2023 年 12 月
绵阳南山中学高 2021 级高三上期 12 月月考
文 科 数 学 试 题参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D C A B B D A C A D
12.解：因为 f (x 1)为奇函数，所以 f ( x 1) f (x 1)……①
因为 f (x 2)为偶函数，所以 f (x 2) f ( x 2)……②
令 x 1，由①得 f (0) f (2) (4a b)，由②得 f (3) f (1) a b
因为 f (0) f (3) 6，所以 (4a b) a b 6，∴ a 2，
令 x 0，由①得 f (1) 0，即b 2 2；所以 f (x) 2x 2。
f (x) f (9) f (1 3 5由两个对称性可知 的周期为 4，所以 ) f ( )
2 2 2 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
y 2 x 2 9
13. 1 14.7 15 . 3.2 16.
2 4 2
16.解：设点 A（ x1, y1），B（ x2 , y2），P（ x0 , y0），则 AF y1 1， BF y2 1，
AF BF y1y2 y1 y2 1 由题直线 AB的方程为 x0x 2(y y0 )，，
x0x 2(y y0 ) 2 2 2
所以由 x2
有 y (2y0 x0 )y y 4y 0
0，
2
所以 y1 y2 x0 2y0， y1y
2
2 y0 。因为点 P为 l上的一个动点，所以 x0 y0 2，
所以 AF BF y 21y2 y1 y2 1 2y0 2y0 5
1 9
所以当 y0 时 AF BF 取得最小值2 2
三、解答题：
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17.（本小题满分为 12 分）
1
(1) 1 2 1证明 因为 － ＝1，所以 ＋1＝2 ( 1) 1，又 ＋1＝2，
an＋1 an an＋1 an a1
1
所以数列 1 为等比数列，且首项为 2，公比为 2.
an
1
(2)解 由(1) 1知 ＋1＝2n，所以b 2n＝2nn ＋2n－1.an an
S 2(1 2
n ) n(1 2n 1)
所以 n ＝2n
＋1＋n2－2.
1 2 2
18.解析 (1)曲线 y=x2-6x+1与 y轴的交点为(0,1),与 x轴的交点为(3+2 2,0),(3-2 2,0).
故可设 C的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2,解得 t=1.则圆 C的半径为 32 + (t 1)2=3.
所以圆 C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:
- + = 0,
( -3)2 + (y 1)2 = 9.
消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0. 由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0.
x =(8-2 )± 56 16 -4
2 2-2a+1
因此 1,2 ,从而 x1+x4 2=4-a,x1x2= .①2
由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0.又 y1=x1+a,y2=x2+a, 所以 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②
由①,②得 a=-1,满足Δ>0,故 a=-1.
1 3
19. 解：（Ⅰ） f (x) (1 cos2 x) sin 2 x …………………2分
2 2
1
sin(2 x ) , ……………………3分
2 6
因为 f (x) 2π最小正周期为π ,所以 π，解得ω 1 , ……………………4分2ω
所以 f (x) sin(2x π 1 ) , ……………… 5分
6 2
所以 f (2π ) 1 . ……………………6分
3 2
f (A) 1 sin(2A ) 1 13 （Ⅱ）由 得 ，∵ 2A （ ， ），
6 2 6 6 6
∴ 2A 5 ∴ A
6 6 3
a 3 2 2 2 ∵ ,∴由余弦定理有 ( 3) b c 2bc cos ，
3
(b c)2 3 3bc 3 (b c即 )2，∴b c 2 3（当且仅当b c时取“=”），
2
故 l a b c 3 3，即 ABC为等边三角形时，周长有最大值3 3
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20.解 (1)由题意可得 2a＝2 2，且 b＝c，又 c2＝a2－b2，所以可得 a2＝2，b2＝1，
C x
2
所以椭圆 的方程为 ＋y2＝1.
2
(2)由(1)可得右焦点 F2(1,0)，再由题意可得直线MN的斜率不为 0，设直线 MN的方程为 x＝my＋1，
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
x＝my＋1，
联立直线与椭圆的方程可得 整理可得(2＋m2)y2＋2my－1＝0，
x2＋2y2＝2，
y y －2m y y －1所以 1＋ 2＝ ， 1 2＝ ，由题意可得四边形 MNPQ为平行四边形，
2＋m2 2＋m2
1 2
所以 S＝4S△OPQ＝4× ×|OF2|×|y1－y2|＝2×1× y1＋y2 2－4y1y
4m －1
2＝2 －4·
2 2＋m2 2 2＋m2
4 2 1＋m
2 1
＝ ＝4 2 ≤4 2 1 ＝2 2，
1＋1＋m2 2 1＋m2 1＋ ＋2 2＋2
1＋m2
1
当且仅当 1＋m2＝ ，即 m＝0时取等号，所以四边形 MNPQ面积的最大值为 2 2.
1＋m2
21．(1)解 ∵函数 f(x)＝－ln x－ax2＋x(a≥0)，
2 2
f′(x) 1 2ax 1 2ax －x＋1 －2ax ＋x－1∴ ＝－ － ＋ ＝－ ＝ ， x>0，
x x x
a≥0 a 0 f′(x) x－1∵ ，∴当 ＝ 时， ＝ ，x>0，当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
x
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴当 x＝1时，f(x)有极小值；
1
当 a≥ 时，Δ≤0，故 f′(x)≤0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故此时 f(x)无极值；
8
0
0 f′(x) 0 x x . x 1－ 1－8a 1＋ 1－8a当 时， ，方程 ＝ 有两个不相等的实数根 1， 2 可得 1＝ ，x2＝ ，
8 4a 4a
0 1－ 1－8a 1＋ 1－8a， ，＋∞
易知 01－ 1－8a 1＋ 1－8a
，
f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x∈ 4a 4a 时，f′(x)>0 ，f(x)单调递增；
∴f(x)在 x＝x1处有极小值，在 x＝x2处有极大值．
1 1
综上所述：当 a＝0时，f(x)有 1个极值点；当 a≥ 时，f(x)没有极值点；当 08 8
0 1，
(2)证明 由(1)可知当 a∈ 8 时 f(x)有极小值点 x1和极大值点 x2，且 x1，x2是方程 f′(x)＝0的两个正根，
1 1
则 x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
2a 2a
∴f(x1)＋f(x2)＝(x1＋x2)－a[(x1＋x2)2－2x1x2]－(ln x1＋ln x2)＝ln(2a) 1＋ ＋1＝ln a 1＋ ＋ln 2＋1，
4a 4a
令 g(a)＝ln a 1＋ ＋ln 2＋1，∵04a 8 4a2
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0 1 1，
∴g(a)在 8 上单调递减，故 g(a)>g 8 ＝3－2ln 2，
∴f(x1)＋f(x2)>3－2ln 2.
22．(10分)
x 1 tcos π x 1 3＝ ＋ ， ＝ ＋ t，
2 6 2 2
解 (1)直线 l的参数方程为 π (t为参数)，即 1 (t为参数)，y＝1＋tsin y＝1＋ t
6 2
θ π－
由ρ＝ 2cos 4 可得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
x 1－ y 1－
所以 x2＋y2＝x＋y，即圆 C 1的直角坐标方程为 2 2＋ 2 2＝ .
2
x 1 3＝ ＋ t，
2 2 x 1 y 1－ －
(2) 1 1 1把 1 代入 2
2＋ 2 2＝ ，得 t2＋ t－ ＝0.
y＝1＋ t 2 2 4
2
1 1
设 A，B两点对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t2＝－ ，所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝ .
4 4
3，x<－1，
23．(1)解 当 t＝1时，f(x)＝|x－2|－|x＋1|，故 f(x)＝ －2x＋1，－1≤x<2，
－3，x≥2.
所以当 x<－1时，f(x)≤1不成立，解集为 ；当－1≤x<2时，由－2x＋1≤1，得 0≤x<2；
当 x≥2时，f(x)≤1恒成立．所以 f(x)≤1的解集为[0，＋∞)．
(2)证明 由绝对值不等式得|tx－2|－|tx＋1|≤|(tx－2)－(tx＋1)|＝3，
所以 f(x)的最大值为 3，即 m＝3，
a b c 1·a 1·b 1·c≤1＋a 1＋b 1＋c 3＋a＋b＋c＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＝3，
2 2 2 2
当且仅当 a＝b＝c＝1时等号成立．
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绵阳南山中学高 2021 级高三上期 12 月月考
文 科 数 学 试 题
命题人：刘群建 审题人：李盛锦
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 2若直线 x y 1 0是圆 (x a) y2 1的一条对称轴，则 a
1 1
A. B. C.1 D. 1
2 2
1 i
2.已知复数 z ，则 z z
2 2i
A. i B. i C.0 D.1
1
3. 2若抛物线 x y （ p 0）的焦点到直线 y x 1的距离等于 2 ，则 p
2p
A.1 B.4 C. 2 2 D.2
4. a a 3b若 2 5， log8 3 b，则 4
25 5
A.25 B.5 C. D.
9 3
5.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一。书中有这样一道
1
题目：把 100个面包分给 5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较
7
小的两份之和，则最小 1份为
5 10 5 11
A. B. C. D.
3 3 6 6
6.在菱形 ABCD中，若 AC 2，则CA AB
A．2 B． 2 C． AB cos A D．与菱形的边长有关
7. 2 2过点（0， 2）且与圆 x y 4x 1 0相切的两条直线的夹角为 ，则 sin
15 10 6
A.1 B. C. D.
4 4 4
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x2 y2
8.已知双曲线 C： 2 2 1（ a 0， b 0）的离心率为 5，C 的一条渐近线与圆a b
(x 2)2 (y 3)2 1交于 A、B两点，则 AB
5 2 5 3 5 4 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
9.记函数 f (x) sin( x ) b（ 0）的最小正周期为 T，
4
2 3
若 T 且 y f (x)的图像关于点（ ，2）中心对称，
3 2
则 f ( )
2
3 5
A.1 B. C. D.3
2 2
10.执行如图所示的程序框图,输出的结果是
5 4
A. B. C. 1 D.2
4 3
x2 y2
11.椭圆 C： 2 2 1（ a b 0）的左顶点为 A，点 P、Q均在 C上且关于 y轴对称。a b
1
若直线 AP，AQ的斜率之积为 ，则 C的离心率为
4
3 2 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 3
12.设函数 f (x)的定义域为 R， f (x 1)为奇函数， f (x 2)为偶函数，当 x [1,2]时
f (x) ax2 b，若 f (0) f (3) 6 f (9 ，则 )
2
9 3 7 5
A. B. C. D.
4 2 4 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x 2
13. 2过点(2， 2 )且与双曲线 y 1有相同渐近线的双曲线的方程是
2
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x y 0
14.若 x , y满足约束条件 2x y 0，则 z 3x 2y的最大值为
x 1
15.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由
一个长方形和抛物线构成。为保证安全，要求行使
车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的
高度之差至少要有 0.5米。若行车道总宽度 AB为
6米，则车辆通过隧道的限制高度是 米（精
确到 0.1米）
16. 2已知抛物线 C：x 4y的焦点为 F，直线 l为：
x y 2 0，设点 P为 l上的一个动点，过点 P
作抛物线 C的两条切线 PA、PB，其中 A、B为切点，则 AF BF 的最小值为
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17－21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
1 2
17.（本小题满分为 12 分）已知数列 an 满足 1，且 a 1.an 1 a 1n
1
(1)证明：数列 1 为等比数列；
an
b 1(2)设 n 2n，求数列{bn}的前 n项和 Sa nn
18.（本小题满分为 12 分）
2
在平面直角坐标系 XOY 中,曲线 y x 6x 1与坐标轴的交点都在圆 C上.
(1)求圆 C的方程;
(2)若圆 C与直线 x y a 0交于 A,B两点,且OA OB , 求 a的值。
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19. （本小题满分为 12 分）
已知函数 f (x) cos2 x 3sin xcos x ( 0)的最小正周期为 .
2
（1）求 f ( )的值；
3
（2）已知 a,b,c分别为 ABC中角A、B、C的对边，且满足 a 3，f (A) 1，求 ABC
的周长 l的最大值。
x2 y2
20.（本小题满分为 12 分）已知长轴长为 2 2的椭圆 C： 2 2 1( a b 0 )的左、a b
右焦点分别为 F1，F2，且以线段 F1F2为直径的圆与椭圆 C恰有两个公共点．
(1)求椭圆 C的方程；
(2)若经过点 F2的直线 l与 C交于 M，N两点，且 M，N关于原点 O的对称点分别为 P，Q，
求四边形MNPQ的面积 S的最大值．
21．（本小题满分为 12 分）已知函数 f (x) ln x ax2 x ( a 0 )．
(1)讨论函数 f (x)的极值点的个数；
(2)若函数 f (x)有两个极值点 x1， x2，证明： f (x1) f (x2 ) 3 2ln 2
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．(10分)[选修 4－4：坐标系与参数方程]
1 π
已知直线 l经过点 P( ,1)，倾斜角α＝ ，圆 C的极坐标方程为 2 cos( )
2 6 4
(1)写出直线 l的参数方程，并把圆 C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设 l与圆 C相交于 A，B两点，求点 P到 A，B两点的距离之积．
23．(10 分)[选修 4－5：不等式选讲]
已知函数 f (x) tx 2 tx 1，t∈R.
(1)当 t 1时，解不等式 f(x)≤1；
(2)若对任意实数 t，f(x)的最大值恒为 m，
求证：对任意正数 a，b，c，当 a＋b＋c＝m时， a b c m
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