九年级数学下册试题 6.4探索三角形相似的条件同步练习-苏科版（含答案）

6.4探索三角形相似的条件
一．选择题
1． 如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B＝∠ACD，则图中相似三角形有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
2． 如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（　　）
A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD
3． 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE，则图中与△ACE全等或相似的三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4． 如图，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（　　）
A．s B．s C．s或s D．以上均不对
6． 已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点（不与A、C重合），以BD为边作正△BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有（　　）对．
A．6 B．5 C．4 D．3
7． 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的有（　　）
①∠BAE＝30°；②CE2＝AB CF；③CFCD；④△ABE∽△AEF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8． 如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9． 坐标平面上横、纵坐标都为整数的点叫做整点．已知A（2，0），点B（3，1），O为坐标原点，在第一象限内取一整点C，使O，B，C三点所构成的三角形与△AOB相似．那么C点不同的位置一共有（　　）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
10．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，如下结论：①BEGE；②△AGE≌△ECF；⑧∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，对于下列结论：①AC＝FG；②四边形CBFG是矩形；③△ACD∽△FEQ．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二．填空题
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝4，D为BC的中点，E为AB上的动点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE与△ABC相似时，t的值为　 　．
13．如图，点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝2，PB⊥BF，垂足为点B，请在射线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM＝　 　．
14．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，要使△AEF与△ABC相似，则需要增加的一个条件是　 　．（写出一个即可）
15．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是　 　．
16．如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB＝∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是　 　．
17．如图，点P是△ABC中AB边上的 点，请你添加 个条件使△ACP∽△ABC：　 　．
18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中点为H，连接BG、DH．给出下列结论：
①AF⊥DE；②DG；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF．
其中正确的结论有　 　．（请填上所有正确结论的序号）
19．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交于AC于点D，下面结论：
①△AC1C为等腰三角形；②CA＝CB1；③α＝135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤中，正确的结论的序号为　 　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠∠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若△EFC和△ABC相似，则BD的长为　 　．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P是线段AD上的动点，过P作PF⊥AE于F，当以点P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似时，AP的长为　 　．
22．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝　 　cm．
23．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为　 　．
三．解答题
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
25．在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是线段AB上一点，且DB＝4，过点D作DE与线段AC相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．请根据下列两位同学的交流回答问题：
（1）写出正确的比例式及后续解答；
（2）指出另一个错误，并给予正确解答．
26．如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．请写出一对相似三角形，并加以证明．（图中不添加字母和线段）
27．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程．
28．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B止，动点E从点C出发到点A止．点D运动速度为1cm/s，点E运动速度为2cm/s．如果两个点同时运动，多长时间△ADE与△ABC相似？
29．如图，已知AD AC＝AB AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
30．如图，在平面直角坐标系中，点B（12，10），过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y轴的垂线，垂足为C点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当E点运动到点A时，三点随之停止运动．设运动时间为t．
（1）用含t的代数式分别表示点E，点F的坐标．
（2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值．
答案
一．选择题
C．C．C．C．C．B．B．A．C．C．A．
二．填空题
12．4或7或9．
13．2或．
14．EF∥BC或∠AFE＝∠B或∠AEF＝∠C．
15．∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或．
16．∠P＝∠B或∠Q＝∠C或
17．∠ACP＝∠B（或）．
18．①④．
19．①②④⑤．
20．或．
21．3或．
22．2或3．
23．2或．
三．解答题
24．（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，
则（6﹣x） 2x＝8，
整理得x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．
（2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm．
当△PCQ∽△ACB时，，即，
解得：t．
当△PCQ∽△BCA时，，即，
解得：t．
综上所述，当t秒或t秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
25．解（1），
∴．
（2）另一个错在没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE＝∠ACB，
则△ADE∽△ACB，
∴，
∴．
综合以上可得，DE或．
26．△BPQ∽△CDP，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠QPD＝90°，
∴∠QPB+∠BQP＝90°，
∠QPB+∠DPC＝90°，
∴∠DPC＝∠PQB，
∴△BPQ∽△CDP．
27．图中相似的三角形有：△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA．
∵AD、CE分别是△ABC的两条高，
∴∠ADB＝∠CDA＝∠CEB＝∠AEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠EBC＝∠ABD，
∴△ABD∽CBE．
28．如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
29．证明：∵AD AC＝AB AE，
∴，
∵∠DAE＝∠BAC．
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
30．（1）由题可得OE＝3t，OD＝t，BF＝2t．
∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，∠AOC＝90°，
∴∠AOC＝∠BAO＝∠BCO＝90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC，BC＝OA．
∵B（12，10），
∴BC＝OA＝12，AB＝OC＝10，
∴AF＝10﹣2t，AE＝12﹣3t，
∴点E的坐标为（3t，0），点F的坐标为（12，10﹣2t）；
（2）①当△ODE∽△AEF时，
则有，
∴，
解得t1＝0（舍），t2；
②当△ODE∽△AFE时，
则有，
∴，
解得t1＝0（舍），t2＝6．
∵点E运动到点A时，三点随之停止运动，
∴3t≤12，
∴t≤4．
∵6＞4，
∴t＝6舍去，
综上所述：t的值为．