3.4 实际问题与一元一次方程
第1课时 配套、工程问题
教学目标：
1.以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题;
2.体会一元一次方程与实际生活的密切联系,加强数学建模思想的应用意识;
3.培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力.
教学重难点：
重点:掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
难点:能够准确找出实际问题中的等量关系,并建立模型解决问题.
教学过程：
导入
前面我们学习了一元一次方程的解法,本节课,我们将讨论一元一次方程的应用.生活中,有很多需要进行配套的问题,如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等,大家能举出生活中配套问题的例子吗
讲授新课
阅读教材P100~101内容,完成下列问题.
知识点1 产品配套问题
问题1 某厂欲制作一些方桌和椅子,1张方桌与 4把椅子刚好配成一套,为了使桌椅刚好配套,商家应制作椅子的数量是桌子数量的 4 倍.方桌与椅子的数量之比是 1∶4 .
问题2 某车间有22名工人,每人每天可以生产 1 200个螺钉或2 000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名
解:法一 列表分析:
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉 x 1 200 1 200x
螺母 22-x 2 000 2 000(22-x)
等量关系:螺母总量=螺钉总量×2
设应安排x名工人生产螺钉,(22-x)名工人生产螺母.
由题意,得2 000(22-x)=2×1 200x.
解得x=10.
所以22-x=12.
答:应安排10名工人生产螺钉,12名工人生产螺母.
法二 列表分析:
产品 类型 生产人数 单人产量 总产量 产品套数
螺钉 x 1 200 1 200x 1 200x
螺母 22-x 2 000 2 000× (22-x)
设应安排x名工人生产螺钉,(22-x)名工人生产螺母.
由题意,得 =1 200x,
解得x=10.所以22-x=12.
答:应安排10名工人生产螺钉,12名工人生产螺母.
[方法归纳]生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系,建立方程.解决配套问题的思路:
(1)利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据;
(2)利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.
范例应用
例 某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼,每盒中装2块大月饼和4块小月饼.制作1块大月饼要用0.05 kg面粉,1块小月饼要用0.02 kg面粉.现共有面粉4 500 kg,问制作两种月饼应各用多少面粉,才能生产最多的盒装月饼
解:设用x kg面粉制作大月饼,则用(4 500-x)kg面粉制作小月饼.
根据题意,得÷2= ÷4,
解得x=2 500,则4 500-2 500=2 000(kg).
答:用2 500 kg面粉制作大月饼,2 000 kg面粉制作小月饼,才能生产最多的盒装月饼.
知识点2 工程问题
问题1
一份工作,甲单独做需要6天完成,乙单独做需要 5天完成.
(1)若把工作总量设为1,则甲的工作效率(甲一天完成的工作量)是 ,乙的工作效率是 ;
(2)甲做x天完成的工作量是 ,乙做x天完成的工作量是 ,甲、乙合作x天完成的工作量是 +x .
问题2
整理一批图书,由一个人做要40 h完成.现计划由一部分人先做4 h,然后增加2人与他们一起做8 h,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作
分析:设先安排x人做4 h.
列表:
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分 工作 x 4
后一部分 工作 x+2 8
等量关系:前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1
解:设先安排x人做4 h.
根据题意,得+=1.
解得x=2.
答:应先安排2人做4 h.
课堂训练
1.41人参加运土劳动,有30根扁担,安排多少人抬,多少人挑,可使扁担和人数相配不多不少 若设有x人挑土,则可列方程是(C)
A.2x-(30-x)=41 B.+(41-x)=30
C.x+ =30 D.30-x=41-x
2.一项工程甲单独做20天可以完成,乙单独做 30天可以完成.现在两个人合作,但是乙中途因事离开几天,从开工后14天把这项工作做完,则乙中途离开了(D)
A.10天 B.9天
C.7天 D.5天
3.某车间70名工人承接了制作丝巾的任务,已知每人每天平均生产手上的丝巾1 800条或者脖子上的丝巾1 200条,一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾.为了使每天生产的丝巾刚好配套,应分配多少名工人生产脖子上的丝巾,多少名工人生产手上的丝巾
解:设应分配x名工人生产脖子上的丝巾,分配(70-x)名工人生产手上的丝巾.
由题意,得1 800(70-x)=2×1 200x,
解得x=30,则70-x=70-30=40(名).
答:应分配30名工人生产脖子上的丝巾,40名工人生产手上的丝巾.
4.一件工作,甲单独做20 h完成,乙单独做12 h完成,现在先由甲单独做4 h,剩下的部分由甲、乙合作.剩下的部分需要几小时完成
解:设剩下的部分需要x h完成.
根据题意,得(4+x)+=1.解得x=6.
答:剩下的部分需要6 h完成.
小结
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下:
板书
3.4 实际问题与一元一次方程
第1课时 配套、工程问题
1.配套问题:找出等量关系.
2.工程问题:
(1)工程总量=效率×时间;
(2)各部分的工程量之和=工作总量=1.
反思
本节课以生活中常见的一个问题展开,提高学生的兴趣,让学生们认识到数学知识与我们的实际生活息息相关.然后通过例题教学,为学生提供了探索空间,通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动,充分调动学生学习的积极性.让学生在实践中获得解决问题的方法,体会到学习的乐趣.3.4 实际问题与一元一次方程
第2课时 销售、球赛积分问题
教学目标：
1.理解商品销售中的相关概念及数量关系.
2.根据商品销售中的数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题,并掌握解此类问题的一般思路.
3.掌握解决“球赛积分问题”的一般思路,并会根据方程的解的情况对实际问题作出判断.
4.会阅读、理解表格,并从表格中提取关键信息.
教学重难点：
重点:能够阅读和理解表格中的信息.
难点:能够通过自主分析,建立一元一次方程模型解决同类型问题,并掌握解此类问题的一般思路.
教学过程：
导入
生活中,我们经常可以在各种销售场合看见一些商品优惠信息,你知道它们的意思吗 你喜欢看篮球比赛吗 你对篮球比赛中的积分规则了解吗
讲授新课
阅读教材P102~103内容,完成下列问题.
知识点1 销售中的盈亏
1.商品原价200元,9折出售,卖价是 180 元.
2.商品进价是150元,售价是180元,则利润是 30 元,利润率是 20% .
3.某商品原来每件零售价是a元,现在每件降价10%,降价后每件零售价是 0.9a 元.
4.某种品牌的彩电降价20%以后,每台售价为 a元,则该品牌彩电每台原价应为 1.25a 元.
5.某商品按定价的8折出售,售价是12.8元,则原定售价是 16 元.
以上问题中有哪些量
解:成本价(进价);标价(原价);销售价;利润;盈利;亏损;利润率.
这些量之间有何关系
[归纳] 销售问题中的常用数量关系
(1)售价、进价、利润的关系:商品利润=商品售价-商品进价;
(2)进价、利润、利润率的关系:利润率= ×100%;
(3)标价、折扣数、商品售价的关系:商品售价=标价×;
(4)商品售价、进价、利润率的关系:商品售价=商品进价×(1+利润率).
范例应用
例1 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏
解:设盈利25%的那件衣服的进价是x元,根据题意,得x+0.25x=60,解得x=48.
类似地,设另一件亏损衣服的进价为y元,它的商品利润是-25%y元,列方程y+(-25%y)=60,解得y=80.那么这两件衣服的进价是x+y=128(元),而两件衣服的售价为120元,120-128=-8(元),所以这两件衣服亏损8元.
[方法归纳]销售的盈亏取决于总售价与总成本之间的关系:总售价>总成本时,盈利;总售价<总成本时,亏损;总售价=总成本时,不盈不亏.
例2 某商品的零售价是900元,为适应竞争,商店按零售价打9折(即原价的90%),并再让利 40元销售,仍可获利10%,求该商品的进价.
解:设该商品的进价为每件x元.
依题意,得900×0.9-40=10%x+x,
解得x=700.
答:该商品的进价为700元.
知识点2 比赛积分问题
某次篮球联赛积分榜如下:
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
问题1 你能从表格中了解到哪些信息
答:(1)每队的胜场数+负场数=这个队比赛场次;
(2)每队胜场总积分+负场总积分=这个队的总积分;
(3)每队胜场总积分=胜1场得分×胜场数(答案不唯一).
问题2 你能从表格中看出负一场积多少分吗
答:由钢铁队得分可知负一场积1分.
问题3 你能进一步算出胜一场积多少分吗
分析:设胜一场积x分,根据表中其他任何一行可以列方程求解,这里以第一行为例.
解:设胜一场积x分,
由题意,得10x+1×4=24.
解得x=2.
经检验,x=2符合题意.
所以胜一场积2分.
问题4 怎样用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系
解:若一个队胜m场,则负(14-m)场,胜场积分为2m,负场积分为14-m,总积分为
2m+(14-m)=m+14.
即胜m场的总积分为(m+14)分.
问题5 某队胜场总积分能等于它负场总积分吗
解:设一个队胜y场,则负(14-y)场.
由题意,得2y=14-y.
解得y=.
y表示所胜的场数,必须是整数,所以y=不符合实际.由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分.
课堂训练
1.某商品进价为一件200元,按标价的5折销售,仍可获利10%.设这件商品的标价为x元,根据题意列出方程为(A)
A.0.5x-200=10%×200
B.0.5x-200=10%×0.5x
C.200=(1-10%)×0.5x
D.0.5x=(1-10%)×200
2.父亲与小强下棋(设没有平局),父亲胜一盘记2分,小强胜一盘记3分,下了10盘后,两人得分相等.若设小强胜的盘数是x,则x应满足的方程是(B)
A.2x=3(10-x) B.3x=2(10-x)
C.2x=3(10+x) D.3x=2(10+x)
3.某种商品每件的进价为120元,标价为180元.为了拓展销路,商店准备打折销售.若使利润率为20%,则商店应打 8 折.
4.某试卷由26道题组成,答对一题得8分,答错一题倒扣5分.今有一考生虽然做了全部的26道题,但所得总分为零,他做对的题有 10 道.
5.小华的妈妈为小华的爸爸买了一件上衣和一条裤子,共用了306元,其中上衣按标价打7折,裤子按标价打8折,上衣的标价为300元,求裤子的标价.
解:设裤子的标价为x元.
由题意,得300×0.7+0.8x=306,
解得x=120.
答:裤子的标价为120元.
小结
1.商品销售问题中常见的等量关系.
2.解决有关表格的问题时,根据表格中给出的相关信息,找出数量间的关系.
板书
第2课时 销售、球赛积分问题
1.销售问题中的两个基本关系式:
(1)利润=售价-进价(“利润”若为正,就是盈利;若为负,就是亏损);
(2)利润率=×100%(利润率×进价=售价-进价).
2.球类比赛中的积分问题.
反思
本节课从和我们的生活息息相关的利润和球赛积分问题入手,让学生在具体情境中感受到数学在生活实际中的应用,从而激发他们学习数学的兴趣.根据“实际售价=进价+利润”等数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题.审清题意,找出等量关系是解决问题的关键.另外,商品经济问题的题型很多,让学生触类旁通,达到举一反三的水平.灵活的运用有关的公式解决实际问题,提高学生的解题能力.3.4 实际问题与一元一次方程
第3课时 收费及其他问题
教学目标：
1.体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用,能够根据已知条件选择分类关键点对“电话计费问题”进行整体分析,从而得出整体选择方案.
2.进一步深化对数学建模方法的体验,增强应用方程模型解决问题的意识和能力.
教学重难点：
重点:能够理解题目信息,建立方程模型解决电话计费问题.
难点:关键点的选择,整体方案的确定.
教学过程：
导入
在科技迅猛发展的今天,手机成为人们生活中非常普及的通讯工具,选择经济实惠的资费方式成为了我们所关心而且具有实际意义的问题,你知道你的家人都选择了哪种资费吗
讲授新课
阅读教材P104~105内容,完成下列问题.
知识点1 方案选择性问题
下表中有两种移动电话计费方式:
月使用 费/元 主叫限定 时间/分钟 主叫超时费 /(元/分钟) 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
设一个月内移动电话主叫为t分钟(t是正整数),列表说明:当t在不同时间范围内取值时,按方式一和方式二如何计费.
计费时首先要看主叫是否超过限定时间,主叫不超过限定时间,月使用费一定;主叫超过限定时间,超时部分加收超时费.
考虑t的取值时,两个主叫限定时间150分钟和350分钟是不同时间范围的划分点.
当t在不同时间范围内取值时,方式一和方式二的计费如下表:
主叫时间t/分钟 方式一计费/元 方式二计费/元
t<150 58 88
t=150 58 88
150t=350 108 88
t>350 58+0.25(t-150) 88+0.19(t-350)
(1)比较表格的第2,3行,你能得出什么结论
(2)比较表格的第2,4行,你能得出什么结论
(3)当t>350时,两种计费方式哪种更合算呢
解:(1)当t≤150时,方式一计费少.
(2)当t大于150且小于350时,存在某一个值,使得两种方式计费相等.
由题意,得58+0.25(t-150)=88,解得t=270.
(3)当t>350时,
方式一:58+0.25(t-150)=108+0.25(t-350),
方式二:88+0.19(t-350),
所以当t>350时,方式二计费少.
知识点2 分段计费问题
为了鼓励居民节约用水,某市自来水公司按如下方式对每户月用水量进行计费:当月用水量不超过 10 t 时,每吨的收费标准相同;当月用水量超过10 t时,超出10 t的部分每吨收费标准也相同.下表是小明家1~4月份用水量和缴费情况:
月份 1 2 3 4
用水量/ t 8 10 12 15
费用/ 元 16 20 26 35
请根据表格中提供的信息,回答以下问题:
(1)若小明家5月份用水量为20 t,则应缴水费多少元
(2)若小明家6月份缴纳水费29元,则小明家6月份用水多少吨
解:(1)从表中可以看出10 t以内,每吨2元,超过10 t的部分每吨3元,
所以小明家5月份的水费是10×2+(20-10)×3=50(元).
(2)设小明家6月份用水x t,29>10×2,所以x>10.
所以10×2+(x-10)×3=29,
解得x=13.
答:小明家6月份用水13 t.
范例应用
例 参加保险公司的医疗保险,住院治疗的病人享受分段报销,保险公司制定的报销细则如下表所示:
住院医疗费/元 报销率/%
不超过500元的部分 0
500~1 000元的部分 60
1 000~3 000元的部分 80
… …
某人住院治疗得到保险公司的报销金额是1 100元,则此人住院的医疗费是(D)
A.1 000元 B.1 500元
C.1 625元 D.2 000元
课堂训练
1.下表为某市居民每月用水收费标准(单位:元/立方米).
用水量/立方米 单价/元
x≤22 a
超过部分 a+1.1
(1)某用户用水10立方米,共缴水费23元,求a的值;
(2)在(1)的前提下,该用户5月份缴水费71元,请问该用户用水多少立方米
解:(1)由题意可得10a=23,
解得a=2.3.
所以a的值为2.3.
(2)设用户用水量为x立方米.
因为用水22立方米时,水费为22×2.3=50.6<71,
所以x>22.
则可列方程22×2.3+(x-22)×(2.3+1.1)=71,
解得x=28.
答:该用户用水28立方米.
2.某班打算买一些乒乓球和乒乓球拍,现了解情况如下:甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍,乒乓球拍每副定价30元,乒乓球每盒定价5元,经洽谈后,甲店买一副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的9折优惠.该班需球拍 5副,乒乓球若干盒(不小于5盒).问:
(1)当购买乒乓球15盒时,去哪家店购买比较优惠
(2)当购买乒乓球多少盒时,两家店的付款一样多
解:(1)甲:30×5+5×(15-5)=200(元),
乙:(30×5+5×15)×0.9=202.5(元),
因为200<202.5,
所以当购买乒乓球15盒时,去甲商店购买比较优惠.
(2)设购买x盒乒乓球时,两家店的付款一样多,
根据题意,得30×5+5(x-5)=(30×5+5x)×0.9,
解得x=20.
所以当购买乒乓球20盒时,两家店的付款一样多.
小结
1.方案选择问题:方案选择问题可通过列方程或列式计算求解,再通过分类讨论或比较选择出最优方案.
2.分段计费问题:现实生活中,像“阶梯水费”“阶梯电费”“出租车计费”这样特殊的计费问题,由于其不同区间的计费标准各不相同,需要分段计费再汇总,称为分段计费问题.
板书设计
第3课时 收费及其他问题
1.方案选择性问题.
2.分段计费问题.
反思
本节课主要通过教师层层设问,由浅入深,循序渐进,引导学生对问题的逐步探究,最终得到电话计费问题的解决.首先从熟悉的实际生活入手,切入课题,让学生感受生活中处处有数学,数学来源于实践,也服务于实践.本节教学以学生为主体,以探究为主线,采取合作交流的探究方式进行学习,使学生的知识得到巩固的同时,生活经验、学习方法等也得到提高.
