14.3.2.1运用平方差公式因式分解 课件（共20张ppt）

(共20张PPT)
第14章
整式的乘法
与因式分解
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
14.3.2.1
运用平方差公式
因式分解
复习引入
填空：
（1）(x+5)(x-5)= ；
（2）(3x+y)(3x-y)= ；
（3）(3m+2n)(3m–2n)= ．
x2 –25
9x2 –y2
9m2 –4n2
它们的结果有什么共同特征？
(a+b)(a-b)=a2-b2
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
x2-25=___________;
9x2-y2=___________;
9m2-4n2=_____________
(x+5)(x-5)
(3x+y)(3x-y)
(3m+2n)(3m–2n)
新知探究
平方差公式：
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
☆2-○2＝(☆+○)(☆-○)
□2-△2＝(□+△)(□-△)
形象地表示为：
两数的和与差的积
两个数的平方差；只有两项
① 左边
② 右边
新知探究
辨析：
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
×
×
√
√
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
(y+x)(y-x)
（4）-x2+y2
（5）x2-36y2
(x+6y)(x-6y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
两数是平方，减号在中央．
典例精析
例1
把下列各式分解因式：
(1) 16a2 - 9b2 = _________________；
(2) (a + b)2 - (a - b)2 = _______；
(3) 9xy3 - 36x3y =_________________；
(4) -a4 + 16 =___________________.
(4a + 3b)(4a - 3b)
4ab
9xy(y + 2x)(y - 2x)
(4 + a2)(2 + a)(2 - a)
若将 ( 2x )n - 81 分解成 (4x2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)，则 n 的值是______.
4
例2
解：
∵(4x2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)=(4x2 + 9)(4x2 - 9)=16x2 - 81
∴n=4
典例精析
例3
把 因式分解.
解：
把 因式分解.
解:
例4
典例精析
例5
日期： 原题（可粘贴）：
来源：
重要程度：☆☆☆☆☆
原因分析 □审题不清 □计算错误 □时间不足 □概念不清 □其他原因 原因及分析：
解：-4ax2+16ay2
= -4a(x2-4y2)
= -4a(x+2y)(x-2y)
订正小明的错题本.
把-4ax2+16ay2因式分解
解：-4ax2+16ay2
= -4a(x2-4y2)
因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
典例精析
日期： 原题（可粘贴）：
来源：
重要程度：☆☆☆☆☆
原因分析 □审题不清 □计算错误 □时间不足 □概念不清 □其他原因 原因及分析：
解：x3y2-x5
= x3(y2-x2)
= x3(y+x)(y-x)
因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
把x3y2-x5 因式分解.
解：x3y2-x5
= x3(y2-x2)
例5
订正小明的错题本.
典例精析
日期： 原题（可粘贴）：
来源：
重要程度：☆☆☆☆☆
原因分析 □审题不清 □计算错误 □时间不足 □概念不清 □其他原因 原因及分析：
解：x4-y4
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
＝(x2)2-(y2)2
分解因式：x4-y4
因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
解：x4-y4
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2)2-(y2)2
例5
订正小明的错题本.
典例精析
方法总结
分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法;
(2)看是否能用公式法 ;
(3)务必检查是否分解到底了;
多项式具有如下特征时，可以运用平方差公式因式分解：
1.多项式是二项式或可以看成二项式；
2.两项符号相反；
3.每项都可以写成某数或某式的平方的形式.
提公因式后不要漏掉“1”或“-1”这一项.
(4)答案要写成最简形式.
典例精析
例6
已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5，求 (m + 2n)2 - (3m - n)2 的值．
原式 = -40×5 = -200．
解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n)
= (4m + n)(3n - 2m)
= -(4m + n)(2m - 3n)，
当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时，
方法总结
典例精析
例7
计算：50×1252-50×252
解：
原式 = 50×(1252-252)
=50×(125+25)×(125-25)
=50×150×100
=750000
较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
典例精析
例8
解：根据题意，得
6.82－4×1.62
＝6.82－ (2×1.6)2
＝6.82－3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
典例精析
例9
你知道992-1能否被100整除吗？
解：因为 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
所以992-1能被100整除.
n为整数,(2n+1)2-25能否被4整除？
解:原式＝(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
所以(2n+1)2-25能被4整除.
变式
归纳总结
运用平方差公式因式分解
依据
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。
a2-b2=(a+b)(a-b)
与提公因式法综合运用
①提取公因式；
②运用平方差公式；
③检查多项式的因式分解是否完全，有没有分解到不能再分解为止.
当堂检测
1. 多项式x2-4因式分解的结果是(　　)
A.(x+2)(x-2) B.(x-2)2
C.(x+4)(x-4) D.x(x-4)
A
2.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是(　　)
A.-a2-b2 B.-a2+81
C.p2-(-q2) D.a2-b3
B
3. 下列因式分解中,结果正确的是(　　)
A.x2-25=(x+5)(x-5) B.1-(x+2)2=(x+1)(x+3)
C.4m2-n2=(2m+n)(m-n) D.x2-4=(x-2)2
A
当堂检测
4.计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4×(53.52－46.52)
=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
当堂检测
（4）a3-ab2
a(a+b)(a-b)
（3）9x4-36y2
9(x2+2y)(x2-2y)
（5）25x4y2-x2
5.把下列各式因式分解:
（6）2a(x2+1)2-2ax2
x2(5xy+1)(5xy-1)
2a(x2+x+1)(x2-x+1)
当堂检测
6. 已知 x2 - y2 ＝ －2，x＋y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值.
∴ x - y ＝ -2 ②.
解：∵ x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y)＝ -2，
x＋y ＝ 1 ①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得