5.2二次函数的图形和性质 苏科版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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5.2二次函数的图形和性质苏科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知抛物线过、两点，则下列关系式一定正确的是( )
A. B. C. D.
2.关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图象经过点；
乙：函数图象经过第四象限；
丙：当时，随的增大而增大．
则这个函数表达式可能是( )
A. B. C. D.
3.已知点、、在下列某一函数图象上，且，那么这个函数是( )
A. B. C. D.
4.如图是二次函数的图像，使成立的的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
5.把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )
A. B.
C. D.
6.若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为
( )
A. B. C. D.
7.若抛物线过，两个点，则抛物线的对称轴是
( )
A. B. C. D.
8.抛物线的顶点坐标为
( )
A. B. C. D.
9.函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：
函数图象关于轴对称；
函数既有最大值，也有最小值；
当时，随的增大而减小；
当时，关于的方程有个实数根；
其中正确的结论个数是．( )
A. B. C. D.
10.已知二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为，则下列结论正确的是
( )
A.
B.
C.
D.
11.若关于的二次函数，当时，随着的增大而减小，且关于的分式方程有正数解，那么所有满足条件的整数的值有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12.若、，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.若二次函数的图象经过，，三点，则、、大小关系是 用“”号连接
14.小明同学在用描点法画二次函数图象时，列出了下面表格：
则的值是 ．
15.下列关于二次函数为常数的结论：该函数的图象与函数的图象形状相同；该函数的图象一定经过点；当时，随的增大而减小；该函数的图象的顶点在函数的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．
16.已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知二次函数是常数．
若，该二次函数图象的顶点坐标为______；
当时，该二次函数的最小值为______；
当时，该二次函数的最小值为______．
当时，该二次函数的最小值为，求常数的值．
18.本小题分
已知二次函数．

求出二次函数图象的对称轴和与轴的交点坐标；
在平面直角坐标系中画出图象，请结合图象直接写出时，的取值范围．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、．
求一次函数和反比例函数的表达式；
求面积的最大值．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为点．
顶点的坐标为______；用含的式子表示
直线：分别与轴和轴交于点和点，点在第四象限．
当面积最大时，求抛物线的解析式；
在的条件下，把抛物线沿轴向上平移个单位长度得到抛物线，若抛物线与的边有且只有两个交点，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知二次函数．
若，求该二次函数图象的对称轴及最小值；
若对于任意的，都有，求的取值范围．
22.本小题分
已知二次函数．
二次函数图象的对称轴是直线______；
当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式；
若，对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
23.本小题分
已知：二次函数．
写出该函数图象的顶点坐标；
求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而增大？
24.本小题分
设求证：当是、、、的平均数时，的值最小．
25.本小题分
已知：二次函数的图象经过．
求此二次函数的表达式；
用配方法将其化为的形式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．依据抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，解答即可．
【解答】
解：，
抛物线的开口向上，对称轴为轴，在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离，
．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：把点分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意；
又函数过第四象限，而只经过第一、二象限，故选项C不符合题意；
对于函数，当时，随的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项A不符合题意．
故选：．
结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项的函数解析中，再判断的大小，根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断，，之间的关系，再判断即可．
【解答】
解：，因为，所以随的增大而增大，所以，不符合题意；
B.，当和时，相等，即，故不符合题意；
C.，当时，随的增大而减小，时，随的增大而减小，所以，不符合题意；
D.，当时，随的增大而增大，时，随的增大而增大，所以，符合题意，
故选：．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．
【详解】解：二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，准确计算是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点 ， ， 到对称轴的距离大小求解．
【详解】解： ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的对称性；所以由题意可知点、关于二次函数的对称轴对称，进而问题可求解．
【详解】解：由抛物线 过 ， 两个点，可知点、关于二次函数的对称轴对称，
抛物线的对称轴是直线 ；
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可解答．
【详解】解： 为二次函数的顶点式，
由顶点式可知该抛物线的顶点坐标为，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要能根据顶点式直接写出顶点的坐标．
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题，根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
【详解】解：如图：
如图所示：函数图象关于轴对称，则正确；
如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误；
如图所示：当 时，随的增大而减小，则正确；
如图所示：当 时，关于的方程 有个实数根，则正确；
则正确的个数有个，故选C．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，交轴的正半轴，
，，
，故选项A错误，不合题意；
顶点坐标为，
对称轴为直线，
，故选项B错误，不合题意；
时，，
，故选项C错误，不合题意；
，
，
函数的最大值为，
，
，故选项D正确，符合题意．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况和二次函数的最值进行推理即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：二次函数的对称轴为：，当时，随着的增大而减小，
，
；
方程两边同时乘得：，
解得：，
，且，
且，
且，
为整数，
，，，，．
故选：．
根据二次函数的性质列出不等式求得的范围，解分式方程，根据分式方程的解为正数且不是增根，列出不等式，求出的范围，最后根据为整数，写出的值即可．
本题考查了二次函数的性质，分式方程的解，注意分式方程要检验．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线开口方向及对称轴分类讨论，，可得的取值范围．【解答】
解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
解得，
，
，
解得．
综上所述：的取值范围是．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：的对称轴为直线，
根据二次函数图象的对称性可知，中，，
，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
因为，于是
故答案为：
根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上；利用对称轴左侧随的增大而减小，可判断，根据二次函数图象的对称性可判断；于是
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
14.【答案】
【解析】解：由上表可知函数图象经过点和点，
对称轴为，
当时的函数值等于当时的函数值，
当时，，
当时，
故答案为：
根据题目提供的满足二次函数解析式的、的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．
本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用二次函数的性质一一判断即可．
【解答】
解：函数为常数与函数的二次项系数相同，
该函数的图象与函数的图象形状相同，故结论正确；
在函数中，令，则，
该函数的图象一定经过点，故结论正确；
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故结论错误；
抛物线开口向下，当时，函数有最大值，
该函数的图象的顶点在函数的图象上，故结论正确，
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出是解题的关键．
根据题意得，解不等式求得，根据二次函数的性质把代入代数式即可求得答案．
【解答】
解：抛物线，
顶点坐标为，
抛物线过点，两点，
，
线段的长不大于，当时，，
由图可知：，
，
的最小值为：，
故答案为．

17.【答案】解：；；；
对称轴为，
当时，且在时有最小值，
时，有最小值，
，解得；
当时，且在时有最小值，
时，有最小值，
，
，
，
；
当时，且在时有最小值，
时，有最小值，
，
解得，舍去．
综上所述，或．
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、最值公式、顶点坐标公式．
把代入，得，利用顶点坐标公式求解即可；
，对称轴是直线，在之间，故可求最小值；
，在时，随增大而增大，故可求最小值；
根据最小值，即可求得值，根据范围判断即可．
【解答】
解：当时，，
，
，
顶点坐标为，
故答案为：；
，
所以最小值为，
故答案为：；
，
当时，在对称轴的右侧，随的增大而增大，
当时，取最小值，
故答案为：；
见答案．
18.【答案】解： ，
二次函数图象的对称轴为： ，
当 时， ，
与 轴的交点坐标为 ；
二次函数 图象的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
当 时， ，
解得： ， ，
二次函数图象与 轴交点坐标为 或 ；
图象如下：

时，自变量 的取值范围： ．

【解析】【分析】利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出对称轴；令 ，可得代入抛物线解析式，解方程即可得出与 轴交点坐标；
根据图象与 轴的交点坐标，可确定 时， 的取值范围．
【点睛】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式： ，顶点坐标为 ，对称轴 ，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围．
19.【答案】解：把、代入一次函数得，
，解得，，
一次函数的关系式为，
当时，，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
即一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；
点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，
点，点，
，
，
当时，最大，
即面积的最大值是．
【解析】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是求函数关系式的常用方法，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解，是解决问题的基本思路．
由、的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，确定反比例函数的关系式；
根据题意，要使三角形的面积最大，可用点的横坐标，表示三角形的面积，利用二次函数的性质求最值即可．
20.【答案】解：
分别与轴和轴交于点和点，
当时，当时，
，，
过点作轴于点，与交于点，如图所示：
由得的坐标为，
，
，
，
面积有最大值，
，
当时，最大，，
点在第四象限，符合题意，
此时
由得抛物线为，
沿轴向上平移个单位长度得到抛物线，即，
当与直线只有一个交点时，
整理得，
，
解得：，
此时与有一个交点，与有一个交点，共三个交点，不符合题意，
由图象得：当时，与的边、各有一个交点，共两个交点，符合题意
当抛物线经过点时，将代入，
解得：，
根据图象得：当时，抛物线与无交点，与、各有一个交点，满足题意
当过点时，将代入，
解得：，此时与的边只有一个交点，
当时，与的边，各有一个交点
综上可得：的取值范围为或．
【解析】【分析】
本题主要考查一次函数与二次函数综合问题，包括二次函数的基本性质，面积问题，交点问题等，理解题意，综合运用这些知识点结合函数图象求解是解题关键．
将解析式变形为顶点式即可求解
由一次函数解析式确定，，过点作轴于点，与交于点，得出，，结合图象表示出三角形的面积，然后根据最值情况求解即可
根据题意得出的解析式为：，分三种情况：当与直线只有一个交点时当抛物线经过点时当过点时结合函数图象分别求解即可得出结果．
【解答】
解：，
，
故答案为：
见答案．
21.【答案】解：当时，，
，
对称轴为，当时，函数值最小，最小值为；
，
对称轴为直线，
当，即时，
当时，随的增大而增大，
当时，最小，最小值为，
当时，即，
当时有最小值，，
令，解得，
当时，即，
当时，随的增大而减小，
当时，，解得，
，
综上所述，的取值范围为．

【解析】本题考查二次函数图象与性质及二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
把二次函数解析式转化为顶点式即可求解；
求出抛物线对称轴为直线，再分，，三种情况进行讨论．
22.【答案】解：；
当时，
对称轴为，
当时，有最小值为，当时，有最大值为，
．
，
二次函数的表达式为：；
当时，同理可得
有最大值为；
有最小值为，
，
，
二次函数的表达式为：；
综上所述，二次函数的表达式为：或；
，对称轴为，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，和时的函数值相等，
，时，均满足，
，，

【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
由对称轴是直线，可求解；
分或两种情况讨论，求出的最大值和最小值，即可求解；
利用函数图象的性质可求解．
【解答】
解：由题意可得：对称轴是直线，
故答案为：；
见答案；
见答案．
23.【答案】
该函数图象与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 和 ；
当 时， 随 的增大而增大．

【解析】【分析】根据二次函数的性质，即可求解；
令 和 ，解方程求解即可；
根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】二次函数
该函数图象的顶点坐标为 ；
二次函数
当 时， ，
该函数图象与轴的交点坐标为 ；
当 时， ，
解得 ，
该函数图象与轴的交点坐标为 和 ；
二次函数 ，二次项系数为
开口向上，
顶点坐标为 ，
当 时， 随 的增大而增大．
【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
24.【答案】证明：
，函数图象开口向上
当时，取最小值
当是、、、的平均数时，的值最小．
【解析】本题考查算术平均数，二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数最值的求法．
将看作关于的二次函数，从而转化成求二次函数的最值来解决．
25.【答案】


【解析】【分析】把点 代入函数解析式即可求；
利用配方法化成顶点式即可．
【详解】二次函数 的图象经过
将 代入 得，
解得 ，
；

配方得， ．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式和配方法，解题关键是熟练掌握待定系数法和配方法，准确进行计算．
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