九年级数学下册试题 6.2黄金分割--苏科版（含答案）

6.2黄金分割
一．选择题
1．下列说法不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直平分且有一个角为直角的四边形是正方形
B．3x2﹣4x+1＝0的两根之和为
C．若点P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），则PAAB
D．当a+c＝b时，一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为1
2．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP．记以AP为一边的正方形面积为S1，以BP、AB为邻边矩形的面积为S2，则（　　）
A．S1＞S2 B．S1＝S2
C．S1＜S2 D．S1、S2大小不能确定
3．《周髀算经》原名《周髀》，是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法．唐初规定它为国子朱实监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（　　）
A．黄金分割 B．垂径定理 C．余弦定理 D．勾股定理
4．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算1的值（　　）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
5．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（　　）
A． B．BC2＝AB AC C． D．0.618
6．如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形，，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形AEC'B'，连接BB'，若AB＝2，则线段BB'的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
7．黄金分割比在实际生活中有广泛的应用，比如在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，它的下部为x米，则下列关于x的方程正确的是（　　）
A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣2x﹣4＝0 C．x2﹣6x+4＝0 D．x2﹣6x﹣4＝0
8．如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BCAB；连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P，则的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB＝1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（　　）
A．k2018 B．k2019 C． D．k2019（2+k）
10．已知点P是线段MN的黄金分割点（MP＞PN），如果线段MN＝4，那么MP的长是（　　）
A． B． C． D．
11．已知如图，线段AB＝60，AD＝13，DE＝17，EF＝7，请问在D，E，F，三点中，哪一点最接近线段AB的黄金分割点（　　）
A．D点 B．E点 C．F点 D．D点或F点
12．如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1＜BP1，即），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则线段AP2020的长度是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共10小题）
13．已知点P是线段AB的黄金分割点，且较长的线段AP的长等于10厘米，那么较短的线段BP的长为　 　厘米．
14．A、B两点都在反比例函数y（k＞0）位于第一象限内的图象上，过A、B两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为C、D和E、F，设AC与BF交于点G，已知四边形OCAD和CEBG都是正方形．设FG、OC的中点分别为P、Q，连接PQ．给出以下结论：①四边形ADFG为黄金矩形；②四边形OCGF为黄金矩形；③四边形OQPF为黄金矩形，以上结论中，正确的是　 　．
15．如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，那么报幕员应走　 　米报幕．
16．线段AB为80cm，点C为线段AB的黄金分割点，线段AC的长度为　 　．
17．在人体躯和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约　 　cm的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
18．把10cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为　 　cm．
19．已知线段AB＝10cm，点C是线段AB的黄金分割点，则较长线段AC＝　 　（精确到0.1cm）．
20．相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于　 　厘米．（保留根号）
21．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝　 　．
22．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝10，则BC＝　 　．
三．解答题
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AB2＝BD BC
（1）求证：△ABC∽△DBA；
（2）试证明CA＝CD；（要求：证明过程注明理由）
24．如图，点R是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示AR为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BR为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，求S3：S2的值．
25．（1）已知0，求代数式的值；
（2）已知线段AB＝10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，求C、D之间的距离．
26．如图，在矩形ABCD中，CD＝2，AD＝4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点，O为AC上一点，⊙O经过点A，P
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）在边CB上截取CF＝CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．
27．若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．
29．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．
（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．
答案
一．选择题
D．B．D．B．B．A．A．A．D．D．C．A．
二．填空题
13．55．
14．②．
15．（15﹣5）．
16．40（1）cm或40（3）cm．
17．8．
18．5（1）．
19．6.2cm．
20．1010．
21．22．
22．5 5．
三．解答题
23．（1）证明：∵AB2＝BD BC，
∴，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBA．
（2）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°（等边对等角），
∵△ABC∽△DBA（已证）
∴∠BAD＝∠C＝36°（相似三角形的对应角相等）
∴∠CAD＝72°（角的和差定义）
∴∠CDA═180°﹣∠C﹣∠CAD＝72°（三角形内角和定理），
∴∠CAD＝∠ADC（等量代换）
∴CA＝CD（等角对等边）．
24．解：如图，设AB＝1，
∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴AE＝GF，
∴BE＝FH＝AB﹣AE，
∴S3：S2＝（GF FH）：（BC BE）
＝（）：（1）
．
故答案为：．
25．解：（1）设k，可得：a＝2k，b＝3k，
把a＝2k，b＝3k代入．
（2）∵C、D是AB上的两个黄金分割点，
∴AD＝BCAB＝55，
∴CD＝AD+BC﹣AB＝1020cm．
26．解：（1）连接OP，则∠PAO＝∠APO，
而△AEP是由△ABP沿AP折叠而得：
故AE＝AB＝2，∠OAP＝∠PAB，
∴∠BAP＝∠OPA，
∴AB∥OP，∴∠OPC＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）CF＝CE＝AC﹣AE2＝22，
，
故：点F是线段BC的黄金分割点．
27．解：（1）△ABC和△ADC都是黄金三角形，理由如下：
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵DB＝DA，
∴∠BAD＝∠B，
∵DA═AC，
∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，
又∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝∠DAC＝36°，
∴△ABC和△ADC都是黄金三角形；
（2）CD＝BN+CE，理由如下；
由（1）知，∠BAD＝∠B＝36°，∠CAD＝36°＝∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
在△ANH和△AEH中
∴△ANH≌△AEH（ASA），
∴AN＝AE，
即AB﹣BN＝AC+CE，
又∵BA＝BC＝BD+DC，AC＝AD＝BD，
∴BC﹣BN＝AD+CE
∴BD+CD﹣BN＝AD+CE，
又∵AD＝BD，
∴CD﹣BN＝CE，
即CD＝BN+CE．
28．解：点E是线段AB的黄金分割点．
证明如下：连接EC，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
又∵AE＝BC，
∴EC＝BC，
∴∠BEC＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∴∠BEC＝∠ACB，又∠B＝∠B，
∴△CEB∽△ACB，
∴，即BC2＝BE AB，
又∵AE＝BC，
∴AE2＝BE AB，即点E是线段AB的黄金分割点．
29．解：（1）点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：
∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝36°，
∴∠BDC＝∠B＝72°，∠ACD＝∠A＝36°，
∴BC＝DC＝AD．
∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴．
∴．
∴D是AB边上的黄金分割点；
（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，则
S△ADCAD h，S△DBCDB h，S△ABCAB h，
∴，．
∵D是AB的黄金分割点，
∴，
∴．
∴CD是△ABC的黄金分割线．