【精品解析】辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高三上册数学期中（Ⅰ）试卷

辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高三上册数学期中（Ⅰ）试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023高三上·大连期中）设命题p： x ∈(0，+∞)，lnx >x -1，则￢p为（　　）
A． x∈(0，+∞)，lnx≤x-1
B． x ∈(0，+∞)，lnx ≤x ﹣1
C． x∈(-∞，0]，lnx≤x-1
D． x ∈(-∞，0]，lnx ≤x -1
【答案】A
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题 p：， 所以 ￢p：.
故答案为：A.
【分析】根据含一个量词命题的否定的定义直接写出即可.
2．（2023高三上·大连期中）已知集合则图中阴影部分所表示的集合为（　　）
A．(-∞，2) B．(-∞，2] C．(0，2) D．[0，2]
【答案】C
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算；函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由已知可得集合则，图中阴影部分表示的集合为.
故答案为：C.
【分析】先求集合，由图可知阴影部分表示集合，根据集合的运算求解即可.
3．（2023高三上·大连期中）若复数z满足(1－3i)z＝1＋i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数满足，所以，则复数的共轭复数为，即共轭复数对应得点为，故z的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，利用复数得乘除运算化简可得，从而求得其共轭复数为，即可得解.
4．（2023高三上·大连期中）已知幂函数在(0，﹢∞)上是减函数，则f(m)的值为（　　）
A．3 B．1 C．-3 D．-1
【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数在上为减函数，所以解得，即幂函数，所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件列不等式组，求得，代入即可得得值.
5．（2023高三上·大连期中）函数(a>0且a≠1)的图象恒过定点(k，b)，若m+n=b-k且m>0，n>0，则的最小值为（　　）
A．9 B．8 C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】解：因为函数的图象恒过点，所以，则，当且仅当且，即时等号成立，故的最小值为8.
故答案为：B.
【分析】先求出函数恒过的定点坐标，从而求得，再利用基本不等式求最小值即可.
6．（2023高三上·大连期中）已知△ABC中，∠BAC=120°，AC=3AB=3，DC=2AD，在线段BD上取点E，使得则
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：如图所示结合已知条件可得：，，则，又因为，，再根据向量夹角公式可得.
故答案为：D.
【分析】利用平面向量基本定理表示，求出向量的模以及向量的数量积，最后利用向量夹角公式计算即可.
7．（2023高三上·大连期中）已知函数函数y=f(x)﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x ，x ，x ，x ，则x x +x +x 的取值范围为（　　）
A．(5，3+e] B．(4，4+e) C．[4，+∞) D．(-∞，4]
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数有四个不同的零点，所以函数的图象与直线有四个不同的交点，当时，函数，其导函数为，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且；当时，函数，由对勾函数性质可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增，且，则函数的图象如图所示：
由图可知，又因为四个交点从小到大依次为，所以是方程，即的两个根，是方程，即的两个根，即，所以，设，所以在区间上单调递增，时，有，即.
故答案为：A.
【分析】问题转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，求导利用导数判断函数的单调性，画出函数图象，数形结合求得a的范围，由韦达定理得，设，再求导利用导数分析函数的单调性，求其范围即可.
8．（2023高三上·大连期中）设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0且|满足以下条件：
① x∈R，满足② x ，使得且则关于x的不等式的最小正整数解为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】其他不等式的解法；余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由①得是函数的最小值，即，即（1）；由②可知，即（2）且，则，由（1）（2）可知，又因为，所以，所以，即，将代入可得，由于，所以，则函数，则，因为，所以或，当时，解得，当时，，所以最小正整数为3，当时，解得，当时，，所以最小正整数为2，综上不等式的最小正整数的解为2.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件求得，，从而可得函数解析式，再求得值，由不等式求得或，最后分情况求最小正整数即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023高三上·大连期中）下列结论正确的是（　　）
A．若a，b为正实数，a>b，则a3+b3>a2b+ab2
B．若a，b，m为正实数，aC．若a，b∈R，则“a>b>0”是的充分不必要条件
D．不等式|x﹣m|<1成立的充分不必要条件是则m的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、因为为正实数，且，所以，所以，故A正确；
B、因为为正实数，，所以，即，故B错误；
C、由能推出，但时，取时，满足，推不出，故是的充分不必要条件，故C正确；
D、不等式等价于，因为不等式成立的充分不必要条件是所以是的真子集，则，等号不同时成立，所以m的取值范围为.
故答案为：ACD.
【分析】利用作差法即可判断AB，结合充分不必要条件，根据不等式的性质以及充分、必要条件，即可判断CD.
10．（2023高三上·大连期中）已知向量a，b满足且则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以，即，整理可得①，再由两边平方整理可得②，由①②和可得，所以，所以，即向量的夹角，故向量共线且方向相反，所以，.
故答案为：ABC.
【分析】根据向量数量积的运算、求模公式判断AD，利用向量夹角公式可得，从而判断BC.
11．（2023高三上·大连期中）已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=lgx，记g(x)=sinx+f(x)·cosx，下列结论正确的是（　　）
A．g(x)为奇函数
B．若g(x)的一个零点为x ，且x <0，则]
C．g(x)在区间的零点个数为3个
D．若g(x)大于1的零点从小到大依次为x ，x ，…，则7【答案】A,B,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，所以函数为奇函数，故A正确；假设，即，，所以当时，，当时，，当时，，，因为函数的零点为，所以，所以，故B正确；
当时，令，由图象可知函数在上有2个零点，又因为函数为奇函数，所以函数在上有1个零点，且，所以函数在区间上有4个零点，故C错误；由图象可知，函数大于1的零点，所以，而，则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先求函数的定义，再根据奇函数的定义即可判断A；根据奇函数的性质即可判断B；数形结合通过交点的个数即可判断C，根据的图象确定大于1的零点的取值范围从而判断D.
12．（2023高三上·大连期中）已知连续函数f(x)满足：① x，y∈R，则有f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1，②当x>0时，f(x)<1，③f(1)=-2，则以下说法中正确的是（　　）
A．f(x)的图象关于(0，1)对称
B．f(4x)=4f(x)﹣4
C．f(x)在[-3，3]上的最大值是10
D．不等式f(3x )﹣2f(x)>f(3x)+4的解集为
【答案】A,C,D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：当时，，即，令，则即，所以函数的图象关于点对称，故A正确；
令，则用代替可得，故B错误；
取，且，则，即，由已知②可得，所以，则函数单调递减，又因为，所以，又因为，所以，即函数在区间上的最大值为10，故C正确；由，则即，根据已知条件可得，，又因为，所以，故，因为函数单调递减，所以，解得，故原不等式的解集为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件令，求出，再令，即可得到，从而判断A；令得到，再用代替，即可判断B；再利用单调性定义证明函数的单调性即可求得函数在区间的最值判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可判断D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023高三上·大连期中）已知则f(x)=　 　.
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令，则， 因为 所以，即
故答案为：.
【分析】利用换元法求得解析式，设，求出，代入已知式可得．
14．（2023高三上·大连期中）已知若⊥，则：　 　
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：由已知⊥ 得，根据同角三角函数基本关系，
可得，又因为，所以，则.
故答案为：.
【分析】根据 ⊥ 得，再根据同角三角函数基本关系可得的值，最后根据两角差的正弦公式代入计算可得答案.
15．（2023高三上·大连期中）函数若函数f(x)恰有两个零点，则a的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数有两个零点，设，则函数与直线有两个交点，，当时，解得，当时，解得，又因为，当时，；当时，，所以函数的大致图象为下图：由图象可知a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意问题转化为函数与直线有两个交点，利用导数判断函数的单调性，画出大致图象，根据图象即可求得a的取值范围.
16．（2023高三上·大连期中）牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设r是函数y=f(x)的一个零点，任意选取x 作为r的初始近似值，以点(x ，f(x ))为切点作曲线y=f(x)的切线l ，设l 与x轴交点的横坐标为x ，并称x 为r的1次近似值；以点(x ，f(x ))为切点作曲线y=f(x)的切线l ，设l 与x轴交点的横坐标为x ，称x 为r的2次近似值，以点()为切点作曲线y=f(x)的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，设、f(x)=x +2x-2(x≥0)的零点为r，取x =0，则r的2次近似值为：　 　设数列{an}的前n项积为Tn.若任意的；n∈N*，Tn<λ恒成立，则整数λ的最小值为　 　.
【答案】；2
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为函数，所以，即曲线在点的切线的斜率为，所以切线的方程为，即，根据已知条件可知点在切线上，代入可得，因为，则，因为所以，又因为函数的零点的近似值为，且函数在区间上为增函数，由，根据零点存在定理可知，由于，所以整数λ的最小值为2.
故答案为：，2.
【分析】因为函数，求导利用导数求出切线的方程，可得出，结合可求出，由，可求得，由已知条件可得出，由此可求得整数λ的最小值.
四、解答题：本大题共6小题，共10分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2023高三上·大连期中）设S 是公差不为0的等差数列{a }的前n项和，已知与的等比中项为且与的等差中项为
（1）求数列{a }的通项公式；
（2）设求数列{b }的前n项和T .
【答案】（1）解：设数列的公差为d(d≠0)．
由题意，得，即，解得，所以数列的通项公式为.
（2）解：.
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设数列的公差为，由已知条件列式求得，即可得数列的通项；
（2）由（1）可得，利用裂项相消求和即可.
18．（2023高三上·大连期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知
（1）求角A的大小；
（2）给出以下三个条件：①a=4，③若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件，并说明理由，再回答下面问题：
①求sinB的值；
②∠BAC的角平分线交BC于点D，求AD的长.
【答案】（1）解：因为sinA+cosA=0，若cosA=0，则sinA=0，不满足sin2A+cos2A=1，
所以，tanA=-，∵0（2）解：由A=及①，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos，即c2+4c-32=0，
∵c>0，解得c=4；
由A=及②，由余弦定理可得b2+c2-a2=2bc cosA=-bc，
由b2-a2+c2+10b=0可得10b-bc=0，可得c=10；
由A=及③，由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=bc=15，可得bc=60.
经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故b=6，c=10.
①将b=6，c=10代入②可得36-a2+100+60=0可得a=14.
在△ABC中，由正弦定理故sinB=.
②因为S△ABC=S△ABD+S△ACD，即，
所以，.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知条件可得出tanA=- ，结合角 A 的取值范围可求得；
（2）由以及条件①或②或③，根据余弦定理，正弦定理解三角形，可得出①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故b=6，c=10.
（i）在△ABC中，根据正弦定理可求得sinB=；
（ii）由结合三角形的面积公式S△ABC=S△ABD+S△ACD ，可求得.
19．（2023高三上·大连期中）已知数列{a }中，a =1，设Sn为{a }前n项和，
（1）求{a }的通项公式；
（2）求数列的前n项和T .
【答案】（1）解：因为2Sn=nan，
当n=1时，2a1=a1，即a1=0；当n=3时，2(1+a3)=3a3，即a3=2，
当n≥2时，2Sn-1=(n-1)an-1，所以2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1=2an，
化简得：(n-2)an=(n-1)an-1，当n≥3时，，即an=n-1，
当n=1，2，3时都满足上式，所以an=n-1(n∈N*).
（2）解：因为是所以，
，
两式相减得，，
，即，n∈N*.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据题意， 当n=1时，2a1=a1，即a1=0 ， 当n≥2时，2Sn-1=(n-1)an-1 化简得到 an=n-1，得出当n=1时也成立， 所以an=n-1 ；
（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，计算求解即可.
20．（2023高三上·大连期中）已知函数（x∈R且）的两个相邻的对称中心的距离为.
（1）求f(x)在R上的单调递增区间；
（2）将f(x)图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)，若求的值
【答案】（1）解：
由题意知，的最小正周期为π，所以，解得，故，
令，解得
所以在R上的单调递增区间为.
（2）解：，得，因为，所以，即
，故
.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）先化简函数得，由题意得的最小正周期为π，解得，再根据正弦函数的单调性求解即可；
（2）先由平移伸缩得出，结合已知条件得，再根据二倍角余弦公式计算可得.
21．（2023高三上·大连期中）已知函数
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a=1时，关于x的不等式f(x)+g(x)≤-1恒成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）解：f(x)的定义域为，求导得：，
若a≤0时，则，此时在单调递增：
若a>0时，则当0当x>a时，，在单调递增.
（2）解：当a=1时，f(x)+g(x)=bx+Inx-xex，
由题意在(0，+∞)上恒成立，
令，则，
令，则，所以在(0，+∞)上递增，又，所以在上有唯一零点，
由得，
当x∈(0，x0)时，即，单调递减：x∈(x0，+∞)时，即，单调递增，所以为在定义域内的最小值.
即.
令，则方程等价于，
又易知单调递增，所以，即
所以，的最小值
所以，即实数b的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出函数导数，分 两种情况讨论，利用导数的正负判断函数的单调性；
（2） 当a=1时，，由题意在(0，+∞)上恒成立，令，则，利用导数研究其单调性与最值即可得实数b的取值范围.
22．（2023高三上·大连期中）已知函数
（1）若直线y=x+b与f(x)的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值；
（2）若函数f(x)在(0，+∞)上存在两个极值点x ，x ，且：x 2.
【答案】（1）解：由题意，切点坐标为，，
所以切线斜率为，，所以，
切线为，整理得，所以.
（2）解：由(1)知.
由函数f(x)在(0，+∞)上存在两个极值点x1，x2，且x1则且
联立得
即
设，则，
要证，只需证，只需证，
只需证.
构造函数，则.
故，在t∈(0，1)上递增，g(t)【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2） 由(1)知，由题意得到，从而得到，再利用换元法设，则，得到只需证即可.
1 / 1辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高三上册数学期中（Ⅰ）试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023高三上·大连期中）设命题p： x ∈(0，+∞)，lnx >x -1，则￢p为（　　）
A． x∈(0，+∞)，lnx≤x-1
B． x ∈(0，+∞)，lnx ≤x ﹣1
C． x∈(-∞，0]，lnx≤x-1
D． x ∈(-∞，0]，lnx ≤x -1
2．（2023高三上·大连期中）已知集合则图中阴影部分所表示的集合为（　　）
A．(-∞，2) B．(-∞，2] C．(0，2) D．[0，2]
3．（2023高三上·大连期中）若复数z满足(1－3i)z＝1＋i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2023高三上·大连期中）已知幂函数在(0，﹢∞)上是减函数，则f(m)的值为（　　）
A．3 B．1 C．-3 D．-1
5．（2023高三上·大连期中）函数(a>0且a≠1)的图象恒过定点(k，b)，若m+n=b-k且m>0，n>0，则的最小值为（　　）
A．9 B．8 C． D．
6．（2023高三上·大连期中）已知△ABC中，∠BAC=120°，AC=3AB=3，DC=2AD，在线段BD上取点E，使得则
A． B． C． D．
7．（2023高三上·大连期中）已知函数函数y=f(x)﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x ，x ，x ，x ，则x x +x +x 的取值范围为（　　）
A．(5，3+e] B．(4，4+e) C．[4，+∞) D．(-∞，4]
8．（2023高三上·大连期中）设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0且|满足以下条件：
① x∈R，满足② x ，使得且则关于x的不等式的最小正整数解为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023高三上·大连期中）下列结论正确的是（　　）
A．若a，b为正实数，a>b，则a3+b3>a2b+ab2
B．若a，b，m为正实数，aC．若a，b∈R，则“a>b>0”是的充分不必要条件
D．不等式|x﹣m|<1成立的充分不必要条件是则m的取值范围是
10．（2023高三上·大连期中）已知向量a，b满足且则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2023高三上·大连期中）已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=lgx，记g(x)=sinx+f(x)·cosx，下列结论正确的是（　　）
A．g(x)为奇函数
B．若g(x)的一个零点为x ，且x <0，则]
C．g(x)在区间的零点个数为3个
D．若g(x)大于1的零点从小到大依次为x ，x ，…，则712．（2023高三上·大连期中）已知连续函数f(x)满足：① x，y∈R，则有f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1，②当x>0时，f(x)<1，③f(1)=-2，则以下说法中正确的是（　　）
A．f(x)的图象关于(0，1)对称
B．f(4x)=4f(x)﹣4
C．f(x)在[-3，3]上的最大值是10
D．不等式f(3x )﹣2f(x)>f(3x)+4的解集为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023高三上·大连期中）已知则f(x)=　 　.
14．（2023高三上·大连期中）已知若⊥，则：　 　
15．（2023高三上·大连期中）函数若函数f(x)恰有两个零点，则a的取值范围是　 　.
16．（2023高三上·大连期中）牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设r是函数y=f(x)的一个零点，任意选取x 作为r的初始近似值，以点(x ，f(x ))为切点作曲线y=f(x)的切线l ，设l 与x轴交点的横坐标为x ，并称x 为r的1次近似值；以点(x ，f(x ))为切点作曲线y=f(x)的切线l ，设l 与x轴交点的横坐标为x ，称x 为r的2次近似值，以点()为切点作曲线y=f(x)的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，设、f(x)=x +2x-2(x≥0)的零点为r，取x =0，则r的2次近似值为：　 　设数列{an}的前n项积为Tn.若任意的；n∈N*，Tn<λ恒成立，则整数λ的最小值为　 　.
四、解答题：本大题共6小题，共10分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2023高三上·大连期中）设S 是公差不为0的等差数列{a }的前n项和，已知与的等比中项为且与的等差中项为
（1）求数列{a }的通项公式；
（2）设求数列{b }的前n项和T .
18．（2023高三上·大连期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知
（1）求角A的大小；
（2）给出以下三个条件：①a=4，③若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件，并说明理由，再回答下面问题：
①求sinB的值；
②∠BAC的角平分线交BC于点D，求AD的长.
19．（2023高三上·大连期中）已知数列{a }中，a =1，设Sn为{a }前n项和，
（1）求{a }的通项公式；
（2）求数列的前n项和T .
20．（2023高三上·大连期中）已知函数（x∈R且）的两个相邻的对称中心的距离为.
（1）求f(x)在R上的单调递增区间；
（2）将f(x)图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)，若求的值
21．（2023高三上·大连期中）已知函数
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a=1时，关于x的不等式f(x)+g(x)≤-1恒成立，求实数b的取值范围.
22．（2023高三上·大连期中）已知函数
（1）若直线y=x+b与f(x)的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值；
（2）若函数f(x)在(0，+∞)上存在两个极值点x ，x ，且：x 2.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题 p：， 所以 ￢p：.
故答案为：A.
【分析】根据含一个量词命题的否定的定义直接写出即可.
2．【答案】C
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算；函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由已知可得集合则，图中阴影部分表示的集合为.
故答案为：C.
【分析】先求集合，由图可知阴影部分表示集合，根据集合的运算求解即可.
3．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数满足，所以，则复数的共轭复数为，即共轭复数对应得点为，故z的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，利用复数得乘除运算化简可得，从而求得其共轭复数为，即可得解.
4．【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为幂函数在上为减函数，所以解得，即幂函数，所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件列不等式组，求得，代入即可得得值.
5．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】解：因为函数的图象恒过点，所以，则，当且仅当且，即时等号成立，故的最小值为8.
故答案为：B.
【分析】先求出函数恒过的定点坐标，从而求得，再利用基本不等式求最小值即可.
6．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：如图所示结合已知条件可得：，，则，又因为，，再根据向量夹角公式可得.
故答案为：D.
【分析】利用平面向量基本定理表示，求出向量的模以及向量的数量积，最后利用向量夹角公式计算即可.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数有四个不同的零点，所以函数的图象与直线有四个不同的交点，当时，函数，其导函数为，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且；当时，函数，由对勾函数性质可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增，且，则函数的图象如图所示：
由图可知，又因为四个交点从小到大依次为，所以是方程，即的两个根，是方程，即的两个根，即，所以，设，所以在区间上单调递增，时，有，即.
故答案为：A.
【分析】问题转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，求导利用导数判断函数的单调性，画出函数图象，数形结合求得a的范围，由韦达定理得，设，再求导利用导数分析函数的单调性，求其范围即可.
8．【答案】B
【知识点】其他不等式的解法；余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由①得是函数的最小值，即，即（1）；由②可知，即（2）且，则，由（1）（2）可知，又因为，所以，所以，即，将代入可得，由于，所以，则函数，则，因为，所以或，当时，解得，当时，，所以最小正整数为3，当时，解得，当时，，所以最小正整数为2，综上不等式的最小正整数的解为2.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件求得，，从而可得函数解析式，再求得值，由不等式求得或，最后分情况求最小正整数即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、因为为正实数，且，所以，所以，故A正确；
B、因为为正实数，，所以，即，故B错误；
C、由能推出，但时，取时，满足，推不出，故是的充分不必要条件，故C正确；
D、不等式等价于，因为不等式成立的充分不必要条件是所以是的真子集，则，等号不同时成立，所以m的取值范围为.
故答案为：ACD.
【分析】利用作差法即可判断AB，结合充分不必要条件，根据不等式的性质以及充分、必要条件，即可判断CD.
10．【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以，即，整理可得①，再由两边平方整理可得②，由①②和可得，所以，所以，即向量的夹角，故向量共线且方向相反，所以，.
故答案为：ABC.
【分析】根据向量数量积的运算、求模公式判断AD，利用向量夹角公式可得，从而判断BC.
11．【答案】A,B,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，所以函数为奇函数，故A正确；假设，即，，所以当时，，当时，，当时，，，因为函数的零点为，所以，所以，故B正确；
当时，令，由图象可知函数在上有2个零点，又因为函数为奇函数，所以函数在上有1个零点，且，所以函数在区间上有4个零点，故C错误；由图象可知，函数大于1的零点，所以，而，则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先求函数的定义，再根据奇函数的定义即可判断A；根据奇函数的性质即可判断B；数形结合通过交点的个数即可判断C，根据的图象确定大于1的零点的取值范围从而判断D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：当时，，即，令，则即，所以函数的图象关于点对称，故A正确；
令，则用代替可得，故B错误；
取，且，则，即，由已知②可得，所以，则函数单调递减，又因为，所以，又因为，所以，即函数在区间上的最大值为10，故C正确；由，则即，根据已知条件可得，，又因为，所以，故，因为函数单调递减，所以，解得，故原不等式的解集为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件令，求出，再令，即可得到，从而判断A；令得到，再用代替，即可判断B；再利用单调性定义证明函数的单调性即可求得函数在区间的最值判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可判断D.
13．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令，则， 因为 所以，即
故答案为：.
【分析】利用换元法求得解析式，设，求出，代入已知式可得．
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：由已知⊥ 得，根据同角三角函数基本关系，
可得，又因为，所以，则.
故答案为：.
【分析】根据 ⊥ 得，再根据同角三角函数基本关系可得的值，最后根据两角差的正弦公式代入计算可得答案.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数有两个零点，设，则函数与直线有两个交点，，当时，解得，当时，解得，又因为，当时，；当时，，所以函数的大致图象为下图：由图象可知a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意问题转化为函数与直线有两个交点，利用导数判断函数的单调性，画出大致图象，根据图象即可求得a的取值范围.
16．【答案】；2
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为函数，所以，即曲线在点的切线的斜率为，所以切线的方程为，即，根据已知条件可知点在切线上，代入可得，因为，则，因为所以，又因为函数的零点的近似值为，且函数在区间上为增函数，由，根据零点存在定理可知，由于，所以整数λ的最小值为2.
故答案为：，2.
【分析】因为函数，求导利用导数求出切线的方程，可得出，结合可求出，由，可求得，由已知条件可得出，由此可求得整数λ的最小值.
17．【答案】（1）解：设数列的公差为d(d≠0)．
由题意，得，即，解得，所以数列的通项公式为.
（2）解：.
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设数列的公差为，由已知条件列式求得，即可得数列的通项；
（2）由（1）可得，利用裂项相消求和即可.
18．【答案】（1）解：因为sinA+cosA=0，若cosA=0，则sinA=0，不满足sin2A+cos2A=1，
所以，tanA=-，∵0（2）解：由A=及①，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos，即c2+4c-32=0，
∵c>0，解得c=4；
由A=及②，由余弦定理可得b2+c2-a2=2bc cosA=-bc，
由b2-a2+c2+10b=0可得10b-bc=0，可得c=10；
由A=及③，由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=bc=15，可得bc=60.
经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故b=6，c=10.
①将b=6，c=10代入②可得36-a2+100+60=0可得a=14.
在△ABC中，由正弦定理故sinB=.
②因为S△ABC=S△ABD+S△ACD，即，
所以，.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知条件可得出tanA=- ，结合角 A 的取值范围可求得；
（2）由以及条件①或②或③，根据余弦定理，正弦定理解三角形，可得出①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故b=6，c=10.
（i）在△ABC中，根据正弦定理可求得sinB=；
（ii）由结合三角形的面积公式S△ABC=S△ABD+S△ACD ，可求得.
19．【答案】（1）解：因为2Sn=nan，
当n=1时，2a1=a1，即a1=0；当n=3时，2(1+a3)=3a3，即a3=2，
当n≥2时，2Sn-1=(n-1)an-1，所以2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1=2an，
化简得：(n-2)an=(n-1)an-1，当n≥3时，，即an=n-1，
当n=1，2，3时都满足上式，所以an=n-1(n∈N*).
（2）解：因为是所以，
，
两式相减得，，
，即，n∈N*.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据题意， 当n=1时，2a1=a1，即a1=0 ， 当n≥2时，2Sn-1=(n-1)an-1 化简得到 an=n-1，得出当n=1时也成立， 所以an=n-1 ；
（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，计算求解即可.
20．【答案】（1）解：
由题意知，的最小正周期为π，所以，解得，故，
令，解得
所以在R上的单调递增区间为.
（2）解：，得，因为，所以，即
，故
.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）先化简函数得，由题意得的最小正周期为π，解得，再根据正弦函数的单调性求解即可；
（2）先由平移伸缩得出，结合已知条件得，再根据二倍角余弦公式计算可得.
21．【答案】（1）解：f(x)的定义域为，求导得：，
若a≤0时，则，此时在单调递增：
若a>0时，则当0当x>a时，，在单调递增.
（2）解：当a=1时，f(x)+g(x)=bx+Inx-xex，
由题意在(0，+∞)上恒成立，
令，则，
令，则，所以在(0，+∞)上递增，又，所以在上有唯一零点，
由得，
当x∈(0，x0)时，即，单调递减：x∈(x0，+∞)时，即，单调递增，所以为在定义域内的最小值.
即.
令，则方程等价于，
又易知单调递增，所以，即
所以，的最小值
所以，即实数b的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出函数导数，分 两种情况讨论，利用导数的正负判断函数的单调性；
（2） 当a=1时，，由题意在(0，+∞)上恒成立，令，则，利用导数研究其单调性与最值即可得实数b的取值范围.
22．【答案】（1）解：由题意，切点坐标为，，
所以切线斜率为，，所以，
切线为，整理得，所以.
（2）解：由(1)知.
由函数f(x)在(0，+∞)上存在两个极值点x1，x2，且x1则且
联立得
即
设，则，
要证，只需证，只需证，
只需证.
构造函数，则.
故，在t∈(0，1)上递增，g(t)【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2） 由(1)知，由题意得到，从而得到，再利用换元法设，则，得到只需证即可.
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