四川省达州市宣汉县2023-2024学年高一上学期12月第二次月考数学试题（含解析）

宣汉县2023-2024学年高一上学期12月第二次月考数学
时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.已知集合 , 则（ ）
A. B. C. D.
2.命题 “ 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.函数 的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
4.设 , 则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知函数 , 若, 则（ ）
A. B. C.1 D.5
6.已知符号函数 , 则是的 （ ）
A.充分条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
7.从这个商标中抽象画出一个函数图象如图所示, 其对应的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
8.菜农采摘蔬菜, 采摘下来的蔬菜会慢慢失去新鲜度. 已知某种蔬菜失去的新鲜度 与其采摘后时间(小时)满足的函数关系式为. 若采摘后 20 小时, 这种蔬菜失去的新鲜度为, 采摘后 30 小时, 这种蔬菜失去的新鲜度为.那么采摘下来的这种蔬菜在多长时间后失去新鲜度(参考数据, 结果取整数（ ）
A.23 小时 B.33 小时 C.50 小时 D.56 小时
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列函数中, 既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10.若 , 且, 则的取值可能是（ ）
A.10 B.23 C.25 D.28
11.已知关于 的不等式的解集为, 则（ ）
A.函数 有最大值
B.
C.
D.的解集为
12.已知定义在 上的奇函数满足, 且当时,则下列结论正确的有（ ）
A.
B.函数 在区间上单调递增
C.
D.关于 方程有 8 个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.函数 的定义域是___________.
14.函数 为奇函数, 则实数___________.
15.下列函数 , 满足对定义域内的任意, 都有成立的有___________.
①; ②;
③; ④
16.已知函数 , 若对任意的, 且,恒成立, 则实数的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）
(1) ;
(2) .
18. （本题满分12分）已知集合 或.
(1) 若 , 求;
(2)若 “ ” 是 “” 的充分条件, 求的取值范围.
19. （本题满分12分）已知函数
(1) 求 在上的值域;
(2) 求 在区间上的最大值的最小值.
20. （本题满分12分）已知函数 .
(1)当 时, 求不等式的解集;
(2)若 的定义域为, 求的取值范围.
21. （本题满分12分）
实行垃圾分类, 关系生态环境, 关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂, 于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备, 并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用 年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年), 设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元.
(1)写出 与之间的函数关系式; 求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值);
(2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种:
①当年平均盈利额达到最大值时, 以 30 万元价格处理该设备; (年平均盈利额
②当盈利总额达到最大值时, 以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.
22. （本题满分12分）已知函数 为常数是定义在上的奇函数.
(1)求函数 的解析式;
(2)若 , 求函数的值域;
(3) 若 , 且函数满足对任意, 都有成立, 求实数的取值范围.
参考答案及解析
1. 【答案】B
【解析】【分析】先化简集合 ，然后利用交集运算即可得到答案
【详解】因为 ，
且 ，所以故选: B
2. 【答案】C 【解析】略
3. 【答案】C 【解析】【解析】利用零点存在定理可得出合适的选项.
【详解】函数 为上的增函数，且，
由零点存在定理可知，函数 的零点所在区间是.
故选:C.
4. 【答案】C 【解析】略
5. 【答案】B 【解析】略
6. 【答案】C 【解析】【分析】根据符号函数的定义及充分条件与必要条件的定义求解即可.
【详解】若 ，则；
若 ，则同号，所以.
故“ ”是“”的必要不充分条件.故选:C.
7. 【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性及定义域和取特值可排除得选项.
【详解】根据函数的图像可知，函数为偶函数，且定义域为 ，
判断四个选项，只有 和符合，
又因为 时，有的函数值是负数，
例如 不符合，所以只有成立，
故选: D.
8. 【答案】B 【解析】根据题意，列出方程组，求得 的值，得出函数的解析式，令，即可求解.
【详解】由题意，采摘后 20 小时，这种蔬菜失去的新鲜度为 ，采摘后 30 小时，这种 菜失去的新鲜度为，可得，解得，所以,
令 , 可得，
两边同时去对数，故 小时.故选: B.
9. 【答案】BD
【解析】【分析】分别判断 4 个选择项的奇偶性，排除 A，再判断B、C、D的单调性，排除C.
【详解】A项，函数 的图象不过原点，不关于原点对称，故不是奇函数，故A项错误；
B项,设 ，因为，是奇函数，由幂函数知:是增函数，故是减函数，故B项正确;
C项,函数 是奇函数，但是在和上是减函数，在定义域上不具有单调性，故C项错误；
D项，函数 可化为，
其图象如图:
故 既是奇函数又是减函数，故D项正确.故选: BD.
10. 【答案】CD 【解析】略
11. 【答案】ABD 【解析】略
12. 【答案】ACD 【解析】略
13. 【答案】
【解析】由题意得 ，解得 ，函数的定义域为，故答案为: .
14. 【答案】
【解析】【解析】由 为奇函数，根据定义有，结合是单调函数即可求.
【详解】函数 为奇函数知:，而，
， 即，
又 是单调函数，
，即有，解得.
故答案为: .
15. 【答案】②④ 【解析】略
16. 【答案】 【解析】略
17. 【答案】(1)(2)
【解析】(1) 原式
(2) 原式
18. 【答案】(1) 或(2) .
【解析】(1) 若 , 则或
或
(2) “” 是 “” 的充分条件
①当 时,即时,
②当 时,即时, 满足题意
综上, 的取值范围是.
19. 【答案】(1) (2)
【解析】(1) 函数 的对称抽为
在上单调递减, 在上单调递增
在上的值域为
(2) 函数 的对称抽为, 开口向上; 区间的中点为
①当 即时, 最大值
②当 即时, 最大值
其图象如下:
由图可知:
20. 【答案】(1)(2) .
【解析】(1) 当 时,即
即:解得:
不等式的解集为:
(2) 的定义域为
对恒成立
①当 时,对恒成立, 满足题意;
②当 时,恒成立须满足条件
解得:
综上, 的取值范围是:.
21. 【答案】(1)从第 3 年开始该设备开始全年盈利;(2) ①114 万元.②方案①比较合理.
【解析】(1) .
解不等式 , 得.
.
故从第 3 年开始该设备开始全年盈利;
(2) ①,
当且仅当 时, 即时, 等号成立.
到 2025 年, 年平均盈利额达到最大值, 该设备可获利114 万元.
②, 当时,.
故到 2028 年, 盈利额达到最大值, 该设备可获利 万元.
因为两种方案企业获利总额相同, 而方案①所用时间较短, 故方案①比较合理.
22. 【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)因为 是定义在上的奇函数,
所以
即 ,
解得 ,
所以
(2)
在上单调递减
在上单调递减
函数在上的值域为
(3) 由向左移 1 个单位, 向上移 1 个单位得到, 所以关于对称, 所以令, 则
即:
由 得
在上单调递减
在上单调递减
对任意恒成立
即 对任意恒成立, 令得:
对任意恒成立
令 , 其对称轴为
所以, 实数 的取值范围是