2023-2024学年天津市南开中学高一上学期月考数学试卷（含解析)

2023-2024学年天津市南开中学高一上学期月考数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，且则
( )
A. B. C. D.
3.若集合，，则的充要条件是
( )
A. B. C. D.
4.设命题：，，则为
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.不等式中等号成立的条件是
( )
A. B. C. D.
6.已知集合，，若，则的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
7.正实数，满足，，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
8.命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是
( )
A. B. C. D.
9.已知命题，，命题，，若命题，都是真命题，则实数的取值范围是
．( )
A. B.
C. 或 D.
10.若关于的方程的两个实数根，，集合，，，，则关于的不等式的解集为
( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11.设，，若集合，则 ．
12.试用列举法表示集合： ；
13.不等式的解集为 ．
14.已知实数，当取得最小值时，则的值为 ．
15.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 ．
16.若函数的最小值为，则的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
设全集为，集合，，．
求，，；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
解关于的不等式：．
19.本小题分
已知且，记为的最大值，记为的最大值．
求的值
若，且对任意，恒成立，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查交集运算，属于基础题．
根据交集的定义求解即可．
【解答】
解：因为 ， ，
所以 ．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题．
运用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可．
【解答】
解：：当 时，显然 不成立，因此本选项不正确；
：当 时， 没有意义，因此本选项不正确；
：若 ，显然 ，但是 不成立，因此本选项不正确；
：由 ，因此本选项正确，
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充要条件及含参数的集合关系问题，属于基础题．
利用充要条件及两个集合的关系即可得出答案．
【解答】
解：因为集合 ， ，且 ，所以 ，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得答案．
【解答】
解：命题： ， ，
则 为 ， ．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考察基本不等式，属于基础题．
易知取等时解出即可．
【解答】
解：故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查交集及集合包含关系的判断，分类讨论含参数的集合包含关系，属于中档题．
由 可以得到 ，从而对集合 分类讨论即可求解参数 的范围．
【解答】
解：已知 ，又因为 ，
，即 ，
当 时，满足 ，此时 ，解得 ；
当 时，由 ，得 ，解得 ；
综上所述， ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值，属于基础题．
由题意可得， ，再利用基本不等式求解即可．
【解答】
解： ， ，且 ，
，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
即 的最小值为 ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分不必要条件的应用，属于中档题．
求出命题“任意 ， ”为真命题的充要条件，然后可选出答案．
【解答】
解：由 可得 ，
当 时， ，所以 ，
所以命题“任意 ， ”为真命题的充要条件是 ，
所以命题“任意 ， ”为真命题的一个充分不必要条件是，
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式解决恒成立及一元二次方程问题，属于中档题．
若命题为真命题，利用基本不等式求出 的最小值即可得到的取值范围，若命题为真命题，则由 即可求出的取值范围，再取两者的交集即可．
【解答】
解：命题 ： 为真命题，
对任意恒成立，
又 ， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
，
命题 ， ，为真命题，
， 或 ，
命题，都是真命题，
或 ．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程与一元二次不等式解集的关系，涉及集合的混合运算，属于中档题．
根据一元二次不等式的解法，可知 的解集在两根之外，讨论两根大小，然后根据集合的运算即可求解．
【解答】
解：当 ，则 的解集为 或 ，
， ， ， ，
所以 或 ．
当 ，则 的解集为 或 ，
， ， ， ，
所以 或 ，
综上，故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合相等，属于中档题．
利用集合相等以及 ，可得 ，即 ，代入原式可得 的值，进而求出答案．
【解答】
解：由题意可知： ，
因为 ，则 ，可得 ，
则 ，可得 ，且满足 ，
所以 ．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的表示方法，属于基础题．
求解的范围，然后表示成描述法即可．
【解答】
解：由题意可得： ．
故答案为： ．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分式不等式的解法，属于基础题．
根据分式不等式求解方法进行求解即可．
【解答】
解：不等式 等价于 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
先利用配凑法根据基本不等式求最值，根据取等条件得 ，即 即得．
【解答】
解：根据题意可得，
，
因 ，所以 ， ，
所以
即 ，
当且仅当 时等号成立，
此时 ，解得 ，则 ．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式解决有解问题，属于中档题．
由已知结合基本不等式中“”的代换求解 的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化，解一元二次不等式即可．
【解答】
解：因为两个正实数，满足 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立．
因为 有解，所以 ，即 ，
解得 或 ，即实数的取值范围是 ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查由函数的最值求参，属于较难题．
根据题意，讨论 ，求得 时，取得最小值 ，去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围．
【解答】
解：当 时， ，
当 时， 取得最小值 ，满足条件；
当 时， ，
当 时，可得 ，
当 时， ，
，
当 时， ，当 时，取得最小值，此时 ；
当 时， ，由题意可得 恒成立，不满足．
则 的取值范围为 ．
故答案为：
17.【答案】解：因为 ， ，
根据并集、补集的概念可得 ， 或 ，
或 ，
所以 ， 或 ．
若 ，则 ，解得 ，
若 ，则 ，且 或 ，解得 ，
所以实数的取值范围是 ．

【解析】本题考查集合的运算，属于中档题．
根据集合、利用集合的交集、并集、补集的运算即可求得结果．
分集合为空集和不为空集两种情况分类讨论，利用交集运算的概念得到的范围．
18.【答案】解：，
时，，解集为
时，不等式无解；
时，，解集为
时，不等式为，解集为；
时，不等式的解集为或，
综上，时，不等式的解集是；
时，不等式的解集是或；
时，不等式的解集是；
时，不等式无解；
时，不等式的解集是．

【解析】本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法，解题关键在于对参数的分类讨论，注意参数的正负情况对于解集的影响，属于中档题．
分类讨论，进行求解即可．
19.【答案】解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，得 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为，即 ，
由题可得 ，
令 ，则 ，故 ．
对任意 ， ，则 恒成立，
因为为正数，所以
所以 ，此时 ，
所以 ，
当 时，等号成立，
此时 成立，
所以 的最大值为

【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式恒成立问题，属于难题．
利用基本不等式结合已知可求得 ，则 ，从而可求出 的值，再结合完全平方公式可求出 ；
令 ，则 ，得 ，根据 时， ，求得 的关系，从而可得 的取值范围，根据 取最大值的 的值检验不等式 恒成立，即可求得结果．
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