江西省上饶市2022-2023学年高二下册数学期末试卷
一、单选题
1．（2023高二下·上饶期末）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高二下·上饶期末）在等比数列中，，则“”是“数列的公比为2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023高二下·上饶期末）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023高二下·上饶期末）已知，为圆上两个不同的点（为圆心），且满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
5．（2023高二下·上饶期末）若函数在处有极值10，则（ ）
A． B．0 C．7 D．0或7
6．（2023高二下·上饶期末）若函数在上存在两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·上饶期末）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
8．（2023高二下·上饶期末）已知实数：，，，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023高二下·上饶期末）已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高二下·上饶期末）已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若，则数列前5项的和最大
11．（2023高二下·上饶期末）已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023高二下·上饶期末）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是 D．的最小值为
三、填空题
13．（2023高二下·上饶期末）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为 ．
14．（2023高二下·上饶期末）已知定义域为的奇函数则的值为 ．
15．（2023高二下·上饶期末）已知函数，，且，则的最小值为 ．
四、双空题
16．（2023高二下·上饶期末）定义：满足下列两个条件的有穷数列，，…，为阶“期待数列”．
①，②．
试写出一个3阶“期待数列” ；若2023阶“期待数列”是递增的等差数列，则 ．
五、解答题
17．（2023高二下·上饶期末）如图，在直三棱柱中，，为棱上靠近点的三等分点，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
18．（2023高二下·上饶期末）已知数列，若 ▲ ．
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．
①；
②，，（，）；
③，点，在斜率是2的直线上．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（2023高二下·上饶期末）已知函数．
（1）若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围；
（2）设函数，若，对总有成立，求的取值范围．
20．（2023高二下·上饶期末）今年五一假期，上饶市游客接待再创历史新高，突破千万人次．三清山、婺源、龟峰、灵山、望仙谷等各景区纷纷推出了精彩纷呈的节目内容，各地游客欢聚上饶“打卡”，感受大美上饶自在山水的魅力．上饶市某中学一综合实践研究小组为了解上饶市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），五一期间对游览灵山的100名上饶市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
组别
频数 3 4 8 11 41 20 8 5
（1）从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于1万元的概率；
（2）若上饶市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①上饶市常住人口约为640万人，试估计上饶市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；
②若在上饶市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．
附：若，则，，．
21．（2023高二下·上饶期末）已知椭圆（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，为的上顶点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、．求证：为定值．
22．（2023高二下·上饶期末）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，当时，证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算；不等关系与不等式
【解析】【解答】由题，
所以
故答案为：A
【分析】解不等式求集合A，再根据并集计算法则求出 即可.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列 的公比为q，
由，即，可得，解得；
由 ，，可得
故“”是“数列的公比为2”的必要不充分条件.
故选：B
【分析】由 和 无法得到q=2，由 和“数列的公比为2”可得到“”，故为 必要不充分条件
3．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图象可知为奇函数，且，；
对于A，
∵函数 ，
∴
即
∴为奇函数.
又∵
∴由图象可知，选项A正确.
对于B，
∵函数 ，
∴
即
∴为奇函数.
又∵
∴∴由图象可知，选项B不正确.
对于C，由题，不符合题意，故选项C错误；
对于C，
由题，不符合题意，故选项D错误；
故答案为：A.
【分析】由图像可知，该函数为奇函数，而根据奇函数的判定方法，可知A，B为奇函数，再根据函数图象中，进而判断出A对，B错；由图像和奇函数的性质得，判断出C，D错误，即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设A，B两点的中点为D，
由垂径定理可知CD⊥AB，即CD为圆心点C 到弦AB的距离，
∴；
又∵圆C的半径r=2，
∴由勾股定理可得
∴AB=2AD=2
故答案为：C.
【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得C到AB的距离CD，再由勾股定理得到AD，再根据题意和几何关系|AB|=2AD，即可求弦长AB的值.
5．【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：∵函数
∴，
由题意可得
解得或
当时，，此时在x=1无极值，
∴
所以
故答案为：C.
【分析】先根据极值列方程组解得a，b值，再代入验证，即可确定结果.
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解： 函数在上存在两个零点
在有两个解
在有两个解
y=a与在有两个交点；
设，则
当时，，此时g(x)单调递减；
当时，，此时g(x)单调递增；
∴
又∵
∴y=g(x)与y=a的图象如图所示：
∴由图可知
故答案为：B.
【分析】根据题意分离参数，利用导数研究g(x)函数的单调性及最值，数形结合得解.
7．【答案】C
【知识点】等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题知数列满足，，
则有，，；解得，，.
对于A，，A错误；
对于B，，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误；
故答案为：C.
【分析】根据和递推关系，可得出，，，即可判断A，B，再通过分组的转化为等比数列求和，可判断C，D.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 由，，可化为 ，，；
根据其结构可设函数，求导可得；
令，解得，在单调递减；
令，解得，在单调递增；
∴，即；
又∵，，；
∴；
故答案为：D.
【分析】可根据，，根据其结构可设函数，通过探讨函数的单调性来得出a，b，c的大小关系.
9．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题可知， ；
∵，
∴；
∴ 直线 的切线斜率；
设与直线垂直的直线的斜率为h，
则，
解得；
故答案为：AB.
【分析】求导，利用均值不等式可得导数范围，然后根据两直线垂直的性质，可得垂线斜率范围，进而可得答案.
10．【答案】B,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A，
∵，
∴；A错误；
对于B，
∵，
∴；
∴B正确；
对于C，
∵，
∴当n=1时，；
当n≥2时，；
此时将n=1代入，得，
∴，则C错误；
对于D，
∵
∴是以，公差为-2的等差数列；
令；解得
∴当n=5时，最大；D正确
故答案为：BD.
【分析】根据累加法可判断选项A选项；根据累积法可判断B选项；根据与的关系可求得通项公式，即可判断C项；根据等差数列的性质，即可判断D项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，
∵ 函数
∴
∴在R上单调递增；
又∵
∴由零点存在性定理可知，零点 ，A正确；
对于B，
∵是函数的零点 ，
∴，即，即 ；B正确；
对于C，
∵，
∴，
∴，
∵
∴；
∴，C错误；
对于D，
∵ ，
∴，
∴，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据单调性以及零点存在性定理即可判断A；利用指数对数转换即可判断B；利用对勾函数性质以及即可判断C；根据指数函数值域即可判断D.
12．【答案】A,C
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，
∵，；
∴，当且仅当x=y时取等号；
又∵，
∴，解得，A正确；
对于B，
∵，
∴，解得，
又∵，
∴，
∴，B错误；
对于C，
∵，
∴，即，
又∵， ，
∴，即；
∴，
当且仅当时，即时取等号，C正确；
对于D，
由题 ，
当且仅当时，即；
∵，
∴，
∴不等式取等的条件不成立，D错误；
故答案为：AC.
【分析】根据基本不等式构造一元二次不等式即可判断A，B；再利用多变量变单变量即可判断C，D.
13．【答案】
【知识点】相互独立事件；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：根据题意，设B=“中途停车修理”，=“经过的是货车”，=“经过的是客车”，则，
由贝叶斯公式有；
故答案为：0.80.
【分析】根据题意，可设“中途停车修理”为事件B， “经过的是货车”为事件， “经过的是客车”为事件， 则，然后代入贝叶斯公式计算即可.
14．【答案】0
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 根据奇函数的性质可知，，解得；
∵ 奇函数；
∴；
∴由奇函数的性质，即，解得；
∴；
则
故答案为：0.
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，可求出a，再根据奇函数的定义可求出b，即可作答.
15．【答案】
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵ 函数，， 且；
∴，即，
∴；
设，则其导函数为；
令，解得，所以在单调递增；
令，解得，所以在单调递减；
∴；
∴的最小值为 ；
故答案为：.
【分析】先根据，，得到m和n的关系， 将的双变量问题转化为单变量问题，最后通过函数的单调性讨论得出最小值.
16．【答案】；
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解： 根据题意， 符合题意，故答案可填： ；
∵当b=2023时，“期待数列”为递增的等差数列，
∴ ，即
∴，即；
又∵
∴
∴，
∴，
即，解得；
故答案为：第1空、，第2空、；
.【分析】根据给定条件可得，可直接写出一个3阶“期待数列”；利用等差数列性质结合条件可得，再利用前n项和公式求出.
17．【答案】（1）解：在直三棱柱中，平面平面，
则，又平面，
因此平面平面，所以.
（2）解：依题意，平面，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为为棱上靠近点的三等分点，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，显然平面的一个法向量为，
平面与平面所成角为，，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)利用条件先证明平面，进而证明；
(2)根据给定的几何体建立空间直角坐标系，求出 平面与平面 的法向量，再利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值.
18．【答案】（1）解：若选①，由，当时，，
两式相减可得：，当时，，满足上式，
所以数列的通项公式.
若选②，由得：数列为等差数列，
又因为，则公差，于是，
数列的通项公式.
若选③，由点在斜率是2的直线上得：，即，
因此数列为等差数列，，
所以数列的通项公式.
（2）解：由（1）知，，
，
则有，
两式相减得：
，
所以.
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)选①，利用，求解通项公式；选②，根据 可判断 是等差数列，再求出通项公式；选③，利用点，在斜率是2的直线上可得 ，结合等差数列定义求出通项公式作答.
(2)由题 ， 再利用错位相减法求和 .
19．【答案】（1）解：函数，由得，
依题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点，
，当时，，当时，，
因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，取最小值，最小值为，
，又，
所以.
（2）解：由总有成立知，
函数在上的最小值不大于函数在上的最小值，即，
由（1）知，在区间上，，
当时，，当时，，当时，，
因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
于是，则有，即，
所以的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 先根据在区间上恰有2个不同的实数解，转化为 与在区间上恰有2个交点，讨论的单调性后，通过数形结合即可求出m的范围.
（2）由题意可知 ， 先根据（1）得到 在的最小值；再讨论 在的单调性求出最大值；最后根据 ，即可求的取值范围．
20．【答案】（1）解：从频率分布表知，旅游支出不低于1万元的有33人，
从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于1万元的概率为.
（2）解：①依题意，，
因此服从正态分布，
，
则(万)，
所以估计上饶市有14.56万市民每年旅游费用支出在15000元上.
②由①知，，则，于是，
因此，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
均值为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1)利用组合结合古典概率的定义可得， 即可求出概率；
(2) (i)利用频率分布表求出期望 ，再利用正态分布估计，最后利用样本估计总体即可作答； (ii)利用二项分布求出分布列及期望作答.
21．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，因为的周长为，则，
椭圆的离心率为，则，解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）解：当直线的斜率不存在时，直线，与椭圆方程联立解得，
则，
当直线的斜率存在时，设直线，
由消去y并整理得：，
显然点在椭圆内，即直线与必交于两点，有，
又直线与圆相切，即，即
得，
显然，即有，
因此
，
所以为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】(1)根据给定条件，可得 ， 即可求出a，b，c.
(2)直|的斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立 ，借助韦达定理推理计算 的表达式，再利用直线与圆相切，得到，即，代入的表达式消除m即可证明， 再验证斜率不存在的情况作答.
22．【答案】（1）解：的定义域为，
当时，，
当时，，在上单调递减，
当时，时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由得，，
所以.
则，
要证，需证
即证，
需证.
令，设.则，
设，则，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增.
由，得，所以，
所以需证，即证.
令，且，
则，
所以在上单调递增，则，
所以成立，故，得证.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1） 当时 ， ， 根据定义域为，可分为b≤0和b>0讨论；
（2）通过将对的证明转化为证明，再利用比值换元即可证明；
1 / 1江西省上饶市2022-2023学年高二下册数学期末试卷
一、单选题
1．（2023高二下·上饶期末）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；不等关系与不等式
【解析】【解答】由题，
所以
故答案为：A
【分析】解不等式求集合A，再根据并集计算法则求出 即可.
2．（2023高二下·上饶期末）在等比数列中，，则“”是“数列的公比为2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列 的公比为q，
由，即，可得，解得；
由 ，，可得
故“”是“数列的公比为2”的必要不充分条件.
故选：B
【分析】由 和 无法得到q=2，由 和“数列的公比为2”可得到“”，故为 必要不充分条件
3．（2023高二下·上饶期末）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图象可知为奇函数，且，；
对于A，
∵函数 ，
∴
即
∴为奇函数.
又∵
∴由图象可知，选项A正确.
对于B，
∵函数 ，
∴
即
∴为奇函数.
又∵
∴∴由图象可知，选项B不正确.
对于C，由题，不符合题意，故选项C错误；
对于C，
由题，不符合题意，故选项D错误；
故答案为：A.
【分析】由图像可知，该函数为奇函数，而根据奇函数的判定方法，可知A，B为奇函数，再根据函数图象中，进而判断出A对，B错；由图像和奇函数的性质得，判断出C，D错误，即可得出答案.
4．（2023高二下·上饶期末）已知，为圆上两个不同的点（为圆心），且满足，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设A，B两点的中点为D，
由垂径定理可知CD⊥AB，即CD为圆心点C 到弦AB的距离，
∴；
又∵圆C的半径r=2，
∴由勾股定理可得
∴AB=2AD=2
故答案为：C.
【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得C到AB的距离CD，再由勾股定理得到AD，再根据题意和几何关系|AB|=2AD，即可求弦长AB的值.
5．（2023高二下·上饶期末）若函数在处有极值10，则（ ）
A． B．0 C．7 D．0或7
【答案】C
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：∵函数
∴，
由题意可得
解得或
当时，，此时在x=1无极值，
∴
所以
故答案为：C.
【分析】先根据极值列方程组解得a，b值，再代入验证，即可确定结果.
6．（2023高二下·上饶期末）若函数在上存在两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解： 函数在上存在两个零点
在有两个解
在有两个解
y=a与在有两个交点；
设，则
当时，，此时g(x)单调递减；
当时，，此时g(x)单调递增；
∴
又∵
∴y=g(x)与y=a的图象如图所示：
∴由图可知
故答案为：B.
【分析】根据题意分离参数，利用导数研究g(x)函数的单调性及最值，数形结合得解.
7．（2023高二下·上饶期末）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由题知数列满足，，
则有，，；解得，，.
对于A，，A错误；
对于B，，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误；
故答案为：C.
【分析】根据和递推关系，可得出，，，即可判断A，B，再通过分组的转化为等比数列求和，可判断C，D.
8．（2023高二下·上饶期末）已知实数：，，，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 由，，可化为 ，，；
根据其结构可设函数，求导可得；
令，解得，在单调递减；
令，解得，在单调递增；
∴，即；
又∵，，；
∴；
故答案为：D.
【分析】可根据，，根据其结构可设函数，通过探讨函数的单调性来得出a，b，c的大小关系.
二、多选题
9．（2023高二下·上饶期末）已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题可知， ；
∵，
∴；
∴ 直线 的切线斜率；
设与直线垂直的直线的斜率为h，
则，
解得；
故答案为：AB.
【分析】求导，利用均值不等式可得导数范围，然后根据两直线垂直的性质，可得垂线斜率范围，进而可得答案.
10．（2023高二下·上饶期末）已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若，则数列前5项的和最大
【答案】B,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A，
∵，
∴；A错误；
对于B，
∵，
∴；
∴B正确；
对于C，
∵，
∴当n=1时，；
当n≥2时，；
此时将n=1代入，得，
∴，则C错误；
对于D，
∵
∴是以，公差为-2的等差数列；
令；解得
∴当n=5时，最大；D正确
故答案为：BD.
【分析】根据累加法可判断选项A选项；根据累积法可判断B选项；根据与的关系可求得通项公式，即可判断C项；根据等差数列的性质，即可判断D项.
11．（2023高二下·上饶期末）已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，
∵ 函数
∴
∴在R上单调递增；
又∵
∴由零点存在性定理可知，零点 ，A正确；
对于B，
∵是函数的零点 ，
∴，即，即 ；B正确；
对于C，
∵，
∴，
∴，
∵
∴；
∴，C错误；
对于D，
∵ ，
∴，
∴，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据单调性以及零点存在性定理即可判断A；利用指数对数转换即可判断B；利用对勾函数性质以及即可判断C；根据指数函数值域即可判断D.
12．（2023高二下·上饶期末）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是 D．的最小值为
【答案】A,C
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，
∵，；
∴，当且仅当x=y时取等号；
又∵，
∴，解得，A正确；
对于B，
∵，
∴，解得，
又∵，
∴，
∴，B错误；
对于C，
∵，
∴，即，
又∵， ，
∴，即；
∴，
当且仅当时，即时取等号，C正确；
对于D，
由题 ，
当且仅当时，即；
∵，
∴，
∴不等式取等的条件不成立，D错误；
故答案为：AC.
【分析】根据基本不等式构造一元二次不等式即可判断A，B；再利用多变量变单变量即可判断C，D.
三、填空题
13．（2023高二下·上饶期末）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为 ．
【答案】
【知识点】相互独立事件；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：根据题意，设B=“中途停车修理”，=“经过的是货车”，=“经过的是客车”，则，
由贝叶斯公式有；
故答案为：0.80.
【分析】根据题意，可设“中途停车修理”为事件B， “经过的是货车”为事件， “经过的是客车”为事件， 则，然后代入贝叶斯公式计算即可.
14．（2023高二下·上饶期末）已知定义域为的奇函数则的值为 ．
【答案】0
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 根据奇函数的性质可知，，解得；
∵ 奇函数；
∴；
∴由奇函数的性质，即，解得；
∴；
则
故答案为：0.
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，可求出a，再根据奇函数的定义可求出b，即可作答.
15．（2023高二下·上饶期末）已知函数，，且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵ 函数，， 且；
∴，即，
∴；
设，则其导函数为；
令，解得，所以在单调递增；
令，解得，所以在单调递减；
∴；
∴的最小值为 ；
故答案为：.
【分析】先根据，，得到m和n的关系， 将的双变量问题转化为单变量问题，最后通过函数的单调性讨论得出最小值.
四、双空题
16．（2023高二下·上饶期末）定义：满足下列两个条件的有穷数列，，…，为阶“期待数列”．
①，②．
试写出一个3阶“期待数列” ；若2023阶“期待数列”是递增的等差数列，则 ．
【答案】；
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解： 根据题意， 符合题意，故答案可填： ；
∵当b=2023时，“期待数列”为递增的等差数列，
∴ ，即
∴，即；
又∵
∴
∴，
∴，
即，解得；
故答案为：第1空、，第2空、；
.【分析】根据给定条件可得，可直接写出一个3阶“期待数列”；利用等差数列性质结合条件可得，再利用前n项和公式求出.
五、解答题
17．（2023高二下·上饶期末）如图，在直三棱柱中，，为棱上靠近点的三等分点，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）解：在直三棱柱中，平面平面，
则，又平面，
因此平面平面，所以.
（2）解：依题意，平面，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为为棱上靠近点的三等分点，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，显然平面的一个法向量为，
平面与平面所成角为，，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)利用条件先证明平面，进而证明；
(2)根据给定的几何体建立空间直角坐标系，求出 平面与平面 的法向量，再利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值.
18．（2023高二下·上饶期末）已知数列，若 ▲ ．
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．
①；
②，，（，）；
③，点，在斜率是2的直线上．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）解：若选①，由，当时，，
两式相减可得：，当时，，满足上式，
所以数列的通项公式.
若选②，由得：数列为等差数列，
又因为，则公差，于是，
数列的通项公式.
若选③，由点在斜率是2的直线上得：，即，
因此数列为等差数列，，
所以数列的通项公式.
（2）解：由（1）知，，
，
则有，
两式相减得：
，
所以.
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)选①，利用，求解通项公式；选②，根据 可判断 是等差数列，再求出通项公式；选③，利用点，在斜率是2的直线上可得 ，结合等差数列定义求出通项公式作答.
(2)由题 ， 再利用错位相减法求和 .
19．（2023高二下·上饶期末）已知函数．
（1）若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围；
（2）设函数，若，对总有成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数，由得，
依题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点，
，当时，，当时，，
因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，取最小值，最小值为，
，又，
所以.
（2）解：由总有成立知，
函数在上的最小值不大于函数在上的最小值，即，
由（1）知，在区间上，，
当时，，当时，，当时，，
因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
于是，则有，即，
所以的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 先根据在区间上恰有2个不同的实数解，转化为 与在区间上恰有2个交点，讨论的单调性后，通过数形结合即可求出m的范围.
（2）由题意可知 ， 先根据（1）得到 在的最小值；再讨论 在的单调性求出最大值；最后根据 ，即可求的取值范围．
20．（2023高二下·上饶期末）今年五一假期，上饶市游客接待再创历史新高，突破千万人次．三清山、婺源、龟峰、灵山、望仙谷等各景区纷纷推出了精彩纷呈的节目内容，各地游客欢聚上饶“打卡”，感受大美上饶自在山水的魅力．上饶市某中学一综合实践研究小组为了解上饶市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），五一期间对游览灵山的100名上饶市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
组别
频数 3 4 8 11 41 20 8 5
（1）从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于1万元的概率；
（2）若上饶市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①上饶市常住人口约为640万人，试估计上饶市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；
②若在上饶市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．
附：若，则，，．
【答案】（1）解：从频率分布表知，旅游支出不低于1万元的有33人，
从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于1万元的概率为.
（2）解：①依题意，，
因此服从正态分布，
，
则(万)，
所以估计上饶市有14.56万市民每年旅游费用支出在15000元上.
②由①知，，则，于是，
因此，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
均值为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1)利用组合结合古典概率的定义可得， 即可求出概率；
(2) (i)利用频率分布表求出期望 ，再利用正态分布估计，最后利用样本估计总体即可作答； (ii)利用二项分布求出分布列及期望作答.
21．（2023高二下·上饶期末）已知椭圆（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，为的上顶点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、．求证：为定值．
【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，因为的周长为，则，
椭圆的离心率为，则，解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）解：当直线的斜率不存在时，直线，与椭圆方程联立解得，
则，
当直线的斜率存在时，设直线，
由消去y并整理得：，
显然点在椭圆内，即直线与必交于两点，有，
又直线与圆相切，即，即
得，
显然，即有，
因此
，
所以为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】(1)根据给定条件，可得 ， 即可求出a，b，c.
(2)直|的斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立 ，借助韦达定理推理计算 的表达式，再利用直线与圆相切，得到，即，代入的表达式消除m即可证明， 再验证斜率不存在的情况作答.
22．（2023高二下·上饶期末）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，当时，证明：．
【答案】（1）解：的定义域为，
当时，，
当时，，在上单调递减，
当时，时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由得，，
所以.
则，
要证，需证
即证，
需证.
令，设.则，
设，则，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增.
由，得，所以，
所以需证，即证.
令，且，
则，
所以在上单调递增，则，
所以成立，故，得证.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1） 当时 ， ， 根据定义域为，可分为b≤0和b>0讨论；
（2）通过将对的证明转化为证明，再利用比值换元即可证明；
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