保密★启用前
2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学
考前冲刺卷（二）
解析版
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一、单选题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（ ）
A．{长江，黄河} B． {长江，黑龙江}
C． {长江，珠江} D． {长江，黄河，黑龙江，珠江}
【答案】D
【解析】【解答】解：∵M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，
∴M={长江、黄河、黑龙江、珠江}
故答案为：D.
【分析】根据集合的概念及表示即得.
2．在y=x3，y=tanx，y=x2sin这3个函数中，奇函数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：易知函数y=x3，y=tanx是奇函数，函数y=f（x）=x2sin的定义域为（-，0）∪（0，+），定义域关于原点对称，f（-x）=（-x）2sin=-x2sin=-f（x），故函数y=x2sin也是奇函数.
故答案为：D.
【分析】易知y=x3和y=tanx为奇函数，先求函数y=x2sin的定义域，定义域关于原点对称，再根据奇函数的定义判断函数y=x2sin的奇偶性即可.
3．已知向量=（1,3），=（m,4），且∥（2-），则m的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．-2或4
【答案】A
【解析】【解答】根据题意，得2-=（2-m，2），
由∥（2-）得 2m=4（2-m），解得m=．
故答案为：A．
【分析】由向量共线的坐标公式代入数值计算出结果即可。
4．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1,1），则z+z=（ ）
A．1+i B．1-i C．-1+i D．-1-i
【答案】A
【解析】【解答】根据题意，z=-1+i， z+z=（-1+i）（-1-i）+（-1+i）=1+i.
故答案为：A．
【分析】根据复数的几何意义确定复数z，利用共轭复数的概念和复数的运算即可求解.
5．某中学高一 高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（ ）
年级 人数
高一 550
高二 500
高三 450
合计 1500
A．18 B．22 C．40 D．60
【答案】A
【解析】【解答】设该样本中高三年级的人数为n人，
根据分层抽样的概念及方法，可得 = ，解得 n=18 人.
故答案为：A.
【分析】 先计算出总体中高二年级与高三年级的比例，则有分层抽样的特点进行求解即可．
6．设x∈R，则“x＞3”是“｜x-1｜＞2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】【解答】由｜x-1｜＞2解得x＜-1或x＞3，因为x＞3能推出x＜-1或x＞3，x＜-1或x＞3不能推出x＞3，所以x＞3是｜x-1｜＞2的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据充分必要条件的定义加以分析、判断即可。
7．下列图象中，表示定义域和值域均为［0,1］的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】对于A，函数的值域不是［0,1］，故A错误.对于B，函数定义域不是［0,1］，故B错误.
对于C，函数定义域、值域都是［0,1］，故C正确.对于D，不是函数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】首先判断是否函数，排除D.根据定义域为图像在x轴上投影范围，值域为图像在y轴上投影范围，即可判断.
8．已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是（ ）
A．若l垂直于α内的两条平行线，则 l⊥α
B．若l平行于α内的一条直线，则l∥α
C．若l垂直于α内的两条相交直线，则 l⊥α
D．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α
【答案】A
【解析】【解答】若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α，A错误，符合题意；C正确，不符合题意；
若l平行于α内的一条直线，则l∥α，B正确，不符合题意；
若l平行于α内的无数条直线，则l∥α，D正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据直线和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.
9．数据12，12，12，14，15的平均数与众数的差为（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】B
【解析】【解答】解:平均数为=13，众数为12，差为1．
故答案为：B
【分析】先求出平均数和众数，再求差即可。
10．设a=30.8，b=（）-0.7，c=，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】A
【解析】【解答】解：b=（）-0.7=30.7，1＜30.7＜30.8，即1＜b＜a，c===＜=1，所以c＜b＜a.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求解即可.
11．若=-，＞0，则sinα=（ ）
A． B． C．- D．-
【答案】D
【解析】【解答】解：因为=-，
所以====，
又＞0，
所以=，==-
故答案为：D.
【分析】首先利用与的关系以及=-得到的值，再由=计算即可得到答案.
12．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，用该术可求得圆周率π的近似值.现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，则该圆锥体积的近似值为（ ）
A． B．2 C．3 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：圆锥的体积V=（）2h=h≈L2h，解得π≈3，
则设所求圆锥的底面直径与母线长为x（x＞0），则底面半径为，
则S=π（）2+πx2=πx2≈x2=9，解得x=2，
设高为h，则V=（）2πh=π=π≈
故答案为：A
【分析】 根据圆锥的体积公式先求出π的近似值，然后根据圆锥的表面积公式建立等式求出底面半径，最后根据体积公式进行求解即可.
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
13．集合{1，0}的子集的个数为 .
【答案】4
【解析】【解答】∵集合{1，0}中有2个元素，
∴集合{1，0}的子集的个数为22=4
故答案为：4.
【分析】根据元素的个数可直接求出.
14．若命题p：，x2-4x+a=0为假命题，则实数a的取值范围是 ，p的否定是 .
【答案】{a｜a＞4}；，x2-4x+a≠0
【解析】【解答】若命题p为假命题，则p：，x2-4x+a≠0为真命题，则△=（-4）2-4a＜0 ，解得a＞4.
故答案为：{a|a＞4}；，x2-4x+a≠0
【分析】写出p的否定，由p的否定为真命题可得a的范围．
15．甲乙两人下棋，每局甲获胜的概率均为0.6，且没有和棋，在三局两胜制的规则下（即先胜两局者获得最终胜利），则甲获胜的概率为 .
【答案】0.648
【解析】【解答】由题意可知：甲在两局获胜的概率为P1=0.6×0.6=0.36，
甲在三局获胜的概率为P2=2×0.6×（1-0.6）×0.6=0.288，
所以甲获胜的概率为P=0.36+0.288=0.648.
故答案为：0.648.
【分析】根据题意分甲在两局获胜、甲在三局获胜，结合独立事件概率乘法公式运算求解.
16．互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为 .
【答案】2
【解析】【解答】由题意知 4个数据的极差为a4-a1，中位数，∴a4-a1=2×，∴a4=a1+，∴a1++a4=2a4=12，∴a4=6，
∵a1，a2，a3是正整数且互不相等，∴a1=1，a2=2，a3=3，
∵4×40%=1.6不是整数，∴这4个数据的第40百分位数为a2=2。
故答案为：2
【分析】利用中位数、极差的定义求出a1，a2，a3，a4，再利用百分位数定义求解。
17．已知x＞0，y＞0，x+y+xy-8=0，,则xy的最大值是 .
【答案】4
【解析】【解答】解：因为x+y+xy-8=0，且x＞0，y＞0，所以x+y+xy-8≥2+xy-8，即0≥2+xy-8，（利用因式分解）
所以（+4）（-2）≤0,
所以 0＜xy≤4，
故答案为：4.
【分析】利用基本不等式x+y≥2将x+y+xy-8=0转化为关于xy的不等式再求解即可.
18．设D为△ABC所在平面内一点，AC=4，BC⊥AC，=，则= .
【答案】-20
【解析】【解答】 ∵=，∴=-，∵BC⊥AC，则=0，
因此，= =2-=×42=-20 .
故答案为：-20
【分析】由数量积的运算性质计算出结果即可。
三、解答题：本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
19．已知二次函数f（x）=x2-ax-b
（1）当a=1且b=6时，解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）若f（x）＜0的解集是{x｜-1＜x＜2}，解关于x的不等式x2-3bx+5a≥0
【答案】（1）当a=1且b=6时，f（x）=x2-ax-b=x2-x-6，
则不等式f（x）＜0，即为x2-x-6＜0
即（x-3）（x-2）＜0，解得-2＜x＜3，
所以f（x）＜0的解集为{x｜-2＜x＜3}.
（2）因为f（x）＜0的解集是{x｜-1＜x＜2}，
所以-1,2是方程f（x）=0即x2-ax-b=0的两根，
则，解得，
所以x2-3bx+5a≥0可化为x2-6x+5≥0，
即（x-5）（x-1）≥0，解得x≤1或x≥5，
所以x2-3bx+5a≥0的解集为{x｜x≤1或x≥5}
【解析】【分析】(1)将a、b值代入，转化为解一元二次不等式.(2)由f（x）＜0的解集，得到f（x）=0的根，利用根与系数关系，求出a、b，代入 x2-3bx+5a≥0，解这个一元二次不等式即可.
20．如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距200km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成θ角的方向飞行，飞行到C地，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行60km到达终点.
（1）求A、C两地之间的距离；
（2）求tanθ.
【答案】（1）解：由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB BC=2002+（60）2-2×200×60=23200，
所以，AC=20km.
（2）解：由余弦定理可得==，
所以，==，则θ为锐角，故==，
因此，==.
【解析】【分析】(1)根据题意由余弦定理代入数值计算出边的大小即可。
(2)首先由余弦定理代入数值计算出==，再由同角三角函数的基本关系式计算出的取值，并把结果代入到正切公式计算出结果即可。
21．随着科技的发展，移动互联已进入全新的5G时代，远程实时遥控已成为现实.某无人机生产厂家计划在2023年将新技术应用到生产中去，经过市场调研分析，生产某种型号的无人机全年需投入固定成本300万元，每生产x千台无人机，需投入成本G（x）万元，且由市场调研知，每台无人机售价为0.6万元，且全年内生产的无人机当年能全部售完.
（1）求出2023年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式（利润销售额-成本）；
（2）2023年产量为多少时，该厂家所获利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）当时，W（x）=0.6×1000x-（）-300=-5-300，
当时，W（x）=0.6×1000x-（）-300=-2x-+8700，
∴
（2）当时，W（x）=-5-300=-5（x-40）2+7700，
当x=40时，=7700，
当时，W（x）=-2x-+8700=-2（x+）+8700≤-4+8700=8300，
当且仅当x=，即x=100时，等号成立，=8300，
∵8300＞7700，
∴2023年产量为100千台时，厂家所获利润最大，最大利润为8300万元.
【解析】【分析】(1)根据题意把实际问题转化为数学问题，结合利润的定义，对x分情况讨论，整理化简即可得出函数的解析式。
(2)由二次函数的性质和基本不等式，即可求出各个x取值范围内函数的最值，比较之后即可得出答案。
22．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，S是B1D1 的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点.
（1）求证：直线 EG∥平面BDD1B1；
（2）为线段DD1 上一点，且DD1 = 3DH ，求证：BH∥平面EFG.
【答案】（1）证明： ∵ 点E，F分别是BC，CD的中点
∴ EF∥CD，∵ EF 平面BDD1B1，BD 平面BDD1B1，∴ EF∥平面BDD1B1
同理GF∥平面BDD1B1
∵ EF∩GF=F，且EF，GF 平面GEF
∴ 平面GEF∥平面BDD1B1，又∵ EG 平面GEF
∴ EG∥平面BDD1B1
（2）证明：由（1）知平面GEF∥平面BDD1B1
∵ BH 平面BDD1B1
∴ BH∥平面GEF
【解析】【分析】（1）先由直线与平面平行的判定定理，可证得 EF∥平面BDD1B1，GF∥平面BDD1B1，从而可得平面GEF∥平面BDD1B1，从而结论成立 ；
（2）由平面GEF∥平面BDD1B1，即可证得 BH∥平面GEF.保密★启用前
2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学
考前冲刺卷（二）
学生版
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一、单选题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（ ）
A．{长江，黄河} B． {长江，黑龙江}
C． {长江，珠江} D． {长江，黄河，黑龙江，珠江}
2．在y=x3，y=tanx，y=x2sin这3个函数中，奇函数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知向量=（1,3），=（m,4），且∥（2-），则m的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．-2或4
4．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1,1），则z+z=（ ）
A．1+i B．1-i C．-1+i D．-1-i
5．某中学高一 高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（ ）
年级 人数
高一 550
高二 500
高三 450
合计 1500
A．18 B．22 C．40 D．60
6．设x∈R，则“x＞3”是“｜x-1｜＞2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．下列图象中，表示定义域和值域均为［0,1］的函数是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是（ ）
A．若l垂直于α内的两条平行线，则 l⊥α
B．若l平行于α内的一条直线，则l∥α
C．若l垂直于α内的两条相交直线，则 l⊥α
D．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α
9．数据12，12，12，14，15的平均数与众数的差为（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
10．设a=30.8，b=（）-0.7，c=，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
11．若=-，＞0，则sinα=（ ）
A． B． C．- D．-
12．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，用该术可求得圆周率π的近似值.现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为9，则该圆锥体积的近似值为（ ）
A． B．2 C．3 D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
13．集合{1，0}的子集的个数为 .
14．若命题p：，x2-4x+a=0为假命题，则实数a的取值范围是 ，p的否定是 .
15．甲乙两人下棋，每局甲获胜的概率均为0.6，且没有和棋，在三局两胜制的规则下（即先胜两局者获得最终胜利），则甲获胜的概率为 .
16．互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为 .
17．已知x＞0，y＞0，x+y+xy-8=0，,则xy的最大值是 .
18．设D为△ABC所在平面内一点，AC=4，BC⊥AC，=，则= .
三、解答题：本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
19．已知二次函数f（x）=x2-ax-b
（1）当a=1且b=6时，解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）若f（x）＜0的解集是{x｜-1＜x＜2}，解关于x的不等式x2-3bx+5a≥0
20．如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距200km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成θ角的方向飞行，飞行到C地，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行60km到达终点.
（1）求A、C两地之间的距离；
（2）求tanθ.
21．随着科技的发展，移动互联已进入全新的5G时代，远程实时遥控已成为现实.某无人机生产厂家计划在2023年将新技术应用到生产中去，经过市场调研分析，生产某种型号的无人机全年需投入固定成本300万元，每生产x千台无人机，需投入成本G（x）万元，且由市场调研知，每台无人机售价为0.6万元，且全年内生产的无人机当年能全部售完.
（1）求出2023年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式（利润销售额-成本）；
（2）2023年产量为多少时，该厂家所获利润最大？最大利润为多少？
22．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，S是B1D1 的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点.
（1）求证：直线 EG∥平面BDD1B1；
（2）为线段DD1 上一点，且DD1 = 3DH ，求证：BH∥平面EFG.
