九年级数学下册试题 5.4二次函数与一元二次方程--苏科版（含答案）

5.4二次函数与一元二次方程
一．选择题
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣1 3 5 3 …
下列结论错误的是（　　）
A．ac＜0
B．3是关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小
D．当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0
2．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＜mx+n的x的取值范围是（　　）
A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3或x＞0 C．x＜﹣3或x＞1 D．0＜x＜3
3．函数y＝x2﹣2|x|﹣1的自变量x的取值范围为全体实数，其中x≥0部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；
④当﹣2＜a＜﹣1时，关于x的方程x2﹣2|x|﹣1＝a有4个实数根．
其中正确的结论个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．对于函数y＝x2﹣2|x|﹣3，下列说法正确的有（　　）个①图象关于y轴对称；②有最小值﹣4；③当方程x2﹣2|x|﹣3＝m有两个不相等的实数根时，m＞﹣3；④直线y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3的图象有三个交点时，b≤﹣3．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（　　）
A．有两个交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
6．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（　　）
①abc＞0；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；
③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　）
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a
D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t时，y1＜y2
8．二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 m 1 n …
下列关于该函数性质的判断
①该二次函数有最大值；②当x＞0时，函数y随x的增大而减小；③不等式y＜﹣1的解集是﹣1＜x＜2；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于﹣1＜x和x＜2之间．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．对于抛物线yx2+x﹣4，下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而减少
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．顶点坐标为（﹣2，﹣7）
D．抛物线与x轴有两个交点
10．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣3的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，﹣3） D．与x轴只有一个交点
11．若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为10，且4a+b＝0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为（　　）
A．x1＝﹣7，x2＝3 B．x1＝﹣6，x2＝4 C．x1＝6，x2＝﹣4 D．x1＝7，x2＝﹣3
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0），（3，0）两点：则下列判断中正确的是（　　）
①图象的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线
②当x＞1时，y随x的增大而减小
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3
④当﹣1＜x＜3时，y＜0
A．①② B．①②④ C．①②③ D．④
二．填空题
13．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝　 　．
14．若二次函数y＝x2﹣6x+3a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为　 　．
15．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m+2的图象与x轴只有一个交点，则m＝　 　．
16．已知抛物线的顶点为（，），与x轴交于A，B两点，在x轴下方与x轴距离为4的点M在抛物线上，且S△AMB＝10，则点M的坐标为　 　．
17．如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为　 　．
18．抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是　 　．
19．若抛物线y＝a（x+m）2+b与x轴两交点坐标为（﹣2，0），（1，0），则关于x的一元二次方程a（x+3m）2+b＝0的根为　 　．
20．二次函数y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为x＝1．若关于x的方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4范围内有实数解，则t的取值范围是　 　．
21．抛物线y＝x2+2ax﹣3与x轴交于A，B（1，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点时，则m的取值范围是　 　．
22．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0无实数解，则抛物线y＝﹣x2﹣bx+c经过　 　象限．
23．如图，抛物线y与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线yx+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是　 　．
三．解答题
24．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与y轴交于点C（0，﹣8），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，y＜0．
25．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标？
（2）求出△BCD的面积是多少？
26．如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，分别连接AB，BC，CD，DA．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）当y＞0时，自变量x的取值范围是　 　．
27．已知函数y＝x2+（m﹣3）x+1﹣2m（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）不论m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标．
28．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的对称轴为直线x＝1，且与x轴只有一个公共点．
（1）试用含a的式子表示b和c；
（2）若（x1，y1），（3，y2）是该抛物线上的两点，y2＜y1，求x1的取值范围；
（3）若将该抛物线向上平移2个单位长度所得新抛物线经过点（3，6），且当p≤x≤q时，新抛物线对应的函数有最小值2p，最大值2q，求p﹣q的值．
29．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，交x轴于A，B（﹣1，0）两点，交y轴于点C（0，3）根据图象解答下列问题
（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）直接写出不等式ax2+bx+c＜3的解集．
答案
一．选择题
C．B．A．B．A．C．D．B．B．C．D．C．
二．填空题
13．2．
14．3．
15．1或．
16．（2，﹣4）或（﹣1，﹣4）．
17．（﹣2，0）．
18．﹣4≤t＜5．
19．x1＝﹣3，x2＝0．
20．﹣1≤t≤8．
21．0＜m＜3或m＝4．
22．三、四．
23．m．
三．解答题
24．解：（1）∵y＝a（x﹣1）2+k的图象与y轴交于点C（0，﹣8），
与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．
∴，
解得，，
∴该函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣9
（2）令y＝0，则 （x﹣1）2﹣9＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴点B的坐标为（4，0）．
∴当﹣2＜x＜4时，y＜0．
25．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
函数的对称轴为：x＝1，点D（1，﹣4）；
（2）过点D作y轴的平行线交BC于点H，
将点BC的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线BC的表达式为：y＝x﹣3，故点H（1，﹣2），则HD＝2，
△BCD的面积HD×OB2×3＝3．
26．解：（1）函数y＝x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D，与y轴交于点C，顶点为A，
则点B、D、C、A的坐标分别为：（3，0）、（1，0）、（0，3）、（2，﹣1）；
四边形ABCD的面积BD×（xC﹣xA）2×（3+1）＝4；
（2）从图象可以看出，当y＞0时，自变量x的取值范围是：x＞3或x＜1，
故答案为：x＞3或x＜1．
27．（1）证明：令 y＝0，则 x2+（m﹣3）x+1﹣2m＝0． 因为 a＝1，b＝m﹣3，c＝1﹣2m，
所以 b2﹣4ac＝（m﹣3）2﹣4（1﹣2m）＝m2+2m+5＝（m+1）2+4＞0．
所以方程有两个不相等的实数根．
所以不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点．
（2）解：y＝x2+（m﹣3）x+1﹣2m＝（x﹣2）m+x2﹣3x+1． 因为该函数的图象都会经过一个定点，
所以 x﹣2＝0，
解得 x＝2．
当x＝2 时，y＝﹣1．
所以该函数图象始终过定点（2，﹣1）．
28．解：（1）∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的对称轴为直线x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线与x轴只有一个公共点．
∴b2﹣4ac＝0，即（﹣2a）2﹣4ac＝0，
∴c＝a；
（2）∵（x1，y1），（3，y2）是该抛物线上的两点，对称轴为1，
∴（3，y2）的对称点为（﹣1，y2），
∵a＞0，抛物线开口向上，
∴y2＜y1时，x1的取值范围是x1＞3或x1＜﹣1；
（3）由（1）知：抛物线y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2（a＞0），
将该抛物线向上平移2个单位长度所得新抛物线为y＝a（x﹣1）2+2，
∵经过点（3，6），
∴6＝4a+2，解得a＝1，
∴新抛物线为y＝（x﹣1）2+2，
∴当x＝1时，抛物线有最小值为2，
∴2p＝2，解得p＝1，
∴1≤x≤q，
∵对称轴为x＝1，
∴当x＝q时，在p≤x≤q范围内有最大值2q，
∴2q＝（q﹣1）2+2，解得q＝3或1（舍去），
∴p﹣q＝1﹣3＝﹣2．
29．解：（1）B（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，则点A（3，0），
故ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝3、x2＝﹣1；
（2）点C（0，3），则点C关于对称轴的对称点为：（2，3），
则不等式ax2+bx+c＜3的解集为x＜0或x＞2．