九年级数学下册试题 6.7用相似三角形解决问题同步练习-苏科版（含答案）

6.7用相似三角形解决问题
一．选择题
1． 一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（　　）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
2． 如图，在一块斜边长60cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若CD：CB＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（　　）
A．202.5cm2 B．320cm2 C．400cm2 D．405cm2
3． 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（　　）尺．
A．50 B．45 C．5 D．4.5
4． 如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（　　）
A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m
5． 如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36cm2，边BC＝12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为（　　）cm．
A．8 B．6 C．4 D．3
6． 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（　　）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
7． 如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
8． 根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团1949年9月27日公布的国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形，已知一号国旗的标准尺寸是长288cm，高192cm，则如图国旗尺寸不符合标准的是（　　）
A． B．
C． D．
9． 如图，A，B两点被一河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC＝2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上，测得DE＝20m，则A，B两点间的距离是（　　）
A．60m B．50m C．40m D．30m
10．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则GF的长为（　　）
A．3cm B．2cm C．2.5cm D．3.5cm
11．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
12．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CFCD；④S△ABE＝4S△ECF．正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
13．如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子AD刚好在甲的影子AC里边，已知甲身高BC为1.6米，乙身高DE为1.4米，甲的影长AC是6米，则甲、乙同学相距　 　米．
14．如图，△ABC为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD＝10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为　 　cm2．
15．如图，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，将它平放在离树底部10m的地面上，然后他沿着树底部和镜子所在直线后退，当他退了4m时，正好在镜中看见树的顶端，若小明目高为1.6m，则树的高度是　 　．
16．我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示．若此时眼睛到食指距离l约为63cm，食指AB长约为7cm，旗杆CD高度为28米，则对方与我军距离d约为　 　米．
17．如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为　 　m．
18．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.5米，则这个学校教学楼的高度为　 　米．
19．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压　 　cm．
20．如图，小明在打网球时，他的击球高度AB＝2.4米，为使球恰好能过网（网高DC＝0.8米），且落在对方区域距网5米的位置P处，则他应站在离网　 　米处．
21．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为　 　米．
22．如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD＝2cm，OA＝60cm，OB＝15cm，则火焰AC的长度为　 　．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n（n＞2）交x轴于点A，交y轴于点B，C为直线AB上一点，过点C作CD垂直x轴于点D，抛物线y＝ax2+bx过A，C两点，M为抛物线的顶点，过点M作ME垂直y轴于点E，若D的坐标为（1，0）．则当△BEM与△COD相似时，n的值为　 　．
24．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①AC⊥ED；②∠BCE＝∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD面积的最大值为，其中正确的是　 　．
三．解答题
25．如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD，用长为1m的竹竿AB作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上．已知EA＝3m，AC＝9m，求这棵树的高度CD．
26．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
27．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
28．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，动点E在边BC上，与点B、C不重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F．设DF＝x，EC＝y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若点F在线段CD上，当CF＝3时，求EC的长；
（3）若直线AF与线段BC延长线交于点G，当△DEB∽△GFD时，求DF的长．
29．新型冠状病毒感染引发“疫情就是命令，现场就是战场”．家住武汉火神山医院旁的小华，目睹这与时间赛跑的建设场面，在家里的小华从离窗台A水平距离2m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直线BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC长300m，请你帮助小华计算DE的长度．
30．如图1，已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为线段AB上一动点（不与点A、B重合），现将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H．
（1）求证：△AEG∽△DHC；
（2）若折叠过程中，CF与AD的交点H恰好是AD的中点时，求tan∠BEC的值；
（3）若折叠后，点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴MN上，请在图2中画出图形并求此时BE的长．
答案
一．选择题
B．C．B．A．C．D．C．B．C．A．D．B．
二．填空题
13．0.75．
14．25．
15．4m．
16．252．
17．8.8．
18．15．
19．60．
20．10．
21．11.5．
22．8cm．
23．3或．
24．②④⑤．
三．解答题
25．∵AB∥CD，
∴△EAB∽△ECD，
∴，
∵AB＝1，
∴CD＝4．
答：这棵树的高度CD为4m．
26．∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝xmm，AK＝（80﹣x）mm，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，
解得：x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．
27．∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
即，
∴AB＝20．
答：河的宽度AB为20米．
28．（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°．
又∵AF⊥DE，
∴∠ADF＝∠DCE＝90°，∠DAF＝∠EDC＝90°﹣∠DFA，
∴△ADF∽△DCE，即，
∴，即yx．
∵点E在线段BC上，与点B、C不重合，
∴0＜y＜8；
∴0x＜8，即0＜x＜16，
∴yx（0＜x＜16）；
（2）∵CF＝3，
∴DF＝x＝4﹣3＝1，此时CE＝yx；
（3）在Rt△ADF中，AF，
在Rt△DCE中，DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△ADF∽△GCF，即，
则FG，
∵∠DEC＝∠AFD＝90°﹣∠EDC，
∴∠BED＝∠DFG，
∴当△DBE与△DFG相似时，可分以下两种情况讨论：
①△DEB∽△GFD，如下图，
则有，
∴ED FD＝FG EB，
即 x （4x），
解得：x；
②若△DEB∽△DFG，如图2，
则ED FG＝EB FD，
∴ （4x） x，
解得：x1＝﹣8±8（舍去负值）．
综上所述：DF的长为或88．
29．延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T．
由题意MT＝2m，MQ＝0.8m，
∴QT＝MT﹣MQ＝2﹣0.8＝1.2（m），
∵四边形BCDH是矩形，
∴DH＝BC＝300（m），
∵QT∥DH，
∴，
∵MT∥DE，
∴，
∴，
∴EH＝500（m），
∴DE＝500﹣300＝200（m）
30．（1）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，
∴∠F＝∠B＝90°，
∵∠AGE＝∠FGH，∠FHG＝∠DHC，
∵∠FGH+∠FHG＝90°，
∴∠AGE+∠DHC＝90°，
∵∠AEG+∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝∠DHC，
∴△AEG∽△DHC．
（2）F在对称轴MN上时，如图2所示，此时AB∥MN∥CD，
∴∠BEC＝∠FOE，
∵∠BEC＝∠FEC，
∴∠FEC＝∠FOE，
∴EF＝OF，
由折叠的性质得，BE＝EF，∠EFC＝∠B＝90°，
∵BN＝CN，
∴OC＝OE，
∴FO＝OE，
∴△EFO是等边三角形，
∴∠FEC＝60°，
∴∠BEC＝60°，
∴BEBC＝2，
∴AE＝4﹣2．
综上所述，点B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上，此时AE的长是4﹣2．