5.3用待定系数法确定二次函数表达式 苏科版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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5.3用待定系数法确定二次函数表达式苏科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.二次函数为常数的部分对应值列表如下：
则代数式的值为
( )
A. B. C. D.
2.已知二次函数的与的部分对应值如表：
下列结论：抛物线的开口向上；抛物线的对称轴为直线；当时，；抛物线与轴的两个交点间的距离是；若，是抛物线上两点，则，其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
3.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为( )
A. B.
C. D.
5.设函数是实数，，当时，；当时，，( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.已知二次函数是常数，的图象经过，，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的( )
A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为
7.抛物线与轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则的函数关系式为
( )
A. B.
C. D.
8.已知某二次函数上两点，，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是( )
A. B. C. D.
9.如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点、平移后的对应点分别为点、，若曲线段扫过的面积为图中的阴影部分，则新图象的函数表达式是
( )
A. B.
C. D.
10.已知点向右平移个单位长度得到点，与两点均在抛物线上，且这条抛物线与轴的交点的纵坐标为，则这条抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
11.已知二次函数的图象是常数与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上二次函数中是常数的自变量与函数值的部分对应值如下表：
下列结论：抛物线的对称轴是直线；这个函数的最大值大于；点的坐标是；当，时，其中正确的是( )
A. B. C. D.
12.二次函数为常数，且中的与的部分对应值如下表：
下列结论：；
当时，的值随的增大而减小；
是方程的一个根；
当时，，
其中正确的个数为
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.二次函数的图象经过，，三点．
下面四个结论：
抛物线开口向下；
当时，取最小值；
当时，一元二次方程必有两个不相等实根；
直线经过点，，当时，的取值范围是．
所有正确结论的序号是 ．
14.写出一个开口向上，与轴交于点的抛物线的函数表达式： ．
15.请写出一个开口向下，并且与轴交于点的抛物线的表达式
16.抛物线的对称轴是直线，那么抛物线的解析式是_______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知二次函数的图象经过点，且当，有最大值求该二次函数的关系式．
18.本小题分
已知抛物线经过点和．
求、的值；
将该抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
19.本小题分
已知二次函数的图象如图所示，求出该函数的解析式．
20.本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点，直线与抛物线的另一个交点为．
求抛物线的解析式；
连接、，判断是什么特殊三角形，并说明理由；
在坐标轴上是否存在一点，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知二次函数几组与的对应值如下表：
求此二次函数的表达式；
直接写出此二次函数图象上与对称的点的坐标；
当时，直接写出的取值范围．
22.本小题分
已知二次函数与的一些对应值如下表：
求此二次函数的表达式；
若此二次函数图象上的点到对称轴的距离是，求出符合条件的点的坐标；
当时直接写出的取值范围．
23.本小题分
已知抛物线为常数经过点，求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的顶点坐标与对称轴．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．
求抛物线的解析式；
若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为求关于的函数关系式，并求出的最大值．
25.本小题分
如图，已知二次函数的图像顶点是，且过点．
求此二次函数的解析式；
已知直线与该二次函数图像相交于，点，求两点的坐标．
写出当在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【答案】
本题考查二次函数解析式的求法，代数式求值；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
将表中的三组，值代入表达式即可求得，，的值，再将求得的，，的值代入代数式求解即可；
【解析】
解：将，；，；，代入，
得到
，
故选A．
2.【答案】
【解析】解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，所以正确；
抛物线与轴的交点坐标为，，由表格可知之间对应的值为负值，
当时，，所以错误；
抛物线与轴的两个交点间的距离是，所以正确；
若，是抛物线上两点，
则，所以错误．
故选：．
先利用交点式求出抛物线解析式，则可对进行判断；利用抛物线的对称轴为直线可对进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为，可对进行判断；根据二次函数的性质可对进行判断．
本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的交点式解析式，二次函数的对称性、增减性以及待定系数法，是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：根据图示知，二次函数的图象经过原点，
，
解得，；
又该函数图象的开口方向向下，
，
．
故选：．
根据图示知，抛物线的图象经过，所以将点代入方程，利用待定系数法求二次函数解析式．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来解答问题．
4.【答案】
【解析】解：由抛物线知，抛物线顶点坐标是．
由抛物线知，．
该抛物线关于点成中心对称的抛物线的顶点坐标是．
该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为：．
故选：．
由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，易得抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出新抛物线的顶点坐标是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式；熟练掌握待定系数法是解题的关键．
当时，；当时，；代入函数式整理得，将的值分别代入即可得出结果．
【解答】
解：当时，；当时，；
代入函数式得：，
，
整理得：，
若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，则，故C正确；
若，则，故D错误；
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，正确求得抛物线平移前后的解析式是解题的关键．先判断抛物线经过点、，然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出平移后的抛物线的解析式，令，得到解析式纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可求得结论．
【解答】
解：，在直线上，
或是抛物线的顶点，
，的横坐标相同，
抛物线不会同时经过，点，
抛物线过点和，把，代入，
得解得
二次函数为．
顶点始终在直线上，
抛物线向左、向下平移的距离相同，
设平移后的抛物线为，
令，则，
抛物线与轴交点纵坐标的最大值为，
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的形状与系数的关系，本题用交点式比较容易解．
根据抛物线的形状与抛物线相同，得到；根据与轴的两个交点为，，利用交点式求表达式即可．
【解答】
解：根据题意，
所以设，
求出解析式，
即是．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：由题意，当二次函数开口向上时，在对称轴左边，随的增大而减小；在对称轴右边，随的增大而增大．
当时，，
．
．
当时，随的增大而增大．
当时，，
．
．
当时，随的增大而减小．
抛物线的对称轴为，开口向上．
故选：．
依据题意，由二次函数的图象与性质即可判断得解．
本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
9.【答案】
【解析】解：函数的图象过点，，
，，
，，
过作轴，交的延长线于点，则，
，
曲线段扫过的面积为图中的阴影部分，
，
，
即将函数的图象沿轴向上平移个单位长度得到一个新函数的图象，
新图象的函数表达式是．
故选：．
先根据二次函数图象上点的坐标特征求出、两点的坐标，再过作轴，交的延长线于点，则，，根据平移的性质以及曲线段扫过的面积为图中的阴影部分，得出，然后根据平移规律即可求解．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出的长度是解题关键．
10.【答案】
【解析】由抛物线与轴交点的纵坐标为，得，．点向右平移个单位长度得到点，．与两点均在抛物线上，解得故抛物线的表达式是，抛物线的顶点坐标为故选A．
11.【答案】
【解析】解：将，代入得，
解得，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
错误，正确．
点坐标为，
点坐标为，错误．
，，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
正确．
故选：．
通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数函数的性质求解．
本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握二次函数的性质．
12.【答案】
【解析】解：将，，分别代入，
得
解得，
，
，故正确；
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故错误；
方程可化为，
解得或，
是方程的一个根，故正确；
不等式可化为，
解得，故正确，
综上所述，正确的结论有．
故选B．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质．
待定系数法求得二次函数的解析式，即可得、、的值，可判断；根据二次函数的顶点式，结合二次函数的性质可判断；将、、的值代入方程，解方程求得方程的根，可判断；将、、的值代入不等式，解不等式可判断．
13.【答案】
【解析】【分析】将点 的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为 画出函数图象，进而求解．
【详解】将点 的坐标代入抛物线表达式得
，解得 ，
故抛物线的表达式为 函数图象如下：
，故抛物线开口向上，故错误，不符合题意；
抛物线开口向上，顶点为
当 时，取最小值 ，故正确，符合题意；
函数的最小值为 ，
故 时，直线 和 有一个或没有交点，
故一元二次方程 无解或有两个相等实根，故错误，不符合题意；
观察函数图象，直线 经过点 ，
当 时， 的取值范围是 故正确，符合题意；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解．
14.【答案】 答案不唯一
【解析】【分析】根据二次函数的性质，二次项系数大于，常数项为即可．
【详解】解：由题意可得函数表达式为 答案不唯一，
故答案为： 答案不唯一．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记 时，抛物线开口向上； 时，抛物线开口向下，是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下，与轴交点的纵坐标即为常数项，然后写出即可．
【详解】抛物线开口向下，并且与轴交于点
二次函数的一般表达式 中，，，
二次函数表达式可以为： 答案不唯一．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握开口方向、与轴的交点与二次函数二次项系数、常数项的关系是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴是直线，
，
解得：，
，
故答案为：．
根据题意得出，，求出，代入即可．
本题考查了二次函数的性质的应用，难度不大．
17.【答案】解：根据题意知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为

【解析】由二次函数当时，有最大值是，得到二次函数的顶点坐标为，设出二次函数的顶点式方程，将代入求出的值，即可求出二次函数的解析式．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．
18.【答案】解：将点和分别代入，得
．
解得．
所以，．
由知，该抛物线解析式为：，将该抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到新的抛物线解析式为：或．
【解析】利用待定系数法确定函数关系式；
根据平移规律“上加下减，左加右减”写出新抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
19.【答案】解：抛物线的对称轴为，
则抛物线的顶点坐标为 ，
设解析式为 ，
由于抛物线过点 ，
则 ，
解得，
故该函数的解析式为 ．
【解析】本题考查二次函数的图象，待定系数法求二次函数的解析式．
求出抛物线对称轴，得出顶点坐标为，可设二次函数的解析式为，再把点代入即可得出二次函数的解析式．
20.【答案】解：抛物线的顶点坐标为，
可设抛物线顶点式为，
将点代入顶点式得，
解得，
；
是直角三角形，理由如下：
直线过点，
设直线的解析式为，
点是对称轴与轴的交点，
，
把点代入，
则，
解得，
直线的解析式为，
联立
解得
，
，，，
，
是直角三角形；
存在，点的坐标为，或．
当点在轴上时，设，
，，，
若为斜边，则有，
解得，
，
若为斜边，则有，
解得，
；
当点在轴上时，设，
，，，
若为斜边，则有，
解得，
，
若为斜边，则有，
解得与点重合舍去，
综上所述，点的坐标为，或．
【解析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理的逆定理，给勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质，能够利用勾股定理逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．
由题意可设抛物线顶点式为，然后将点代入求解即可；
先求出直线的解析式，然后联立直线的解析式和抛物线的解析式得出点的坐标，最后利用勾股定理证明即可；
分两种情况讨论：当点在轴上时，当点在轴上时，根据勾股定理进行求解即可．
21.【答案】解：由已知表中的数据可分析出，此二次函数图象的对称轴为，顶点坐标为，
设二次函数的表达式为，
选点代入，得，解得 ，
所求二次函数表达式为，即
由二次函数对称轴为直线，
二次函数图象上与对称的点的坐标为
当时，结合图表可知或，
抛物线开口向上，
当时，或．

【解析】本题考查由二次函数的对应数值求函数的表达式，同时考查二次函数的对称性、增减性此题还考查了学生根据二次函数的性质观察数据、运用数据的灵活性．
22.【答案】解：由已知表中的数据可分析出，此二次函数图象的对称轴为，顶点坐标为，
可设二次函数的表达式为，
选点代入，解得，
所求二次函数表达式为，即．
由二次函数对称轴为直线，
距离对称轴距离为的点的横坐标为或，
将代入抛物线中，得，
距离对称轴距离为的点为，．
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，有最小值为，当时，有最大值 ，
当时， ．

【解析】 本题考查由二次函数的对应数值求函数的表达式，同时考查二次函数的对称性、增减性与最值．
23.【答案】解：把，分别代入得，
解得，
抛物线解析式为，
，
抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线．
【解析】先把点和点的坐标代入得、的方程组，解方程组求出、，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标与对称轴．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
24.【答案】解：把，代入得，
，解得，
抛物线的解析式为；
如图，过点作，垂足为，
抛物线与轴的交点坐标为，即，
又，
，，，
，
，
当时，，
答：与的函数关系式为，的最大值为．
【解析】将，两点坐标代入可求出、的值即可确定关系式；
根据面积法得出关于的函数关系式，再利用函数的性质得出最大值．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，用待定系数法求出二次函数的关系式是解决问题的关键．
25.【答案】解：二次函数的图象顶点是 ，
设二次函数表达式为 ，
点 代入，得： ，
解得： ，
二次函数表达式为： ；
解：由题意可得： ，
解得： ，，
则 ， ，
， ；
解：由图像可得：
当一次函数图像在二次函数图像上方时， ，
当 时，一次函数的值大于二次函数的值．

【解析】本题考查了二次函数与一次函数综合，用待定系数法求二次函数的解析式，是中等难度题，要熟练掌握二次函数的图像和性质．
根据顶点坐标设出顶点式，再将点坐标代入，即可求出解析式；
令 ，解方程即可得到、的横坐标，从而计算出纵坐标；
根据图象可得出当一次函数图像在二次函数图像上方时的取值范围．
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