重庆市荣昌区2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试题解析
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.)
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求集合A，再根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：，所以.
故选：B.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据含有量词的否定得到其否定形式，进行判断即可.
【详解】，的否定为“，”.故选：D
3.已知函数则（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，代入求值可得答案.
【详解】因为所以．
故答案为：B
4.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据函数的单调性和奇偶性确定正确答案.
【详解】、是奇函数，不符合题意.
在上单调递减，不符合题意.
是偶函数，且，
所以在上单调递增.
故选：D
5.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）
【解答】解：①当x＜0时，
f（x）＝＜0，
即f（x）∈（﹣∞，0）；
②当x≥0时，
f（x）＝2x﹣a≥1﹣a，
即f（x）∈[1﹣a，+∞）；
∵函数的值域为R，
∴（﹣∞，0）∪[1﹣a，+∞）＝R，
故1﹣a≤0，故a≥1；
故实数a的取值范围是[1，+∞），故选：D．
.答案 C
6.命题意图 本题考查函数模型的应用
解析 根据题意，所以，所以，所以，得．
7.设，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】指数函数，为减函数，
∴，
∵幂函数为增函数，
∴，
∴，
∵对数函数为减函数，
∴，即，
∴.
故选：A.
8.已知两个正实数x，y满足，则的最大值是（ ）
A． B． C．6 D．9
【答案】B
【解析】因为正实数x，y满足，则，
当且仅当时，等号成立.
故选B.
二 、多选题（本小题共四小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多个符合要求的选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.已知实数a，b，c，若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】A选项：因为，所以，故A正确；
B选项：因为，，所以，故B错；
C选项：因为，所以，故C错；
D选项：因为，所以，故D正确.
故选AD.
10.下列命题是真命题的是（ ）
A.函数与是同一函数
B.函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，
C. 不等式的解集是
D. 设a，，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】CD
11．已知，函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】因为，即，
所以，
当时，则，
指数函数在上单调递减，且过点；
对数函数在单调递增且过点，将的图像关于轴对称得到的图像，
则在上单调递减且过点，故A符合题意；
当时，，
同理可得，指数函数在上单调递增，且过点，
在上单调递增且过点，故B符合题意；
故选：AB．
12.19世纪，德国数学家狄利克雷（，1805-1859）引入现代函数，他还给出了一个定义在实数集R上的函数称为狄利克雷函数，则（ ）
A．
B．
C．若为有理数，，则
D．存在三个点，，，使得为正三角形
【答案】BCD
【分析】根据狄利克雷函数的定义结合分段函数的性质，分别讨论为有理数和无理数，依次判断各个选项，即可得解.
【详解】对于A，是无理数，若为有理数，是无理数，则；若为无理数，有可能为有理数，如，此时，故A错误；
对于B，当为有理数，为有理数，则；当为无理数，为无理数，则，故B正确；
对于C，为有理数，若为有理数，则是有理数，则；若为无理数，是无理数，则，故C正确；
对于D，存在三个点且为有理数，则，，是边长为的等边三角形，故D正确；
故选：BCD
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.若函数（且）的图象经过的定点 .
答案;
14.已知函数是定义在上的偶函数，在区间是增函数，且，则不等式的解集为 .
【详解】由已知可得在上递减，，然后画出的简图，结合图象求解不等式即可.
【点睛】因为函数是定义在上的偶函数，在区间是增函数，
所以在上递减，
因为，所以，
所以的简图如图所示，
所以不等式的解集为
15.已知函数的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】
【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案.
【详解】令，解得，故函数定义域为，
其中，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中在上单调递增，
由复合函数单调性可知，的单调递增区间为.
故答案为：
16.已知函数（）的最小值为2，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先得到，然后根据当时，恒成立分离常数，结合函数的单调性求得的取值范围.
【详解】，当时，单调递增，
所以当时，恒成立，
注意到，
所以由得在区间上恒成立，
令，
当时，，
当时，任取，
，
其中，，
，
所以，
所以在上递增，，
所以在区间上，
所以，即的取值范围是.
故答案为：
四 、解答题（共 70分，本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分）
17. 17．计算下列各式．
(1)
(2)
【解析】(1)原式=.或 （1）原式=
（2）原式=.
18.（2）设集合，.
（1）为空集，求得取值范围；
（2）若，求m的取值范围.
(1)易得
（2）化简集合，
①时，；
②当时，，
所以，因此，要，
则只要，所以的值不存在；
③当时，，因此，要，
则只要.
综上所述，知的取值范围是或
19.设函数，，且，．
(1)求的值及的定义城；
(2)判断的奇偶性，并给出证明；
(3)求函数在上的值域．
【解题思路】（1）根据真数大于0求解定义域，由求的值.
（2）根据奇偶性的定义判断.
（3），根据真数的范围求解.
【解答过程】（1）由可得，故函数的定义域，
因为，
由题意，故
（2）因为，
又定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，
（3）由（1）可知，，
，所以，
所以函数的值域为．
20.已知点在幂函数的图像上.
（1）求的解析式；
（2）若函数，是否存在实数a，使得最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，1
【解析】
【分析】（1）设幂函数，代入点坐标，待定系数求解即可；
（2）代入可得，结合二次函数性质分类讨论求解即可.
【小问1详解】
设幂函数，
由点在幂函数的图象上，
所以，
解得，
所以.
【小问2详解】
函数，，且二次函数的图象是抛物线，对称轴是.
①当时，在上是单调增函数，最小值为，解得，满足题意；
②当，即时，在上先减后增，最小值为，方程无解；
综上知，存在实数，使得有最小值为.
21.为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．
（1）写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)．
（2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）P(x)＝；（2）8万件；万元．
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系，即可求得结果；
（2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可.
【详解】（1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元．
依题意得，当0＜x＜8时，P(x)＝10x－－5＝＋6x－5；
当x≥8时，P(x)＝10x－－5＝30－.
所以P(x)＝；
（2）当0＜x＜8时，P(x)＝－＋13，
当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13；
当x≥8时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.
当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝.
由13＜，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．
【点睛】本题考查分段函数模型的应用，属中等题.
22.已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）试判断的单调性，并用定义证明；
（3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）函数在上为增函数，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由奇函数的定义和恒等式的性质，可得所求值；
（2）函数在上为增函数，由单调性的定义和指数函数的单调性、不等式的性质可得证明；
（3）由奇函数在上为增函数，可将原不等式的两边的“”去掉，解不等式可得所求解集．
【小问1详解】
由定义域为的函数是奇函数，可得，即有，
即恒成立，
所以；
【小问2详解】
由于，可得函数在上为增函数．
证明：任取，，且，
则，
因为，所以，又，
所以，即，
所以函数在上为增函数．
（3）重庆市荣昌区2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
总分：150分 时间：120分钟
一、单选题(本题共8小题, 每小题5分, 共40分; 在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的)
1. 已知集合, , 则( )
A. B. C. D.
2. 命题“, ”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
3. 已知函数则( )
A. B. C. D.
4. 下列函数中既是偶函数, 又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5. 已知函数的值域为, 则实数的取值范围是( )
A． B. C． D．
6. 通过加强对野生动物的栖息地保护和拯教繁育, 某濒危野生动物的数量不断增长, 根据调查研究, 该野生动物的数量(t的单位：年), 其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量．当时, 该野生动物的濒危程度降到较为安全的级別, 此时约为()( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
7. 设, 则的大小顺序为( )
A． B． C． D．
8. 已知两个正实数满足, 则的最大值是( )
A． B． C．6 D．9
二、多选题(本题共四小题, 每小题5分, 共20分.在每个小题给出的四个选项中, 有多个符合要求的选项, 全部选对得5分, 部分选对得2分, 有选错的得0分)
已知实数, 若, 则下列不等式一定成立的是( )
A． B． C． D．
10. 下列命题是真命题的是( )
A. 函数与是同一函数
B. 函数是定义在上的奇函数, 若时, , 则时,
C. 不等式的解集是
D. 设, 则“”是“”的必要不充分条件
11．已知, 函数与的图象可能是( )
A． B． C． D．
12. 19世纪, 德国数学家狄利克雷(, 1805-1859)引入现代函数, 他还给出了一个定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数, 则( )
A．
B．
C．若为有理数, , 则
D．存在三个点, , , 使得为正三角形
三、填空题(本题共4个小题, 每小题5分, 共20分)
13. 函数(且)的图象经过定点 .
14. 已知函数是定义在上的偶函数, 在区间上单调递增, 且, 则不等式的解集为 .
15. 已知函数的单调递增区间为 .
16. 已知函数()的最小值为2, 则实数的取值范围是 ．
四、解答题(本题共6小题, 第17题10分, 其余每小题12分,共70分.作答时,请写出必要的解答过程)
17．(10分)求下列各式的值．
(1);
(2).
(12分)设集合, .
(1)若为空集, 求实数的取值范围;
(2)若, 求实数的取值范围.
(12分)设函数
(1)求的值及的定义域;
(2)判断的奇偶性, 并给出证明;
(3)求函数在上的值域．
(12分)已知点在幂函数的图象上.
(1)求的解析式;
(2)若函数, . 是否存在实数, 使得最小值为5 若存在, 求出的值; 若不存在, 说明理由.
(12分)为响应国家提出的“大众创业, 万众创新”的号召, 小李同学大学毕业后, 决定利用所学专业进行自主创业．经过调查, 生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元, 每年生产万件, 需另投入流动成本万元, 且＝每件产品售价为10元, 经分析, 生产的产品当年能全部售完．
(1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本);
(2)年产量为多少万件时, 小李在这一产品的生产中所获利润最大 最大利润是多少
(12分)已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值;
(2)试判断的单调性, 并用定义证明;
(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
