2023-2024学年四川省凉山州安宁河联盟高一上学期期中考试数学试题（含解析)

2023-2024学年四川省凉山州安宁河联盟高一上学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若集合，则( )
A. B. C. D.
2.设命题，则为
( )
A. B.
C. D.
3.“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的定义域为
( )
A. 且 B. 或
C. 且 D. 或
5.幂函数在上单调递减，则实数的值为
( )
A. B. C. 或 D.
6.函数且过定点
( )
A. B. C. D.
7.若函数，且对任意的，满足条件，则实数的取值范围为
( )
A. B. C. D.
8.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法中，正确的选项是( )
A. 集合真子集的个数为个
B. 函数与是同一函数
C. 若定义在上的函数满足，则为增函数
D. 若为定义在上的奇函数，则
10.已知函数，则下列结论正确的是
( )
A. 的定义域和值域均为 B. 为偶函数
C. 的单调递减区间为 D. 不等式的解集为
11.已知关于的不等式的解集为，则
( )
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
12.若函数的图象过原点，且无限接近直线，但不相交，则下列说法，正确的是
( )
A.
B.
C. 函数的值域为
D. 若，则的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.计算__________．
14.若不等式在上恒成立，则的取值范围为__________．
15.函数的单调递增区间为 ．
16.已知定义在上且不恒为的函数满足如下条件：，当时，；则下列结论中正确的是__________．
；
函数是奇函数；
函数在上是减函数；
不等式的解集为
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合
求集合；
在，，，这三个条件中任选一个，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知关于的不等式
当时，求不等式的解集；
若不等式的解集为或，求的值．
19.本小题分
已知函数
当时，求在区间上的值域；
若在区间上的最大值为，求的取值范围．
20.本小题分
四川省凉山州的阳光玫瑰葡萄是一种非常受欢迎的水果，其美味的口感和独特的香气使它在消费者中有着很高的美誉度，已经成为了当地农民增收的重要产业．某科研小组研究发现：阳光玫瑰葡萄每亩的产量单位：百千克与肥料费用单位：百元满足如下关系：，且每亩投入的肥料费用不超过百元．此外，每亩还需要投入其他成本如施肥的人工费等百元．已知这种葡萄的市场售价为元千克即百元百千克，且市场需求始终供不应求．记该葡萄每亩获得的利润为单位：百元．
求每亩获得的利润函数的函数解析式；
当每亩投入的肥料费用为多少时，种植该品种葡萄获得的利润最大？最大利润是多少？
21.本小题分
已知函数为区间上的奇函数
求；
用定义法证明为区间上的减函数；
若实数满足不等式，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
若函数满足，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】解出不等式，再根据交集含义即可得到答案．
解： ， ，
则 ，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是特称量词命题直接得到结果即可．
解：因为命题 ，
所以 ： ，
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】直接根据充分条件和必要条件的定义得到答案．
解： ，则 或 ，则前者无法推出后者，后者可以推出前者，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】根据题意列出不等式组，解出即可．
解：由题意得 ，解得 且 ，
则定义域为 且 ．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】依据题意列出关于实数的方程即可求得实数的值．
解：因为 是幂函数，
故 ，解得 或 ，
又因为幂函数在 上单调递减，所以需要 ，
则
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】令指数为即可得到答案．
解：令 ，解得 ，则 ，
则过的定点坐标为 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】依题意，可得分段函数 为定义在 上的单调递增函数，则需要在分段函数的每一段上都单调递增，且分段处左端点值小于或等于右端点值，列出不等式求解即可．
解：因为对任意的 ，都有 ，
当 ，有 ，当 ，有 ，
所以 为定义在 上的单调递增函数，
又因为 ，
则要满足 ，解得： ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】对不等式变形转化为 对任意的 恒成立，再利用对勾函数的性质求出右边的最大值即可得到答案．
解：由已知转化得不等式 对任意的 恒成立，
则根据指数函数单调性得 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
设 ，根据对勾函数单调性知 在 上单调递增，
则 ，则 ，解得 ，
则实数 的取值范围为 ．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】选项：真子集个数为个；选项：两函数相同比较定义域和对应法则；选项：用函数的单调性定义判断；选项：利用奇函数的性质判断．
解：选项：集合真子集的个数为个，
选项：函数与定义域都为，
两函数对应法则也相同，所以两函数是同一函数，
选项：若定义在上的函数满足，
并不能说明对都有，
所以不一定为增函数，
选项：奇函数有，所以
所以．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】根据分段函数的性质逐项分析即可．
解：对，当时，，
当时，；
当时，，
则的定义域和值域均为，故 A正确；
对，，，
则，则不是偶函数，故 B错误；
对，由知当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递减，
且既适合时的解析式，也适合时的解析式，
则的单调递减区间为；
对，当时，令，则此时无解；
当时，，则即为，解得或舍去，
则其解集为，故 D正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】根据不等式解集即可得，则可判断；根据韦达定理得，代入计算即可判断；代入即可判断．
解：对，因为关于的不等式的解集为，则，故 A正确；
对，由题得，解得即为，解得，故 B错误；
对，因为，则将代入不等式得，故 C正确；
对，不等式即为，即，解得，故 D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】由，，可判断；得出函数解析式可判断；根据的单调性和奇偶性建立不等式计算可判断．
解：因为过原点，所以，即，
又因为时，，
所以时，，由题可知，图象无限接近直线，则，
由知，，故错误；
所以，所以，所以正确；
因为，所以，所以正确；
由图知，在上单调递减，上单调递增，且是定义在上的偶函数，
若，则，即，解得，所以正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据指数幂的运算法则计算即可．
解：依题意， ．
故答案为 ： ．
14.【答案】
【解析】【分析】当 时，恒成立，当 时，则可得 ，从而可求得答案
解：若 ，原式化为 在 上恒成立；
若 ，则 ，解得 ；
综上所述，实数的取值范围为 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性及二次函数的性质，属于基础题．
求出函数的定义域，结合复合函数单调性的特点，进而可得结果．
【解答】
解：由，得或，
所以函数的定义域为
可看作由，复合而成的，
而单调递增，要求的单调增区间，只需求的增区间即可，
的单调增区间为，
所以函数的单调增区间为
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】利用赋值法，即可判断； ，令 ，得 ，即可判断；若 ，得 结合奇函数的性质确定 在各区间的符号，解不等式即可判断．
解：：令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ，故正确；
：令 ，则 ，
所以函数 为奇函数，故正确；
： ，且 ，令 ，则 ，
所以 ，又当 时 ，则 ，
所以 ，故 ，
所以函数 在 上是减函数，故正确；
：若 ，则 ，
由性质可得 ，得 ，
由可知函数 为奇函数，得 ， ，
同理，当 时， ，当 时， ，
由 ，得 或 ，
所以不等式 的解集为 ，故错误．
故选：．
17.【答案】解：由 ，解得 或 ，
则 或 ；
若选择： ，
当 时， ，则 ，
当 时， 或 ，
解得 或 ，
综上 的取值范围为 或 ，
若选择： ， ，
则实数 的取值范围为 ，
若选择：要使 ，
则 或 ，
解得 或 ，
所以 的取值范围为 ．

【解析】【分析】解二次不等式即可求解；
结合数轴即可求解．
18.【答案】解：当 时，不等式 化为 ，
则 ，解得 ，所以不等式的解集为 ．
因为 的解集为 或 ，
所以 ，
且 和 是方程 的两根，
由韦达定理 ，
解得 ．

【解析】【分析】直接代入解出一元二次不等式即可；
根据韦达定理即可得到方程组，解出即可．
19.【答案】解：当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
所以 在区间 上的值域为 ．
因为 ， ，开口向上，
则 的最大值为 和 两个中的较大者，
而 ，要使 在区间 上的最大值为，则 ，
，
故 的取值范围为 ．

【解析】【分析】直接代入，根据二次函数的性质即可得到值域；
根据题意转化为 ，代入计算即可．
20.【答案】解：
，
所以每亩所获得的利润函数 的函数解析式为
；
，
当且仅当 即 时取等号，
，
故当每亩投入的肥料费用为元时，种植该果树获得的最大利润是元．

【解析】【分析】表达出 ，注意定义域为 ；
变形后利用基本不等式求出最值，得到答案．
21.【答案】解： 为区间 上的奇函数，
，
，即 ，
满足 ，此时 为奇函数，
．
证明：由知 ， ，
任取 ，
则 ，
，
， ， ， ，
，
所以 为区间 上的减函数．
为区间 上的奇函数，
不等式 可化为 ，
又 为区间 上的减函数，
，
解得： ，
的取值范围为 ．

【解析】【分析】根据奇函数在 处有定义时，满足 求解即可；
在定义域上任取 ，计算出 即可证明；
根据函数的奇偶性，先化简不等式，再根据函数的定义域以及单调性，列出不等式组求解即可．
22.【答案】解：由题可得
不等式 化简为 ，
即
解得
所以不等式 的解集为 ．
，又 ，
又 ，即 ，
，则 ．
不等式 恒成立，即 恒成立
令 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
则 在 时恒成立，
令 ，根据对勾函数性质得 在 上单调递增，
．
所以，实数 的最大值是

【解析】【分析】代入得 ，解出即可；
代入整理得 恒成立，再利用换元法即可．
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