广东省深圳市南山为明学校2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：因为 直线与轴的夹角为，所以 直线的倾斜角为或，所以直线l斜率或.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件知倾斜角，结合定义求斜率.
2．若直线与直线互相垂直，则实数的值（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：因为 直线与直线互相垂直，所以，
所以m=1.
故答案为：B.
【分析】根据两直线垂直的条件代入求解即可.
3．圆的一条直径的两个端点是，则此圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：设所求圆方程为，因为 圆的一条直径的两个端点是，所以所以所求圆方程为.
故答案为：D.
【分析】根据已知直径两端点，求得AB中点为圆心，AB距离的一半为半径.
4．如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量加减法的应用
【解析】【解答】解：因为E为BC中点，所以.
故答案为：B.
【分析】根据线段中点的向量表达式，向量加法法则即可求解.
5．设，，，，(其中、、是两两垂直的单位向量)，若，则实数、、的值分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；向量加减法的应用；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：因为 ， ，，， ，所以，
，所以.
故答案为：A.
【分析】根据向量相等列方程组求解即可.
6．已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为 点是平面内的直线上的动点，则设B（m，1-m，0），
所以，
所以当时， 。
故答案为：B.
【分析】设出B点坐标，根据两点间距离公式代入，转化为二次函数求最值.
7．已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），E（1，1，2），F（1，2，1），D（0，2，0），A1（0，0，2），所以，
设平面AEF的法向量为则 ，令y=1，，
所以D到平面AEF的距离为.
故答案为：A.
【分析】建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而r求出平面AEF的法向量，根据点到平面距离公式计算即可.
8．直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
【答案】C
【知识点】直线的斜截式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由知圆心C（2，0），半径r=，则圆心到直线x+y+2=0的距离为d=，所以圆上点P到直线AB距离的最小值为d-r=，
因为直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，所以A（-2，0），B（0，-2），
所以，所以 面积的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】先求得圆上一点到直线距离的最小值d-r，即三角形ABP的高，再求与坐标轴的交点，得三角形ABP的底，最后代入面积公式计算.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．（2023高二下·联合期末）已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．圆心为 B．半径为2
C．圆与直线相离 D．圆被直线所截弦长为
【答案】B,D
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】将圆，化为标准方程得，
可知圆心，半径，故A错误，B正确；
由圆心到直线的距离，
即，直线与圆相切，故C错误；
圆心到直线的距离为，
所以所截弦长为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】把方程化为圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，可判定A错误，B正确；由点到直线的距离公式，可判定C错误；根据圆的弦长公式，可判定D正确.
10．已知是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；直线的方向向量；平面的法向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A、B，若，则又，所以-2-8+5a=0，
所以a=2，故A正确，B错误.
对于C、D，若，则 ， ，又，， 故C错误，D正确.
故答案为：A、D.
【分析】由直线与平面平行|、垂直关系，推出直线的方向向量与平面法向量平行、垂直关系，根据空间向量坐标运算，计算即可.
11．直线，下列图象中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：直线l1：ax-y-b=0，即y=ax-b ，斜率为a，y轴上截距为-b，
直线l2：ax-y-b=0，即y=bx+a ，斜率为b，y轴上截距为a，
对于A，不一致，故A错误.
对于B，一致，故B正确.
对于C，一致，故C正确.
对于D，不一致，故D错误.
故答案为：B、C.
【分析】得出两直线的斜率、截距，观察图像即可.
12．设动直线交圆于A，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点 B．当取得最大值时，
C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；数量积表示两个向量的夹角；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，将mx-y-2m+3=0转化为m(x-2)-y+3=0，则，
所以直线过定点D（2，3），故A正确.
对于B，由知圆心C（4，5）半径r=，
当取得最大值时 ，圆心C在 直线AB上，则4m-5-2m+3=0，解得m=1，故B正确.
对于C， 当最小时， 最小，直线l与过点C（4，5），D（2，3）的直线垂直，
，
所以 ，过C错误.
对于D，= ，即 的最大值为24 .
故D正确.
故答案为：A、B、D.
【分析】对于A，直线过定点与m无关，故A正确.
对于B，AB长度最大，直线l必过圆心，代入直线方程即可求得.
对于C，最小，AB长最小，则直线l必垂直于过定点的直径，求得AB长，用余弦定理即可求出.
对于D，求 的最大值即可.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以 .
故答案为：.
【分析】利用空间向量坐标运算，先得两向量的和的坐标，再求向量的模.
14．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），则直线l关于点A对称的直线的方程为 ．
【答案】2x－3y－9＝0
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：在 2x－3y＋1＝0上任取两点B（1，1），C（4，3），设它们关于A（-1，-2）的对称点为
则 ，所以
所以，所以过的直线方程为 ，即2x-3y-9=0.
故答案为：2x-3y-9=0.
【分析】在已知直线上任取两点，求它们关于A的对称点，两对称点的方程即为所求对称方程.
15．若过点的直线与圆相切，则点坐标应满足的关系为： ．
【答案】
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为 过点的直线与圆相切，所以点P应该在圆上或圆外.
所以。
故答案为：.
【分析】过点P的直线与圆相切，点P只能在圆內或圆外，进而就能确定P点坐标所满足的条件.
16．已知点，圆：上两点，满足（），则的最小值为 ．
【答案】48
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设 ，的中点Q，则，
因为M、N在圆上，，所以 ，
所以 ，又M、N、P、Q共线，所以 ，
化简可得 ，所以MN的中点Q的轨迹为以（0，1）为圆心，1为半径的圆.
则Q到直线3x+4y+25=0的距离的最小值为，
所以M、N到直线3x+4y+25=0的距离和为 ，
最小值为2 ，所以 的最小值为 .
故答案为：48.
【分析】根据jM、N到直线3x+4y+25=0距离的和为MN中点Q到直线距离2倍，即，转化为求Q到直线距离的最小值，由M、N、P、Q四点共线以及M、N在圆上，得Q点的轨迹是圆，因此，只要求出圆上一点到直线的最小值即可.
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）解：记，则：
，
，，
，
，即有；
（2）解：．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)利用为基底，表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得.
(2)利用基底表示，然后求它们的数量积计算.
18．根据下列条件，分别求相应圆的方程．
（1）圆心为，过点；
（2）与轴相交于、两点，且半径等于．
【答案】（1）解：将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为；
（2）解：易知圆心在线段的垂直平分线上，
不妨设圆心坐标为，由半径为可得，解得；
当圆心为时，圆方程为；
当圆心为时，圆方程为；
因此所求圆的方程为或；
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】（1）已知圆心，只要根据圆上一点到圆心距离求得半径即可.
(2)因为圆心在线段的垂直平分线上，可设圆心坐标为，根据半径相等列出方程，即可求出圆心.进而得到圆方程.
19．请用空间向量求解已知正四棱柱中，，，分别是棱，上的点，且满足，．
（1）求异面直线，所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）解：在正四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以AD，DC，两两垂直，
以A为原点，DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
又因，，E，F分别是棱，上的点，
且满足，，
所以0，，0，，1，，1，，0，，1，，1，，
所以，
设异面直线，所成角为
所以，
所以异面直线，所成角的余弦值为
（2）解：，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，
所以，
平面FAD的一个法向量为，
则，所以，令，所以，
所以，
所以面与面FAD所成角的余弦值为
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）以A为原点，DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得各点坐标，代入夹角的余弦公式.
(2)求出两平面的法向量，两法向量夹角余弦即为两平面所成角余弦.
20．直线与圆是否相交？如果相交，求出交点．
【答案】解：圆心坐标，半径，
则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，
联立，解得，，即交点坐标为，．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】根据直线和圆相交条件求解即可.解方程组得交点坐标.
21．已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，求此切线的方程．
【答案】（1）解：由题意，圆心在直线上，故设圆心，
由于圆与轴相切，∴半径，
则圆的方程为：，
又∵圆过点，
∴，解得：，
∴圆的标准方程为．
（2）解：当切线斜率不存在时，因为圆心到直线的距离为，
所以是圆的切线方程．
当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，
即，
由直线与圆相切得，解得：，
因此过点与圆相切的切线方程为，即，
综上知，过点圆的切线方程为或．
【知识点】直线的点斜式方程；圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【分析】(1)根据条件： 圆心在直线上，得圆心， 圆与轴相切，得半径，圆过点，得，解出a，即可确定圆心和半径.从而得圆方程.
（2）分斜率存在、不存在讨论。当斜率不存在时，.当斜率存在时，先设切线方程， 当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为 化成一般式 ，用d=r列出方程，解出斜率，代回所设即可.
22．如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，点 分别是 的中点，是线段上的点．
（1）求证：平面平面；
（2）当时，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：连接因为底面为菱形，，
所以是正三角形，
∵是的中点，∴，
又，∴，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设，则，
，，，，，
设
则
设平面的一个法向量为，
则
取，则，
得
设直线与平面所成角为，
化简得：，则
故存在点满足题意，此时.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)由等边三角形三线合一及线面垂直性质得到线线垂直，进而得线面垂直，证得面面垂直.
(2)以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，得出各点坐标，假设存在M，，求出的方向向量和平面ABF的法向量，根据 线BM与平面所成角的正弦值为列出方程，解出，满足条件就存在.
1 / 1广东省深圳市南山为明学校2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线与直线互相垂直，则实数的值（ ）
A． B．1 C． D．2
3．圆的一条直径的两个端点是，则此圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ）
A． B． C． D．
5．设，，，，(其中、、是两两垂直的单位向量)，若，则实数、、的值分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
6．已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．（2023高二下·联合期末）已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．圆心为 B．半径为2
C．圆与直线相离 D．圆被直线所截弦长为
10．已知是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．直线，下列图象中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．设动直线交圆于A，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点 B．当取得最大值时，
C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知，则 ．
14．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），则直线l关于点A对称的直线的方程为 ．
15．若过点的直线与圆相切，则点坐标应满足的关系为： ．
16．已知点，圆：上两点，满足（），则的最小值为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，
（1）求；
（2）求．
18．根据下列条件，分别求相应圆的方程．
（1）圆心为，过点；
（2）与轴相交于、两点，且半径等于．
19．请用空间向量求解已知正四棱柱中，，，分别是棱，上的点，且满足，．
（1）求异面直线，所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
20．直线与圆是否相交？如果相交，求出交点．
21．已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，求此切线的方程．
22．如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，点 分别是 的中点，是线段上的点．
（1）求证：平面平面；
（2）当时，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：因为 直线与轴的夹角为，所以 直线的倾斜角为或，所以直线l斜率或.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件知倾斜角，结合定义求斜率.
2．【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：因为 直线与直线互相垂直，所以，
所以m=1.
故答案为：B.
【分析】根据两直线垂直的条件代入求解即可.
3．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：设所求圆方程为，因为 圆的一条直径的两个端点是，所以所以所求圆方程为.
故答案为：D.
【分析】根据已知直径两端点，求得AB中点为圆心，AB距离的一半为半径.
4．【答案】B
【知识点】向量加减法的应用
【解析】【解答】解：因为E为BC中点，所以.
故答案为：B.
【分析】根据线段中点的向量表达式，向量加法法则即可求解.
5．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；向量加减法的应用；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：因为 ， ，，， ，所以，
，所以.
故答案为：A.
【分析】根据向量相等列方程组求解即可.
6．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为 点是平面内的直线上的动点，则设B（m，1-m，0），
所以，
所以当时， 。
故答案为：B.
【分析】设出B点坐标，根据两点间距离公式代入，转化为二次函数求最值.
7．【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），E（1，1，2），F（1，2，1），D（0，2，0），A1（0，0，2），所以，
设平面AEF的法向量为则 ，令y=1，，
所以D到平面AEF的距离为.
故答案为：A.
【分析】建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而r求出平面AEF的法向量，根据点到平面距离公式计算即可.
8．【答案】C
【知识点】直线的斜截式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由知圆心C（2，0），半径r=，则圆心到直线x+y+2=0的距离为d=，所以圆上点P到直线AB距离的最小值为d-r=，
因为直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，所以A（-2，0），B（0，-2），
所以，所以 面积的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】先求得圆上一点到直线距离的最小值d-r，即三角形ABP的高，再求与坐标轴的交点，得三角形ABP的底，最后代入面积公式计算.
9．【答案】B,D
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】将圆，化为标准方程得，
可知圆心，半径，故A错误，B正确；
由圆心到直线的距离，
即，直线与圆相切，故C错误；
圆心到直线的距离为，
所以所截弦长为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】把方程化为圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，可判定A错误，B正确；由点到直线的距离公式，可判定C错误；根据圆的弦长公式，可判定D正确.
10．【答案】A,D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；直线的方向向量；平面的法向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A、B，若，则又，所以-2-8+5a=0，
所以a=2，故A正确，B错误.
对于C、D，若，则 ， ，又，， 故C错误，D正确.
故答案为：A、D.
【分析】由直线与平面平行|、垂直关系，推出直线的方向向量与平面法向量平行、垂直关系，根据空间向量坐标运算，计算即可.
11．【答案】B,C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：直线l1：ax-y-b=0，即y=ax-b ，斜率为a，y轴上截距为-b，
直线l2：ax-y-b=0，即y=bx+a ，斜率为b，y轴上截距为a，
对于A，不一致，故A错误.
对于B，一致，故B正确.
对于C，一致，故C正确.
对于D，不一致，故D错误.
故答案为：B、C.
【分析】得出两直线的斜率、截距，观察图像即可.
12．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；数量积表示两个向量的夹角；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，将mx-y-2m+3=0转化为m(x-2)-y+3=0，则，
所以直线过定点D（2，3），故A正确.
对于B，由知圆心C（4，5）半径r=，
当取得最大值时 ，圆心C在 直线AB上，则4m-5-2m+3=0，解得m=1，故B正确.
对于C， 当最小时， 最小，直线l与过点C（4，5），D（2，3）的直线垂直，
，
所以 ，过C错误.
对于D，= ，即 的最大值为24 .
故D正确.
故答案为：A、B、D.
【分析】对于A，直线过定点与m无关，故A正确.
对于B，AB长度最大，直线l必过圆心，代入直线方程即可求得.
对于C，最小，AB长最小，则直线l必垂直于过定点的直径，求得AB长，用余弦定理即可求出.
对于D，求 的最大值即可.
13．【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以 .
故答案为：.
【分析】利用空间向量坐标运算，先得两向量的和的坐标，再求向量的模.
14．【答案】2x－3y－9＝0
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：在 2x－3y＋1＝0上任取两点B（1，1），C（4，3），设它们关于A（-1，-2）的对称点为
则 ，所以
所以，所以过的直线方程为 ，即2x-3y-9=0.
故答案为：2x-3y-9=0.
【分析】在已知直线上任取两点，求它们关于A的对称点，两对称点的方程即为所求对称方程.
15．【答案】
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为 过点的直线与圆相切，所以点P应该在圆上或圆外.
所以。
故答案为：.
【分析】过点P的直线与圆相切，点P只能在圆內或圆外，进而就能确定P点坐标所满足的条件.
16．【答案】48
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设 ，的中点Q，则，
因为M、N在圆上，，所以 ，
所以 ，又M、N、P、Q共线，所以 ，
化简可得 ，所以MN的中点Q的轨迹为以（0，1）为圆心，1为半径的圆.
则Q到直线3x+4y+25=0的距离的最小值为，
所以M、N到直线3x+4y+25=0的距离和为 ，
最小值为2 ，所以 的最小值为 .
故答案为：48.
【分析】根据jM、N到直线3x+4y+25=0距离的和为MN中点Q到直线距离2倍，即，转化为求Q到直线距离的最小值，由M、N、P、Q四点共线以及M、N在圆上，得Q点的轨迹是圆，因此，只要求出圆上一点到直线的最小值即可.
17．【答案】（1）解：记，则：
，
，，
，
，即有；
（2）解：．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)利用为基底，表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得.
(2)利用基底表示，然后求它们的数量积计算.
18．【答案】（1）解：将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为；
（2）解：易知圆心在线段的垂直平分线上，
不妨设圆心坐标为，由半径为可得，解得；
当圆心为时，圆方程为；
当圆心为时，圆方程为；
因此所求圆的方程为或；
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】（1）已知圆心，只要根据圆上一点到圆心距离求得半径即可.
(2)因为圆心在线段的垂直平分线上，可设圆心坐标为，根据半径相等列出方程，即可求出圆心.进而得到圆方程.
19．【答案】（1）解：在正四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以AD，DC，两两垂直，
以A为原点，DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
又因，，E，F分别是棱，上的点，
且满足，，
所以0，，0，，1，，1，，0，，1，，1，，
所以，
设异面直线，所成角为
所以，
所以异面直线，所成角的余弦值为
（2）解：，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，
所以，
平面FAD的一个法向量为，
则，所以，令，所以，
所以，
所以面与面FAD所成角的余弦值为
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）以A为原点，DA，DC，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得各点坐标，代入夹角的余弦公式.
(2)求出两平面的法向量，两法向量夹角余弦即为两平面所成角余弦.
20．【答案】解：圆心坐标，半径，
则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，
联立，解得，，即交点坐标为，．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】根据直线和圆相交条件求解即可.解方程组得交点坐标.
21．【答案】（1）解：由题意，圆心在直线上，故设圆心，
由于圆与轴相切，∴半径，
则圆的方程为：，
又∵圆过点，
∴，解得：，
∴圆的标准方程为．
（2）解：当切线斜率不存在时，因为圆心到直线的距离为，
所以是圆的切线方程．
当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，
即，
由直线与圆相切得，解得：，
因此过点与圆相切的切线方程为，即，
综上知，过点圆的切线方程为或．
【知识点】直线的点斜式方程；圆的标准方程；圆的切线方程
【解析】【分析】(1)根据条件： 圆心在直线上，得圆心， 圆与轴相切，得半径，圆过点，得，解出a，即可确定圆心和半径.从而得圆方程.
（2）分斜率存在、不存在讨论。当斜率不存在时，.当斜率存在时，先设切线方程， 当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为 化成一般式 ，用d=r列出方程，解出斜率，代回所设即可.
22．【答案】（1）证明：连接因为底面为菱形，，
所以是正三角形，
∵是的中点，∴，
又，∴，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设，则，
，，，，，
设
则
设平面的一个法向量为，
则
取，则，
得
设直线与平面所成角为，
化简得：，则
故存在点满足题意，此时.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)由等边三角形三线合一及线面垂直性质得到线线垂直，进而得线面垂直，证得面面垂直.
(2)以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，得出各点坐标，假设存在M，，求出的方向向量和平面ABF的法向量，根据 线BM与平面所成角的正弦值为列出方程，解出，满足条件就存在.
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