保密★启用前
2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学
考前冲刺卷（四）
学生版
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一、单选题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，B={2，3，4}，则CU（A∪B）=（ ）
A．{1，5} B．{2，4}
C．{1，3，5} D．{2，3，4，6}
2．已知a>b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．2a>2b B．ab>b2 C．a2>b2 D．<
3．“x0∈（-4，-2），使得+3x0=0”的否定是（ ）
A．x0∈（-4，-2），使得+3x0≠0
B．x0 （-4，-2），使得+3x0≠0
C．∈（-4，-2），x2+3x≠0
D． （-4，-2），x2+3x≠0
4．若x1，x2，，x8的方差为 3 ，则2x1，2x2，，2x8的方差为（ ）
A． B． C．6 D．12
5．函数· sinx的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．复数 的共轭复数是（ ）
A．3+i B．3-i C．-3+i D．-3-i
7．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．16π B．20π C．36π D．40π
8．已知 ， 是单位向量， = +2，若 ⊥ ，则 ｜｜= （ ）
A．3 B． C． D．
9．某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该次课外知识测试及格率为90%
B．该次课外知识测试得满分的同学有30名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名
10．如图， G ， H ， M ， N 分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点，则在下列图形中GH∥MN 的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是（ ）
A．5 海里/时 B．5海里/时
C．10 海里/时 D．10海里/时
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
13．计算4×2-1-（-4）0+ =
14．“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件可以是 ．
15．△ABC中AB=1，BC=3，CA=，则△ABC的面积为 .
16．有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，x，8，9，9，若其中位数与平均数相等，则这组数据的第70百分位数为 ．
17．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C=W，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；为信噪比. 香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用，当 = 80，W=200Hz时，最大数据传输速率记为C1；当 = 728，W=300Hz时，最大数据传输速率记为C2，则为 .
18．四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE，则DE= .
三、解答题：本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
19．在平面直角坐标系xOy中，角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（2，-1），求下列各式的值：
（1）+3；
（2）
20．已知复数z=（m-1）+（m+1）i（m∈R）．
（1）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求m的取值范围；
（2）若z为纯虚数，设z3，z2-z在复平面上对应的点分别为A，B，求向量在向量上的投影向量的坐标．
21．已知函数 ，其中 a>1 .
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最大值为2.求a的值.
22．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点.
求证：
平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE.保密★启用前
2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学
考前冲刺卷（四）
解析版
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一、单选题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，B={2，3，4}，则CU（A∪B）=（ ）
A．{1，5} B．{2，4}
C．{1，3，5} D．{2，3，4，6}
【答案】A
【解析】【解答】A∪B={2，3，4，6}，CU（A∪B）={1，5}
故答案为：A．
【分析】根据并集、补集运算求解即可.
2．已知a>b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．2a>2b B．ab>b2 C．a2>b2 D．<
【答案】A
【解析】【解答】对于A，因为2>1，所以y=2x在（-，+）上是增函数，又a>b，所以2a>2b.
对于B，ab-b2=b(a-b)，由于b符号不确定，所以B错误.
对于C，a>b>0时成立，
对于D，ab>0时成立，所以C、D错误.
故答案为：A.
【分析】对于A，根据指数函数性质判断，对于B，用作差比较大小，对于C、D利用不等式性质判断或举反例判断即可.
3．“x0∈（-4，-2），使得+3x0=0”的否定是（ ）
A．x0∈（-4，-2），使得+3x0≠0
B．x0 （-4，-2），使得+3x0≠0
C．∈（-4，-2），x2+3x≠0
D． （-4，-2），x2+3x≠0
【答案】C
【解析】【解答】解：含有存在量词命题得否定规则为将存在改为任意后，条件不变否定结论，
即x0∈（-4，-2），使得+3x0=0的否定是∈（-4，-2），x2+3x≠0
故答案为： C.
【分析】本题考查命题得否定，命题的否定只否定结论不改变条件，当命题中含有存在或全称量词时，存在量词变任意量词，任意量词变存在量词.
4．若x1，x2，，x8的方差为 3 ，则2x1，2x2，，2x8的方差为（ ）
A． B． C．6 D．12
【答案】D
【解析】【解答】因为x1，x2，，x8的方差为 3 ，
所以2x1，2x2，，2x8的方差为 3×22=12，
故答案为：D.
【分析】本题可根据x1，x2，，x8的方差为3以及方差的计算公式得出结果.
5．函数· sinx的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：因为· sin（-x）=sinx=，得是偶函数，A，C错误；当x∈（0， ）时，>0，答案B错误.
故答案为：D.
【分析】本题用排除法.根据奇偶性得图像关于y轴对称，排除A，C.据某一区间的函数值排除B.
6．复数 的共轭复数是（ ）
A．3+i B．3-i C．-3+i D．-3-i
【答案】B
【解析】【解答】根据复数的除法运算，可得 = = 3+i，
所以复数的共轭复数是3-i.
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法运算，化简求得，再结合共轭复数的概念，即可求解.
7．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．16π B．20π C．36π D．40π
【答案】B
【解析】【解答】由题可知：圆锥的底面半径为4，母线长为5
所以该圆锥的侧面积为S=πrl=π×4×5=20π
故答案为：B
【分析】直接根据圆锥的侧面积公式进行计算可得结果.
8．已知 ， 是单位向量， = +2，若 ⊥ ，则 ｜｜= （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】因为 ， 是单位向量，所以｜｜=｜｜=1 ，
因为 = +2， 且 ⊥ ，
所以 · ，所以 · （ +2）=0 ，
所以 2+2 · =0 ，所以 1+2 · =0 ，所以 · = - ，
所以 ｜｜====
故答案为：C
【分析】首先由数量积的运算性质整理即可得到 · = - ，再由向量模的定义计算出结果即可。
9．某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该次课外知识测试及格率为90%
B．该次课外知识测试得满分的同学有30名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名
【答案】C
【解析】【解答】由图知，及格率为1-8%=92%，A不符合题意.
该测试满分同学的百分比为 1-8%-32%-48%=12%，即有12%×200=24名，B不符合题意.
由图知，中位数为80分，平均数为40×8%+60×32%+80×48%+100×12%=72.8分，C符合题意.
由题意，3000名学生成绩能得优秀的同学有3000×（48%+12%）=1800，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】 利用测试成绩百分比分布图直接求解．
10．如图， G ， H ， M ， N 分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点，则在下列图形中GH∥MN 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：对于A，若 GH∥MN ，可得 G ， H ， M ， N 四点共面，则直线 MG ， NH共面， 这与 MG ， NH 异面矛盾，所以A中的两直线不平行；
由异面直线的定义可得选项B，C中的两直线GH ，MN 为异面直线；
由 N，H 为中点，可得NH∥MG，且NH=MG，则四边形MGNH为平行四边形，
D中的两直线为平行直线.
故答案为：D.
【分析】根据题意由三棱柱的几何性质结合线面平行的性质定理以及异面直线的定义对选项逐一判断即可得出答案。
11．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】设中心圆的半径为 ，所以中心圆的面积为πr2，
8环面积为 π（3r）2 - π（2r）2 = 5πr2，
射击靶的面积为π（4r）2 = 16πr2，
所以命中深色部分的概率为 = .
故答案为：D
【分析】分别求出大圆面积和深色部分面积即可得解.
12．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是（ ）
A．5 海里/时 B．5海里/时
C．10 海里/时 D．10海里/时
【答案】D
【解析】【解答】如图，
依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，
从而CD＝CA＝10海里，
在直角三角形ABC中，由正弦定理可得 ，解得AB＝5海里，
所以这艘船的速度是10海里/时.
故答案为：D
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题再由正弦定理代入数值计算出结果即可。
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
13．计算4×2-1-（-4）0+ =
【答案】4
【解析】【解答】4×2-1-（-4）0+=4×-1+=4
故答案为：4.
【分析】根据指数运算性质计算得结论.
14．“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件可以是 ．
【答案】m>0（答案不唯一）
【解析】【解答】解：不等式x2-x+m>0在R恒成立，则△=1-4m<0，解得m>，所以不等式x2-x+m>0在R上恒成立的一个必要不充分条件为m>0.
故答案为：m>0（答案不唯一）.
【分析】由不等式x2-x+m>0在R上恒成立，△<0，解得m的取值范围，再求其成立的必要不充分条件即可.
15．△ABC中AB=1，BC=3，CA=，则△ABC的面积为 .
【答案】
【解析】【解答】因为AB=1，BC=3，CA=，所以cosB== -，
所以 sinB= ，三角形△ABC的面积S=AB×BC×sinB= ，
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合余弦定理，从而求出角B的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式，从而求出角B的正弦值，进而利用三角形面积公式求出 的面积。
16．有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，x，8，9，9，若其中位数与平均数相等，则这组数据的第70百分位数为 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：由题意可知：5≤x≤8，中位数为（8+x），平均数（3+5+x+8+9+9）=（34+x），
则（8+x）=（34+x），解得x=5，
因为6×70%=4.2不是整数，
所以 这组数据的中位数为9.
故答案为：9 .
【分析】根据题意结合极差、平均数的定义可得x=5，进而求中位数.
17．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C=W，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；为信噪比. 香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用，当 = 80，W=200Hz时，最大数据传输速率记为C1；当 = 728，W=300Hz时，最大数据传输速率记为C2，则为 .
【答案】
【解析】【解答】 因为C=W， 当 = 80，W=200Hz时 ，C1=200=200=400， 当 = 728，W=300Hz时， C1=300=300=900，所以 =.
故答案为：
【分析】直接代入“香农公式”，根据对数运算性质计算C1、C2即可.
18．四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE，则DE= .
【答案】
【解析】【解答】解：连接OE，AE，如图所示，
由题意可知：OE=AE= ，所以DE==.
故答案为： .
【分析】连接OE，AE，结合正四面体的结构特征运算求解.
三、解答题：本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
19．在平面直角坐标系xOy中，角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（2，-1），求下列各式的值：
（1）+3；
（2）
【答案】（1）由题意知=- ，
∴+3= = = =-1
（2） = = = - =2
【解析】【分析】 (1)根据三角函数定义得=- ，+3除以，进行“弦化切”，进而计算；
(2)利用诱导公式化简式子，=- 代入计算.
20．已知复数z=（m-1）+（m+1）i（m∈R）．
（1）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求m的取值范围；
（2）若z为纯虚数，设z3，z2-z在复平面上对应的点分别为A，B，求向量在向量上的投影向量的坐标．
【答案】（1）解：z在复平面内的对应点为（m-1，m+1），
因为点（m-1，m+1）位于第二象限，所以，解得-1<<1，
所以的取值范围为（-1，1）；
（2）解：因为z为纯虚数，所以，解得，
所以z=2i，所以z3 =（2i）3 = -8i，z2 =（2i）2 = -4，z2-z = -4-2i，由复数几何意义知： =（0，-8）， =（-4，-2），
所以｜｜ = = （-4，-2）=（-，-），
即向量在向量上的投影向量的坐标为（-，-）．
【解析】【分析】 (1)根据复数在复平面内的对应点位于第二象限的特征列方程求解；
(2)根据纯虚数的定义，结合复数的乘方运算法则求出向量和，再根据投影向量的公式求解向量在向量上的投影向量的坐标．
21．已知函数 ，其中 a>1 .
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最大值为2.求a的值.
【答案】（1）解：要使函数有意义，则有 ，
解得 -4所以函数的定义域为（-4，1） .
（2）解：函数可化 =
因为-4因为 a>1 ，所以 ，
即max=，
由=2，解得a=
【解析】【分析】(1)利用对数函数的性质真数大于零即可得到关于x的不等式组求解出x的取值范围即可得到函数的定义域。
(2)首先由对数的运算性质整理原式，再由二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求出函数f(x)的最大值，由指对互化得到a的值。
22．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点.
求证：
平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE.
【答案】（1）证明：因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又AD 平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE 平面BCC1B1，CC1∩DE=E，所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD 平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
（2）法一：因为A1B1⊥A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F 平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F .
又因为CC1，B1C1 平面BCC1B1，CC1∩B1C1=C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.
由（1）知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD 平面ADE，A1F 平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
法二：由（1）知AD⊥平面BCC1B1，所以AD⊥BC，又AB=AC，故D为BC的中点，
在矩形BCC1B1中，F，D分别为B1C1和BC的中点，故FD∥BB1∥AA1，
所以AA1DF为平行四边形，所以A1F∥AD
又AD 平面ADE，A1F 平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
【解析】【分析】（1）证明AD⊥平面BCC1B1，进而得到平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）通过证明A1F∥AD得到平面A1F∥平面ADE.
