河南省新高中联盟TOP二十名校2023-2024学年高一上学期12月调研考试数学试题（含解析）

新高中创新联盟TOP二十名校高一年级12月调研考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列四个函数中，与表示同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3.若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
4.“不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ）
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知函数的对应关系如下表所示，二次函数的图象如图所示，则（ ）
0 1 2
-3 0 3
A.0 B.1 C.3 D.24
6.对于任意的，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
7.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列各式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知满足，且，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11.若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12.定义设，则（ ）
A.有最大值，无最小值
B.当的最大值为
C.不等式的解集为
D.的单调递增区间为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的取值集合是__________.
14.若是奇函数，则__________.
15.若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围为__________.
16.已知对任意的恒成立，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
设集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式：，其中是实数.
19.（本小题满分12分）
已知定义在上的偶函数，当时，，且.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）解不等式：.
20.（本小题满分12分）
已知函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的值域.
21.（本小题满分12分）
定义：将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度，单位是平方公里/小时，如扫码速度为1平方公里/小时表示人每小时步行扫过的面积为1平方公里.十一黄金周期间，黄山景区是中国最繁忙的景区之一.假设黄山上的游客游玩的扫码速度为（单位：平方公里/小时），游客的密集度为（单位：人/平方公里），当黄山上的游客密集度为250人/平方公里时，景区道路拥堵，此时游客的步行速度为0；当游客密集度不超过50人/平方公里时，游客游玩的扫码速度为5平方公里/小时，数据统计表明：当时，游客的扫码速度是游客密集度的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当游客密集度为多少时，单位时间内通过的游客数量可以达到最大值？
22.（本小题满分12分）
已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有.
（1）判断函数的单调性；
（2）解不等式：；
（3）若对所有恒成立，求实数的取值范围.
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参考答案 提示及评分细则
1.D 由，得，得，因为，所以，因为，所以，所以.故选D.
2.D 对于A，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项不符合；对于和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项不符合；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数.故选项C不符合；对于，函数的定义域和对应关系与都相同，是同一个函数.故选项符合.故选D.
3.A 因为函数的定义域是，所以，所以的定义域是，故对于函数，有，解得，从而函数的定义域是.故选A.
4.B 根据诗意解释：不积累一步半步的行程，就没有办法达到千里之远；不积累细小的流水，就没有办法汇成江河大海.所以“积小流”是“成江海”的的必要条件.故选B.
5.A 根据图象，可设二次函数，因为图象经过点，所以代入得，解得，所以，所以.故选A.
6.C 由已知得对任意实数恒成立，所以，解得.故选C.
7.C 函数的定义域为，且，则函数为奇函数，故排除项；又因为当时，，故排除项；当时，，故排除B项.故选C.
8.B 根据题意，作出的图象，如图所示.
由得，即，则或
观察图象得或所以或，即不等式的解集是.故选B.
9.ABC 对于A，当时，，故A错误；对于，故B错误；对于，故C错误；对于，故D正确.故选ABC.
10.AB 对于，因为，且，所以，所以，故A正确；对于，因为，所以，故B正确；对于C，令，满足且，但，故C错误；对于D，易知，所以，故D错误.故选AB.
11.AD 对于，因为，所以，得，则，当且仅当，即时取等号，所以，故A正确；对于，由及，得，解得，当且仅当时取等号，故B错误；对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；对于，当且仅当时取等号，故D正确.故选AD.
12.BC 作出函数的图象，如图实线部分，对于，根据图象，
可得无最大值，无最小值，故错误；对于，根据图象得，
当的最大值为，故B正确；对于，由，解得，
结合图象，得不等式的解集为，故C正确；对于D，
由图象得，的单调递增区间为，故D错误.故选BC.
13. 因为，幂函数为偶函数，且在上单调递减，所以是偶数，且，所以.
14.-3 依题意，.
15. 在内有解，即，其中；设，则当或时，，所以，解得，所以的取值范围为.
16. 由，得，设，可知在上单调递减，所以，所以，解得或，故实数的取值范围为.
17.解：（1）当时，，
而，
所以或.
（2）因为，
（i）当时，，解得，此时满足；
（ii）当时，满足，即需满足或
解得或.
综上所述，实数的取值范围为.
18.解：（1）依题意
解得
（2）原不等式即为，
①当，即时，原不等式的解集为；
②当，即时，原不等式的解集为；
③当，即时，原不等式的解集为.
19.解：（1）因为是定义在上的偶函数，且，
所以，即，
解得.
（2）当时，，
设，则，则，
故
（3）由题意，，
得，得，解得或，
故的解集是.
20.解：（1）由题知解得
故.
（2）由（1）可知，
因为函数与都在上单调递增，
所以函数在上是增函数.
因为，
所以函数在上的值域为.
21.解：（1）由题意知时，公里/小时；
当时，设，
则解得
故
（2）由（1）可得
当时，，此时；
当时，，
当时，；
由于，故当游客密集度为125人/平方公里时，通过的游客数量可以达到最大值.
22.解：（1）为奇函数，所以，
则由，得，得，
设，
则，则与同号，
故函数在上单调递增.
（2）由（1）知函数为上的增函数，
则
解得，故不等式的解集为.
（3）因为，所以.
若对所有恒成立，
则成立，且，
所以对恒成立，即对恒成立.
令，
则即得
解得
故实数的取值范围是.