辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高三上学期期中（Ⅱ）考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高三上学期期中（Ⅱ）考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-06 23:43:46 | ||
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文档简介
滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中II考试
数学试卷
第I卷（共60分）
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是实数集，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数的对应点为，则（ ）
A.2 B.-2 C. D.
3.已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，且，则
4.设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（ ）条件.
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
5.8月29日，华为在官方网站发布了Mate60手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率S以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（参考数值：）
A. B. C. D.
6.在四面体中，底面，点为三角形的重心，若四面体的外接球的表面积为，则（ ）
A. B.2 C. D.
7.设是双曲线的左，右焦点，点在上，若，且（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知实数，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（ ）
A.若，则中点到轴的距离为4
B.弦中点的轨迹为抛物线
C.若，则直线斜率
D.
11.已知函数，在下列结论中正确的是（ ）
A.是的一个周期
B.的图象关于直线对称
C.在区间上无最大值
D.在区间上有最小值
12.已知四棱锥，底面是正方形，平面，，点在平面上，且，则（ ）
A.存在，使得直线与所成角为
B.不存在，使得平面平面
C.当一定时，点与点轨迹上所有的点连线和平面围成的几何体的外接球的表面积为
D.若，以为球心，为半径的球面与四棱锥各面的交线长为
第II卷（共90分）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知正四棱台中，，则其体积为__________.
14.若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围__________.
15.已知数列满足，设，其中表示不超过的最大整数，为数列的前项和，若，则正整数的取值范围为__________.
16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯详尽 系统的研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了圆锥曲线的光学性质.如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线.如图乙，椭圆的中心在坐标原点，分别是其左 右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过点且与切线垂直的法线与轴交于点，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知圆的圆心与点关于直线对称，且圆与轴相切于原点.
（1）求圆M的方程；
（2）若在圆中存在弦，且弦中点在直线上，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知是的内角的对边，是边上的中线，设，且.
（1）试判断的形状；
（2）若，试求的余弦值.
19.（本小题满分12分）
已知为数列的前项和，，记
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，记数列的前项和为，求证：.
20.（本小题满分12分）
如图，在多面体中，平面平面平面和均为正三角形，，点为线段上一点.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点到点的距离比到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点，交曲线于，两点，若为定值，求实数的值.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若对时，，求正实数的最大值；
（2）证明：.
滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中II考试
数学试卷答案
一 单项选择题：
1-4ACDB 5-8CBAD
二 多项选择题：
9.ABD 10.BCD 11.CD 12.BCD
三 填空题
13. 14. 15. 16.
四 解答题
17.解：（1）设坐标，则
解得，即坐标
圆与轴相切于圆方程.
（2），圆半径
轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又在直线上，直线与圆有公共点，即，
18.解：（1）设，因为，所以，
在中，是边上的中线，所以，
在中，由正弦定理及诱导公式可得，
在中，由正弦定理及诱导公式可得，
所以，即，
在中，，所以或，
因此的形状是等腰三角形或是直角三角形.
（2）因为，所以，
由（1）可知的形状是直角三角形.
且，所以所以，
在中，由余弦定理可得，
所以.
19.（1）由，得，
则
数列是以1为首项，4为公比的等比数列
（2）
当为奇数时，
当为偶数时，，由，可知是递增数列，
20.解：（1）取中点，连接，
在正和正中，，则，
而平面平面，平面平面平面平面，
于是平面平面，
又平面，即有，
而.因此四边形是平行四边形，
则，从而平面，
平面，所以.
（2）由（1）知，平面为与
平面所成的角，即，
在Rt中，，即为中点，
由（1）知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，显然平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
21.解：（1）设，依题意，，
两边平方并整理，得，
所以曲线的方程为.（写成分段函数也可以）
（2）设，
依题意，设直线的方程为，
由消去并整理，得
，
因为点为椭圆的右焦点，恒成立
因此，
则
，
由（1）知，，
若直线交曲线于两点，且，则直线与相交，
由消去并整理，得，
而点为抛物线的焦点，恒成立
则，
于是，
从而
，
要使为定值，则，即，
所以实数的值为3.
22.解：（1）由题知，
令，
所以，
又因为时，为正实数，
故在区间恒成立，
所以函数在区间上单调递增，且.
①当时，在区间上恒成立，
函数在上单调递减，
此时，符合题意.
②当时，，由零点存在定理，时，有，
即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，有，此时不符合，
综上所述，正实数的最大值为1.
（2）由（1）知，当时，，
令时，
有，
即，
所以，，
累加得，
即，所以.
数学试卷
第I卷（共60分）
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是实数集，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数的对应点为，则（ ）
A.2 B.-2 C. D.
3.已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，且，则
4.设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（ ）条件.
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
5.8月29日，华为在官方网站发布了Mate60手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率S以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（参考数值：）
A. B. C. D.
6.在四面体中，底面，点为三角形的重心，若四面体的外接球的表面积为，则（ ）
A. B.2 C. D.
7.设是双曲线的左，右焦点，点在上，若，且（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知实数，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（ ）
A.若，则中点到轴的距离为4
B.弦中点的轨迹为抛物线
C.若，则直线斜率
D.
11.已知函数，在下列结论中正确的是（ ）
A.是的一个周期
B.的图象关于直线对称
C.在区间上无最大值
D.在区间上有最小值
12.已知四棱锥，底面是正方形，平面，，点在平面上，且，则（ ）
A.存在，使得直线与所成角为
B.不存在，使得平面平面
C.当一定时，点与点轨迹上所有的点连线和平面围成的几何体的外接球的表面积为
D.若，以为球心，为半径的球面与四棱锥各面的交线长为
第II卷（共90分）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知正四棱台中，，则其体积为__________.
14.若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围__________.
15.已知数列满足，设，其中表示不超过的最大整数，为数列的前项和，若，则正整数的取值范围为__________.
16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯详尽 系统的研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了圆锥曲线的光学性质.如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线.如图乙，椭圆的中心在坐标原点，分别是其左 右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过点且与切线垂直的法线与轴交于点，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知圆的圆心与点关于直线对称，且圆与轴相切于原点.
（1）求圆M的方程；
（2）若在圆中存在弦，且弦中点在直线上，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知是的内角的对边，是边上的中线，设，且.
（1）试判断的形状；
（2）若，试求的余弦值.
19.（本小题满分12分）
已知为数列的前项和，，记
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，记数列的前项和为，求证：.
20.（本小题满分12分）
如图，在多面体中，平面平面平面和均为正三角形，，点为线段上一点.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点到点的距离比到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点，交曲线于，两点，若为定值，求实数的值.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若对时，，求正实数的最大值；
（2）证明：.
滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中II考试
数学试卷答案
一 单项选择题：
1-4ACDB 5-8CBAD
二 多项选择题：
9.ABD 10.BCD 11.CD 12.BCD
三 填空题
13. 14. 15. 16.
四 解答题
17.解：（1）设坐标，则
解得，即坐标
圆与轴相切于圆方程.
（2），圆半径
轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又在直线上，直线与圆有公共点，即，
18.解：（1）设，因为，所以，
在中，是边上的中线，所以，
在中，由正弦定理及诱导公式可得，
在中，由正弦定理及诱导公式可得，
所以，即，
在中，，所以或，
因此的形状是等腰三角形或是直角三角形.
（2）因为，所以，
由（1）可知的形状是直角三角形.
且，所以所以，
在中，由余弦定理可得，
所以.
19.（1）由，得，
则
数列是以1为首项，4为公比的等比数列
（2）
当为奇数时，
当为偶数时，，由，可知是递增数列，
20.解：（1）取中点，连接，
在正和正中，，则，
而平面平面，平面平面平面平面，
于是平面平面，
又平面，即有，
而.因此四边形是平行四边形，
则，从而平面，
平面，所以.
（2）由（1）知，平面为与
平面所成的角，即，
在Rt中，，即为中点，
由（1）知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，显然平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
21.解：（1）设，依题意，，
两边平方并整理，得，
所以曲线的方程为.（写成分段函数也可以）
（2）设，
依题意，设直线的方程为，
由消去并整理，得
，
因为点为椭圆的右焦点，恒成立
因此，
则
，
由（1）知，，
若直线交曲线于两点，且，则直线与相交，
由消去并整理，得，
而点为抛物线的焦点，恒成立
则，
于是，
从而
，
要使为定值，则，即，
所以实数的值为3.
22.解：（1）由题知，
令，
所以，
又因为时，为正实数，
故在区间恒成立，
所以函数在区间上单调递增，且.
①当时，在区间上恒成立，
函数在上单调递减，
此时，符合题意.
②当时，，由零点存在定理，时，有，
即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，有，此时不符合，
综上所述，正实数的最大值为1.
（2）由（1）知，当时，，
令时，
有，
即，
所以，，
累加得，
即，所以.
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