2023-2024学年山东省济宁市邹城市高一上学期11月期中教学质量检测数学联考试题（含解析)

2023-2024学年山东省济宁市邹城市高一上学期11月期中教学质量检测数学联考试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，则命题是
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列函数是幂函数且在是增函数的是
( )
A. B. C. D.
4.已知，，，均为实数，则下列命题正确的是
( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为
( )
A. B. C. D.
6.若，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
7.若函数在其定义域内是一个单调递增函数，则实数 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
8.设函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各组函数中表示同一个函数的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.下列四个结论中，正确的结论是( )
A. “所有平行四边形都是菱形”是全称量词命题
B. 已知集合，均为实数集的子集，且，则
C. ，有，则实数的取值范围是
D. “”是“”的充分不必要条件
11.若函数，定义域为，下列结论正确的是
( )
A. 的图象关于轴对称 B. ，使
C. 在和上单调递减 D. 的值域为
12.已知，且，若方程的两个实数根是，则的值可以是
( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知集合，，若，则实数的取值范围为_________．
14.函数的定义域为，函数的定义域为__________．
15.已知，，且，则的最小值是___________．
16.已知“取整数”函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，当时，函数的解析式为 ；定义：尾数函数，，那么，尾数函数的值域为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，．
若，求；
若，试求实数的取值范围．
18.本小题分
已知关于的不等式，其解集为．
求该不等式的解集；
对，不等式恒成立，试求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数．
求实数的值；
若，证明不等式：．
20.本小题分
已知幂函数的图象过点，设函数．
求函数的解析式、定义域，判断此函数的奇偶性；
根据“定义”研究函数的单调性，画出的大致图象简图，并求其值域．
21.本小题分
已知二次函数，且．
若函数的最小值为，求的解析式；
若，求函数在区间上的最小值．
22.本小题分
年月日，中国花卉人的盛会中花大会在无锡隆重开幕，“万物生花惊艳绽放”，人在花中走，犹如画中游某企业非常重视花卉苗木产业的培育和发展，决定对企业的某花卉进行一次评估，已知该花卉单棵售价为元，年销售万棵．
据市场调查，若该花卉单棵售价每提高元，销售量将相应减少棵，要使销售的总收入不低于原收入，问：该花卉单棵售价最多定为多少元？
为了扩大该花卉的影响力，提高年利润，企业计划对该花卉进行种植技术革新和营销策略改革，预计在年投入万元作为技改费和宣传费用，单棵花卉的售价定为元，预估单棵种植成本为元，其销售量的函数关系近似为万棵，另每年需额外支出固定成本万元，试问：该企业投入多少万元技改费和宣传费时，可获得最高利润，最高利润多少万元利润销售额成本技改费和宣传费．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据交集和补集的知识求得正确答案．
解：依题意， ，
所以 ．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】由存在量词命题的否定可知选项A正确．
解：存在量词命题的否定为全称量词命题，条件不变，否定结论，
可知 是 ， ．
故答案为：．
3.【答案】
【解析】【分析】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确．
解：由幂函数的概念可以排除、选项，
而 在 是减函数， 在 是增函数，
故答案为：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据特殊值以及不等式的性质确定正确答案．
解：选项，若 、 ，则 ，所以选项错误．
选项，若 ， ，如 ，
则 ，所以选项错误．
选项，若 ， ，如 ，
则 ，所以选项错误．
选项，若 ， ，
则 ，所以选项正确．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案．
解： 是定义域为 的奇函数，
当 时， ，所以 ．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】利用基本不等式计算即可．
解： ，
当且仅当 ，即 时取得最小值．
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】分段函数两段都是单调递增，并且在 时， ，列不等式组即可求得实数 的取值范围．
解：因为函数在其定义域内是一个单调递增函数，
所以 ，可解得 ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】恒成立问题的关键在于问题转化，本题不等式恒成立转化为 恒成立，进而转化为单调性问题即可先代入得到不等式恒成立，然后对参数 分类讨论即可．
解： ，
即 在区间 上恒成立，
令 ，则 为开口向上且对称轴为 轴的二次函数，
若 ，此时 ，而 不恒为负数，所以 不恒成立，矛盾；
若 ，此时 ，要使得 ，则 恒成立，
而 在 单调递增，所以 ，
所以只需满足 ，解得 或 舍，
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数．
解：选项A两函数的定义域均为，且 ，所以两函数对应关系也相同，所以两个函数是同一个函数，故A正确
选项B 的定义域为 ， 的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误；
选项C 的定义域为， 的定义域为 ，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故C错误；
选项D两函数的定义域均为，对应关系也相同，所以两个函数是同一个函数，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据全称量词命题定义可判断；作出韦恩图结合集合的运算可判断；根据命题为真列出不等式求解即可判断；根据充分不必要条件可判断．
解：对于，因为命题中含有量词“所有”，故该命题为全称量词命题，故 符合题意；
对于，如图设全集 ，集合 ，集合 如图所示，根据运算得 ，故B不符合题意；
对于， ，有 成立，则 ，
解得 ，故C符合题意；
对于，满足 的数一定满足 ，所以充分性满足，
而满足 的数不一定满足 ，所以必要性不满足，
即“ ”是“ ”的充分不必要条件，故D符合题意．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】分析函数的奇偶性判断；令 ，求出 的值和定义域比较判断；分别在 和 研究函数单调性判断；求出函数的值域判断．
解：对于， ，定义域为 ，关于原点对称，
，所以 为偶函数，关于 轴对称，故A正确；
对于， ，则 ，即 ，解得 ，与定义域矛盾，
所以不存在 ，使 ，故B错误；
对于， ，
因为当 和 ， 单调递增，所以 单调递减，即 单调递减，故C正确；
对于， ，
因为 且 ，则 且 ，
所以 且 ，即 且 ，
所以 的值域为 ，故D错误，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】利用根与系数的关系及基本不等式计算即可．
解：由题意可知 ，
所以 ，
当且仅当 时取得等号．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】利用集合间的基本关系计算即可．
解：由题意可知 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】根据抽象函数的定义域求法可得： ，再由分母不为零可得 ，联立即可得解．
解：由题意可得： ，解得 且 ，
所以函数 的定义域为： ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】利用基本不等式计算即可．
解：由 ，
当且仅当 即 时取得最小值．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】根据取整函数的定义可得．
解：由题意当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 ；
当 为整数时， ，此时 ，
当 为非整数时， ，
故 的值域为
故答案为： ；
17.【答案】解：由 ，解得 ，
所以 ，当 时， ，
所以 或 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
若 ，即 时， ，符合题意；
若 ，即 时，
满足 ，须有 解得 ．
综上，所求实数 的取值范围为 ．

【解析】【分析】解不等式求得结合 ，先求得 ，进而求得 ．
根据集合 是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得 的取值范围．
18.【答案】解：不等式 等价于 ，即 ，
所以 ，解得 ，
故所求不等式的解集 ．
令 ，
对 ，
不等式 恒成立等价 ，
即 ，解得 ．
所求实数 的取值范围是 ．

【解析】【分析】分式不等式转化为二次不等式求解即可；
根据不等式恒成立建立不等式求解即可．
19.【答案】解：因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，
即 对 恒成立，所以 ，
即 对 恒成立，所以 ．
证明：方法一：
由得 ，
不等式 ，即为 ，
因为 ，所以不等式等价于 ，
因为 ，
所以成立，故原不等式 成立．
方法二：
由得 ，
不等式 即为： ，
因为 ，所以不等式等价于 ，
不等式等价于 ，
因为 ，所以成立，
故原不等式 成立．
方法三：
由得 ，
不等式 即为： ，
因为 ，所以不等式等价于 ，
不等式等价于基本不等式变式 ，
即 ，所以成立，
故原不等式 成立．

【解析】【分析】利用奇偶函数的定义求出实数 的值．
代入函数解析式中得 ，然后化简变形，证明不等式成立．
20.【答案】解：依题意，设幂函数 ．
因为函数 的图象过点 ，所以 ，
易得 ，所以 ．
易得函数 的定义域为 ；
显然，函数 的定义域不是关于原点对称的区间，
所以函数 既不是奇函数也不是偶函数．
由知， ， ．
设 ，且 ，
则

，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 在区间 上单调递增．
函数 图象如图所示：
易得，函数 的值域为 ．

【解析】【分析】设出函数表达式为 ，将点 代入 即可求出 ，进一步可得其定义域，根据奇偶性的定义判断即可．
直接由函数单调性的定义判断并证明即可，根据函数单调性、特殊点即可画出 的大致图象，进而可得其值域．
21.【答案】解：因为二次函数 ，且 ，所以 ．
由题意，得 ，解得 ，所以 ．
因为 ，所以二次函数 ，
其对称轴为 ， ．
当 时， 的图象是开口向下的抛物线，且在区间 上单调递减，
所以当 时， 取得最小值，即 ；
当 ，即 时， 在区间 单调递减，在区间 单调递增，
所以 ；
当 ，即 时， 的图象是开口向上的抛物线，且在区间 上单调递减，
所以 ．
综上所述，当 或 时， ；当 时， ．

【解析】【分析】利用待定系数法及二次函数的性质计算即可；
分类讨论 的值，结合二次函数的单调性计算即可．
22.【答案】解：依题意，设单棵花卉售价为 元，
则销售量为 万棵，
从而有 ，即 ，解得 ，
所以单棵花卉的售价最多为 元．
依题意，设企业的年利润为 万元，
则 ，
即
，
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
即 万元，
所以当 时，年利润 有最大值万元．
即当该企业投入万元技改费和宣传费时，可获得最高利润万元．

【解析】【分析】解决应用题最值问题需要善于发现均值不等式并且熟练应用，最后要考虑能否取等的情况．
根据条件得到售价提高后的总收入，再建立不等式求解即可；
先根据利润公式得到等式，再根据均值不等式取到最大值，最后验证能否取到即可．
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