3.1.1 一元一次方程
教学目标：
1.通过算术与方程方法的使用与比较,体验用方程解决某些问题的优越性,提高解决实际问题的能力.
2.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念,学会判断某个数值是不是一元一次方程的解.
3.初步学会如何寻找问题中的等量关系,并列出方程.
教学重难点：
重点:掌握一元一次方程的概念,能够根据具体问题中的数量关系列一元一次方程.
难点:找出具体问题中的等量关系,列一元一次方程.
教学过程：
导入
鸡兔同笼问题:
今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何
你有哪些方法解决这道经典有趣的数学题
解:①94÷2-35=12(只),
35-12=23(只),
所以鸡有23只,兔有12只.
②设鸡有x只,兔有(35-x)只,则2x+4(35-x)=94,
即-2x+140=94.
讲授新课
阅读教材P78~80内容,完成下列问题.
知识点1 一元一次方程的概念
一辆快车和一辆慢车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,快车的行驶速度是70 km/h,慢车的行驶速度是60 km/h,快车比慢车早1 h经过B地,A,B两地间的路程是多少
(1)如果将A,B之间的路程用x表示,用含x的式子表示下列时间关系:
快车行完AB全程所用时间为 h;慢车行完AB全程所用时间为 h;
两车所用的时间关系为快车比慢车早到1 h,
即( 慢车用时 )-( 快车用时 )=1.
把文字用符号替换为 -=1 .
(2)如果用y表示快车行完AB的总时间,你能从快车与慢车的路程关系中找到等量关系,从而列出方程吗
等量关系:快车y h路程=慢车(y+1)h路程
则可列方程:70y=60(y+1).
(3)如果用z表示慢车行完AB的总时间,你能找到等量关系列出方程吗
等量关系:慢车z h路程=快车提前1 h走的路程
方程:60z=70(z-1).
观察下列方程,它们有什么共同点
-=1,70y=60(y+1),60z=70(z-1).
问题1 每个方程中,各含有几个未知数
问题2 说一说每个方程中未知数的次数.
问题3 等号两边的式子有什么共同点
[归纳] 只含有1个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.
范例应用
例1 下列方程中是一元一次方程的有(D)
A.x+3=y+2
B.1-3(1-2x)=-2(5-3x)
C.x-1=
D.-2=2y-7
例2 方程(m+1)+1=0是关于x的一元一次方程,则(B)
A.m=±1 B.m=1
C.m=-1 D.m≠-1
变式 若关于x的方程2-9=0是一元一次方程,则n的值为 2或-2 .
知识点2 根据实际问题列方程
根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形,则正方形的边长是多少
(2)一台计算机已使用1 700 h,预计每月再使用150 h,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2 450 h
解:(1)设正方形的边长为x cm.
等量关系:正方形边长×4=周长,
列方程:4x=24.
(2)设x月后这台计算机的使用时间达到2 450 h.
等量关系:已用时间+再用时间=检修时间,
列方程:1 700+150x=2 450.
[方法归纳]解题的关键是正确理解题意,设出未知数,找到题目当中的等量关系,列方程.
范例应用
例3 某文具店一支铅笔的售价为1.2元,一支圆珠笔的售价为2元.该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元.求卖出铅笔的支数.
解:设卖出铅笔x支,则卖出圆珠笔(60-x)支.
等量关系:x支铅笔的售价+(60-x)支圆珠笔的售价=87,
列方程:1.2×0.8x+2×0.9(60-x)=87.
知识点3 方程的解
对于方程4x=24,容易知道x=6可以使等式成立,对于方程170+15x=245,你知道x等于什么时,等式成立吗 我们来试一试.
解:
x 1 2 3 4 5 6 …
170+15x 185 200 215 230 245 260 …
我们知道当x=5时,170+15x的值是245,所以方程170+15x=245中的未知数的值应是5.
[归纳]使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.求方程解的过程叫做解方程.
范例应用
例4 x=1 000和x=2 000中哪一个是方程0.52x-(1-0.52)x=80的解
解:当x=1 000时,
方程左边=0.52×1 000-(1-0.52)×1 000=520-480=40,
右边=80,左边≠右边,所以x=1 000不是此方程的解.
当x=2 000时,
方程左边=0.52×2 000-(1-0.52)×2 000=1 040-960=80,
右边=80,左边=右边,所以x=2 000是此方程的解.
[方法归纳]判断一个数值是不是方程的解的步骤:
(1)将数值代入方程左边进行计算;
(2)将数值代入方程右边进行计算;
(3)若左边=右边,则是方程的解,反之,则不是.
课堂训练
1.若x=1是方程ax+3x=2的解,则a的值是(A)
A.-1 B.5 C.1 D.-5
2.某校学生种植一批树苗,若每人种10棵,则剩下6棵树苗未种;若每人种12棵,则缺6棵树苗.若设参与种树的有x人,则可列方程为(B)
A.10x-6=12x+6 B.10x+6=12x-6
C.10x+6=12x+6 D.10x-6=12x-6
3.下列等式:①x-2=;②3x=11;③=5x-1;④y2-4y=3;⑤x+2y=1.其中是方程的是 ①②③④⑤ ,是一元一次方程的是 ②③ (填序号).
4.若方程(|m|-2)x2-(m+2)x-6=0是关于x的一元一次方程.
(1)求m的值;
(2)判断x=3,x=-,x=是不是方程的解.
解:(1)因为方程(|m|-2)x2-(m+2)x-6=0是关于x的一元一次方程,
所以|m|-2=0,则m=±2.
又因为m+2≠0,即m≠-2,
所以m=2.
(2)由(1),知原方程为-4x-6=0.
当x=-时,-4x-6=0;
当x=3或x=时,-4x-6≠0,故x=-是方程的解,x=3,x=不是方程的解.
小结
1.一元一次方程的概念:只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.
2.方程的解:解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.
3.列方程解决实际问题的基本思路:
(1)设未知数(用字母);
(2)找等量关系(表示出相关的量);
(3)列出方程.
板书
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
1.一元一次方程的概念.
2.方程的解.
3.根据实际问题列方程.
反思
本课首先用实际问题引入课题,然后运用算术的方法给出解答.在各环节的安排上都设计成一个个的问题,使学生能围绕问题展开思考、讨论.通过本节的教学让学生体会到从算式到方程是数学的进步,渗透化未知为已知的重要数学思想.使学生体会到数学与日常生活密切相关,认识到许多实际问题可以用数学方法解决;从而激发学生学习数学的热情.3.1.2 等式的性质
教学目标：
1.理解、掌握等式的性质.
2.能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程.
教学重难点：
重点:理解等式的性质,并能利用其解一元一次方程.
难点:能熟练运用等式的性质对方程进行变形.
教学过程：
导入
对比天平与等式,你有什么发现
把一个等式看作一个天平,把等号两边的式子看作天平两边的砝码,则等号成立就可看作是天平保持两边平衡.
讲授新课
阅读教材P81~82内容,完成下列问题.
知识点1 等式的性质
观察与思考:
天平两边同时加入相同质量的砝码,天平仍然平衡;
天平两边同时拿去相同质量的砝码,天平仍然平衡.
对比天平与等式,你有什么发现
对比天平得等式的性质:
等式的性质1
等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
如果a=b,那么a±c=b±c.
等式的性质2
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么 = .
范例应用
例1 (1)怎样从等式x-5=y-5得到等式x=y
(2)怎样从等式3+x=1得到等式x=-2
(3)怎样从等式4x=12得到等式x=3
(4)怎样从等式 = 得到等式a=b
解:(1)依据等式的性质1两边同时加5.
(2)依据等式的性质1两边同时减3.
(3)依据等式的性质2两边同时除以4或同乘.
(4)依据等式的性质2两边同时除以或同乘100.
例2 已知mx=my,下列结论错误的是(A)
A.x=y
B.a+mx=a+my
C.mx-y=my-y
D.amx=amy
变式 (1)从x=y能不能得到 = ,为什么
(2)从a+2=b+2能不能得到a=b,为什么
(3)从-3a=-3b能不能得到a=b,为什么
(4)从3ac=4a能不能得到3c=4,为什么
解:(1)能,根据等式的性质2,两边同时除以9.
(2)能,根据等式的性质1,两边同时减去2.
(3)能,根据等式的性质2,两边同时除以-3.
(4)不能,a可能为0.
知识点2 利用等式的性质解方程
利用等式的性质解下列方程:
(1)x+6=17;
(2)-3x=15;
(3)2x-1=-3;
(4)-x+1=-2.
解:(1)两边减6,得x+6-6=17-6,于是x=9.
(2)两边除以-3,得=,于是x=-5.
(3)两边加1,得2x-1+1=-3+1,
化简,得2x=-2,两边除以2,得x=-1.
(4)两边减1,得-x+1-1=-2-1,
化简,得-x=-3,两边乘-3,得x=9.
课堂训练
1.若a=b,m是任意有理数,则下列等式不一定成立的是(D)
A.a+m=b+m
B.a-m=b-m
C.am=bm
D.=
2.将3x-7=2x变形正确的是(D)
A.3x+2x=7
B.3x-2x=-7
C.3x+2x=-7
D.3x-2x=7
3.下列方程的变形,符合等式性质的是(D)
A.由2x-3=7,得2x=7-3
B.由2x-3=x-1,得2x-x=-1-3
C.由-3x=5,得x=5+3
D.由-x=1,得x=-4
4.用适当的数或整式填空,使所得的式子仍是等式,并注明根据.
(1)如果x+2=3,那么x=3+ (-2) ,根据是 等式的性质1 ;
(2)如果4x=3x-7,那么4x- 3x =-7,根据是 等式的性质1 ;
(3)如果-2x=6,那么x= -3 ,根据是 等式的性质2 .
5.应用等式的性质解下列方程并检验:
(1)x+3=6;(2)0.2x=4;
(3)-2x+4=0;(4)1-x=3.
解:(1)两边减3,得x+3-3=6-3,于是x=3.
检验:把x=3代入方程x+3=6的左边,得3+3=6,方程的左右两边相等,
所以x=3是方程x+3=6的解.
(2)两边除以0.2,得 = ,于是x=20.
检验:把x=20代入方程0.2x=4的左边,得0.2×20=4,方程的左右两边相等,所以x=20是方程0.2x=4的解.
(3)两边减4,得-2x+4-4=0-4,化简,得-2x=-4,两边除以-2,得x=2.检验:把x=2代入 -2x+4=0的左边,得-2×2+4=0,方程的左右两边相等,
所以x=2是方程-2x+4=0的解.
(4)两边减1,得1-x-1=3-1,化简,得-x=2,两边除以-,得x=-4.检验:把x=-4代入1-x=3的左边,得1-×(-4)=1+2=3,方程的左右两边相等,
所以x=-4是方程1-x=3的解.
小结
板书
3.1.2 等式的性质
1.等式的性质1.
2.等式的性质2.
3.利用等式的性质解一元一次方程.
反思
本节课采用从生活中的天平入手,激发学生学习兴趣,采用类比等式性质创设问题情景的方法,引导学生的自主探究活动,教给学生类比、猜想、验证等研究问题的方法,培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯.利用学生的好奇心设疑、解疑,组织互动、有效的教学活动,学生积极参与,大胆猜想,使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容.力求在整个探究学习的过程充满师生之间、生生之间的交流和互动,体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者,学生才是学习的主体.
