点C为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，所以.
(2)建立空间直角坐标系，建系方法同(1)中解法二，设，则，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，则，
令，得.
设平面的法向量为，
由(1)解法二知，，，
所以，则，
令，得.
所以，
整理得，解得或，
所以或，
所以.
5.【2023年 新课标Ⅱ卷】如图，三棱锥中，，，，E为BC中点.
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值.
答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图，连接DE，AE，
因为，且E为BC的中点，所以.
因为，，，
所以.
可得，故.
因为，，平面ADE，所以平面ADE.
又平面ADE，所以.
(2)由(1)知，，.
不妨设，因为，所以.
由题可知为等腰直角三角形，故.
因为，所以.
在中，，所以.
以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，.
设，泭为，所以，可得.
所以.
设平面DAB的法向量为，
则，即，取，则，.
设平面ABF的法向量为，
则，即，得，取，则，.
所以.
记二面角的大小为，则，
故二面角的正弦值为.
