7.3特殊角的三角函数 苏科版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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7.3特殊角的三角函数苏科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.计算的结果为( )
A. B. C. D.
2.如图，是一种折叠桌子，它是由下面的支架、与桌面构成，如图，已知，，则点到地面所在的平面的距离是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，在平面直角坐标系中，正八边形的中心与原点重合，顶点，在轴上，顶点，在轴上，连接，过点作的垂线，垂足为，将绕点顺时针旋转，每次抛转，已知，则第次旋转结束时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知为锐角，，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.计算：的值是
( )
A. B. C. D.
6.下列不等式不成立的是
( )
A. B.
C. D.
7.如图，两根木条钉成一个角形框架，且，，将一根橡皮筋两端固定在点，处，拉展成线段，在平面内，拉动橡皮筋上的一点，当四边形是菱形时，橡皮筋再次被拉长了( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，直角顶点在一次函数的图象上，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与交于点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
9.如图，按顺时针方向旋转，点在坐标原点上，边在轴上，，，把绕点按顺时针方向旋转得到，使得点的坐标是，则在这次旋转过程中线段扫过部分阴影部分的面积为
( )
A. B. C. D.
10.若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
11.已知，且，以，，为边组成的三角形面积等于( )
A. B. C. D.
12.若，则的形状是
( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.在中，若，则的度数是 ．
14.如图，在菱形中，，，分别以、为圆心，为半径作弧，则图中阴影部分面积等于___________．
15.如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则___．
16.在中，已知A、都是锐角，，那么的度数为
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
；
．
18.本小题分
计算：．
解不等式组．
19.本小题分
计算：．
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
先化简、再求值：，其中从，，，中取一个你认为合适的数代入求值．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
计算：；
解不等式组：．
22.本小题分
阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
，，
一般地，当、为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：
例如
根据上述材料内容，解决下列问题：
计算：______；
在中，，，，请你求出和的长．
23.本小题分
计算：计算：；
先化简，再求值：，其中是满足的整数．
24.本小题分
计算：；解不等式组：．
25.本小题分
先化简，再求代数式的值：，其中．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
利用度的余弦值为进行计算．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
2.【答案】
【解析】解：如图，连接，过点作交于点，延长交于点，
由题意可知，
，
，，
、为等边三角形，≌，
，，
，
，
即点到地面的距离为．
故选：．
连接，过点作交于点，延长交于点，根据锐角三角函数求出的长，进而得到的长．
本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】由是正八边形，得为，利用勾股定理求出，过点作轴的垂线，垂足，在中，求出，又因为，得出，求出点的坐标为，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则每旋转次回到初始位置，则第次旋转结束时，回到初始位置，此时点的坐标为，连接，第次旋转结束时点位于上，得，，则点与点关于轴对称，则，
【解答】解是正八边形，
，
在 中，，
如图，过点作轴的垂线，垂足，
在中，，
，
，
点的坐标为，
将绕点顺时针旋转，每次旋转，则每旋转次回到初始位置，
第次旋转结束时，回到初始位置，此时点的坐标为，
连接，第次旋转结束时点位于上，得，，
点 与点关于轴对称，
，
第次旋转结束时，点的坐标为，
故选：．
【点评】本题考查正多边形和圆、坐标与图形变化旋转，解题的关键是掌握相关知识点．
4.【答案】
【解析】解：为锐角，，
，
．
故选：．
先根据为锐角及解答即可．
本题主要考查特殊角的三角函数值，比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是关键．
【解答】
解：，
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，锐角三角函数的增减性，熟记公式是解题的关键，属于基础题 直接根据两角和与差的正弦和余弦公式解答即可．
【解答】
A.，故本选项正确；
B. ，故本选项不成立；
C. ，故本选项正确；
D.，故本选项正确．
故选B．
7.【答案】
【解析】如图，连接，交于点．四边形是菱形，，，，在中，，，，，故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线的作法及性质，一次函数的性质，锐角三角函数定义等知识．
作，垂足为，作轴，垂足为，先求出，，求出，，再根据垂直平分线的作法可得，再用直角三角形的性质和勾股定理求出，，，即可解答．
【解答】
解：如图：作，垂足为，作轴，垂足为，
，
，
在一次函数取点，
则，
，
，，
设与交于点，则由作图可知，
，
，
，
的坐标为．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：作于，
则，
点的坐标是，
，，
，
，
，
，即旋转角为，
，
绕点按顺时针方向旋转得到，
，
阴影部分的面积
，
故选A．
本题考查了解直角三角形，旋转的性质、扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求出规则图形的面积是解此题的关键．
过作于，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积，分别求出即可．
10.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
又，都是锐角，
，，
此三角形的形状是等边三角形．
故选：．
根据非负数的性质可知，；根据，都是锐角可知，，从而判断三角形的形状．
考查了三角形的形状问题，熟记特殊角的三角函数值和非负数的性质是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了非负性的性质及勾股定理逆定理的应用，先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值求出，的值，再根据勾股定理的逆定理判断出其形状，从而求解面积．
【解答】
解：，
，，
，，．
又，
是直角三角形，且，为两条直角边，
的面积．
故选A．
12.【答案】
【解析】解：，
，，
则，，
故，，
则，
故的形状是钝角三角形．
故选：．
直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出、的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：由题意得，，，
即，，
解得，，，
．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查菱形的性质，特殊角的函数值，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型．
在菱形中，于，得出则，，得出，再用割补法求面积．
【解答】
解：如图：
在菱形中，于，
则，
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形外角性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，正确作出图形是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，推出是等腰直角三角形，得到，即可解答．
【解答】
解：如图，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】，
，，，，
，，．
17.【答案】解：，
，
，
或，
，；
原式
．
【解析】利用因式分解法求解即可；
将特殊锐角的三角函数值代入，再计算乘方和后面的乘法，继而进一步计算即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力及实数的运算能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】解：原式；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以，该不等式组的解集为．
【解析】先按照零指数幂、负整数指数幂的意义、二次根式的性质、特殊角的三角函数值逐项化简，再算加减即可；
分别求出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到”的原则即可获得答案．
本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂的意义、二次根式的性质、特殊角的三角函数值以及解一元一次不等式组等知识，熟练掌握相关知识和运算法则是解题关键．
19.【答案】解：原式
；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
把解集在数轴上表示出来：
该不等式组无解；
原式
，
，，，
当时，原式．
【解析】分别根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则，分母有理化计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的，最后结合分式有意义的条件选取合适的的值代入求值．
本题主要考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】解：
，
当时，
原式．
【解析】先关键分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，再算减法，求出的值后代入，即可求出答案．
本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21.【答案】解：原式
；
解不等式得：；
解不等式得：；
原不等式的解集为，
【解析】原式第一项利用零指数幂的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项利用平方根的意义计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．
先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
22.【答案】解：；
中，，
，
，
，
，
．
【解析】解：
，
故答案为：．
见答案
本题考查了锐角三角函数的定义，利用特殊的三角函数值求线段的长度是解本题的关键．
根据公式可求．
根据锐角的三角函数的定义，求和的值．
23.【答案】解：原式
；
原式
，
是满足的整数，，，，
，，，
时，原式．
【解析】分别根据绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算；
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再取出合适的的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，涉及到绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键．
24.【答案】解：原式
；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【解析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式，去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
25.【答案】解：
，
，
当时，原式．
【解析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法变成乘法，算乘法，求出的值，最后代入求出答案．
本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值和负整数指数幂等知识点，能正确根据实数和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
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