3.3 解一元一次方程(二)——去括号与去分母
第1课时 去括号解一元一次方程
教学目标：
1.了解“去括号”是解方程的重要步骤.
2.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程.
教学重难点：
重点:能正确运用去括号法则解一元一次方程.
难点:能够较为灵活、熟练地运用去括号法则解一元一次方程.
教学过程：
导入
神话故事“哪吒闹海”众所周知,另有描写“哪吒斗夜叉”的场面:哪吒和夜叉真个是各显神通,分身有术,只杀得走石飞沙昏天暗地,只见“八臂一头是夜叉,三头六臂是哪吒,三十六头难分辨,手臂缠绕百零八,试向看官问一句,几个夜叉几哪吒 ”
解:设有x个哪吒,则有(36-3x)个夜叉,
依题意,有6x+8(36-3x)=108.
你会解这个方程吗
讲授新课
阅读教材P93~95内容,完成下列问题.
知识点1 利用去括号法则解一元一次方程
观察下面的方程,结合去括号法则,你能求得它的解吗
6x+6(x-2 000)=150 000
解:去括号,得 6x+6x-12 000=150 000 .
移项,得 6x+6x=150 000+12 000 .
合并同类项,得 12x=162 000 .
系数化为1,得 x=13 500 .
范例应用
例1 解下列方程:
(1)7x+2(3x-3)=20;
(2)2(x-2)-6(x-1)=3(1-x).
解:(1)去括号,得7x+6x-6=20.
移项,得7x+6x=20+6.
合并同类项,得13x=26.
系数化为1,得x=2.
(2)去括号,得2x-4-6x+6=3-3x.
移项,得2x-6x+3x=3+4-6.
合并同类项,得-x=1.
系数化为1,得x=-1.
[方法归纳]解含有括号的一元一次方程的一般步骤:去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
变式 解下列方程:
(1)x-2(x-2)=3x+5(x-1);
(2)7+8x-1=3x-6-x.
解:(1)去括号,得x-2x+4=3x+5x-5.
移项,得x-2x-5x-3x=-5-4.
合并同类项,得-9x=-9.
系数化为1,得x=1.
(2)去括号,得7+6x-8=3x-3+4x.
移项,得6x-3x-4x=-3-7+8.
合并同类项,得-x=-2.
系数化为1,得x=2.
知识点2 去括号解方程的应用
1.一艘船从甲码头到乙码头顺流而行,用了2 h;从乙码头返回甲码头逆流而行,用了2.5 h.已知水流的速度是3 km∕h,求船在静水中的平均速度.
[点拨]等量关系:这艘船往返的路程相等,即
顺流速度×顺流时间=逆流速度×逆流时间
解:设船在静水中的平均速度为x km∕h,则顺流速度为(x+3)km∕h,逆流速度为(x-3)km∕h.
根据顺流速度×顺流时间=逆流速度×逆流时间
列出方程,得2(x+3)=2.5(x-3).
去括号,得2x+6=2.5x-7.5.
移项及合并同类项,得0.5x=13.5.
系数化为1,得x=27.
答:船在静水中的平均速度为27 km∕h.
2.为鼓励居民节约用电,某地对居民用户用电收费标准作如下规定:每户每月用电如果不超过100 kW·h,那么每度按0.50元收费;如果超过100 kW·h不超过200 kW·h,那么超过部分每度按0.65元收费;如果超过200 kW·h,那么超过部分每度按0.75元收费.若某户居民在9月份缴纳电费310元,那么他这个月用电多少kW·h
分析:若一个月用电200 kW·h,则这个月应缴纳电费为0.50×100+0.65×(200-100)=115(元).故当缴纳电费为310元时,该用户9月份用电量超过200 kW·h.
解:设他这个月用电x kW·h.根据题意,得
0.50×100+0.65×(200-100)+0.75(x-200)=310,
解得x=460.
答:他这个月用电460 kW·h.
[方法归纳]对于此类阶梯收费的题目,需要弄清楚各阶段的收费标准,以及各节点的费用.然后根据缴纳费用的金额,判断其处于哪个阶段,然后列方程求解即可.
范例应用
例2 一架飞机在两城之间航行,风速为24 km∕h,顺风飞行要2h,逆风飞行要3 h,求两城距离.
解:设飞机在无风时的速度为x km∕h,则在顺风中的速度为(x+24)km∕h,在逆风中的速度为(x-24)km∕h.
根据题意,得(x+24)=3(x-24),
解得x=840.
两城市的距离为3×(840-24)=2 448(km).
答:两城市之间的距离为2 448 km.
课堂训练
1.解方程1-(2x+3)=6,去括号的结果是(B)
A.1+2x+3=6 B.1-2x-3=6
C.1-2x+3=6 D.2x+1-3=6
2.解方程4(x-1)-x=2x+步骤如下:①去括号,得4x-4-x=2x+1;②移项,得4x+x-2x=1+4;③合并同类项,得3x=5;④系数化为1,得x=.其中开始出现错误的一步是(B)
A.① B.② C.③ D.④
3.爷爷现在的年龄是孙子的5倍,12年后,爷爷的年龄是孙子的3倍,现在孙子的年龄是 12 岁.
4.解下列方程:
(1)2(6-0.5y)=-3(2y-1);
(2)x-18x+=14+9(x-2).
解:(1)去括号,得12-y=-6y+3.
移项,得-y+6y=3-12.
合并同类项,得5y=-9.
系数化为1,得y=-.
(2)去括号,得x-12x-1=14+9x-18.
移项,得x-12x-9x=14-18+1.
合并同类项,得-20x=-3.
系数化为1,得x=.
5.某羽毛球协会组织一些会员到现场观看羽毛球比赛.已知该协会购买了价格分别为300元∕张和400元∕张的两种门票共8张,总费用为2 700元.请问该协会购买了这两种门票各多少张
解:设每张300元的门票买了x张,则每张400元的门票买了(8-x)张.
由题意,得300x+400×(8-x)=2 700,
解得x=5.
所以买400元每张的门票张数为8-5=3(张).
答:每张300元的门票买了5张,每张400元的门票买了3张.
小结
1.解一元一次方程的步骤是什么
2.去括号时应注意哪些问题
板书
3.3 解一元一次方程(二)——去括号与去分母
第1课时 去括号解一元一次方程
1.解一元一次方程的步骤:去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
2.若括号外的因数是负数,去括号时,原括号内各项的符号要改变.
反思
本节课的教学先让学生回顾上一节所学的知识,复习巩固方程的解法,让学生进一步明白解方程的步骤是逐渐发展的,后面的步骤是在前面步骤的基础上发展而成.然后通过一个实际问题,列出一个有括号的方程,大胆放手让学生去探索、猜想各种方法,去尝试各种解题的途径,启发学生探索新的解题方法.3.3 解一元一次方程(二)——去括号与去分母
第2课时 去分母解一元一次方程
教学目标：
1.掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.
2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.
教学重难点：
重点:利用去分母解一元一次方程.
难点:熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.
教学过程：
导入
英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物——纸草书.这是古代埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作,它于公元前1700年左右写成.这部书中记载了许多有关数学的问题,其中有一道著名的求未知数的问题:
一个数,它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部,加起来总共是33,求这个数.
请你列出本题的方程.
解:设这个数是x.则可列方程:
x+x+x+x=33.
你能解出这道方程吗 把你的解法与其他同学交流一下,看谁的解法好.
总结:像上面这样的方程中有些系数是分数,如果能化去分母,把系数化为整数,则可以使解方程中的计算更方便些.
讲授新课
阅读教材P95~97内容,完成下列问题.
知识点1 解含分母的一元一次方程
解方程:
-2=-.
想一想
1.若使方程不含有分母,方程两边应该同乘什么数
2.去分母时要注意什么问题
解:去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数),
得5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3).
去括号,得15x+5-20=3x-2-4x-6.
移项,得15x-3x+4x=-2-6-5+20.
合并同类项,得16x=7.
系数化为1,得x=.
范例应用
例1 解下列方程:
(1)-1=2+;
(2)3x+ =3-.
解:(1)去分母(方程两边乘4),
得2(x+1)-4=8+(2-x).
去括号,得2x+2-4=8+2-x.
移项,得2x+x=8+2-2+4.
合并同类项,得3x=12.
系数化为1,得x=4.
(2)去分母(方程两边乘6),
得18x+3(x-1)=18-2(2x-1).
去括号,得18x+3x-3=18-4x+2.
移项,得18x+3x+4x=18+2+3.
合并同类项,得25x=23.
系数化为1,得x=.
[方法归纳](1)去分母时,应在方程的左右两边乘分母的最小公倍数;
(2)去分母的依据是等式的性质2,去分母时不能漏乘没有分母的项;
(3)去分母与去括号这两步分开写,不要跳步,防止忘记变号.
知识点2 去分母解方程的应用
小明从家里骑自行车到学校,每小时骑15 km,可早到10 min,每小时骑12 km就会迟到5 min,问他家到学校的路程是多少千米
[思维过程展现]
设小明家到学校的路程是x km.先统一单位:10 min= h,5 min= h,当以每小时15 km的速度行驶时,到学校的时间为 h,当以每小时12 km的速度行驶时,到学校的时间为 h.根据等量关系:
第一次时间+ h=第二次时间- h.列方程,得 +=- ,解得x= 15 .所以小明家到学校的路程是 15 km.
范例应用
例2 某单位计划“五一”期间组织职工旅游,如果单独租用40座的客车若干辆刚好坐满;如果租用50座的客车则可以少租一辆,并且有40个剩余座位.
(1)该单位参加旅游的职工有多少人
(2)如同时租用这两种客车若干辆,问有无可能使每辆车刚好坐满 如有可能,两种车各租多少辆(此问可只写结果,不写分析过程)
解:(1)设该单位参加旅游的职工有x人.由题意,得-=1,解得x=360.
答:该单位参加旅游的职工有360人.
(2)有可能.因为租用4辆40座的客车、4辆 50座的客车刚好可以坐360人,正好坐满.
课堂训练
1.方程- =1,去分母得到了4x-4-6x+3=1.这个变形(B)
A.找错了分母的最小公倍数
B.漏乘了不含分母的项
C.去分母时因没有添括号出现符号错误
D.正确
2.把方程- =1去分母,正确的是(D)
A.3x-(x-1)=1 B.3x-x-1=1
C.3x-x-1=6 D.3x-(x-1)=6
3.若式子与式子3-2x的和为4,则x= -1 .
4.近年来,通过网络订餐的业务越来越多.某网络外卖平台送餐员接到订单后,从店家出发,骑电动车送餐到顾客家里.若送餐员以24 km∕h的速度骑行,会比约定时间晚2 min送达;以32 km∕h的速度骑行,则会比约定时间早3 min.则该店家与顾客家之间的路程是 8 km .
5.解下列方程:
(1)(1-)=-x+1;
(2)(m-1)- =1-.
解:(1)去分母,(方程两边同乘6)
得2×5×(1-)=-21x+6.
去括号,得10-5x-15=-21x+6.
移项,得-5x+21x=6-10+15.
合并同类项,得16x=11.
系数化为1,得x=.
(2)去分母,(方程两边同乘12)
得12(m-1)-6(4-3m)=12-(1-2m).
去括号,得12m-12-24+18m=12-1+2m.
移项,得12m+18m-2m=12-1+12+24.
合并同类项,得28m=47.
系数化为1,得m=.
小结
1.解一元一次方程的基本步骤是什么
2.去分母解一元一次方程时,应注意什么
板书
第2课时 去分母解一元一次方程
解含有分母的一元一次方程的基本步骤:
(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项、合并同类项;
(4)系数化为1.
反思
本节课采用的教学方法是讲练结合,通过一个简单的实例让学生明白去分母是解一元一次方程的重要步骤,通过去分母可以把系数是分数的方程转化为系数是整数的方程,进而使方程的计算更加简便.
在解方程中去分母时,发现学生还存在以下问题:①部分学生不会找各分母的最小公倍数,这点要适当指导;②用各分母的最小公倍数乘方程两边的项时,漏乘不含分母的项;③当减式中分子是多项式且分母恰好为各分母的最小公倍数时,去分母后,分子没有作为一个整体加上括号,容易弄错符号.
