九年级数学下册试题 6.5相似三角形的性质同步练习-苏科版（含答案）

6.5相似三角形的性质
一．选择题
1． 在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD相交于点E，则CE：ED的比值为（　　）
A． B． C． D．
2． 如图，函数y（x＜0）的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD．若AD＝3，则△ABO的周长为（　　）
A．12 B．6 C．6+2 D．6+2
3． 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（　　）
A．1：4 B．1：9 C．1：16 D．1：25
4． 在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
5． 如图，在 ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）
A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：2
6． 如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝1，DB＝3，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（　　）
A． B． C． D．
7． 两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（　　）cm．
A．16 B．16或28 C．36 D．16或36
8． 如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF的面积为2，则四边CDEF的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
9． 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，则四边形AEOD的面积为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：
①AG：GE＝2：1；②BG：GH：HD＝1：1：1；③S1+S2+S3S；④S2：S4：S6＝1：2：4．
正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为（　　）
A．2 B． C． D．1
12．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；
②PM+PN＝AC；
③PE2+PF2＝PO2；
④△POF∽△BNF；
⑤点O在M、N两点的连线上．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
二．填空题
13．如图所示，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为　 　．
14．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则OM的最小值为　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B，D为圆心、大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，分别交AB，BC于点E，F，则线段EF的长为　 　．
16．如图所示，在矩形ABCD中，E在直线AB上，AB＝2AE，射线DE与直线AC交于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为　 　．
17．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长　 　．
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝2，AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥CE交CE于点F，则OF的长度为　 　．
19．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝6，AD＝4，EFEH，那么EH的长为　 　．
20．如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，
PC＝8，则QC的长是　 　．
21．在边长为4的正方形ABCD中，点E，F是AD上两点，且AE＝DF，∠BCE＝60°，CE交对角线BD于G，交BF于点P，连接AP．则四边形ABGP的面积为　 　．
22．△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连结PM，PN，则下列结论：①PM＝PN②③△PMN为等边三角形 ④若BNCP，则∠ACB＝75°．则正确结论是　 　．
三．解答题
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ADF∽△EAB；
（2）若DF＝6，直接写出线段EF的长．
24．如图，已知在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC交AB于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD．
（2）若DE＝6，BC＝16，直接写出△FCD的面积．
25．如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E做EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF；
（2）若CD＝4，求AF的长．
26．如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，且．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）若点D在BC上，AD与EF交于点G，求证：．
27．请阅读下列材料，并完成相应任务
塞瓦定理
塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．如图，塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边D，E，F于，则1．
任务：（1）当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；
（2）若△ABC为等边三角形，AB＝12，AE＝4，点D是BC边的中点，求BF的长．
28．如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
（1）求证：△HCD∽△HDB．
（2）求DH长度．
29．如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）求证：△ADE∽△ABC；
（3）若BE＝CE，CD＝1，求DF的长．
30．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M为AD的中点，连接BM，交AC于E，在CB上取一点F，使得CF＝AE，连接AF，交BM于G，连接CG．
（1）求∠BGF的度数；
（2）求的值；
（3）求证：BG⊥CG．
31．在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN．直线BD与MN相交于E．
（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD﹣2DEBM；
（2）如图2，当点M在BC延长线上时，连接BN交AD于点F．若DE，且AB：ND＝1：2时，求线段BN的长．
答案
一．选择题
C．D．B．A．C．D．D．C．B．D．B．B．
二．填空题
13．．
14．．
15．．
16．或10．
17．．
18．．
19．3．
20．．
21．2424．
22．①②③④．
三．解答题
23．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝10，AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD，
∵DF⊥AE，
∴∠F＝90°，
∵∠F＝∠B，∠FAD＝∠BEA，
∴△ADF∽△EAB；
（2）在Rt△ADF中，AF8，
∵△ADF∽△EAB，
∴，即，解得BE＝4，
在Rt△ABE中，∵AB＝3，BE＝4，
∴AE5，
∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．
24．证明：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵D是BC的中点，ED⊥BC，
∴BE＝EC，
∴∠ABC＝∠ECD，
∴△ABC∽△FCD；
（2）如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵BC＝16，D是BC的中点，
∴CD＝BD＝8，
∵AD＝AC，AH⊥CD，
∴DH＝CH＝4，
∴BH＝12，
∵DE∥AH，
∴，
∴，
∴AH＝9，
∵△ABC∽△FCD
∴（）2，
∴S△FCDS△ABC＝18．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED，
∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠CED＝∠FDE，
∴△ECD∽△DEF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，
∵E为BC的中点，
∴CEBC＝2，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE2，
∵△ECD∽△DEF，
∴，
∴，
解得：DF＝10，
∵AD＝4，
∴AF＝DF﹣AD＝10﹣4＝6．
26．（1）证明：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF∽△ABC；
（2）证明：∵△AEF∽△ABC，
∴∠AEF＝∠ABC，
∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴，，
∴．
27．（1）证明：
∵D，E分别为边BC，AC的中点，
∴BD＝CD，EA＝CE，
∴，
由塞瓦定理，得，
∴，
∴AF＝BF，
∴点F为AB的中点；
（2）∵△ABC为等边三角形，AB＝12，
∴AB＝AC＝BC＝12，
∵AE＝4，
∴EC＝12﹣4＝8，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝6，
∵AB＝12，
∴AF＝AB﹣BF＝12﹣BF，
由赛瓦定理，得，
∴，
∴BF＝8．
28．（1）证明：∵DH∥AB，
∴∠A＝∠HDC，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠HDC＝∠CBD，又∠H＝∠H，
∴△HCD∽△HDB；
（2）∵DH∥AB，
∴，
∵AC＝3CD，
∴，
∴CH＝1，
∴BH＝BC+CH＝3+1＝4，
由（1）知△HCD∽△HDB，
∴，
∴DH2＝4×1＝4，
∴DH＝2（负值舍去）．
答：DH的长度为2．
29．（1）证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△AEC．
（2）证明：∵△ADB∽△AEC，
∴，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（3）过点E作EN⊥ED交BD于N，过点E作EM⊥DN于M．
在Rt△BEC中，∵BE＝EC，∠BEC＝90°，
∴BCBE，∠BCF＝45°，
∵∠BDC＝90°，
∴BD3，
∵∠EFB＝∠DFC，∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴△BFE∽△CFD，
∴，
∴，
∵∠EFD＝∠BFC，
∴△EFD∽△BFC，
∴∠EDF＝∠BCF＝45°，
∵∠NED＝90°，
∴∠END＝∠EDN＝45°，
∴EN＝ED，
∵∠BEC＝∠NED＝90°，
∴∠BEN＝∠CED，
∵BE＝CE，
∴△BEN≌△CED（SAS），
∴BN＝CD＝1，DN＝BD﹣BN＝2，
∵EN＝ED，EM⊥DN，
∴MN＝DM＝1，
∴EM＝MN＝MD＝1，
∵∠EMF＝∠CDF＝90°，∠EFM＝∠CFD，EM＝CD，
∴△EMF≌△CDF（AAS），
∴MF＝DF，
∴DF．
30．（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACF＝60°，
∵AE＝CF，
∴△BAE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠BGF＝∠ABE+∠BAG＝∠CAF+∠BAG＝∠BAC＝60°．
（2）∵∠BAG+∠ABG＝∠ABG+∠CBM＝60°，
∴∠BAG＝∠CBM，
∵AD∥CB，
∴∠AMB＝∠CBM，
∴∠BAG＝∠BMA，
∵∠ABG＝∠ABM，
∴△BAG∽△BMA，
∴，
∴，
∵AM＝MDADAB，
∴．
（3）设AM＝DM＝x，连接CM，
∵△ACD是等边三角形，
∴CM⊥AD，
∴CMAMx，
∵AD∥CB，
∴CM⊥BC，
∴∠BCM＝90°，
∵AD＝BC＝2x，
∴BMx，
∵△BAG∽△BMA，
∴，
∴，
∴BGx，
∴，
∵∠CBG＝∠CBM，
∴△CBG∽△MBC，
∴∠BGC＝∠BCM＝90°，
∴BG⊥CG．
31．（1）如图1，过点M作MF⊥BC交BD于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
∴FM∥CD，
∴∠NDE＝∠MFE，
∴FM＝BM，
∵BM＝DN，
∴FM＝DN，
在△EFM和△EDN中，
，
∴△EFM≌△EDN（AAS），
∴EF＝ED，
∴BD﹣2DE＝BF，
根据勾股定理得：BFBM，
即BD﹣2DEBM；
（2）过点M作MF⊥BC交BD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴HM∥CD，
∴∠NDE＝∠MHE，
∴HM＝BM，
∵BM＝DN，
∴HM＝DN，
∵∠NED＝∠MEH，
∴△EHM≌△EDN（AAS），
∴EH＝ED，
∴BD+2DE＝BH，
根据勾股定理得：BHBM，
即BD+2DEBM，
∴BDBC，
∵DE，
∴CM＝2，
∵AB：ND＝1：2，
∴CD：ND＝1：2，
即CD：（CD+2）＝1：2，
解得CD＝2，
∴ND＝4，
∴CN＝CD+ND＝6，
∴．