陕西省西安市一中2014-2015学年高二下学期期中考试 数学（理 科）

西安市第一中学2014—2015学年度第二学期期中考试
高二理科数学试题
选择题（每小题3分，共36分）
1．已知O，A，B，C为空间四个点，又，，为空间的一个基底，则(　　)
A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面
2．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3.已知＝2＋i，则复数z的共轭复数为(　　)
A．3＋i B．3－I C．－3－i D．－3＋i
4．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
5.满足z(2－i)＝2＋i(i为虚数单位)的复数z在复平面内对应的点所在象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则(　　)
A．∥α或 B．l⊥α C． D．与α斜交
7．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边需计算的项是(　　)
A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
8．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　)
A．4 B．2 C．3 D．1
9．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C的夹角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
10．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于(　　)
A．28 B．76 C．123 D．199
11．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C．－a－b＋c
D.a－b＋c
12.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)
A．2 B. C. D．1
二、填空题（每小题4分，共20分）：
13． i为虚数单位，则＝ 14．不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________．
15．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.
16.下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；
③若a、b共线，则a与b所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．
其中不正确的所有命题的序号为__________．
17．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋1)”，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．
三.解答题（本大题共有4个小题，满分44分）：
18.（满分10分）（1）在平面直角坐标系中作出函数的图像；
（2）若不等式无实数解，求实数a的取值范围.
19.（满分10分）如图，已知圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
20.（满分12分）如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．
21.（满分12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝1，AD＝2，求平面BPC与平面PCA夹角的余弦值．
西安市第一中学
2014-2015学年度第二学期期中考试
高二理科数学参考答案
一、选择题(共12小题，满分36分)：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
A
B
A
A
C
B
C
C
A
D
二、填空题（共5小题，满分20分）：
13. －1 14. {x|x≥1} 15. 
16. ②③④ 17. 2k
三、解答题（共4小题，满分44分）
18.（满分10分）（1）在平面直角坐标系中作出函数的图像；
（2）若不等式无实数解，求实数a的取值范围.
解析：（1）（5分）图略.
（2）（5分）由（1）的图像可知，要不等式无实数解，
只需要.
19、（本小题满分10分）如图，已知圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
解析：（I）（5分）因为,
所以.
又因为与圆相切于点，故，
所以.
（II）（5分）因为,
所以∽，故， 即.
20.（满分12分）如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，
以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．
解　(1)（6分）记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
||2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴||＝，即AC1的长为.
(2)（6分）＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cos〈，〉＝＝.
∴AC与BD1夹角的余弦值为.
21.（满分12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝1，AD＝2，求平面BPC与平面PCA夹角的余弦值．
(1)（6分）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD.
同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD.
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.
(2)（6分）解：如图，分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系．
由(1)知BD⊥平面PAC，
又AC?平面PAC，
∴BD⊥AC.
故矩形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．
∴＝(2,0，－1)，＝(0,2,0)，＝(－2,2,0)．
设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则　即
∴取x＝1得n＝(1,0,2)．
∵BD⊥平面PAC，∴＝(－2,2,0)为平面PAC的一个法向量．
cos 〈n，〉＝＝－.
设平面BPC与平面PCA夹角的余弦值为.