吉林省长春重点学校2023-2024学年高二上学期数学11月期中试卷
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二上·吉林月考）已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（ ）
A．，2 B．，4
C．，2 D．，4
【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：根据圆的标准方程：，其中圆心为：，半径为r；所以圆：
的圆心为：，半径为2.
故答案为：C.
【分析】：根据圆的标准方程：，其中圆心为：，半径为r；即可求解.
2．（2023高二上·吉林月考）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：联立直线和直线，得方程组：，解得，
故直线和直线的交点坐标：，设直线l过点且与直线垂直，
设直线l的斜率为k，则：，解得：，故直线l的方程为：，整理得：
故答案为：D.
【分析】联立直线和直线的方程，解出交点坐标，然后在利用两直线垂直斜率之积为-1，求出直线l的斜率，然后在利用点斜式写出直线方程即可.
3．（2023高二上·吉林月考）如图，在三棱锥OABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：根据空间向量运算的三角形法则有：，又因为点P是OA的中点且
则=
又，则
由题意知：，故
故答案：A；
【分析】根据空间向量运算的三角形法则得到：，在结合图形及向量之间的关系代入进行化简计算即可.
4．（2022高二上·鞍山期中）过点引圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】若切线与轴垂直，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，所求切线的方程为，
综上所述，所求切线方程为或。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用圆的切线方程求解方法和点到直线的距离公式，进而得出直线的斜率，再结合点斜式方程求出切线方程，再转化为直线的一般式方程。
5．（2022高二上·哈尔滨期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．
A．5 B． C．45 D．
【答案】B
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；图形的对称性
【解析】【解答】因为点关于直线的对称点为，
所以即为“将军饮马”的最短总路程，
则“将军饮马”的最短总路程为。
故答案为：B．
【分析】利用点关于直线的对称点为，再利用几何法得出即为“将军饮马”的最短总路程，再利用勾股定理得出“将军饮马”的最短总路程。
6．（2022高二上·鞍山期中）如图，已知正四面体ABCD中，，，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】在正四面中，设向量，， ，则三个向量两两夹角为，
设正四面体的棱长等于1，且，，，
∵，，
∴ ，
，
，，
∵，
∴，
即直线和所成角的余弦值为。
故答案为：A.
【分析】在正四面中，设向量，， ，则三个向量两两夹角为，设正四面体的棱长等于1，且，，，再利用，结合三角形法则、向量共线定理和平面向量基本定理，进而得出 ，，再利用数量积求向量的模的公式得出，的值，再利用数量积的运算法则和数量积求向量夹角公式得出直线和所成角的余弦值。
7．（2023高二上·吉林月考）阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：根据题意：以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如图所示：
由A（-1，0），B（1，0），设点P位（x，y），因为 动点P到点的距离之比为
即：，有两点间的距离公式得：，化简得：①，在将①化为圆的标准方程：
，即点P是以（-3，0）为圆心，半径的圆。故当点P到x轴的距离最大时，的面积最大，
故.
故答案为：A.
【分析】建立直角坐标系，设出点p的坐标，在根据动点P到点的距离之比为及两点间的距离公式，求出点P的轨迹方程：，然后结合图像及圆的性质即可求解.
8．（2023高二上·吉林月考）若圆M：上至少有3个点到直线l：的距离为，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：把圆M的标准方程：化为标准方程为：
则圆M的圆心M，半径r=5，则根据题意有一条直线垂直平分圆M的某一条半径时，圆M上恰好有3点到该直线的距离等于圆M半径的一半，即为；所以要使圆M 上至少有3个点到直线l 的距离为，则圆心到直线l的距离，根据点到直线的距离公式有：
解得：或者，所以k的取值范围为：(][).
故答案为：C.
【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，得到圆M 的圆心M及半径，从而得到一条直线垂直平分圆M的某一条半径时，圆M上恰好有3点到该直线的距离等于圆M半径的一半，即为，进而得到要使圆M 上至少有3个点到直线l 的距离为的条件为圆心到直线l的距离，最后再根据点到直线的距离公式列不等式，解出范围即可.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．（2023高二上·吉林月考）若表示圆的一般方程，则实数的值可以（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B,D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：根据方程：，要表示圆的条件：，则
表示圆的一般方程需要满足：，解得：，结合选项知道：满足要求.
故答案为：B、C.
【分析】根据方程：，要表示圆的条件：，把已知条件带入列出不等式，解出不等式即可求解.
10．（2023高二上·吉林月考）已知向量，则（ ）
A．向量的夹角为 B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：，，则向量，的夹角为，则A选项错误；
，，故B选项错误；
，，则，故C选项正确；
，所以，则，故D选项正确；
故答案为：CD.
【分析】对于A选项可以有向量的模长、数量积的坐标运算及夹角公式求出向量，的夹角为，B、C选项则由向量线性关系、数量积的坐标运算求数量积、判断位置关系进行判断即可，D选项由向量的坐标判断是否共线即可.
11．（2023高二下·玉林期中）点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为3
B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】A,B,C
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆的圆心坐标，半径
圆 ，即的圆心坐标，半径
∴圆心距
又在圆上，在圆上
则的最小值为，最大值为．
A、B符合题意；
两圆圆心所在的直线斜率为，C符合题意；
圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】根据题意整理成圆的标准方程得出两圆的圆心和半径，结合两点距离公式得出圆心距、求斜率公式、圆与圆位置关系，逐项判断可得答案。
12．（2023高二上·吉林月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：因为 底面是正方形平面ABCD，所以可证得：两两互相垂直，故以点A原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴建立空间直角坐标系，
设SA=AB=AD=1，、、、、O（）、、P（）
设M（0，t，1-t）则，故
故，则A选项正确；，，设平面SBC的法向量
故，则可设，要使平面SBC，平面SBC，则解得：，所以存在点M使平面SBC，故B选项正确；
若直线OM与直线AB所成角为，又则，化简得：
，无解，故C选项错误；点M到平面ABCD与平面SAB的距离之和为：为定值，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，然后利用向量法对A、B、C、D四个选项逐一进行分析，即可得出正确答案.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023高二上·吉林月考）直线：与直线：的距离为 ．
【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：根据直线：的斜率，直线：可化为：
的斜率，因为，则直线直线，根据两直线之间的距离公式有：
故答案为：.
【分析】先把直线化为：，得到两直线的斜率相等，判定出两直线平行，然后运用平行直线之间的距离公式：进行求解即可.
14．（2023高二上·吉林月考）已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，则直线的方程为 ．
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解（1）当直线l在x轴和y轴上的截距都为0时，设直线的方程为：，把点（3，4）代入得4=3k，解得：，故此时直线l的方程为：；（2）当直线l在x轴和y轴上的截距都均不为0时，
设直线l在y轴上的截距为b，因为 在轴上的截距是在轴上的截距的两倍 则直线在x轴上的截距为2b，故根据直线的截距式可设直线l的方程为：，把点（3，4）代入得：，解得：，所以直线l的方程为：化简得：，综上所述：直线l 的方程为：或者.
故答案为： 或.
【分析】根据题目条件，考虑分直线l在x轴和y轴上的截距都为0和直线l在x轴和y轴上的截距都均不为0的两种情况进行分类讨论，分别运用直线点斜式和截距式设出直线方程，在带入已知点，解方程即可求解.
15．（2023高二上·吉林月考）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则 .
【答案】
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理
【解析】【解答】解： 空间的一点满足 ，若M， A， B， C共面，则：
，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量，由共面的结论列出方程即可求解.
16．（2022高二上·鞍山期中）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由可得，
则直线与曲线有两个公共点，如下图所示：
由可得，即，
所以，曲线表示圆的上半圆，
直线是过点且斜率为的直线，当直线与圆相切时，则，解得，
当直线过原点时，，
由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点，
因此，实数的取值范围是。
故答案为：。
【分析】由可得，则直线与曲线有两个公共点，由可得，所以，曲线表示圆的上半圆，再利用直线是过点且斜率为的直线，再利用分类讨论的方法和点到直线的距离公式和代入法，进而结合直线与圆的图象得出当直线与曲线有两个公共点时的实数的取值范围。
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二上·吉林月考）已知直线，.
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：因为，则有，解得，所以的值为.
（2）解：当或重合时，，或，
当时，，此时两直线平行，满足条件，
当时，，，即，此时两直线重合，
不符合题意，综上，.
【知识点】直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；两条直线平行的判定；用斜率判定两直线平行；两条直线垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据直线：，与直线：，两直线垂直则有：，列出方程，解出m即可；
（2）（1）根据直线：，与直线：，两直线平行则有：，列出方程，然后检验是否存在重合的情况，并把重合的情况排除剩下的即为答案.
18．（2020高二上·珠海月考）已知圆C经过点 和 ，且圆心在直线 上.
（1）求圆C的方程；
（2）直线l经过 ，并且被圆C截得的弦长为 ，求直线l的方程.
【答案】（1）解：设圆C的方程为
依题意得
解之得
∴圆C的方程为
（2）解：圆 可化为 ，
所以圆心到直线的距离为
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，
此时直线l被圆C截得的弦长为 ，符合题意
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为 ，即
由题意得
解得
∴直线的方程为
综上所述，直线l的方程为 或
【知识点】直线的一般式方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，设圆C的方程为 ，根据题意列出关于 的方程组，解出即可；（2）将圆的方程化为标准形式，求出圆心到直线的距离为1，当直线l的斜率不存在时符合题意，当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为 ，列出关于 的方程解出即可.
19．（2023高二上·吉林月考）如图，在正方体中，为的中点.
（1）求证：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为平面，平面，平面.
（2）解：以点为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立
如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，，，，
则，设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以.
设直线与平面所成的角为，
.
【知识点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）证明线面平行，需转化为线线平行，证明平面，则需要在内找一条直线与平行.由正方体的性质可得且，从而证得四边形为平行四边形，得到从而证得平面；
（2）由正方体的性质可得两两互相垂直，故可以建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，然后设直线AD与平面所成的角为，和所成角为，则为的余角或补角的余角，故：，带入坐标计算出结果即可.
20．（2023高二上·吉林月考）已知圆，直线.
（1）求证：直线l与圆C恒有两个交点；
（2）若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.
【答案】（1）解：为直线可变形为，
所以，解得，故直线经过的定点为.
将点代入圆的方程有，所以点在圆C的内部，
所以直线l与圆C恒有两交点.
（2）解：由（1）知，因为，
所以当时，面积最大，
此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径.
此时点C到直线l的距离，，
所以可以取到，
所以，解得或.
故所求直线l的方程为或.
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）对直线的方程进行变形得到：，从而求出直线l过定点，然后判定点P在圆内部即可；（2）根据，其中，所以要是的面积最大，则需最大，故当，即为等腰直角三角形时的面积最大，可求得圆心到直线的距离，进而
，然后解出m即可求解.
21．（2023高二上·吉林月考）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：取中点，连接，分别为的中点，
，
底面四边形是矩形，为棱的中点，，．
，，
故四边形是平行四边形，．
又平面，平面，平面．
（2）解：假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，则是四棱锥的高．
设，则，，
，所以
以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，，．
设，
．
设平面PMB的一个法向量为，
则
取．
易知平面的一个法向量为，，
，
故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面平行，需转化为线线平行，即证平面SCD，则需在平面SCD内找一条直线与PE平行，则可取SC的中点为F，有中位线定理得到：，在结合底面ABCD为矩形，从而证明四边形是平行四边形，证得：，故得到平面SCD；
（2）先假设在棱SA上存在点M满足题意要求，并设然后利用
即可得到AD=2，又根据等边三角形、矩形、 平面平面 可以以P为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量共线关系可设：，然后求出两个平面的法向量，在利用向量求二面角的公式求解即可.
22．（2023高二上·吉林月考）已知定点，，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线，，的斜率分别为，，.当时，求k的取值范围.
【答案】（1）解：设动点P的坐标为，
因为，，且，
所以，
整理得，
所以动点P的轨迹C的方程为；
（2）解：设点，，直线的方程为，
由消去y，整理得，（）
由得，①
由（）知，，②
所以，
即，③
将②代入③，整理得，④
由④得，解得，⑤
由①和④，解得或，⑥
要使，，有意义，则，，
所以0不是方程（）的根，
所以，即，⑦
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先设出动点P的坐标为（x，y），再利用及两点间的距离公式得到：然后在化简即可求解；
（2）根据题意可知点A、点B可以看做直线AB与圆的两个交点，故可设直线AB的方程为：，设，，然后联立直线与圆的方程消去y得到：，然后在利用韦达定理及直线的斜率公式计算即可求解.
1 / 1吉林省长春重点学校2023-2024学年高二上学期数学11月期中试卷
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023高二上·吉林月考）已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（ ）
A．，2 B．，4
C．，2 D．，4
2．（2023高二上·吉林月考）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高二上·吉林月考）如图，在三棱锥OABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且，若记，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高二上·鞍山期中）过点引圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
5．（2022高二上·哈尔滨期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．
A．5 B． C．45 D．
6．（2022高二上·鞍山期中）如图，已知正四面体ABCD中，，，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二上·吉林月考）阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·吉林月考）若圆M：上至少有3个点到直线l：的距离为，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．（2023高二上·吉林月考）若表示圆的一般方程，则实数的值可以（ ）
A．2 B． C．1 D．
10．（2023高二上·吉林月考）已知向量，则（ ）
A．向量的夹角为 B．
C． D．
11．（2023高二下·玉林期中）点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为3
B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
12．（2023高二上·吉林月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023高二上·吉林月考）直线：与直线：的距离为 ．
14．（2023高二上·吉林月考）已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，则直线的方程为 ．
15．（2023高二上·吉林月考）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则 .
16．（2022高二上·鞍山期中）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023高二上·吉林月考）已知直线，.
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
18．（2020高二上·珠海月考）已知圆C经过点 和 ，且圆心在直线 上.
（1）求圆C的方程；
（2）直线l经过 ，并且被圆C截得的弦长为 ，求直线l的方程.
19．（2023高二上·吉林月考）如图，在正方体中，为的中点.
（1）求证：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．（2023高二上·吉林月考）已知圆，直线.
（1）求证：直线l与圆C恒有两个交点；
（2）若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.
21．（2023高二上·吉林月考）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
22．（2023高二上·吉林月考）已知定点，，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线，，的斜率分别为，，.当时，求k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：根据圆的标准方程：，其中圆心为：，半径为r；所以圆：
的圆心为：，半径为2.
故答案为：C.
【分析】：根据圆的标准方程：，其中圆心为：，半径为r；即可求解.
2．【答案】D
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：联立直线和直线，得方程组：，解得，
故直线和直线的交点坐标：，设直线l过点且与直线垂直，
设直线l的斜率为k，则：，解得：，故直线l的方程为：，整理得：
故答案为：D.
【分析】联立直线和直线的方程，解出交点坐标，然后在利用两直线垂直斜率之积为-1，求出直线l的斜率，然后在利用点斜式写出直线方程即可.
3．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：根据空间向量运算的三角形法则有：，又因为点P是OA的中点且
则=
又，则
由题意知：，故
故答案：A；
【分析】根据空间向量运算的三角形法则得到：，在结合图形及向量之间的关系代入进行化简计算即可.
4．【答案】C
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】若切线与轴垂直，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，所求切线的方程为，
综上所述，所求切线方程为或。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用圆的切线方程求解方法和点到直线的距离公式，进而得出直线的斜率，再结合点斜式方程求出切线方程，再转化为直线的一般式方程。
5．【答案】B
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；图形的对称性
【解析】【解答】因为点关于直线的对称点为，
所以即为“将军饮马”的最短总路程，
则“将军饮马”的最短总路程为。
故答案为：B．
【分析】利用点关于直线的对称点为，再利用几何法得出即为“将军饮马”的最短总路程，再利用勾股定理得出“将军饮马”的最短总路程。
6．【答案】A
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】在正四面中，设向量，， ，则三个向量两两夹角为，
设正四面体的棱长等于1，且，，，
∵，，
∴ ，
，
，，
∵，
∴，
即直线和所成角的余弦值为。
故答案为：A.
【分析】在正四面中，设向量，， ，则三个向量两两夹角为，设正四面体的棱长等于1，且，，，再利用，结合三角形法则、向量共线定理和平面向量基本定理，进而得出 ，，再利用数量积求向量的模的公式得出，的值，再利用数量积的运算法则和数量积求向量夹角公式得出直线和所成角的余弦值。
7．【答案】A
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：根据题意：以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如图所示：
由A（-1，0），B（1，0），设点P位（x，y），因为 动点P到点的距离之比为
即：，有两点间的距离公式得：，化简得：①，在将①化为圆的标准方程：
，即点P是以（-3，0）为圆心，半径的圆。故当点P到x轴的距离最大时，的面积最大，
故.
故答案为：A.
【分析】建立直角坐标系，设出点p的坐标，在根据动点P到点的距离之比为及两点间的距离公式，求出点P的轨迹方程：，然后结合图像及圆的性质即可求解.
8．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：把圆M的标准方程：化为标准方程为：
则圆M的圆心M，半径r=5，则根据题意有一条直线垂直平分圆M的某一条半径时，圆M上恰好有3点到该直线的距离等于圆M半径的一半，即为；所以要使圆M 上至少有3个点到直线l 的距离为，则圆心到直线l的距离，根据点到直线的距离公式有：
解得：或者，所以k的取值范围为：(][).
故答案为：C.
【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，得到圆M 的圆心M及半径，从而得到一条直线垂直平分圆M的某一条半径时，圆M上恰好有3点到该直线的距离等于圆M半径的一半，即为，进而得到要使圆M 上至少有3个点到直线l 的距离为的条件为圆心到直线l的距离，最后再根据点到直线的距离公式列不等式，解出范围即可.
9．【答案】B,D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：根据方程：，要表示圆的条件：，则
表示圆的一般方程需要满足：，解得：，结合选项知道：满足要求.
故答案为：B、C.
【分析】根据方程：，要表示圆的条件：，把已知条件带入列出不等式，解出不等式即可求解.
10．【答案】C,D
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：，，则向量，的夹角为，则A选项错误；
，，故B选项错误；
，，则，故C选项正确；
，所以，则，故D选项正确；
故答案为：CD.
【分析】对于A选项可以有向量的模长、数量积的坐标运算及夹角公式求出向量，的夹角为，B、C选项则由向量线性关系、数量积的坐标运算求数量积、判断位置关系进行判断即可，D选项由向量的坐标判断是否共线即可.
11．【答案】A,B,C
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆的圆心坐标，半径
圆 ，即的圆心坐标，半径
∴圆心距
又在圆上，在圆上
则的最小值为，最大值为．
A、B符合题意；
两圆圆心所在的直线斜率为，C符合题意；
圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】根据题意整理成圆的标准方程得出两圆的圆心和半径，结合两点距离公式得出圆心距、求斜率公式、圆与圆位置关系，逐项判断可得答案。
12．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：因为 底面是正方形平面ABCD，所以可证得：两两互相垂直，故以点A原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴建立空间直角坐标系，
设SA=AB=AD=1，、、、、O（）、、P（）
设M（0，t，1-t）则，故
故，则A选项正确；，，设平面SBC的法向量
故，则可设，要使平面SBC，平面SBC，则解得：，所以存在点M使平面SBC，故B选项正确；
若直线OM与直线AB所成角为，又则，化简得：
，无解，故C选项错误；点M到平面ABCD与平面SAB的距离之和为：为定值，故D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，然后利用向量法对A、B、C、D四个选项逐一进行分析，即可得出正确答案.
13．【答案】
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：根据直线：的斜率，直线：可化为：
的斜率，因为，则直线直线，根据两直线之间的距离公式有：
故答案为：.
【分析】先把直线化为：，得到两直线的斜率相等，判定出两直线平行，然后运用平行直线之间的距离公式：进行求解即可.
14．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解（1）当直线l在x轴和y轴上的截距都为0时，设直线的方程为：，把点（3，4）代入得4=3k，解得：，故此时直线l的方程为：；（2）当直线l在x轴和y轴上的截距都均不为0时，
设直线l在y轴上的截距为b，因为 在轴上的截距是在轴上的截距的两倍 则直线在x轴上的截距为2b，故根据直线的截距式可设直线l的方程为：，把点（3，4）代入得：，解得：，所以直线l的方程为：化简得：，综上所述：直线l 的方程为：或者.
故答案为： 或.
【分析】根据题目条件，考虑分直线l在x轴和y轴上的截距都为0和直线l在x轴和y轴上的截距都均不为0的两种情况进行分类讨论，分别运用直线点斜式和截距式设出直线方程，在带入已知点，解方程即可求解.
15．【答案】
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理
【解析】【解答】解： 空间的一点满足 ，若M， A， B， C共面，则：
，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量，由共面的结论列出方程即可求解.
16．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由可得，
则直线与曲线有两个公共点，如下图所示：
由可得，即，
所以，曲线表示圆的上半圆，
直线是过点且斜率为的直线，当直线与圆相切时，则，解得，
当直线过原点时，，
由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点，
因此，实数的取值范围是。
故答案为：。
【分析】由可得，则直线与曲线有两个公共点，由可得，所以，曲线表示圆的上半圆，再利用直线是过点且斜率为的直线，再利用分类讨论的方法和点到直线的距离公式和代入法，进而结合直线与圆的图象得出当直线与曲线有两个公共点时的实数的取值范围。
17．【答案】（1）解：因为，则有，解得，所以的值为.
（2）解：当或重合时，，或，
当时，，此时两直线平行，满足条件，
当时，，，即，此时两直线重合，
不符合题意，综上，.
【知识点】直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；两条直线平行的判定；用斜率判定两直线平行；两条直线垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据直线：，与直线：，两直线垂直则有：，列出方程，解出m即可；
（2）（1）根据直线：，与直线：，两直线平行则有：，列出方程，然后检验是否存在重合的情况，并把重合的情况排除剩下的即为答案.
18．【答案】（1）解：设圆C的方程为
依题意得
解之得
∴圆C的方程为
（2）解：圆 可化为 ，
所以圆心到直线的距离为
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，
此时直线l被圆C截得的弦长为 ，符合题意
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为 ，即
由题意得
解得
∴直线的方程为
综上所述，直线l的方程为 或
【知识点】直线的一般式方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，设圆C的方程为 ，根据题意列出关于 的方程组，解出即可；（2）将圆的方程化为标准形式，求出圆心到直线的距离为1，当直线l的斜率不存在时符合题意，当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为 ，列出关于 的方程解出即可.
19．【答案】（1）证明：在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为平面，平面，平面.
（2）解：以点为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立
如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，，，，
则，设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以.
设直线与平面所成的角为，
.
【知识点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）证明线面平行，需转化为线线平行，证明平面，则需要在内找一条直线与平行.由正方体的性质可得且，从而证得四边形为平行四边形，得到从而证得平面；
（2）由正方体的性质可得两两互相垂直，故可以建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，然后设直线AD与平面所成的角为，和所成角为，则为的余角或补角的余角，故：，带入坐标计算出结果即可.
20．【答案】（1）解：为直线可变形为，
所以，解得，故直线经过的定点为.
将点代入圆的方程有，所以点在圆C的内部，
所以直线l与圆C恒有两交点.
（2）解：由（1）知，因为，
所以当时，面积最大，
此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径.
此时点C到直线l的距离，，
所以可以取到，
所以，解得或.
故所求直线l的方程为或.
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）对直线的方程进行变形得到：，从而求出直线l过定点，然后判定点P在圆内部即可；（2）根据，其中，所以要是的面积最大，则需最大，故当，即为等腰直角三角形时的面积最大，可求得圆心到直线的距离，进而
，然后解出m即可求解.
21．【答案】（1）解：取中点，连接，分别为的中点，
，
底面四边形是矩形，为棱的中点，，．
，，
故四边形是平行四边形，．
又平面，平面，平面．
（2）解：假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，则是四棱锥的高．
设，则，，
，所以
以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，，．
设，
．
设平面PMB的一个法向量为，
则
取．
易知平面的一个法向量为，，
，
故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面平行，需转化为线线平行，即证平面SCD，则需在平面SCD内找一条直线与PE平行，则可取SC的中点为F，有中位线定理得到：，在结合底面ABCD为矩形，从而证明四边形是平行四边形，证得：，故得到平面SCD；
（2）先假设在棱SA上存在点M满足题意要求，并设然后利用
即可得到AD=2，又根据等边三角形、矩形、 平面平面 可以以P为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量共线关系可设：，然后求出两个平面的法向量，在利用向量求二面角的公式求解即可.
22．【答案】（1）解：设动点P的坐标为，
因为，，且，
所以，
整理得，
所以动点P的轨迹C的方程为；
（2）解：设点，，直线的方程为，
由消去y，整理得，（）
由得，①
由（）知，，②
所以，
即，③
将②代入③，整理得，④
由④得，解得，⑤
由①和④，解得或，⑥
要使，，有意义，则，，
所以0不是方程（）的根，
所以，即，⑦
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先设出动点P的坐标为（x，y），再利用及两点间的距离公式得到：然后在化简即可求解；
（2）根据题意可知点A、点B可以看做直线AB与圆的两个交点，故可设直线AB的方程为：，设，，然后联立直线与圆的方程消去y得到：，然后在利用韦达定理及直线的斜率公式计算即可求解.
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