6.5相似三角形的性质 苏科版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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6.5相似三角形的性质苏科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知：在四边形中，，，点是线段上一点，且平分，平分，给出下面四个结论：
；；；
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，连接，若，下列结论中，错误的是
( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，在中，，，，，则的长为
( )
A. B. C. D.
4.如图，图是可折叠的熨衣架的实物图，图是它的侧面示意图，与相交于点，，根据图中的数据可得的值为
( )
A. B. C. D.
5.如图所示，中，点、分别是、边上的点，且，，的面积是，则四边形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在中，点是边上的一点，若，，，的面积为，则的面积为
( )
A. B. C. D.
7.已知∽，：若，则 的长为
( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，已知点，，点为线段的中点，且， 轴，则点 的坐标为
( )
A. B. C. D.
10.如图，函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于，连结若，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，，相交于点，，，垂足分别为点，，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
12.如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点，，连接、，与相交于点，给出下列结论：；；；∽其中正确结论的个数是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在 中，以为直径作，经过点，且与交于点，连接并延长，与交于点，若是的中点，，则 ．
14.如图，点，分别在的边，上，∽，，分别是，的中点，若，则 ．
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，且满足，当是等腰三角形时，点的坐标为 ．
16.如图，在中，，矩形的顶点、在上，点、分别在、上，若，，且，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在中，，，点在上且，垂足为．
求证：；
若，则的长是______．
18.本小题分
如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
求证：∽；
若，，求的长．
19.本小题分
如图，，相交于点，．
求证：．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接已知点，．
求、的值；
求的面积．
21.本小题分
【问题背景】如图，在和中，，，由已知可以得到：
________≌________；
________∽________．
【尝试应用】如图，在和中，，，
求证：∽．
【问题解决】如图，在和中，，，与相交于点，点在上，，求的值．
22.本小题分
如图，在中，，以为直径的交边于点，交边于点过点作的切线，交于点，交的延长线于点，连接．
求证：；
若，求的度数．
若，，求的半径．
23.本小题分
如图，在四边形中，，，，是的中点，的延长线交于点．
求证：∽；
若，求证：：；
若，，求的长直接写结果，不写过程．
24.本小题分
如图，中，，点在边上，点在边上，且．
求证：∽；
若，，，如图，求的长．
25.本小题分
已知：如图，在中，点在边上，，与、分别相交于点、，．
求证：∽；
连接，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据 和 平分 ， 平分 推出 即可证明 ，可证明正确；根据 推出 ，根据 推出 ，从而推出 ，即可推出 ，可证明正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定 后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出 可证明正确，不正确；即可选出正确答案．
【详解】 ，

平分 ， 平分
，
，
；
故正确；
，
，
，
，
，
，
故正确；

，
，
，故正确；
故不正确；
正确的有．
故选：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
，
，
，
，故、选项正确，不符合题意；
设点到的距离为，点到的距离为，点到的距离为，
，，
，
，故选项错误，符合题意；
，
，
，故选项正确，不符合题意；
故选：．
易证明∽，根据相似三角形的性质即可判断、选项；设点到的距离为，点到的距离为，点到的距离为，根据平行线的性质可得，以此即可判断选项；根据平行线的性质可得，以此即可判断选项．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例时解题关键．
3.【答案】
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，即： ，
解得： ，
，
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
由，得∽，根据相似三角形相似比的平方等于面积比求出的面积，即可求出四边形的面积．
【解答】
解：，
∽，
，
，
，
的面积是，
，
．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积利用相似三角形的性质求出的值是解题的关键由、可得出∽，根据相似三角形的性质结合，可求出的值，将其代入中即可求出结论．
【解答】
解：，，
∽，
．
，
，
．
7.【答案】
【解析】解：∽，：：，
：：，
，
，
故选B．
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得相似比后即可求得线段的长．
此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的面积的比等于相似比的平方，难度不大．
8.【答案】
【解析】解：过作轴于，过作轴，轴，
，
点，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故选：．
过作轴于，过作轴，轴，得到，根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质求出点坐标，即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形的性质以及相似三角形的判定与性质．
先根据题意得到，，，再证明∽，可得，即，于是可得，由此可得答案．
【解答】解：，，
，，
点为线段的中点，
，
，轴，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
点 的坐标为．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
点是的中点，
，
，
，，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，
的周长，
故选：．
过点作于，由直角三角形的性质可得，由平行线分线段成比例可得，，由勾股定理可求，即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】由 ，得 ，而 ，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明 ，得 ，再由 ，求得 ，于是得到问题的答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
；
故选：．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明 是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得，故正确；根据，得，是等边三角形，易得是等边三角形，，，得，所以正确；通过证明，可得，，可证∽，故正确；由相似三角形的性质可得，故错误，即可求解．
【解答】
解：是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，故正确；
是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
∽，故正确；
，
，
，
，
根据勾股定理可得，
，
，故错误，
故选：．
13.【答案】
【解析】解：连接，，
四边形是平行四边形，
，，
是中点，
，
∽，
：：：，
，
是的直径，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
连接，，由圆周角定理得到，是直角，由∽，得到：：：，即可求出的长，由直角三角形的性质得到，由勾股定理即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
【解答】
解：，分别是，的中点，
、分别为、的中线，
∽，
，
，
故答案为：．
15.【答案】 或
【解析】【分析】由题意知， ，点在线段 上，分两种情况：当 时，点是线段 的垂直平分线与 的交点，即点是 的中点；当 时，利用相似三角形的性质即可求得点的坐标．
【详解】解： ，
，
，点在线段 上．
点的坐标为 ，
，由勾股定理得： ；
如图所示，当 时，点是线段 的垂直平分线与 的交点，即点是 的中点，
点是 的中点，
点的坐标为 ；
如图所示，当 时，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
， ，
，
点的坐标为 ；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用．
16.【答案】
【解析】解：，设，则，
四边形是矩形，
，
∽，
，即，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
即，
解得：或舍，
，
故答案为：．
根据矩形的性质得到，证明∽，可得，证明≌，得到，在中，利用勾股定理求出值即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到的长．
17.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
．
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质可得，再利用垂直定义可得，从而利用三角形的外角可得，然后证明∽，利用相似三角形的性质进行计算即可解答；
利用的结论可得，从而可得，然后在中，进行计算即可解答．
【解答】
见答案；
，，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
18.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
∽；
解：是的中点，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
∽，
，
．
【解析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
由矩形性质得，进而由平行线的性质得，由于，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
由是的中点，求得，再由勾股定理求得，最后根据相似三角形的性质求得．
19.【答案】解： ，


∽

【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握运用两角对应相等的两个三角形相似的判定方法是解题的关键．
20.【答案】解：如图，作轴于，
则∽，
，
，
，
点，
，
，
点在一次函数的图象上，
，
，
当时，，
，
点在反比例函数的图象上，
；
作轴于，
．
【解析】由点在一次函数的图象上，代入求得，作轴于，则∽，得出的横坐标为，代入直线关系式即可求出的坐标，从而求出的值；
根据三角形的面积公式代入计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及三角形相似的判定与性质，找出的坐标是解题的关键．
21.【答案】解：【问题背景】；；
；；
【尝试应用】证明，，
∽，
，，
，，，
∽；
【问题解决】如图，连接．
由【尝试应用】知∽，
，，
，，
．
，
∽，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握基本几何模型--旋转型相似是解题的关键．
【问题背景】根据全等三角形的判定和相似三角形的判定可得答案；
【尝试应用】首先证明∽，得，，则，，从而可证∽；
【问题解决】连接，由【尝试应用】知∽，所以，再证∽，得．
【解答】
解：【问题背景】和都是等腰直角三角形，
∽，，，，
，即，
在和中，
≌．
故答案为：；；；；
【尝试应用】见答案；
【问题解决】见答案．
22.【答案】证明：连接，
为直径，
，

，
．
解：连接．
是切线，是半径，
，

，

，
点、、、都在上，
，
解：，
，
，
，
，
，
∽，
，
设的半径是，则
，
，即的半径是．
【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等相关知识，解答此题的关键是掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等相关知识．
根据圆周角定理可知，再根据三角形三线合一的性质即可求证．
根据切线性质可得，又根据三角形内角和定理可得，因为点、、、都在上，根据圆内接四边形的性质可得，即可求解．
根据相似三角形的判定与性质可得，设的半径是，可得，求解即可．
23.【答案】证明：，是的中点，
，
，
，
，
又，
，
，
∽；
证明：连接，
，是的中点，
，
，
，
，
由知，
，
：：，：：，
又，
：：；
解：理由如下：
延长与的延长线交于点，如图，
，
，
，，
≌，
，，
，
设，，
则，，，，
∽；
，
即，
，
，
，
∽，
，
即，
，
消去得，
分解因式得，
，
，
解得舍或，
．
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，再根据平行线性质与等腰三角形的性质得，再根据相似三角形的判定得结论；
连接，根据等腰三角形的性质得，由，根据三角形的内角和定理求得，进而得：：，：：，结合，便可得：：；
延长与的延长线交于点，证明得≌，得，，设，，由∽用、表示，再证明∽，由相似比得出、的方程，解方程便可求得结果．
本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，关键是证明三角形相似．
24.【答案】
，，又
∽
由得，
∽
，即

【解析】
根据推出，根据三角形内角和定理推出，即可证明∽；
根据平行线的性质推出，证明∽，由形似三角形的性质即可求出．
本题主要考查了相似三角形，涉及了三角形内角和定理与平行线的性质等知识点，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】证明：．
，且，
∽，
，
，
，
，且，
∽；
如图：
∽，
，且，
∽，
，
，
，
，
．
【解析】通过证明∽，可得，由平行线的性质可得，即，且，可证∽；
由相似三角形的性质可得，且，可证∽，可得，由平行线分线段成比例可得，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
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