第4课时
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学习要求
1、能正确作出正切函数曲线；
2、借助图象理解正切函数的性质；
3、进一步研究正切函数的综合运用．
【课堂互动】
自学评价
1.利用正切线来画出y=tanx
(x的图象．
2.正切函数的图象：
3．定义域：
｛ｘ∈R|ｘ≠π/２＋ｋπ｝．
4．值域：
Ｒ．
5．周期性：
T=π．
4．奇偶性：
y=tanx是奇函数．其图象关于
________________对称
它的对称中心为
________________________
5．单调性：
正切函数在每一个开区间
（ｋ∈Ｚ）上单调增
函数．
思考：
正切函数在整个定义域内是单调增
函数吗？
答：__________________________
【精典范例】
例1：
求函数y=tan(2x- 的定义域、周期、
单调区间．
分析：
求单调区间和定义域用的是整体代换法，
即把2x-看成是tanx中的x然后再去
求解有关问题．
【解】
例2：
已知(|x|≤)，
求的最小值．
【解】
点评:
(1) 换元的思想在数学解题中是常用的数学思想；
（2）在特定区间求最值的问题时，注意运用数形结合的思想；
（3）若题意改为
“已知
(|x|≤)的最小值-4，求a的值．”
如何解呢？
追踪训练一
1、观察正切函数的图象，分别写出满足下列条件的x的集合:
①tanx=0
②tanx<1
2、求下列函数的定义域：
①y=tan3x
②y=tan(x+
2、求函数
y=tan(的值域？
例3、已知正切函数
的图象与x轴相交于两个相邻点的坐标为和，且经过点（0，-3），求其解析式．
【解】
追踪训练二
1、 y=sinx和y=tanx在[-1，1]有_______个交点．
2、比较下列两个三角函数值的大小．
①tan2400、tan2600
②tan
3、函数的奇偶性是
________________________．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
正切函数曲线
周期性
综合运用
学习札记
学习札记第3课时
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学习要求
1．进一步掌握向量的坐标表示；
2．理解向量平行坐标表示的推导过程；
3．提高运用向量的坐标表示解决问题的能力.
【课堂互动】
自学评价
1．向量平行的线性表示是:_______________
2．向量平行的坐标表示是:设=(,)， =(,)（），如果∥，那么__________________，反之也成立．
3．已知A，B，C，O四点满足条件：,则能得到______________________
【精典范例】
例1：已知A（－1，0），B（3，－1），
C（1，2），并且
求证：．
【解】
例2：已知=(1,0),=(2,1),当实数k为何值时，向量k－与+3平行？并确定此时它们是同向还是反向．
【解】
例3：如图,已知A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标．
【解】
追踪训练一
1． 已知向量=(2,3), =(6,y),且//,求实数y的值．
2． 已知，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（－1，3），C（3，4），求第四个顶点D的坐标．
3． 已知A（0，－2），B（2，2），C（3，4），求证：A，B，C三点共线．
例4: 已知点O，A，B，C，的坐标分别为（0，0），（3，4），（－1，2），（1，1），是否存在常数t，成立 解释你所得结论的几何意义．?
【解】
?
追踪训练二
1．已知向量=（－3，－4），则求与向量同方向的单位向量．
2．若两个向量=(－1,x), =(－x,4)方向相同，求－2．
3．已知向量=(1,2), =(－2,1),向量=+(t+1) ,=－k+,k,t为正实数，是否存在k,t,使得//,若存在求出k,t 的值, 若不存在，请说明理由．
【师生互动】
向量平行
表示
应用
线性表示
坐标表示
三点共线
A
A
P
O
C
B
学习札记
学习札记
学生质疑
教师释疑第4课时 向量的数乘（1）
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学习要求
1． 掌握向量数乘的定义，会确定数乘后
的向量的模及方向；
2．掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算；
3．通过本节课的学习，渗透类比思想和化归的思想.
【课堂互动】
自学评价
1. 向量的数乘的定义：
一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作______，它的长度和方向规定如下：
（1）|λ|=|λ| ||
（2）当λ>0时，λ与方向相同；
当λ<0时，λ与方向相反；
当λ=0时，λ=
实数λ与向量相乘，叫做向量的数乘.
2. 向量的线性运算的定义：
向量的加法、向量的减法、向量的数乘
统称为向量的线性运算.
3. 向量的数乘的作图：
已知，作.
当λ>0时，把按原来方向变为原来的
λ倍；
当λ<0时，把按原来向量的相反方向
变为|λ|倍.
4. 向量的数乘满足的运算律：
设λ，μ为任意实数，，为任意
向量，则
（1）结合律：
λ（μ）=（λμ）
（2）分配律：
（λ+μ）=λ+μ
注意：
（1）向量本身具有“形” 和“数”的双重
特点，而在实数与向量的积的运算过
程中，既要考虑模的大小，又要考虑
方向，因此它是数形结合的具体运用，
这一点提示我们研究向量不要脱离它
的几何意义.
（2）向量的数乘及其运算性质可类比整式
的乘法来理解和记忆.
【精典范例】
例1：
已知向量和向量，求作：
（1） 向量
（2） 向量．
分析：
按照向量的数乘的作图方法来作要求的
向量.
【作法】
（1）如图所示，向量的长度是的长度的2.5倍，方向与相反，
即．
（2）以Ｏ为起点，分别作＝， ＝３，连结DC，则
．
点评:
向量的和、差、数乘的作图也可以有其它的作法．
例2： 计算
（1）（-5） 4
（2）
（3）
分析：
根据实数与向量的向量的线性运算的法则去解题．
【解】
（1）（-5） 4=（-5 4）=-20
（2）
=
=
（3）
=
=13．
点评:
（1）向量的数乘与实数的乘法的区别：
相同点：
这两种运算都满足结合律和分配律．
不同点：
实数的乘法的结果（积）是一个实数，
而向量的数乘的结果是一个向量．
（2）向量线性运算的结果是一个向量，
运算法则与多项式运算类似．
例3：已知和是不共线向量，
（t∈R），试用
和表示．
分析：
中的向量变为
起点都是为O的向量的差，然后解
出．
【解】
由，可得，
=
∴
点评:
（1）本题主要运用向量的线性运算，把所
给的转化为已知向量和所求的向量， 再解出所求的向量．
（2）还可以转化为来做．
例4：
已知：⊿ABC中，D为BC中点，E、F
为 AC、BA的中点，AD、BE、CF、相交
于O点，
求证：
（1）；
（2）；
（3）
分析：（1）根据三角形法则，写出的表达
式（两个），再利用相反向量的和为零向量，可得．
（2）、（3）运用（1）的结论推出即可．
【解】
（1） ∵ D为BC中点
∴=
=
∴2=+
∴；
（2）∵
∴；
（3）
∴
点评:
本题的中点向量
可以作为公式来记．
追踪训练：
1. 计算：
（１）
（２）
【解】
（１）
=
（２）
=
2. 已知向量，，且
求．
【解】
=.
3. 如图，在△ABC中，=, = ，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
【解】
∵=, = 则==
∴=+=+而=
∴=+．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
听课随笔
b
BM
D
a
数乘的运算律
向量的数乘的运用
向量的数乘的定义
CM
听课随笔
向量的数乘
A第3课时 任意角的三角函数(1)
分层训练：
1．已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为_____ ( )
A．- B． C．-D．
2. 角的终边经过点P(8，－m),且,则的值为( )
A 6 B -6 C 5 D
3.若角是第二象限角,且,则是第____象限的角.
4．设是第三、四象限角，，则的取值范围是_____
5.求下列各角的正弦、余弦、正切值：
（1）； （2）； （3）．
6.确定下列三角函数值的符号：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
7.已知角的终边上一点，且，求的值。
8. 已知角的终边过点，求的正弦、余弦、正切三角函数值．
拓展延伸：
9． 已知且，
（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断的符号。
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第8课时 向量的坐标表示3
分层训练
1．下列各组向量中，共线的是（ ）
A.a=(-1,2) b=(4,2) B. a=(-3,2) b=(6,-4)
C.a=(1.5,-1) b=(15,10) D.a=(0,-1) b=(3,1)
2．已知向量a=(2,3) b=(x,-6)当a//b时 ,
x的值为： ,
3．设梯形ABCD的顶点坐标为A（-1，2），B（3，4），D（2，1），且AB//DC，AB=2CD，则点C的坐标
4．已知a=(-3,-4)则与a同方向的单位向量为_
5．已知向量a=(1,-3)，向量b与a 方向相反，且|a|=2|b|,则b=
6．已知平行四边形的三个顶点是（3，-2），（5,2）,(-1,4),则第四个顶点的坐标为
7． 已知a=(3,4),b=(sinα,cosα)， a//b，
则tanα=_____________
8．设向量a=(2,1),b=(x,-1),当a+2b与2a- b平行时，求实数x的值。
拓展延伸
9．在直角坐标平面内，已知=（），且的坐标所表示的点在第四象限，求x的取值范围限
10．已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），试用向量的方法求AC与BD的交点坐标.
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第2课时
【学习导航】
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学习要求
1．理解向量减法的概念；
2．会作两个向量的差
3．会进行向量加、减的混合运算
3．培养学生的辨证思维能力和认识问题的能力.
【课堂互动】
自学评价
1.向量的减法：
① 与的差：
若__________________，则向量叫做 与的差.记为_________________
②向量 与的减法：
求两个向量差的运算叫做向量的减法
注意：
向量的减法是向量加法的逆运算.
2.向量的减法的作图方法：
已知 ，，求作：
作法：①___________________
②___________________
③___________________
则
3.减去一个向量等于加上这个向量的相
反向量.
用下面的图来验证：
思考：
在这样验证过程中体现一个什么思想？
【答】
4.关于向量的减法需要注意以下几点：
①在用三角形法则作向量的减法时，只要
记住连结两向量的终点，箭头指向被减
向量即可.
②以向量，为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为，，
这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该
加强理解记住.
③对任意一点O，，简记“终
减起”，在解题中经常用到，必须记住.
【精典范例】
例1．
已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd
分析：
根据向量减法的作图方法，按步骤作出来即
可.
【解】
点评:
在作两个向量的差时，要注意“共起
点，箭头指向被减向量”
思考题：
如果∥，怎样作出？
例2．
如图，O是平行四边形的对角线的交点，若，，，
试证明：
分析： 要证，只要证
.
【证明】
点评:
1．本题还可以的考虑方法：
（1）
（2）
2．任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和.
例3．化简下列各式：
①
②
③
分析：
向量的减法运算可以统一成向量的加法
运算，运算时，要恰当运用运算律，有
时需要去括号后重新组合，有时需要适
当添括号.
【解】
点评:
这类题目，一般不需要作图，只要利用向
量加法法则、减法法则、相反向量及有关
运算律即可.
追踪训练
1.在⊿ABC中，∠C=900，AC=BC，则下列几个 等式是成立的？
（1）
（2）
（3）
（4）
2．已知四边形ABCD的对角线AC与BD教于O点，且，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
3. O为平行四边形ABCD平面上的点,设, , , 则 ( )
A.
B.
C.
D.
思维点拔：
例4．
如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知，试用、
表示和.
分析：连结CN，将梯形ABCD分为平行四边形ANCD和⊿BCN，在进行向量运算.
【解】
点评:
未知向量用已知向量来表示，一般要用
到平行四边形法则、三角形法则、平行
向量的性质、闭合向量为零向量等运算技
巧.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
学习札记
学习札记
学习札记
向量减法的运用
向量减法的作图
向
量
的
减
法
向量减法的定义第3章 三角恒等变换
【学习导航】
1． 本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。
2． 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值变化的规律，是研究三角函数性质及其应用的一种工具。学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理能力和运算能力。
3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的兴趣，体会数学是一个有机联系的整体，而不是各不相关的内容的堆积。
知识结构
学习要求
1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。
3.1两角和与差的三角函数
第1课时
【学习导航】
学习要求
1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；
2、应用公式，求三角函数值.
3．培养探索和创新的能力和意识.
【自学评价】
1．探究
反例：
问题：的关系？
解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线
2．探究：在坐标系中、角构造+角
3．探究：作单位圆，构造全等三角形
4．探究：写出4个点的坐标
，
，
，
5．计算，
=
=
6．探究 由=导出公式
展开并整理得
所以
可记为
7．探究 特征
①熟悉公式的结构和特点；
②此公式对任意、都适用
③公式记号
8．探究 cos()的公式
以代得：
公式记号
【精典范例】
例1 计算① cos105 ②cos15
③coscossinsin
【解】
例2已知sin=，cos=求cos()的值.
【解】
例3已知cos(2α-β)=-,sin (α-2β)=,且<α<,0<β<,
求cos(α+β)的值。
分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，
即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。
【解】
例4不查表，求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）
在三角变换中，首先应考虑角的变换,如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的.常用的变换角的方法有：
α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,
【追踪训练】：
1．sinsin=，coscos=，(0, ),(0, ),求cos()的值。
2．求cos75的值
3．计算：cos65cos115cos25sin115
4 计算：cos70cos20+sin110sin20
5．已知锐角,满足cos= cos(+)=求cos.
6．已知cos()=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值.
【选修延伸】
例5已知，
是第三象限角，求的值.
例6，
且，
求的值.
【追踪训练】：
学生质疑
教师释疑
1．满足的一组的值是 （ ）
A. B.
C. D.
2．若，则的值为 （ ）
A. 0 B. 1 C. D. —1
3．已知cosα= ,α∈（，2π），则cos（α－）= 。
4．化简：
= 。
5．利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【师生互动】
tan2α=
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α- sin2α
=2cos2α-1=1-2 sin2α
tan（α+β）=
tan（α-β）=
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
学习札记
学习札记
学习札记第1课 时向量的概念及表示
分层训练
１．下列说法中错误的是 （ ）
．零向量的长度为0
．零向量没有方向
．零向量与任意向量平行
．零向量的方向是任意的
２．已知，且，则与平行的单向量有 （ ）
．0个 ．1个 ．2个 ．无数个
３．设Ｏ是正△ＡＢＣ的中心，则向量,，是 （ ）
Ａ．相等向量 Ｂ．模相等的向量
Ｃ．共线向量 Ｄ．共起点的向量
４．把平面上所有单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形为（ ）
Ａ．一条线段 Ｂ．一个圆面
Ｃ．一个圆 Ｄ．圆上的一群孤立点
5．下列命题是假命题的是 （ ）
．若两个向量不共线，则这向量中一定没有零向量
．的长度与的模相等
．长度相等但方向相反的两个向量一定共线
．方向不同的两个向量必不共线
6．有下列四个命题：①两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；②两个有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同；④若
与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．其中正确的命题个数为（ ）
．1 ．0 ．2 ．3
7．下列命题中正确的是____________________
①，则∥；②，则=；
③，则④，则
8．在四边形中，，且，则这个四边形是___________
9．如图，Ｏ为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形．在图中所示的向量中：
（１）分别写出与，相等的向量；
（２）写出与共线的向量；
（３）写出与的模相等的向量；
（４）向量与是否相等？
拓展延伸
10．如图，以１×３方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？
11． 已知飞机从甲地按北偏东300的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东300的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑3.1复习课
【学习导航】
知识网络
学习要求
1、公式正用要善于拆角；逆用要构造公式结构；变用要抓住公式结构
2、化简
（1）化简目标：项数尽量少
（2）化简基本方法：异角化同角；异名化同名；切割化弦；常值代换
3、求值
（1）求值问题的基本类型：给角求值；给值求值；给值求角；给式求值
（2）技巧与方法：切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换
4、证明
（1）证明基本方法：化繁为简法、左右归一法、变更命题法
注意：条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的差异与联系。
总之，无论是化简、求值还是证明都要注意：角度的特点、函数名称的特点；其中切弦互化是常用手段；三角变换公式要灵活应用，注意角的范围对解题的影响。
学习重点
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
学习难点
灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明
【自学评价】
两角和与差的正、余弦公式
【精典范例】
例1求值：（1）
（2）sin18°和cos36°
选题意图：考查两角和与差三角函数公式的应用和三角函数关系式的变形能力。
解：(1)原式
（2）∵sin36°＝cos54°
即sin（2×18°）＝cos（3×18°）
2sin18°cos18°＝4cos318°－3cos18°
∵cos18°≠0
∴2sin18°＝4cos218°－3
整理得4sin218°＋2sin18°－1＝0
说明：本题通过二倍角和三倍角公式构造了关于sin18°的方程求解，但利用sin54°＝cos36°很难解出sin18°。在解决三角函数问题的过程中也要适当注意一些代数方法的使用。
例2已知，，，求sin2的值
解：∵，
∴ ， ∴
∴
又， ∴
∴sin2=
=
例3已知 ， 求的值
解：∵
即：
∵ ∴
从而
而
∴
例4 若且,求的值。
解：tan()=tan=
∵
∴
∴3 3x3 3x=2 即：
∴(舍去)
∴
例5 已知锐角, , 满足sin+sin=sin, coscos=cos, 求的值。
解： ∵sin+sin=sin ∴sin sin = sin <0 ①
∴sin 同理：∵coscos=cos ∴ cos cos = cos ②
①2+②2: 1+12cos（）=1 ∴cos（）=
∵ ∴ ∴=
例6已知tan，tan是关于x的一元二次方程x2+px+2=0的两实根，求的值。
解：∵
tan，tan是方程x2+px+2=0的两实根
∴
∴
例7 若，求f (x)=sinx+cosx的最大值和最小值，并求出此时的x值。
解： f (x)=sinx+cosx=2
∵， ∴
∴，
即
当且仅当 ，时 f (x)min=
当且仅当 ，时 f (x)max=2
例8 已知f (x)=-acos2x-asin2x+2a+b，其中a>0，x[0,]时，-5≤f (x)≤1，设g(t)=at2+bt-3，t[-1,0]，求g(t)的最小值。
解： f (x)=-acos2x-asin2x+2a+b=-2a[sin2x+cos2x]+2a+b
=-2asin(2x+)+2a+b
∵x[0,]
∴
∴
又 a>0 ∴-2a<0
∴
∴
∴
∵-5≤f (x)≤1
∴
∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t-)2-
∵t[-1,0]
∴当t=0时，g(t)min=g(0)=-3
思维点拔：
有关解题技巧：化弦、辅助角、角变换、公式逆用、正余弦和积互换。
【追踪训练】：
1 在△ABC中，C>90，则tanAtanB与1的关系适合………………（B）
A tanAtanB>1 B tanAtanB>1 C tanAtanB =1 D 不确定
解：在△ABC中 ∵C>90 ∴A, B为锐角 即tanA>0, tanB>0
又tanC<0 于是：tanC = tan(A+B) = <0
∴1 tanAtanB>0 即：tanAtanB<1
又解：在△ABC中 ∵C>90 ∴C必在以AB为直径的⊙O内（如图）
过C作CDAB于D，DC交⊙O于C’，
设CD = h，C’D = h’，AD = p，BD = q，
则tanAtanB
2 若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝，sinβ＋cosβ＝b，则
Aab＜1 Ba＞b Ca＜b Ｄab＞2?
解：sinα＋cosα＝sin（α＋）＝a
sinβ＋cosβ＝sin（β＋）＝b?
又∵0＜α＜β＜
∴0＜α＋＜β＋＜
∴sin（α＋）＜sin（β＋）?
∴＜b?
答案：C
3 tan2A·tan（30°－A）＋tan2Atan（60°－A）＋tan（30°－A）tan（60°－A）＝ ?
解：原式＝tan2A［tan（30°－A）＋tan（60°－A）］＋［tan(30°－A)tan（60°－A）］
＝tan2Atan［（30°－A）＋（60°－A）］［1－tan（30°－A）tan（60°－A）］＋［tan（30°－A）tan（60°－A）］
＝tan2Atan（90°－2A）［1－tan（30°－A）tan（60°－A）］＋［tan（30°－A）tan（60°－A）］
＝tan2A·cot2A［1－tan(30°－A）tan(60°－A）］＋［tan(30°－A）tan（60°－A）］＝1
先仔细观察式子中所出现的角，灵活应用公式进行变形，然后化简、求值
4 设，(,)，tan、tan是一元二次方程的两个根，求 +
解：由韦达定理：
∴
又由，(,)且tan，tan < 0 (∵tan+tan<0, tantan >0)
得 + (, 0) ∴ + =
5 已知tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两个根,求sin2（α＋β）－3sin（α＋β）cos（α＋β）－3cos2（α＋β）的值 。?
解：由题意知
∴
sin2（α＋β）－3sin（α＋β）cos（α＋β）－3cos2（α＋β）
＝cos2（α＋β）［tan2（α＋β）－3tan（α＋β）－3］
＝［tan2（α＋β）－3tan（α＋β）－3］
＝
6．已知α、β为锐角，cosα＝，tan（α－β）＝－，求Cosβ的值。?
解：由α为锐角，cosα＝，∴sinα＝。?
由α、β为锐角，又tan（α－β）＝－
∴cos（α－β）＝
sin（α－β）＝－
∴cosβ＝cos［α－（α－β）］＝cosα·cos（α－β）＋sinα·sin（α－β）?
＝
7．（角变换）已知sin(45 ) = ，且45 < < 90，求sin。
解：∵45 < < 90 ∴45 < 45 < 0 ∴cos(45) =
cos2 = sin(902) = sin[2(45)]
= 2sin(45)cos(45) =
即 1 sin2 = ， 解之得：sin =
8试求函数的最大值和最小值。若呢？
解：1．设
则 ∴
∴
∴
2．若，则，∴
即
A
C
D
h
h'
C’
p
q
B
相除
相除
以代
以代第8课时 三角函数的恒等变形(复习)
【学习导航】
（一）两角和与差公式
（二）倍角公式
2cos2α=1+cos2α 2sin2α=1-cos2α
注：倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。
注： （1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。
（3）掌握“角的演变”规律，
（4）将公式和其它知识衔接起来使用。
学习重点
几组三角恒等式的应用
学习难点
灵活应用和、差、倍角等公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
【精典范例】
例1 已知
求证：
分析 注意到已知条件中的角、与欲证等式中的角、的关系：因此可用两角和与差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证明.
证：==
=
评析 本题也可以由已知得，代入右边，得
例2 已知求的取值范围.
分析 难以直接用的式子来表达，因此设，并找出应满足的等式，从而求出的取值范围.
解 令，① 由已知，. ②
①2+②2 ：
即
例3 求函数的值域
分析 的解析式中既有，又有，若由将表示成或将表示成，都会出现根式，且需要讨论符号，因此这种做法不可取.注意到，因此可作代换：则和都可以用表示，就可以变形为的二次函数，再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得的值域.
解 令 则
当 当
的值域为
评析 相应于，还有更一般的情况：
∴可以设
则，并由此可求出的取值范围.如设则若则
例4 已知且、、均为钝角，求角的值.
解 由已知，
①2+②2：
评析 仅由，不能确定角的值，还必须找出角的范围，才能判断的值. 由单位圆中的余弦线可以看出，若使的角为或若则或
例5 已知求的值.
分析 因，所以只要求出和的值.由已知，，所以如能由求出的值，即可求得的值.
解
，
评析 一般地，和之间有关系：或写成
例6 已知，求的值.
分析 由可以求出的三角函数，因此需要把欲求值的式子变形为关于的三角函数的式子.
解
评析 与类似，有
例7 已知求的值.
分析 由例6评析，因此希望把也变形为和的三角函数.
解 =
.
= ， ==
评析 若令，则由上述解题过程可知，，类似地有
例8 求值：（1） （2）
分析 （1）为特殊角，，因此有，
（2）为特殊角，，因此有
解 （1）==
=
==
（2）=
=
【追踪训练】
1．等于 （B ）
A． B． C． D．
2．已知，且，则的值等于 （A ）
A． B． C． D．
3．求值：= 2 .
4．求证：（1）
（2）
（3）
略
①
②
123.1.2两角和与差的正弦
【分层训练】
1、在△ABC中，若sinAcosB=1－cosAsinB ,则△ABC一定是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2、已知sinα=－,cosβ= ,且α、β在同一象限，则sin（α－β）的值是（ ）
A． B．－
C． D．－
3、已知0＜α＜＜β＜π，sinα= , cos（α＋β）=－ ,则sinβ等于 （ ）
A．0 B．0或
C． D．0或 －
4、化简sin （α－β）cosα－cos（α－β）sinα的结果是 （ ）
A．－sinβ B．sinβ
C．sin（2α－β） D．cosβ
5、若sinx－cosx＝2sin（x＋φ），φ∈（－π，π），则φ等于 （ ）
A．－ B．
C． D．－
学生质疑
教师释疑
6、在△ABC中，cosA＝且cosB＝，则 ．
7、已知，，且、均为锐角，则 ．
8、求值：= ．
【拓展延伸】
9、已知：，cos（α－β）= ，sin （α＋β）=－ ，
求sin2α的值．
10、已知cos（－α）= ，sin（＋β）
= ，其中<α<，0<β<，
求sin（α＋β）的值．
【本节学习疑点】3.1.2两角和与差的正弦
【学习导航】
1． 掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。
2． 通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
3． 掌握诱导公式
学习重点
由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式
学习难点
进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【自学评价】
1． 两角和的正弦公式的推导
sin(+)=cos[(+)]=cos[()]
=cos()cos+sin()sin
=sincos+cossin
即： （S+）
以代得： （S）
2公式的分析，结构解剖：正余余正符号同
【精典范例】
例1求值
【解】原式=0
例2 已知，求的值。（答案 2）
例3已知sin(+)=,sin()= 求的值
【解】∵sin(+)= ∴sincos+cossin= ①
sin()= ∴sincoscossin= ②
①+②：sincos=
①②：cossin=
例4（1）已知，求tanα: tanβ的值。
解：由已知，sinαcosβ+cosαsinβ=1/2 (1),
sinαcosβ-cosαsinβ=1/3 (2)
tanα:tanβ=5:1
（2）计算的值.
解：原式= ==
=
思维点拔：
由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
【追踪训练】：
1 在△ABC中，已知cosA =，cosB =，则cosC的值为（ A ）
（A） （B） （C） （D）
解：因为C = (A + B)， 所以cosC = cos(A + B)
又因为A,B(0, ), 所以sinA = , sinB =,
所以cosC = cos(A + B) = sinAsinB cosAcosB =
2已知，，，，求sin( + )的值
解：∵ ∴
又 ∴
∵ ∴
又 ∴
∴sin( + ) = sin[ + ( + )] =
3已知sin + sin = ，求cos + cos的范围
解：设cos + cos = t，
则(sin + sin)2 + (cos + cos)2= + t2
∴2 + 2cos( ) = + t2 即 cos( ) = t2
又∵1≤cos( )≤1 ∴1≤t2 ≤1
∴≤t≤
4已知sin(+) =，sin() =，求的值
解：由题设：
从而：
或设：x = ∵
∴
∴x = 即 =
5．已知sin+sin= ① ， cos+cos= ② ，求cos()
解： ①2: sin2+2sinsin+sin2= ③
②2: cos2+2coscos+cos2= ④
③+④: 2+2(coscos+sinsin)=1
即：cos()=
【选修延伸】
例5化简
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.
思维点拔：
我们得到一组有用的公式：
⑴ sinα±cosα＝sin＝cos．
(2) sinα±cosα＝2sin＝2cos．
(3) asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）＝cos（α－）
（3）的推导公式：?
由于?
sin2θ＋cos2θ＝1?
(1)若令＝sinθ，则＝cosθ?
∴asinα＋bcosα＝（sinθsinα＋cosθcosα）＝cos（θ－α）
或＝cos（α－θ）?
(2)若令＝cos，则＝sin?
∴sinα＋bcosα＝（sinαcos＋cosαsin）＝sin（α＋）
【追踪训练】：
1．化简
解：原式＝
或解：原式＝
2．求证：cosx+sinx=cos(x)
证：左边= (cosx+sinx)=( cosxcos+sinxsin)
=cos(x)=右边
又证：右边=( cosxcos+sinxsin)=(cosx+sinx)
= cosx+sinx=左边
3. 求证：cos+sin＝2sin(+)
证：左边＝2(cos+sin)＝2(sincos+cossin)＝2sin(+)＝右边
4. 已知，求函数的值域
解：
∵ ∴
∴ ∴函数y的值域是
5.求的值
解：原式＝
EMBED Equation.3 =第2课时 向量的加法
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．掌握向量加法的定义；
2．会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；
3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算.
【课堂互动】
自学评价
1. 向量的和、向量的加法：
已知向量和，____________________
___________________________________
则向量叫做与的和，记作：
________________
___________________________________
叫做向量的加法.
注意：
两个向量的和向量还是一个向量
2.向量加法的几何作法：
（1）三角形法则的步骤：
①__________________________
②__________________________
③ __________________________
∴就是所作的
（2）平行四边形法则的步骤：
①__________________________
②__________________________
③ __________________________
∴就是所作的
注意：
向量加法的平行四边形法则，只适用于
对两个不共线的向量相加，而向量加法
的三角形法则对任何两个向量（共线向
量 ）都适用.
3．向量加法的运算律：
（1）向量加法的交换律：
_____________________________
(2) 向量加法的结合律：
_____________________________
思考：
如果平面内有n个向量依次首尾连接
组成一条封闭折线，那么这n个向量
的和是什么？
【答】
零向量
【精典范例】
例1．
如图：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
（！）
（2）
（3）
【解】见课本62页
例2：化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
分析：
向量的加法运算要恰当运用运算律，有
时需要去括号后重新组合，有时需要适
当添括号.
【解】
（1）
=
（2）
=
（3）
=
（4）
=
点评:
①向量加法公式非常重要，它可以使我们不画图就能写出结果，从而使解题更加快捷；
②多个向量首尾相接相加，其和向量为
以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量.
例3：
在长江南岸某渡口处，江水以12.5
km∕h的速度向东流，渡船的速度
为25km∕h，渡船要垂直地渡过长
江，其航向应如何确定？
分析：
如图，渡船的实际速度，船速
与水速应满足.
【解】
如图，设表示水流的速度，
表示渡船的速度，表示渡船的实际
垂直过江的速度.
因为，所以四边形
ABCD为平行四边形.
在Rt⊿ACD中，
∠ACD=600
,
所以 ∠CAD=300
答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为
北偏西300.
追踪训练一
1.已知，，求作：
2.已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，
则下面结论中正确的是 （ B ）
A.
B.
C.
D.
3. 如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船的实际航行
的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行的速度.
在中，，
所以
又
答：船的实际航行的速度的大小为，方向与水流速间的夹角为
【选修延伸】
例4:
如图，在重300N的物体上拴两根绳子这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为300，600，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子的拉力的大小.
分析：
把物体的受力问题看成向量的合成，即
向量的加法，进而解三角形.
【解】
例5：
已知向量，比较|与
的大小.
分析：
因为向量包含长度和方向，所以在比较
长度的大小时，要注意其方向.
【解】
（1）当至少有一个为零向量时，有
（2）当均为非零向量时，
①不共线时，
②共线同向时，
③共线反向时，
点评:
①解答本题时可利用向量加法的三角形
法则作出图形辅助解答；
②解答本题的关键是准确、恰当地作好
分类.
追踪训练二
1．设点O是⊿ABC内一点，若
，则必有（ C ）
A.点O是⊿ABC 的垂心
B.点O是⊿ABC 的外心
C.点O是⊿ABC 的重心
D. 点O是⊿ABC 的内心
2．在⊿ABC中，求证：
证明：∵ ⊿ABC中
∴
∴
3．对任意，不等式
成立吗？请
说明理由.
答：成立，理由略
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
听课随笔
向量加法的运算律
听课随笔
听课随笔
向量加法的定义
向
量
的
加
法
平行四边形法则
运用
向量
的和
三角形法则
听课随笔第9课时 向量的数量积(1)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．理解平面向量数量积的概念及其几何意义;
2．掌握数量积的运算法则;
3．了解平面向量的数量积与投影的关系.
【课堂互动】
自学评价
1．已知两个非零向量与，它们的夹角为，则把数量叫做向量与的数量积（或内积）.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．已知两个非零向量与，作，，则叫做向量与的夹角.
当=0°时与同向，当=180°时与反向；当=90°时则称向量与垂直.
3．对于=，其中叫做在方向上的投影.
4．平面向量数量积的性质
若与是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则：
①
②
③
④若与同向，则；若与反向，则；
或
⑤设的夹角，则
5．数量积的运算律
①交换律：
②数乘结合律：
③分配律：
注：①、要区分两向量数量积的运算性质与数乘向量，实数与实数之积之间的差异.
②、数量积的运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律.即
【精典范例】
例1：已知向量与向量的夹角为θ，｜｜＝２，｜｜＝３，分别在下列条件下求·：（１）θ＝１３５°；
（２）∥； （３）⊥．
【解】（１）·＝｜｜｜｜ｃｏｓθ＝２×３×ｃｏｓ１３５°＝．
（２）当∥时，则θ＝０°或１８０°．
若θ＝０°，·＝｜｜｜｜＝６；
若θ＝１８０°，·＝=－６?
（３）当ａ⊥ｂ时，·＝０．
例2：已知的夹角为。计算：(1)
(2)
分析：对于(1)，利用乘法公式展开，计算,,
对于(2)，利用公式
【解】(1)
(2)
点评：掌握向量数量积运算的常用技巧，熟练运用公式：
例3：已知向量，对任意，恒有，则 （ ）
A. B.
C. D.
分析：对已知两边平方，得到一个关于t的一元二次不等式，转化为一元二次不等式恒成立问题。
【解】由得
，展开，又化为
验证选项C中
点评：此题综合性强，考查知识多，而且灵活，应抓住题目的实质，把已知转化为不等式的恒成立问题，因为是选择题，结果由过程推出，也可以逐一验证选项。
追踪训练一
1. 已知，
2. 已知试判断下列结论是否正确：
⑴、∥ （√）
⑵、 （×）
⑶、⊥ （√）
3.已知
例4：已知的夹角为60o，求： ⑴、 ⑵、
⑶、
【解】⑴、=4×6×=12
⑵、=28
⑶、
=-26
追踪训练二
1．四边形ABCD满足
，则四边形ABCD是（ C ）
A、平行四边形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
2．正△ABC 边长为a,则
3．已知则
【师生互动】
力做功
向量的夹角
数
量
积
的
义
数量积的定义
数量积的几何意义
数量积的运算律
听课随笔
听课随笔
学生质疑
教师释疑
听课随笔2.4向量的数量积
第1课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．理解平面向量数量积的概念及其几何意义
2．掌握数量积的运算法则
3．了解平面向量的数量积与投影的关系
【课堂互动】
自学评价
1．已知两个非零向量与，它们的夹角为，则把数量_____________叫做向量与的数量积（或内积）.
规定：零向量与任一向量的数量积为_____.
2．已知两个非零向量与，作，，则________________________叫做向量与的夹角.
当=0°时与_____，当=180°时与____；当=90°时则称向量与____.
3．对于=，其中______叫做在方向上的投影.
4．平面向量数量积的性质
若与是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则：
①
②
③
④若与同向，则；若与反向，则；
或
⑤设的夹角，则
5．数量积的运算律
①交换律：_____________________________
②数乘结合律：_________________________
③分配律：_____________________________
注：①、要区分两向量数量积的运算性质与数乘向量，实数与实数之积之间的差异.
②、数量积的运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律.即
【精典范例】
例1：已知向量与向量的夹角为θ，｜｜＝２，｜｜＝３，分别在下列条件下求·：（１）θ＝１３５°；
（２）∥； （３）⊥．
【解】
例2：已知的夹角为。计算：(1)
(2)
【解】
例3：已知向量，对任意，恒有，则 （ ）
A. B.
C. D.
追踪训练一
1. 已知，且
_____
2. 已知试判断下列结论是否正确：
⑴、∥ （ ）
⑵、 （ ）
⑶、⊥（ ）
3.已知
______
例4：已知的夹角为60o，求： ⑴、 ⑵、
⑶、
【解】
追踪训练二
1．四边形ABCD满足
，则四边形ABCD是（ ）
A、平行四边形 B、矩形
C、菱形 D、正方形
2．正△ABC 边长为a,则_______
3．已知则________
【师生互动】
力做功
向量的夹角
数
量
积
的
义
数量积的定义
数量积的几何意义
数量积的运算律
学习札记
学习札记
学生质疑
教师释疑2.1向量的概念及表示
分层训练
1． 2． 3． 4． 5．
6． 7．①④ 8．菱形
9．（１），
（２），，
（３）
（４）不相等
拓展延伸
10．6，16
11．解：东南方向1000km
2.2.1向量加法作业参考答案
1． 2． 3． 4． 5．
6． 7．①③ 8．
9．①=
②=
③=
10．证明：
两式相加得：
11．①
②以AP、AQ为邻边作矩形APRQ，则
=，
因为tan∠PAR=
且tan∠BAD=tanC=
∴tan∠PAR=tan∠BAD
∴∠PAR=∠BAD
∴的方向与的方向相同
2.2.2向量减法作业参考答案
1．C 2．C 3．D 4． 5．
6． 7．300，
8．①=
②=
9．相等
10．解：连结CN，N是AB的中点,
由条件知：
四边形ANCD是平行四边形
∵
又
∴
=
11．解：船的航行方向与水流方向成1200，船
实际航速为m∕min
2.2.3向量数乘（1）参考答案
1．C 2．D 3．B 4．C 5．D
6． 7．
8． ，
9．①，
②
10．证明：
，，
∴ ．
2.2.3向量数乘（2）参考答案
1．A 2．B 3．A 4．D 5．D
6．D 7．C 8．x=,
9．
10．．
11．证明：
设，，
，
则
=，
∵，
∴
∴
=
则可得
所以
12．解：
∵ ，
，
2.3．1平面向量基本定理参考答案
1．B 2．C 3．A 4．B 5．C
6．C 7．内角或外角平分线
8．等腰梯形 9．
10．证明略
11．证明：设，，，则由
、分别为、的中点，可得
，，则
∴
12．证明：
∵
∴
=
令
∴
且
第7课时 向量的坐标表示2
1、B 2、B 3、(10,13) 4、2b-2c
5、(-4,-1) 6、(-1,2) 7、(-3,-3)
8、
=（2b-a）-(3a-b)
=-4a+3b
又因为a=(3,1) b=(2,-1)
所以
.9、：=（1+3t,2+3t）,
（1）
ⅰ若P在X轴上，则2+3t=0,
所以t=
ⅱ若P在Y轴上，则1+3t=0,
即，t=
ⅲ若P在第二象限，则：
（2）
即，
故O，A，B，P四点不能构成四边形
10、解：因为
所以
ⅰ、当
ⅱ当
此时P（-5，8）
综上所述: 点P的坐标为：
或（-5，8）
第8课时 向量的坐标表示3
1．B
2．-4
3．(4,2)
4．
5．
6．
7．
8．x =-2
9．（－2，0）（1，3）
10．设AC与BD的交点P坐标为（x,y）
则=（x－4,y－5）,
由与共线，可得－4(x－4)－8(y－5)=0
同理可得:4(x－1)－10(y－2)=0，
解得x=6,y=4
交点坐标（6，4）
第9课时 向量的数量积(1)
1．-5 2． 3． 4． 5． [-6,2] 6． 150° 7．
8．设D点的坐标为（x,y）,则
∴
∵
∴2（y+7）+3(x+3)=0
∵
∴(x-1)+10(y-1)=0 解得x=-9,y=2, ∴D(-9,2).
9．设D(x,y),则
因
∴ ∴
10．设
∵ ∴-x+2y=0①
∵ ∴3(y-2)-(x+1)=0②
由①②得x=14,y=7
∴
第10课时 向量的数量积(2)
1． ①④ 2．
3．⑴、当=
⑵、或180°
若=0°==6
或=180°，=-=-6
⑶、，0
4．⑴、
=-44
⑵、∵
∴
∴
∴
∴
5．⑴、由向量垂直的条件得=0
⑵、由向量共线的条件得
∴
∴
∴， ∴
∴
6．由已知得
两式相减得，代入①得
∴，
∴
7．解：由条件得
∴ ∴
∴
∴
8．⑴、； ⑵、证：略。
9．证：略
10．答：等边三角形。
第11课时 向量的数量积(3)
1.C 2．A 3．C 4．
5．
6．或
7．，△AOB的面积
8．等腰三角形
9．(1) (2)
10．⑴、（）；
⑵、
∴
∵
∴
∴
∴
∴
第12课时 向量的应用
1． C
2． D
3． D
4． C
5． Ｂ
6． C
7． －5
8． 任取圆上一点C(x,y), 则CA⊥CB,即（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝０．
9． 提示：利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
１０．设OA，OB，OC的长为1，则，
∴，||2=3，
即，||=，
同理，||=||=，
∴⊿ABC为正三角形．
必修４第2章平面向量单元检测
1．A 2．B 3．C 4.．C
５． ６．
７．１０ ８．13
９．
∥ ，
∴夹角
10. （11，6）
11. 解：由得；
又由得；
所以；
而；
所以；
设与的夹角为，则 故.
12. λ<，或λ>且λ≠1
1３．B １４．B １５．A １６.．D
１７．16
１８．( ，-)或(-，)
１９．１ ２０.
21. 解：由题意可得
整理得 ；
所以 ；
故 .
22.解:要使向量a、b不能作为平面向量的一组基底，则向量a、b共线
∴
故，即当时，向量a、b不能作为平面向量的一组基底
23．从分析形的特征着手
∵ ||=||=2
·=0
∴ △AOB为等腰直角三角形，如图
∵ ||=，∠AOC=∠BOC
∴ C为AB中点
∴ C（）
24. 解（1）==
（2）设，
=
=∴∴∴=3.1.1两角和与差的余弦
【分层训练】
1、的值是 （ ）
A. B.
C. D.
2、的值是 （ ）
A. 0 B. C. D. 2
3、已知均为锐角，
，则角为 （ ）
A. B. C. D.
4、在中，，那么的值为 （ ）
A. 或 B.
C. D.
5、的值等于 （ ）
A. 0 B. C. D.
6、在中，若，则一定为 （ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
7、
．
8、求值：= ．
【拓展延伸】
9、已知锐角满足
求（1） （2）
10、已知，求的值．
学生质疑
教师释疑
【本节学习疑点】第4课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1，掌握同角三角函数的两个基本关系式
2，能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值
3，对于同角三角函数来说，认清什么叫“同角”，学会运用整体观点看待角。
4，结合三角函数值的符号问题，求三角函数值
【课堂互动】
自学评价
1.同角三角函数的三个基本关系
2.解题时应注意的问题
善于应用sin2α+cos2α=1处理关于sinα+cosα、sinα-cosα、sinα·cosα题目
善于应用商关系：tanα=sinα/cosα化简关于sinα、cosα的齐次式。（构造分式为齐次式即“化切”）
掌握“1”的妙用、“切化弦” 的解题思想
【精典范例】
例1已知sin=,又是第二象限角,求cosα, tanα的值。
例2已知tanα=3，求
（1）sinα 和 cosα 的值
（2）sin-3 sinαcosα的值
例3 求证：=
追踪训练
1，已知tanα=2，求下列各式的值
（1）.
（2）.
2，已知0<α<π,sinα·cosα= - ，
则sinα-cosα= ;
3，化简下列各式
(1).
(2).
【师生互动】
同角三角函数关系公式的推导
同角三角函数关系
同角三角函数关系公式的运用
sinα+ cosα=1
tanα=sinα/cosα
学习札记
学习札记
教师释疑
学生质疑第12课时三角函数图象和性质(2)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1、 借助图象正弦函数、余弦函数的图象，说出正、余弦函数的图象性质；
2、掌握正、余弦函数的图象性质，并会运用
性质解决有关问题；
3、培养学生分析问题、解决问题的能力．
【课堂互动】
自学评价
正弦函数、余弦函数的图象性质：
(1)定义域：
_______________________________
(2)值域：
_______________________________
对于y=sinx：
当且仅当x=_________________时，
当且仅当x=_________________时，
对于y=cosx：
当且仅当x=_________________时，
当且仅当x=_________________时，
(3)周期性：
正弦函数和余弦函数都是周期函数，并 且周期都是2π．
(4)奇偶性：
①y=sinx
正弦函数是奇函数，其图象关于_____
对称，它的对称中心是_____________
正弦函数的对称轴方程是
________________________
②y=cosx
余弦函数是偶函数，其图象关于_____
对称，它的对称轴方程是__________
____________________________
正弦函数的对称中心是
________________________
(5)单调性：
①
在[，]（k∈Z），
上是单调增函数．
在[，]（k∈Z），
上是单调减函数．
②
在______________________________
上是单调增函数．
在______________________________
上是单调增函数．
思考:
正、余弦函数的图象的这些性质也可以从 单位圆中的三角函数线得出吗？
【答】
【精典范例】
一、判断函数的奇偶性
例1：
判断下列函数的奇偶性
(1) ；
(2) ）；
(3) ．
分析：
判断函数的奇偶性，首先要看定义域是
否关于原点对称，然后再看与的关系，对(1)用诱导公式化简后，更便于判断．
【解】
（1）∵=，
∴
所以函数为
偶函数．
（2） 函数的定义域为R，
=
=
=
=
所以函数）
为奇函数．
（3）由1+sinx≠0，可知：
x≠
显然不对称，
所以函数
为非奇非偶函数．
点评:
判断函数的奇偶性时， 判断“定义域是
否关于原点对称”是必须的步骤．
追踪训练一
判断下列函数的奇偶性
(1)
(2)
(3)
二、运用三角函数的单调性
例2：
比较下列两个三角函数值的大小
(1) sin2500、sin2600
(2) cos
【解】
(1) ∵ y=sinx
在[，]（k∈Z），
上是单调减函数，
又 2500<2600
∴ sin2500>sin2600
(2)略解
cos
点评:
(1)比较同名的三角函数值的大小，找到单 调区间，运用单调性即可，若比较复杂，
先化间；
(2)比较不同名的三角函数值的大小，应先 化为同名的三角函数值，再进行比较．
例3：求函数y=sin(2x+)的单调增区间．
分析：
求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性．
【解】
令z=2x+，函数y=sinz的单调增区间为
[，]．
由 ≤2x+≤
得 ≤x≤
故函数y=sinz的单调增区间为
[， ]（ｋ∈Ｚ）
点评:
（1）“整体思想”解题
（2）思考：
y=sin(-2x+)的单调增区间怎样求呢？
【解】
令z=-2x+，函数y=sinz的单调减区间为
[，]
故函数sin(-2x+)的单调增区间为
[ ， ]
（ｋ∈Ｚ）．
追踪训练二
1、 下列函数的单调区间：
（1） y=sin(x+
单调增区间为[2kπ-3π/4,2kπ+π/4]
单调减区间为[2kπ+π/4,2kπ+5π/4]
( ｋ∈Ｚ)
（2） y=3cos
单调增区间为[4kπ-2π,4kπ]
单调减区间为[4kπ,4kπ+2π]
( ｋ∈Ｚ)
2 、函数y=sinx（的值域为_[1/2,1]_
3、比较下列两个三角函数值的大小
(1) sin140、sin1550
(2) cos1150与cos2600
(3) sin1940与cos1600
高考热点
例4：
如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线对称，求a的值．
【解】
∵是函数y=sin2x+acos2x的
对称轴，
∴ 对任意x
均成立，令，有
∴ a=-1．
追踪训练三
求下列函数的的对称轴、对称中心
(1)
(2) ．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
值域
周期性
三角
函数
图象
和性
质
听课随笔
听课随笔
性质的运用
对称中心
对称轴
定义域
奇偶性
单调性
听课随笔第2课时
【学习导航】
知识网络
1．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）
2．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
这两个形式今后常用。
学习要求
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力
重点难点
重点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数
难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式?
【自学评价】
1．有关公式：
（1）；
（2）；
（3）。
说明：
1、在倍角公式中，以代替，以代替，即得；则将（1）（2）相除即得。
2、如果知道cosα的值和α角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得；
3、这三个公式的开方形式称为半角公式，不要求记忆，但推导方法要掌握。
4、。
说明：1、用正切的半角公式显然行不同（带正负号），回到基本关系式，并向右边看齐；
2、这种形式的正切半角公式不需考虑符号，要简单。
【精典范例】
例1化简：
【解】
例2求证：[sin(1+sin)+cos(1+cos)]×[sin(1sin)+cos(1cos)] = sin2
【证明】
【思维点拨】
关于“升幂”“降次”的应用:在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。
例3求函数的值域。
【解】
例4求证：
的值是与无关的定值。
【证】
例5 化简：
【解】
例6 求证：
【证明】
例7利用三角公式化简：
【解】
【追踪训练】
1． 若≤α≤，则
等于( )
2．的值等于( )
Ａ。sin2 Ｂ。－cos2
Ｃ。 cos2 Ｄ。－cos2
3．sin6°cos24°sin78°cos48°的值为( )
4．的值等于 。
5．已知sinｘ＝，则sin2（ｘ－）的值等于 。
6．已知
7．求值tan70°cos10°（tan20°－1）。
8．求值：
cos280°＋sin250°－sin190°·cos320°?
9．求的值。?
10．已知
，求sin4的值。
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
学习札记
学习札记
学习札记第二章 平面向量
【知识结构】
【重点难点】
重点：
向量及其相关概念；向量的坐标表示；向量的运算；利用向量的思想方法解决问题。
难点：
通过作图的方法理解两个基本定理；掌握向量夹角的概念，会用平面向量的数量积
解决有关长度、角度和垂直的简单问题。
2.1 向量的概念及表示
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；
2．通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；
3．通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
【课堂互动】
自学评价
1．向量的定义：
称为向量．
2.向量的表示：
（1）图形表示：______________________
（2）字母表示：______________________
3. 向量的相关概念：
（1） 向量的长度（向量的模）：
______________________，
记为______________________，
（2）零向量：
______________________，
记为______________________，
（3）单位向量：
______________________，
思考:平面直角坐标系内，起点在原点的单
位向量，它们终点的轨迹是什么图形？【答】
（4）平行向量：
____________________________叫做
平行向量．
（5）共线向量：
____________________________叫做
共线向量．
思考:
（1）平行向量与共线向量的关系？
【答】
（2）向量“共线”与几何中“共线”有何的区别？
【答】
（6）相等向量与相反向量：
_________________________,
_________________________．
【精典范例】
例1：判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
分析：本题考查的是向量的概念、向量的模
及平行向量、相等向量和单位向量，
所以从概念出发解决本题较容易．
【解】
点评:
正确解答该题的关键是把握住向量的两个要素，并从两个要素人手，区分其
它有关概念．
例2：
一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北500走了200千米到达C点，最后又改变
方向，向东行驶了100千米到达D点，
（1）作出向量
（2）求．
分析：
首先确立指向标，然后再根据行驶方向
确定出有关向量，进而求解.
【解】
点评:
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小
确定向量的终点．
例3：
如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量．
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？
变式三：与向量共线的向量有哪些？
分析：
结合向量的模、相等向量、共线向量解答．
【解】
点评:
多观察图形，结合概念进行解答．
追踪训练一
1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一
定不同.
【解】
2．已知Ｏ为正六边形ＡＢＣＤＥＦ的中心，在图所标出的向量中：
（1）试找出与共线的向量；
（2）确定与相等的向量；
（3）与相等吗？
【解】
3. 在图（1）中的４×５方格纸中有一个向量 ＡＢ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与ＡＢ相等的向量有多少个？与ＡＢ长度相等的共线向量有多少个？（ ＡＢ除外）
【解】
例3：
若E、F、M、N分别是四边形ABCD的边AB、
BC、CD、DA的中点，
求证：
【证明】
追踪训练二
1．已知四边形ABCD中，，且
，则四边形ABCD的形状是
_________________
2．⊙O的周长是2，AB是⊙O直径，C
是圆周上的一点，∠BAC=,CD⊥AB于D,
这时________
3．已知飞机从甲地按北偏东300的方
向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南
偏东300的方向飞行2000km到达丙地，
再从丙地按西南方向飞行1000km到
达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁
地距甲地多远？
学生质疑
教师释疑
字母表示
学习札记
学习札记
平面向量
背景
相等向量
向量的运算
向量的表示
向量的应用
向量的概念
单位向量
向量的模
零向量
表示方法
几何表示
向量的定义
向量
学习札记
学习札记
平行(共线)向量
线性运算
数量积第15课时
函数的图象(2)
【学习导航】
学习要求
1．能由正弦函数的图象通过变换得到的图象；
2．会根据函数图象写出解析式；
3．能根据已知条件写出 中的待定系数．
【课堂互动】
自学评价
1．函数与函数图象之间的关系；
2. 函数与函数图象之间的关系；
3. 函数与函数图象之间的关系；
4. 函数与图象之间的关系；
5．思考：函数（，）的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？
【精典范例】
例1：例1．若函数表示一个振动量：
（1）求这个振动的振幅、周期、初相；
（2）不用计算机和图形计算器，画出该函数的简图．
【解】（1）函数的振幅为，初相为，周期为．
（2）方法1函数的周期为，先用“五点法”作出一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性，通过向左、右平移（每次个单位）得整个图象
方法2函数的图象可看作由下面的方法得到的：
①作出正弦曲线,并将图象上所点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象；②再把函数图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象；③再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象．上述图象变换的顺序如下：
→→→．
问题：以上步骤能否变换次序？
方法3 ①将图象上所有点向右平移个单位，得到的图象；②把图象上所点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍 (横坐标不变)，得到的图象．上述图象变换的顺序如下：
→→→．
点评: 一般地，函数，的图象（其中，）的图象，可看作由下面的方法得到：①把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度；②再把所得各点横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）；③再把所得各点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）．即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换．
例2：已知函数（，，）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式．
【解】：由图知：函数最大值为，最小值为，
又∵，∴，
由图知
∴，∴，
又∵，∴图象上最高点为，
∴，即，
∵ ∴ ，
所以，函数的一个解析式为．
例3：已知函数（，，）的最小值是，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这个函数的解析式．
【解】：由题意：，， ∴，∴， ∴，
又∵图象经过点， ∴， 即，
又∵， ∴，所以，函数的解析式为．
追踪训练一
1.函数的图象是函数的图象按如下变换所得 （ D ）
A．左移 B．右移 C．左移 D．右移
2. 先将函数y=5sin（－3x）的周期扩大为原来的2倍，再将新函数的图象向右平移个单位，则所得图象的解析式
为（ A ）
（ ）
A．y=5sin（－） B．y=5cos
C．y=5sin（）D．y=5sin（－2x）
3. 若函数
() (A、＞0)图象上的一个最高点是，，由这个最高点到相邻最低点的一段曲线与轴交于点，，求这个函数的解析式．
解：
【师生互动】
听课随笔
听课随笔
听课随笔
学生质疑
教师释疑
听课随笔第6课时
【学习导航】
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学习要求
1．能由正弦函数的图象通过变换得到的图象；
2．会根据函数图象写出解析式；
3．能根据已知条件写出 中的待定系数．
【课堂互动】
自学评价
1．函数与函数图象之间的关系；
2. 函数与函数图象之间的关系；
3. 函数与函数图象之间的关系；
4. 函数与函数图象之间的关系；
思考：函数（，）的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？
【精典范例】
例1：例1．若函数表示一个振动量：
（1）求这个振动的振幅、周期、初相；
（2）不用计算机和图形计算器，画出该函数的简图．
【解】
点评: 一般地，函数，的图象（其中，），可看作由下面的方法得到：①把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度；②再把所得各点横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）；③再把所得各点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）．即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换．
例2：已知函数（，，）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式．
【解】：
例3：已知函数（，，）的最小值是，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这个函数的解析式．
【解】：
【追踪训练】
1.函数的图象是函数的图象按如下变换所得 （ ）
A．左移 B．右移 C．左移 D．右移
2. 先将函数y=5sin（－3x）的周期扩大为原来的2倍，再将新函数的图象向右平移个单位，则所得图象的解析式为（ ）
（ ）
A．y=5sin（－） B．y=5cos
C．y=5sin（）D．y=5sin（－2x）
3. 若函数
() (A、＞0)图象上的一个最高点是，，由这个最高点到相邻最低点的一段曲线与轴交于点，，求这个函数的解析式．
【师生互动】
学习札记
学习札记
听课随笔
学生质疑
教师释疑第7课时 三角函数的诱导公式2
分层训练：
1．若a=tan，则有( )
A．b＞a＞c B．a＞b＞c
C．b＞c＞a D．a＞c＞b
2．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cosC B．sin(A＋B)＝sinC
C.tan(A＋B)＝tanC D．sin
3．sin( -)＋cos( ＋)可化简为( )
A．2sin( -) B．2cos( ＋)
C．1 D．0
4．若n∈Z，则等于( )
A．tan B．-tan C．tann D．-tann
5．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin150°)的值为( )
A． B．- C． D．-
6．可化简为________．
7．△ABC中，sinA＝cosB，对于(1)A＝B；(2)A＋B＝；(3)A＋B＝ ；(4)A-B＝，可能成立的有________个．
8．若tan(-2 )＝m，( ≠，k∈Z)，则cot(＋2 )＝________．
9．已知f(n)＝sin(＋ )，(n∈N*)，化简f(n)f(n＋4)＋f(n＋2)f(n＋6)的结果是________．
10．已知f(sinx)＝cos3x，则f(cos10°)等于________．
拓展延伸：
11．求的值．
12．已知sin(3 - )＝sin ，cos(- )＝-cos( ＋ )，0＜ ＜ ，0＜ ＜ ， 求 与 的值．
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第13课时三角函数图象和性质(3)【学习导航】
知识网络
学习要求
1、能正确作出正切函数曲线；
2、借助图象理解正切函数的性质；
3、进一步研究正切函数的综合运用．
【课堂互动】
自学评价
1、先利用正切线来画出y=tanx
(x的图象．
2、正切函数图象的性质：
1．定义域：
｛ｘ∈R|ｘ≠π/２＋ｋπ｝．
2．值域：
Ｒ．
3．周期性：
T=π．
4．奇偶性：
y=tanx是奇函数．其图象关于
________________对称
它的对称中心为
________________________
5．单调性：
正切函数在
（ｋ∈Ｚ）上单调增
函数．
思考：
正切函数在整个定义域内是单调增
函数吗？
答：__________________________
【精典范例】
例1：
求函数y=tan(2x- 的定义域、周期、
单调区间．
分析：
求单调区间和定义域用的是整体代换法，
即把2x-看成是tanx中的x然后再去
求解有关问题．
【解】
定义域的求法见课本；
周期的求法见课本例5；
由< 2x-< ，
所以，函数y=tan(2x-单调区间为：
（，）．
例2：
已知(|x|≤)，
求的最小值．
分析：
经过换元，把该题转化为二次函数特定
区间求最值的问题．
【解】
令tanx=t ，则-1≤t≤1，
=
=( )2
当t=-1时，min=-4．
点评:
(1) 换元的思想在数学解题中是常用的数学思想；
（2）在特定区间求最值的问题时，注意运用数形结合的思想；
（3）若题意改为
“已知
(|x|≤)的最小值-4，求a的值．”
如何解呢？
追踪训练一
1、观察正切函数的图象，分别写出满足下列条件的x的集合
①tanx=0
{x|x=kπ，ｋ∈Ｚ}
②tanx<1
(kπ－π/２, kπ+π/4)
2、求下列函数的定义域：
①y=tan3x
｛ｘ∈R|ｘ≠π/6＋ｋπ/3，ｋ∈Ｚ｝
②y=tan(x+
｛ｘ∈R|ｘ≠π/6＋ｋπ，ｋ∈Ｚ｝
3、求函数
y=tan(
的值域？
(－∞, －]∪[,+ ∞)
例3、
已知正切函数
的图象与x
轴相交于两个相邻点的坐标为
和，且经过点（0，-3），求
其解析式．
【解】
依题意可得：T==
即 ，
即 ，
又图象过（0，-3），点，
所以，
∴
即 ．
追踪训练二
1、 y=sinx和y=tanx在[-1，1]有____1___个交点
2、比较下列两个三角函数值的大小
①tan2400、tan2600
②tan
3、函数的奇偶性是
________________________
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
正切函数曲线
周期性
综合运用
听课随笔
听课随笔
听课随笔第4课时 任意角的三角函数(2)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1． 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义；会用三角函数线表示任意角三角函数的值；
2． 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.
【课堂互动】
自学评价
1．单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：规定了方向（即规定了起点和终点）的线段。
3．有向线段的数量：若有向线段在有向直线上或与有向直线平行，根据有向线段与有向直线方向相同或相反，分别把它们的长度添上正号或负号，这样得到的数叫做有向线段的数量。
4．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，
过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
【精典范例】
三角函数线
例1．已知，求角的集合.
分 析：三角函数线——正弦线的定义，应先找到正弦线是的角
【解】
满足条件的集合为
.
例2．（1）若，确定的范围；
（2）若或，确定的范围.
分 析：利用三角函数线确定角的范围，再制定符号
【解】
利用三角函数线可得：
（1）[]
（2）
例3．比较与的大小.
分 析：利用三角函数线比较大小
【解】
利用三角函数线可得：
>与
追踪训练
1．作出下列各角的三角函数正弦线、余弦线、正切线：
（1） （2）
答：略
2．比较大小：
（1）与
（2）与
（3）与
答：（1）>
（2）>
（3）<
【师生互动】
三角函数值在各象限的符号
三角函数的定义域
任意角的三角函数的定义
正弦线、余弦线、正切线
任意角的三角函数
听课随笔
教师释疑
学生质疑
听课随笔第17课时 三角函数的应用(1)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期现象的重要模型.
2．培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
【课堂互动】
自学评价
1、三角函数可以作为描述现实世界中
________________现象的一种数学模型.
2、是以_________________
为周期的波浪型曲线.
【精典范例】
例1．
如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处开始计时.
（1）求物体对平衡位置的位移(cm)和时间t(s)之间的函数关系；
（2）求该物体在t=5s时位置.
分析：
这是一个物理问题，简谐运动的物体对平衡位置的位移(cm)和时间t(s)之间的函数关系x=.
【解】
（1）设和之间的函数关系为
则由，可得，
当时，有，
即
又，故可得，
所以所求函数关系为：
即 .
（2）令，得
故该物体在时的位置是在O点的
左侧且距O点处.
点评:
三角函数在物理中有比较多的应用，物理
中的单摆运动、波的传播、交流电等内容
可用三角函数来分析理解.
追踪训练一
1、点Ｏ为做简谐运动的物体的平衡位置，
取向右的方向为物体位移的正方向．
若已知振幅为５ｃｍ，周期为４ｓ，
且物体向右运动到平衡位置时开始计时．
（１）求物体对平衡位置的位移ｘ（ｃｍ）
和时间ｔ（ｓ）之间的函数关系；
（２）求该物体在ｔ＝７．５ｓ时的位置．
【解】
（1）
（2）在平衡位置的左方，且距平衡位置
2、某城市一年中１２个月的月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描述．已知６月份的月平均气温最高，为２９．４５℃，１２月份的月平均气温最低，为１８．３℃．求出这个三角函数的表达式，并画出该函数 的图象．
【解】
略
例2．
一半径为3水轮如图所示，水轮圆心
O距离水面，已知水轮每分钟转动四周，如果当水轮上点P从水中浮现时
（图中点P0）开始计算时间．
(1) 将点P距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
分析：
这是一个圆周运动的问题，圆周运动是
现实生活中的周期问题，它可以用三角
函数模型来解决，三角函数模型是描述
周期现象的重要模型．
【解】
(1) 不妨设水轮沿逆时针方向旋转，上图，建立平面直角坐标系．
设角是以为始边，
OP为终边的角，由OP在内所转过
的角为，可知以OX
为始边，OP为终边的角为，
故P点纵坐标为，则
当时，，可得
因为
∴ ，
故所求函数解析式为：
(2)令，得
取
解得．
故点P第一次到达最高点大约需要
追踪训练二
1． 一个悬挂在弹簧上的小球，被从它的静止
位置向下拉0.2米的距离，然后停止，如果此小球在被放开并允许振动，在
时又首次回到开始振动的位置，
①求出此小球运动的一个函数关系式；
②求当秒时小球所在的位置？
【解】
①
②在静止位置的上方0.2米处
2． 如图，点P是半径为rcm的砂轮边缘上的
一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时 针方向以角速度 rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于t的函数关系，并求点的运动周期和频率．
【解】
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
三角函数的
图象与性质
3
解决一些简单的实际问题
-2
O
y
X
）
听课随笔
P第10课时 向量的数量积(2)
【学习导航】
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学习要求
1．能够理解和熟练运用模长公式，两点距离公式及夹角公式；
2．理解并掌握两个向量垂直的条件．
【课堂互动】
自学评价
1．若则
2．向量的模长公式：
设则
=
3． 两点间距离公式：
设则
4．向量的夹角公式：
设,的夹角为，则有
5．两个向量垂直：
设,
,
注：对零向量只定义了平行，而不定义垂直。
【精典范例】
例1：已知＝（２，－１），＝（３，－２），求（３－）·（－２）．
【解】
因为·＝２×３＋（－１）×（－２）＝８，2＝２2＋（－１）2＝５，
2＝３2＋（－２）2＝１３，
所以（３－）·（－２）＝３2－７·＋２2＝３×５－７×８＋２×１３＝－１５．
点评:也可以先进行线性运算求出（３－）与（－２）的坐标再进行数量积．
例2：设.
.试求△AOB的面积.
【解】
答案:
例3：设
【解】
点评：本题棕合向量与三角，注意向量夹角的取值范围，灵活运用三角公式。
追踪训练一
1.
求：.
答：-15
2. 已知向量，若与垂直，则实数k=-1
3.
则x=
例4: 在△ABC中，设且△ABC为直角三角形，求k的值．
分析：未明确哪个角是直角，所以要分类讨论，
【解】
点评:
例5： 设向量，其中
⑴、试计算的值；
⑵、求向量的夹角大小。
【解】
答：⑴、
⑵、
追踪训练二
1．已知A、B、C是平面上的三个点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1）。那么0，∠ACB=45°,△ABC的形状为等腰直角三角形。
2．已知
，且的夹角为钝角，求实数m的取值范围。
答:
【师生互动】
向量的
数量积
的坐标
表示
模长公式
两点间距离公式
垂直条件
夹角公式
听课随笔
听课随笔
学生质疑
教师释疑第7课时 向量的坐标表示2
分层训练：
1．若向量（x,y）=0,则必有 ( )
A x=0 或 y=0 B. x=0 且y=0
C. xy=0 D. x+y=0
2．(2001年全国新课程卷)若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2), 则c= ( )
A. B.
C. D.
3．设a=(1,-2) b=(4,3) 则-2a+3b=
4．已知a=(10,-4) b=(3,1) , c=(-2,3),试用b ,c 表示a,则a =
５．若平行四边形ABCD的三个顶点为
A（4，2）B（5，7）C（-3，4）则点D的坐标为
6．若三角形ABC的三边中点分别为D(2,1),E(-3,4) ,F(-2,1),则三角形ABC 的重心坐标为:
7．已知力=（2，-1），=（1，5），三个力的合力为=(0,1),则=
8．已知向量a=(3,1) b=(2,-1),点O为坐标原点，若向量 ，求向量的坐标
拓展延伸：
9．已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及
（1）当t为何值是，P在X轴上？P在Y轴上？P在第二象限？
（2）O，A，B，P四点能否构成平行四边形？若能求出相应的t值；若不能请说明理由。
10．已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且,求点P的坐标.
提示：查用课本上的定比分点公式
本节学习疑点
学生质疑
教师释疑第18课时三角函数的应用(2)
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学习要求
1．会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期现象的重要模型.
2．培养学生分析问题的能力和解决问题的能力.
【课堂互动】
自学评价
1、三角函数可以作为描述现实世界中
________________现象的一种数学模型.
2、是以_________________
为周期的波浪型曲线.
【精典范例】
例1．
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深．
（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为４ｍ，安全条例规定至少要有１．５ｍ的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）若船的吃水深度为４ｍ，安全间隙为１．５ｍ，该船在２：００开始卸货，吃水深度以每小时０．３ｍ的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
分析：
1、考察数据，可选用正弦函数，再利用待
定系数法求解；
2、在涉及三角不等式时，可利用图象求解．
【解】
（1）可设所求函数为：
，
由已知数据求得
，，T=12，
，
∴ .
在整点时的水深近似为：
１：００，５：００，１３：００，
１７：００为６．３ｍ；２：００，
４：００，１４：００，１６：００为
７．２ｍ；７：００，１１：００，
１９：００，２３：００为３．７ｍ；
８：００，１０：００，２０：００，
２２：００为２．８ｍ．
（2）由，
得
画出的图象，由图象
可得
0.4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6
故该船在０：２４至５：３６和
１２：２４至１７：３６期间可
以进港，在港口能呆５．２ｈ．
（3）若２≤ｘ≤２４，ｘ时刻的吃水深度
为h(x)=4-0.3(x-2)，由
，得
画出
和的图象，
由图象可知当ｘ＝６．７时，
即６：４２时，该船必须停止
卸货，驶向较深的水域．
点评:
这是一个与潮汐运动有关的港口的水深问题，是现实生活中的周期问题，它可以用三角 函数模型来解决，三角函数模型是描述 周期现象的重要模型．
追踪训练一
1、某港口相邻两次高潮发生时间间隔１２ｈ２０ｍｉｎ，低潮时入口处水的深度为２．８ｍ，高潮时为８．４ｍ，一次高潮发生在１０月３日２：００．
（１）若从１０月３日０：００开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深ｄ（ｍ）和时间ｔ（ｈ）之间的函数关系；
（２）求１０月５日４：００水的深度；（３）求１０月３日吃水深度为５ｍ的轮船能进入港口的时间．
【解】
例2．
如图，摩天轮的半径为40cm，点O踞
地面的高度为50cm，摩天轮做匀速转动
，每3min转一圈，摩天轮上的P的起始
位置在最低点处．
（1） 试确定在时刻t(min)时点P距离地
面的高度；
（2） 在摩天轮转动的一圈内，有多长
时间点P距离地面超过70m
图见课本P46的第11题
【解】
（１）y=50-40cos2t/3
（2）1min
追踪训练二
1．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的
最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，
血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读
数120∕80Hg为标准值，设某人的血压满
足函数式，其中为血压，(mmHg)，t为时间(min),试回答下列问题：
①求函数的周期；
②此人每分钟心跳的次数；
③画出函数的草图；
④求出此人的血压在血压计上的读数．
解：①
② 80
③略
④收缩压为140mmHg
舒张压为90mmHg
2．已知某海滨浴场海浪高度y(m)是时间
t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：
，下表是某日各时的浪高数
据：
经长时间观察，的曲线可近似
看成．
（１）根据以上数据，求函数
的周期T，振幅A及函数表达式．
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对
对冲浪爱好者开放，请根据（１）的
结论，判断一天内的上午8：00时至
晚上20：00时之间，有多少时间可供
冲浪者进行运动？
【解】
（１）A=0.5，T=12
（2）在规定时间上午8：00至晚上20：00
时之间，有6时间可供冲浪者进行运动，
即上午9：00至下午5：00．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
三角函数的
图象与性质
解决一些简单的实际问题
听课随笔
听课随笔
听课随笔2.3 向量的坐标表示
第1课时
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学习要求
1．了解平面向量的基本定理及其意义；
2．掌握三点（或三点以上）的共线的证
方法；
3．提高学生分析问题、解决问题的能力．
【课堂互动】
自学评价
1．平面向量的基本定理：
如果，是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数，，使
．
2．基底：
平面向量的基本定理中的不共线的向量，，称为这一平面内所有向量的一
组基底．
思考：
（1） 向量作为基底必须具备什么条件？
（2）一个平面的基底唯一吗？
【答】⑴
⑵
3. 向量的分解、向量的正交分解：
一个平面向量用一组基底，表示成
的形式，我们称它为向量的分解，当，互相垂直时，就称为向量的正交分解．
思考：
平面向量的基本定理与向量共线定理在内容
和表述形式上的区别与联系？
【答】
4. 点共线的证明方法：
_____________________________
_____________________________
【精典范例】
例1：
如图：平行四边形ABCD的对角线AC和BD
交于一点M，，，试用，
，表示．
分析：
利用关系式和来
求解．
【解】
点评:
（1）画图,直观,形象,具体化.
（2）把所求向量放到三角形或平行四边形
中, 运用法则进行求解．
例2：设是平面 的一组基底，如果
，
求证：A、B、D 三点共线．
分析：
欲证A、B、D 三点共线，只需证明共起点的两个向量与共线，即证
．
【证明】
点评:
（1） 将点共线问题转化为向量共线问题；
（2）共起点（或共终点）的必要性，点的选择任意．
例3：
如图，在平行四边形ABCD中，点在AB的延长线上，且,点在上，且，用向量法证明：
、、 三点共线
分析：
只需证明与共线，即等于某一个实数与的积，可选择一组
向量为基底，把、都用基底来
表示．
【证明】
点评:
证明两个向量共线，可以选择一组恰当的
基底来表示这两个向量．
追踪训练
1.若是平面内所有向量的一组基底，则
下面的四组向量中不能作为一组基底的是
（ ）
．和
．与
．和
．与
2. 若是平面内所有向量的一组基底，
那么下列结论成立的是 （ ）
．若实数使，则
．空间任意都可以表示为
∈R
．∈R不一定表示平
面内一个向量
．对于这一平面内的任一向量，使
的实数对有无
数对
3. 三角形ABC中，若D，E，F依次是
的四等分点，则以
为基底时，
用表示
4. 若=,=，
，写出用表示
, 的形式
【解】
【师生互动】
学习札记
学习札记
学习札记
学生质疑
教师释疑
基底
向量
共线
定理
向量的分解
平行四边形法则
平面
向量
基本
定理第2课时
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学习要求
1、 能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象；
2、 会用五点画图法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图；
3、 借助图象理解正、余弦函数的图象性质(1)(2)
4、初步运用正、余弦函数的图象性质(1)(2)
【课堂互动】
自学评价
一、平移正弦线画出正弦函数的图象
1．在单位圆中，作出对应于的角及相应的正弦线
2．作出y=sinx在[0，2]区间上的图象
(1)平移正弦线到相应位置
(2)连线
3．作出y=sinx在R上的图象
二、用五点画图法画出正弦函数在[0，2]区间上的简图
三、平移正弦曲线的方法画出余弦函数的
图象；
思考:
1、y=sinx、y=cosx有什么的关系？为什么？
____________________________
2、由y=sinx的图象怎样作出y=cosx的
图象？
______________________________
四、用五点画图法画出正弦函数在[0，2] 区间上的简图
五、仔细观察正弦曲线和余弦曲线，总结
正弦函数与余弦函数的的图象性质：
(1)定义域
_______________________________
(2)值域
_______________________________
对于y=sinx：
当且仅当x=_________________时，
当且仅当x=_________________时，
对于y=cosx：
当且仅当x=_________________时，
当且仅当x=_________________时，
【精典范例】
1、 用“五点法”画函数的简图
例1：画出下列函数的简图
（1）y=cosx,xR
y=2cosx,xR
（2）y=sinx, xR
y=sin2x, xR
分析：作出函数图象首先要列表，然后描点，
连线，然而作图的关键是找“五点”
【解】（1）
先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性得整个图象
思考:函数y=sinx与y=cos2x的图象之间有何联系？
先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性得整个图象
点评:抓住“五点”
二、求三角函数的最值
例2：求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量x的集合
（1）y=cos (2) y=2-sin2x
【解】
点评:运用“整体思想”解题
三、求三角函数的定义域
例3：求函数 的定义域
分析：要求其定义域，需满足sinx≥0
且cosx≠-1，这是函数本身的要求，又sinx，cosx的定义域为
R，因此只需考虑以上两个条件
即可
【解】
点评:
（1） 求函数的定义域时，对限制条件不要遗漏，解每个不等式时，结果要
表示成集合的形式；
（2） 在解有关三角不等式时，常运用三角函数的图象，数形结合，解法简捷、直观。
追踪训练
1、 下列等式有可能成立吗？为什么？
（1） 2cosx=3
（2） sin2x=0.5
【解】
2、 画出下列函数的简图，并比较这些图象与正弦函数曲线的区别与联系
(1) y=sinx-1
(2) y=2sinx
3、求下列函数的最小值及取得最小值时的自变量x的集合
(1) y=-2sinx
(2) y=2-cos
4、求下列函数的定义域
（1）
（2）已知的定义域为
[0，]，求的
定义域
例4：求函数
的值域
点拔：
（1）经过换元后，把这个三角函数转化 为二次函数特定区间求值域的问题；
（2）注意：换元时，一定要考虑换元的
取值范围。
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
三角函数线
周期性
初步运用
三角函数图象和性质(1)(2)
学习札记
学习札记
学习札记第3课时 向量减法作业
分层训练
1．若，，则 （ ）
． ．
． ．
2．下列四式不能化简为的是 （ ）
．（+）+
．（+）+（+）
．+
．+
3．在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则—= （ ）
． ． ． ．
4．在平行四边形ABCD中，，
＝，，，则下列等式中
不正确的是 （ ）
． ．
． ．
5．下列等式：①；②；
③；④；⑤
，其中正确的个数有 （ ）个．
．２ ．３ ．４ ．５
6．在正六边形ABCDEF中，O为中心，其中，，，，则向量
（ ）． ．
． ．
7．已知，
作，，则∠AOB=
_______________________
8．化简下列各式：
①
②
9．如图，已知向量，，，作出向量：
① ②
并说出这两个向量的关系？
拓展延伸
10．如图 ABCD是一个梯形,AB∥CD且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若 ，，，试用，表示
和.
11．在静水中划船的速度是每分钟40米，水流的速度是每分钟20米，如果船从岸边出发，
径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么
船行进方向应指向何处，实际船速为多少？
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑三角恒等变换
基础检测
1．(05春北京)在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，则△ABC一定是 ( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
2．的值是 ( )
A． B．eq \f(,2)
C． D．
3．已知x∈(－,0)，cosx＝，则tan2x等于 ( )
A． B．－
C． D．－
4．(2004春北京)已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则下列不等关系中必定成立的是( )
A．tan＜cot，
B．tan＞cot，
C．sin＜cos，
D．sin＞cos．
5．f(x)＝的值域为
6．(04江苏)已知0＜α＜，tan＋cot＝，则sin(α－)的值为
7．(03上海)若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，α∈(0,2π)，则α＝ ．
8．已知cosθ＋cos2θ＝1，则sin2θ＋sin6θ＋sin8θ＝
9．设cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α＋β）．
10．(04湖北)已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α
＝0，α∈[,π]，求sin(2α＋)的值．
选修检测
11．等式sinα＋cosα＝有意义，则m的取值范围是 ( )
A．(－1,) B．[－1,]
C．[－1,] D．[―,―1]
12．(05全国)在△ABC中，已知tan＝sinC，则以下四个命题中正确的是 ( )
(1)tanA·cotB＝1．
(2)1＜sinA＋sinB≤．
(3)sin2A＋cos2B＝1．
(4)cos2A＋cos2B＝sin2C．
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
13．已知α∈(0,π)，且sinα＋cosα＝，则tanα的值为 ( )
A．－ B．－ 或－
C．－ D． 或－
14．函数的最大值为( )
A. B. C. D.2
15．函数y＝5sin(x＋20°)－5sin(x＋80°)的最大值是 。
16．若圆内接四边形的四个顶点A、B、C、D把圆周分成∶∶∶＝4∶3∶8∶5，则四边形四个内角A、B、C、D的弧度数为 。
17．(05北京)在△ABC中，sinA＋cosA＝eq \f(,2)，AC＝2，AB＝3，则tanA= ，△ABC的面积为
18．在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
19．是否存在锐角α和β，使α＋2β＝①，且tantanβ＝2－②，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
20.已知sinα+sinβ=m,cosα+cosβ=.
(1)求实数m的范围.
(2)当m取最小值时，求sin(α+β)的值.
21.已知AB=2a，在以AB为直径的半圆上有一点C，设AB中点为O，∠AOC=60°.
(1)在上取一点P，若∠BOP=2θ,把PA+PB+PC表示成θ的函数；
(2)设f(θ)=PA+PB+PC，当θ为何值时f(θ)有最大值，最大值是多少 第8课时 向量的坐标表示3
【学习导航】
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学习要求
1．进一步掌握向量的坐标表示；
2．理解向量平行坐标表示的推导过程；
3．提高运用向量的坐标表示解决问题的能力.
【课堂互动】
自学评价
1．向量平行的线性表示是:
2．向量平行的坐标表示是:设=(,)， =(,)（），如果∥，那么，反之亦成立．
3．已知A，B，C，O四点满足条件：,则能得到 A，B，C三点共线
【精典范例】
例1：已知A（－1，0），B（3，－1），
C（1，2），并且
求证：．
分析：通过A（－1，0），B（3，－1），
C（1，2）三点坐标可求出,在由
可求出E,F,的坐标．由此可得证．
【解】,,
,
所以．
点评:也可以这样证:=
=,
所以．
例2：已知=(1,0),=(2,1),当实数k为何值时，向量k－与+3平行？并确定此时它们是同向还是反向．
【解】k－=
+3=
由向量平行的条件可得
解之得,,
此时,k－=(+3).
因此，它们是反向的．
点评: =()中,实数时,它们同向;
时,它们反向．
例3：如图,已知A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标．
【解】设，
则，
∵∥
∴4x-4y=0 ①
∵,
又∥
∴ ②
由①、②得
∴P的坐标为（3，3）．
追踪训练一
1． 已知向量=(2,3), =(6,y),且//,求实数y的值．
答：y=9
2． 已知，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（－1，3），C（3，4），求第四个顶点D的坐标．
答：D(6,2)
3． 已知A（0，－2），B（2，2），C（3，4），求证：A，B，C三点共线．
答：∵∴A，B，C三点共线．
例4: 已知点O，A，B，C，的坐标分别为（0，0），（3，4），（－1，2），（1，1），是否存在常数t，成立 解释你所得结论的几何意义．?
分析：是否存在性问题必须注意解题格式，现假设存在，能推出什么样的结论看其与已知条件或定理、公里 是否相矛盾，然后下结论．?
【解】设存在常数t，使得，
则（３，４）＋t（－１，２）＝（１，１），
所以t，
所以
此方程组无解，故不存在这样的常数t．
上述结论表明向量与不平行．?
追踪训练二
1．已知向量=（－3，－4），则求与向量同方向的单位向量．
答：同方向的单位向量的坐标为.
2．若两个向量=(－1,x), =(－x,4)方向相同，求－2．
答：－2=(3, －6).
3．已知向量=(1,2), =(－2,1),向量=+(t+1) ,=－k+,k,t为正实数，是否存在k,t,使得//,若存在求出k,t 的值, 若不存在，请说明理由．
【解】
∵//
∴
化简得，
∵k,t为正实数
∴不存在k,t，使.
【师生互动】
向量平行
表示
应用
线性表示
坐标表示
三点共线
听课随笔
A
A
P
O
C
B
听课随笔
听课随笔
学生质疑
教师释疑第3课时
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学习要求
1． 掌握向量数乘的定义，会确定数乘后
的向量的模及方向；
2．掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算；
3．通过本节课的学习，渗透类比思想和化归的思想.
【课堂互动】
自学评价
1. 向量的数乘的定义：
一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作______，它的长度和方向规定如下：
（1）|λ|=|λ| ||
（2）当λ>0时，__________________；
当λ<0时，__________________；
当λ=0时，__________________；
_________________叫做向量的数乘.
2. 向量的线性运算的定义：
_______________________________
统称为向量的线性运算.
3. 向量的数乘的作图：
已知，作.
当λ>0时，把按原来方向变为原来的
λ倍；
当λ<0时，把按原来向量的相反方向
变为|λ|倍.
4. 向量的数乘满足的运算律：
设λ，μ为任意实数，，为任意
向量，则
（1）结合律：
_________________________
（2）分配律：
________________________
__________________________
注意：
（1）向量本身具有“形” 和“数”的双重
特点，而在实数与向量的积的运算过
程中，既要考虑模的大小，又要考虑
方向，因此它是数形结合的具体运用，
这一点提示我们研究向量不要脱离它
的几何意义.
（2）向量的数乘及其运算性质可类比整式
的乘法来理解和记忆.
【精典范例】
例1：
已知向量和向量，求作：
（1） 向量
（2） 向量．
分析：
按照向量的数乘的作图方法来作要求的
向量.
【作法】
点评:
向量的和、差、数乘的作图也可以有其它的作法．
例2： 计算
（1）（-5） 4
（2）
（3）
分析：
根据实数与向量的线性运算的法则去解题．
【解】
点评:
（1）向量的数乘与实数的乘法的区别：
相同点：
这两种运算都满足结合律和分配律．
不同点：
实数的乘法的结果（积）是一个实数，
而向量的数乘的结果是一个向量．
（2）向量线性运算的结果是一个向量，
运算法则与多项式运算类似．
例3：已知和是不共线向量，
（t∈R），试用
和表示．
分析：
中的向量变为
起点都是为O的向量的差，然后解
出．
【解】
点评:
（1）本题主要运用向量的线性运算，把所
给的转化为已知向量和所求的向量， 再解出所求的向量．
（2）还可以转化为来做．
例4：
已知：⊿ABC中，D为BC中点，E、F
为 AC、BA的中点，AD、BE、CF、相交
于O点，
求证：
（1）；
（2）；
（3）
分析：（1）根据三角形法则，写出的表达
式（两个），再利用相反向量的和为零向量，可得．
（2）、（3）运用（1）的结论推出即可．
【解】
（1）
（2）
（3）
点评:
本题的中点向量
可以作为公式来记．
追踪训练：
1. 计算：
（１）
（２）
【解】
（１）
（２）
2. 已知向量，，且
求．
【解】
3. 如图，在△ABC中，=, = ，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量
【解】
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
听课随笔
b
BM
D
a
数乘的运算律
向量的数乘的运用
向量的数乘的定义
CM
听课随笔
向量的数乘
A第5课时
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学习要求
1. 巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式
2. 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值
3. 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程
4. 准确记忆并理解诱导公式,灵活运用诱导公式求值
【课堂互动】
自学评价
1、(1)利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值：为角的终边与单位圆的交点
则 ，；
2、诱导公式
由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
(1)公式一:
思考：除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？
当角的终边与角的终边关于轴对称时，与的三角函数值之间的关系为： 。
(2)公式二：
当角的终边与角的终边关于 轴对称，或是关于原点对称时，与的三角函数值之间的关系为：
(3)公式三：
(4)公式四：
说明：①公式中的指使公式两边有 意义的任意一个角；
②若是角度制，同样成立, 如，；
③公式特点：函数名不变，符 号看象限；
【精典范例】
例1例1．求下列三角函数值：
（1）； （2）；
（3）．
分析：先将不是范围内角 的三角函数，转化为范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内角的三角函数的值。
【解】
【归纳总结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化大于的正角的三角函数为内的三角函数；
③化内的角的三角函数为锐角的三角函数．
可概括为：“负化正，大化小，小化锐”（有时也直接化到锐角求值）．
例2判断下列函数的奇偶性：
（１）
（２）
【解】
说明:公式二可直接对应三角函数的奇偶性．
追踪训练
1，求下列各式的值
（1）．sin( - )（2）．sin( - )
2．判断下列函数的奇偶性：
【选修延伸】
例3．化简
．
【解】
说明：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论．
【师生互动】
教师释疑
学生质疑
学习札记
任意角的三角函数
三角函数线
诱导公式的运用
学习札记
诱导公式的推导第3课时
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学习要求
1． 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义,会用三角函数线表示任意角三角函数的值；
2． 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.
【课堂互动】
自学评价
1．三角函数值是比值，因而是一个实数，这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关，而由的终边位置决定，由于确定的角，其终边的位置也唯一地确定了。
2．不是与的乘积，它是一个比值，三角函数符号是一个整体，离开自变量的“”“”等是没有意义的。
3．在确定形如角的象限时，一般要分k为奇数或偶数来讨论。
4．确定象限时，与是等效的。
5．在三角形中，由于角的范围是，所以正弦值恒为正，若余弦或正切值为正，则角为锐角，反之为钝角。
【精典范例】
例1．已知
，那么分别是第几象限角？
例2．如果角的终边经过点,恰为方程组的解，求角的正弦、余弦、正切值。
例3．若两内角A、B满足
，判断三角形的形状。
追踪训练
1．已知为第三象限角且，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答：B
2．下列各式为正号的是：（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3． 点在第一象限内，且，求的取值范围。
【师生互动】
三角函数值在各象限的符号
三角函数的定义域
任意角的三角函数的定义
正弦线、余弦线、正切线
任意角的三角函数
学习札记
教师释疑
学生质疑
学习札记第14课时 三角函数的应用(1)
分层训练
1．当两人提重为|的书包时，夹角为，用力为||，则为_____时，||最小（ ）
A． B． C．0 D．
2．某人向正东方向走x千米后向右转1500，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好为千米，那么x的值为 （ ）
A． B．
C．或 D．3
3．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是300、600，则塔高为（ ）
A． 米 B．米
C．米 D． 米
4．从高出海平面的小岛处看正东方有一只船，俯角为300，看正南方向的一只船的俯角为450，则此时两船的距离为（ ）
A． B．
C． D．
5．下表是某城市1995―2004年月平均气温（0C）
若用表示月份，y表示气温，则下列四个函数模型中最合适的是 （ ）
A． B．
C．
D．
6．用作调频无线电信号的载波
为模型，其中的单位是秒，则此波的周期为___________,频率为_________
7．振动量的初相和频率分别为和，则它的相位是____
________________________
8．发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：IA=Isin, IB=Isin, IC=Isin
,则IA+IB+IC=_______________
9．单摆从某一点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S(cm)和时间t(秒)的关系式为S=6sin
, ①单摆开始摆动(t=0)时，离开平衡位置多少厘米？②单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？③单摆来回摆动一次需要多少时间？
拓展延伸
10．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店内的销售价格是在8元的基础上按月份随正弦曲线波动，并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月销售完，请估计哪个月盈利最
大，并说明理由．
学生质疑
教师释疑
本节学习疑点：第9课时 三角函数的诱导公式3
分层训练：
1．已知，且为第四象限角，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．的值为( )
A．1 B． C.0 D.2
3．角与的终边关于y轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin=sin B．cos=cos
C．tan=tan D．
4．若则 ( )
A．B． C．D．
5．设
，则_________.
6. 若，则sinxcosx的值为_______________.
7．已知
，其中均为非零实数，且，则_________.
8．已知
，求：
的值。
9．已知与是方程
的两根，且为锐角，求a的值。
10．已知，求
的取值范围
11．在中，角A、B、C的对边为a、b、c，其中c边最长，且
（1） 求证：为直角三角形；
（2） 当c=1时，求面积的最大值。
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第7课时 三角函数的诱导公式(1)
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学习要求
1. 巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式
2. 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值
3. 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程
4. 准确记忆并理解诱导公式,灵活运用诱导公式求值
【课堂互动】
自学评价
1、(1)利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值：为角的终边与单位圆的交点
则 ，；
2、诱导公式
由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数相等．
(1)公式一:
思考：除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？
当角的终边与角的终边关于轴对称时，与的三角函数值之间的关系为：
(2)公式二：
当角的终边与角的终边关于 轴对称，或是关于原点对称时，与的三角函数值之间的关系为：
(3)公式三：
(4)公式四：
说明：①公式中的指使公式两边有 意义的任意一个角；
②若是角度制，同样成立, 如，；
③公式特点：函数名不变，符 号看象限；
【精典范例】
例1例1．求下列三角函数值：
（1）； （2）；
（3）．
分析：先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内角的三角函数的值。
解：（1）
（公式一）
（公式四）
．
（2）（公式二）（公式一）
（公式四）．
【归纳总结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化大于的正角的三角函数为内的三角函数；
③化内的三角函数为锐角的三角函数．
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．
例2判断下列函数的奇偶性：
（１）
（２）
【解析】（１）因为函数ｆ（ｘ）的定义域是Ｒ，且
所以ｆ（ｘ）是偶函数．
（２）因为函数ｇ（ｘ）的定义域是Ｒ，且
=
=
所以ｇ（ｘ）是奇函数．
说明:公式二可直接对应三角函数的奇偶性．
追踪训练
1，求下列各式的值
（1）．sin( - )（2）．sin( - )
2．判断下列函数的奇偶性：
【选修延伸】
例3．化简
．
解：①当时，
原式
．
②当时，
原式
．
说明：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论．
【师生互动】
任意角的三角函数
三角函数线
诱导公式的推导
诱导公式的运用
听课随笔
听课随笔
学生质疑
教师释疑第8课时
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学习要求
1．会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期现象的重要模型.
2．培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
【课堂互动】
自学评价
1、三角函数可以作为描述现实世界中
________________现象的一种数学模型.
2、是以_________________
为周期的波浪型曲线.
【精典范例】
例1．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.
（1）求物体对平衡位置的位移(cm)和时间t(s)之间的函数关系；
（2）求该物体在t=5s时的位置.
分析：
这是一个物理问题，简谐运动的物体对平衡位置的位移(cm)和时间t(s)之间的函数关系x=.
【解】
点评:
三角函数在物理中有比较多的应用，物理
中的单摆运动、波的传播、交流电等内容
可用三角函数来分析理解.
【追踪训练一】
1、点Ｏ为做简谐运动的物体的平衡位置，
取向右的方向为物体位移的正方向．
若已知振幅为５ｃｍ，周期为４ｓ，
且物体向右运动到平衡位置时开始计时．
（１）求物体对平衡位置的位移ｘ（ｃｍ）
和时间ｔ（ｓ）之间的函数关系；
（２）求该物体在ｔ＝７．５ｓ时的位置．
【解】
2、某城市一年中１２个月的月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描述．已知６月份的月平均气温最高，为２９．４５℃，１２月份的月平均气温最低，为１８．３℃．求出这个三角函数的表达式，并画出该函数 的图象．
【解】
略
例2． 一半径为3水轮如图所示，水轮圆心
O距离水面，已知水轮每分钟转动四周，如果当水轮上点P从水中浮现时
（图中点P0）开始计算时间．
(1) 将点P距离水面的高度表示为时间的的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
分析：
这是一个圆周运动的问题，圆周运动是
现实生活中的周期问题，它可以用三角
函数模型来解决，三角函数模型是描述
周期现象的重要模型．
【解】
学生质疑
教师释疑
【追踪训练二】
1． 一个悬挂在弹簧上的小球，被从它的静止
位置向下拉0.2米的距离，然后停止，如果此小球在被放开并允许振动，在
时又首次回到开始振动的位置，
①求出此小球运动的一个函数关系式；
②求当秒时小球所在的位置？
2． 如图，点P是半径为rcm的砂轮边缘上的
一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度 rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于t的函数关系，并求点的运动周期和频率．
【解】
【师生互动】
学习札记
三角函数的
图象与性质
3
解决一些简单的实际问题
-2
O
y
X
学习札记
）
P3.1.3两角和与差的正切
【分层训练】
2、若tanα= 2, ,tan（β－α）=3，则
tan（β－2α）=（ ）
A．－1 B．－ C． D．
5、 = （ ）
A．－ B． C．－ D．
6、已知tan（α＋β）= ,tan（β－）= ,则tan（α＋）= （ ）
A． B． C． D．
7、若，则
的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
1、 。
2、已知tanα、tan（－α）是方程x2＋px＋q=0的两根，则p－q = .
3、若，则 。
【拓展延伸】
学生质疑
教师释疑
1、化简。
3、已知在△中，
，又
，试判断△的形状．
4、已知tanx＋tany = 5m ,tan（x＋y）= 6m ,
（m≠0）, tan（x－y）= ,求m的值及tanx、
tany的值。
【本节学习疑点】第2课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1． 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义；会用三角函数线表示任意角三角函数的值；
2． 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.
【课堂互动】
自学评价
1．单位圆：___________________________
2．有向线段:__________________________
3．有向线段的数量：_____________________
_________________________________________________________________________。
4．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
我们就分别称有向线段______________为正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线。
例1：已知，求角的集合.
分 析：三角函数线——正弦线的定义，应先找到正弦线是的角的签边。
【解】
例2．（1）若，确定的范围；
（2）若或，确定的范围.
分 析：利用三角函数线确定角的范围，再制定符号
【解】
例3：比较与的大小.
分 析：利用三角函数线比较大小
【解】
追踪训练
1． 作出下列各角的三角函数正弦线、余弦线、正切线：
（1） （2）
2．比较大小：
（1）与
（2）与
（3）与
【师生互动】
三角函数值在各象限的符号
三角函数的定义域
任意角的三角函数的定义
正弦线、余弦线、正切线
任意角的三角函数
学生质疑
学习札记
学习札记
O
教师释疑
O第5课时
【学习导航】
学习要求
1．了解函数的实际意义；
2．弄清与函数的图象之间的关系；
3．会用五点法画函数的图象;
4．理解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想．
【课堂互动】
自学评价
1．函数与函数图象之间的关系；
（1）函数的图象是将的图象向___平移______个单位长度而得到;
(2) 函数的图象是将的图象向___平移______个单位长度而得到.
一般地，函数（），的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左（时）或向右（时）平行移动个单位长度而得到，这种变换称为相位变换．
2. 函数与函数图象之间的关系;
(1) 函数，的图象是将
的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的__倍（横坐标不变）而得到;
(2) 函数，的图象是将
的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的___倍（横坐标不变）而得到;
一般地，函数, 的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（时）或缩短（时）到原来的倍（横坐标不变）而得到，这种变换称为________．因此，，的值域是，最大值为，最小值为．
3. 函数与函数图象之间的关系;
(1)函数，的图象是将
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的__倍（纵坐标不变）而得到;
(2)，的图象是将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的___倍（纵坐标不变的情况下）而得到;
一般地，函数，（）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（时）或伸长（时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，这种变换称为________．
4. 函数与图象之间的关系
(1)例4、作出函数的图象
想一想：他们的周期有什么关系？
问题：函数是将函数的图象向___平移______个单位长度而得到;
(2)函数的图象
想一想：他们的周期有什么关系？
问题：函数是将函数的图象向___平移______个单位长度而得到.
一般地，
问题归纳：
一般地函数的图象可以看作是把的图象上所有的点向左()或向右()平移||个单位长度而得到的．
【精典范例】
例1．（1）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
（2）将函数的图象上所有的点
得到的图象，再将 的图象上的所有点
可得到函数的图象．
（3）要得到的图象，只需将函数的图象 ．
（4）要得到函数的图象，需将函数的图象 ．
（5）已知函数，若将的图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍，然后将整个函数图象向上平移个单位，得到曲线与的图象相同，则的解析式是 ．
【解】：
例2：要得到的图象，需要将函数的图象进行怎样的变换？
分析：函数名称化为相同时，才可以进行平移变换
【解】
例3：已知函数（）在一个周期内，当时， 有最大值为2，当时，有最小值为－2．求函数表达式，并画出函数在一个周期内的简图。（用五点法列表描点）
【追踪训练】
1.将函数的图象向右平移2个单
位，再向上平移1个单位后可得到函数________
2．已知，
，则的图象 （ ）
A．与图象相同
B．与图象关于y轴对称
C．向左平移个单位得到的图象
D．向右平移个单位得到的图象
3. 将函数图象上每一点的纵坐标缩小为原来的倍，横坐标压缩为原来的倍，再将整个图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，则函数
_______________．
【师生互动】
学习札记
学习札记
学生质疑
教师释疑第7课时 向量的坐标表示2
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学习要求
1．能正确的用坐标来表示向量；
2．能区分向量的坐标与点的坐标的不同；
3．掌握平面向量的直角坐标运算；
4．提高分析问题的能力．
【课堂互动】
自学评价
1．一般地，对于向量，当它的起点移至原点O时，其终点的坐标称为向量的（直角）坐标，记作
2.有向线段AB的端点坐标为A(,)，
B(,)，则向量的坐标为
3.若=(,)， =(,)
+=
-=
4.线段的定比分点坐标公式: ()
若 则P点坐标是
【精典范例】
例1：如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限，，求向量的坐标.
分析：向量正交分解的逆过程，理清线段与坐标轴所成的角度。
【解】设点，则
,,
即，所以
例2：已知A（-1，3），B（1，-3），C（4，1），D（3，4），求向量的坐标.
分析：正确的用点的坐标表示出对应向量的坐标.
【解】，，
，
点评: 四边形OCDA是平行四边形
例3：平面上三点,,,
求D点坐标,使A,B,C,D这四个点构成平行四边形的四个顶点.
分析：利用向量平行坐标表示
【解】设,分三种情况,
(1) 构成平行四边形ABCD时,
,,
由得
(2) 构成平行四边形ACDB时,同法得
(3) 构成平行四边形ADBC时,同法得
所以，D点坐标为或.
点评:考虑问题要全面，注意分类讨论.
追踪训练一
1. 与向量平行的单位向量为（C）
A. B.
C. 或 D.
2. 若O（0，0），B（－1，3）且=，
则坐标是：（－3，9）
3. 已知O 是坐标原点，点A在第二象限，求向量的坐标。
答：=(
例4: 已知是直线求P的坐标。
分析：法一、求P点坐标的理论根据是：两向量相等对应坐标相等。
法二、可改写成可得同样可得结论。
【解】设，则
由，得
因为
所以
因此，P的坐标为.
追踪训练二
1．已知A，B两点的坐标分别为（m, －n）,
(-m,n),C点分所成的比为-2，那么C点坐标为 （－3m,3n）
2．已知两点（-1，-6），（3，0），点P（）分有向线段所成的比为，则= -0,25 ，y -8
3．已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为
（－2，1），一组对边AB，CD，的中点分别为M（3，0）N（－1，－2），求平行四边形其余各顶点的坐标。
答案：B（8，-1）C（4，-3）D（-6，-1）
【师生互动】
听课随笔
听课随笔
听课随笔
学生质疑
教师释疑
平面向量的坐标
平面
向量
的坐
标运
算
坐标运算
中点坐标公式第5课时 任意角的三角函数(3)
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学习要求
1． 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义；会用三角函数线表示任意角三角函数的值；
2． 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.
【课堂互动】
自学评价
1．三角函数值是比值，因而是一个实数，这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关，而由的终边位置决定，由于确定的角，其终边的位置也唯一地确定了。
2．不是与的乘积，它是一个比值，三角函数符号是一个整体，离开自变量的“”“”等是没有意义的。
3．在确定形如角的象限时，一般要分k为奇数或偶数来讨论。
4．确定象限时，与是等效的。
5．在三角形中，由于角的范围是，所以正弦值恒为正，若余弦或正切值为正，则角为锐角，反之为钝角。
【精典范例】
例1．已知
，那么分别是第几象限角？
分 析：因为，所以在第二、四象限。又因为，所以在第二、三象限，因而为第二象限的角，然后由角的集合正确地写出的集合。
【解】（1）由题设可知是第二象限角，即当为偶数时，为第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，所以是第一或三象限角。
（2）因为
所以是第三、四象限角。
（3）因为的终边在第二象限，所以的终边在第三象限，将的终边按逆时针方向旋转，可知的终边在第四象限。
例2．如果角的终边经过点,恰为方程组的解，求角的正弦、余弦、正切值。
分 析：本题求解的关键是先求出x,y，再进一步求出r，所以可以先通过解方程组求解。
【解】由解得，所以
所以
例3．若两内角A、B满足
，判断三角形的形状。
【解】为钝角三角形。
追踪训练
1．已知为第三象限角且，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答：B
2．下列各式为正号的是：（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答：C
3． 点在第一象限内，且，求的取值范围。
答：或
【师生互动】
三角函数值在各象限的符号
三角函数的定义域
任意角的三角函数的定义
正弦线、余弦线、正切线
任意角的三角函数
听课随笔
教师释疑
学生质疑
听课随笔2.2 向量的线性运算
第1课时
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学习要求
1．掌握向量加法的定义；
2．会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；
3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算.
【课堂互动】
自学评价
1. 向量的和、向量的加法：
已知向量和，____________________
___________________________________
则向量叫做与的和，记作：
________________
___________________________________
叫做向量的加法.
注意：
两个向量的和向量还是一个向量
2.向量加法的几何作法：
（1）三角形法则的步骤：
①__________________________
②__________________________
③ __________________________
∴就是所作的
（2）平行四边形法则的步骤：
①__________________________
②__________________________
③ __________________________
∴就是所作的
注意：
向量加法的平行四边形法则，只适用于
对两个不共线的向量相加，而向量加法
的三角形法则对任何两个向量（共线向
量 ）都适用.
3．向量加法的运算律：
（1）向量加法的交换律：
_____________________________
(2) 向量加法的结合律：
_____________________________
思考：
如果平面内有n个向量依次首尾连接
组成一条封闭折线，那么这n个向量
的和是什么？
【答】
【精典范例】
例1．
如图：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
（！）
（2）
（3）
【解】
例2：化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
分析：
向量的加法运算要恰当运用运算律，有
时需要去括号后重新组合，有时需要适
当添括号.
【解】
点评:
①向量加法公式非常重要，它可以使我们不画图就能写出结果，从而使解题更加快捷；
②多个向量首尾相接相加，其和向量为
以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量.
例3：
在长江南岸某渡口处，江水以12.5
km∕h的速度向东流，渡船的速度
为25km∕h，渡船要垂直地渡过长
江，其航向应如何确定？
分析：
如图，渡船的实际速度，船速
与水速应满足.
【解】
追踪训练一
1.已知，，求作：
2.已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，
则下面结论中正确的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
3. 如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
【选修延伸】
例4:
如图，在重300N的物体上拴两根绳子这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为300，600，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子的拉力的大小.
分析：
把物体的受力问题看成向量的合成，即
向量的加法，进而解三角形.
【解】
例5：
已知向量，比较|与
的大小.
分析：
因为向量包含长度和方向，所以在比较
长度的大小时，要注意其方向.
【解】
点评:
①解答本题时可利用向量加法的三角形
法则作出图形辅助解答；
②解答本题的关键是准确、恰当地作好
分类.
追踪训练二
1．设点O是⊿ABC内一点，若
，则必有（ ）
A.点O是⊿ABC 的垂心
B.点O是⊿ABC 的外心
C.点O是⊿ABC 的重心
D. 点O是⊿ABC 的内心
2．在⊿ABC中，求证：
3．对任意，不等式
成立吗？请
说明理由.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
听课随笔
向量加法的运算律
听课随笔
向量加法的定义
向
量
的
加
法
平行四边形法则
运用
向量
的和
三角形法则第6课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1. 能近一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值
2. 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程
3. 近一步准确记忆并理解诱导公式,灵活运用诱导公式求值
口诀：奇变偶不变，符号看象限
【课堂互动】
自学评价
1．复习四组诱导公式：函数名不变，
符号看象限；
2已知：，求
的值．
解：
说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的较简单的三角函数式。
3．若角的终边与角的终边关于直线对称（如图）
(1)角与角的正弦函数与余弦函数值之间有何关系
(2)角的终边与角的终边是否关于直线对称？
(3)由(1),(2)你能发现什么结论？
答：
推导方法：
说明：
【精典范例】
例1．求证：
证明：
例2 已知cos（75+）=，
且-180<<-90，求cos（15-）的值。
【分析】注意到（15-）+（75+）
=90，因此可将cos（15-）转化为
sin（75+）
【解】
追踪训练
1．已知：，
求的值．
2. 若cos(75+α) = ,α是第三象限角，cos(105-α)+sin(α-105)
的值等于 ___
3．判断函数
的奇偶性．
【师生互动】
学习札记
任意角的三角函数
三角函数线
诱导公式的运用
诱导公式的推导
学习札记
学生质疑
教师释疑第9课时 向量的数量积(1)
分层训练
1．若的夹角为，则k的值为________
2．若向量，且则向量______
3．设平面向量
，若的夹角为钝角，则的以值范围为____________
4．与垂直的单位向量为_________
5．已知若不超过5，则k取值范围为______ ___
6．已知向量方向的投影为，______
7．已知
=_______
8．在梯形ABCD中，已知，若，求D点坐标。
9．在△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1）BC边上的高为AD，求的坐标。
拓展延伸
10．设
本节学习疑点
学生质疑
教师释疑3.2二倍角的三角函数(2)
【学习导航】
知识网络
1．二倍角公式为仅限于是的二倍的形式，其它如是的两倍，是的两倍，是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当时，就是的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。尤其是“倍角”的意义是相对的。
2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）
3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
这两个形式今后常用。
学习要求
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力
学习重点
理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数
学习难点
灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式?
【自学评价】
1．有关公式：
（1）；
（2）；
（3）。
说明：
1、在倍角公式中，以代替，以代替，即得；则将（1）（2）相除即得。
2、如果知道cosα的值和α角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得；
3、这三个公式的开方形式称为半角公式，不要求记忆，但推导方法要掌握。
4、。
说明：1、用正切的半角公式显然行不同（带正负号），回到基本关系式，并向右边看齐；
2、这种形式的正切半角公式不需考虑符号，要简单。
【精典范例】
例1化简：
解：原式
= 2|sin4 + cos4| +2|cos4|
∵
∴sin4 + cos4 < 0 cos4 < 0
∴原式= 2(sin4 + cos4) 2cos4 = 2sin4 4cos4
例2求证：[sin(1+sin)+cos(1+cos)]×[sin(1sin)+cos(1cos)] = sin2
证：左边 = (sin+sin2+cos+cos2)×(sinsin2+coscos2)
= (sin+ cos+1)×(sin+cos 1)
= (sin+ cos)2 1 = 2sincos = sin2 = 右边
∴原式得证
关于“升幂”“降次”的应用:在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。
例3求函数的值域。
解： ——降次
∵ ∴
例4求证：的值是与无关的定值
证： —降次
∴的值与无关
例5 化简： ——升幂
解：
例6 求证： ——升幂
证：原式等价于：
左边
右边=
∴左边=右边 ∴原式得证
例7利用三角公式化简：
分析：化正切为正弦、余弦，便于探索解题思路。
解：
指出：例４的解法用到了很多公式，其解法的关键是“化切为弦”与逆用公式。
例8已知3sin2 + 2sin2 = 1，3sin2 2sin2 = 0，且、都是锐角，求+2的值
解：由3sin2 + 2sin2 = 1 得1 2sin2 = 3sin2 ∴cos2 = 3sin2
由3sin2 2sin2 = 0 得sin2 =sin2 = 3sincos
∴cos(+2) = coscos2 sinsin2 = cos3sin2 sin3sincos = 0
∵0<<90, 0<<90 ∴0< +2 <270 ∴+2 = 90
【追踪训练】
1．若≤α≤，则等于( C )
2．的值等于( )
Ａ。sin2 Ｂ。－cos2 Ｃ。 cos2 Ｄ。－cos2
3．sin6°cos24°sin78°cos48°的值为( A )
4．的值等于 。
5．已知sinｘ＝，则sin2（ｘ－）的值等于 2－ 。
6．已知（）
7．求值tan70°cos10°（tan20°－1）。（－1）
8．求值：cos280°＋sin250°－sin190°·cos320°?
解：原式＝＋sin10°cos40°?
＝1＋×2×（－sin30°sin50°）＋sin10°cos40°?
＝1－sin50°＋（sin50°－sin30°）?
＝1－＝
9．求的值。?
解：原式＝
10．已知，求sin4的值。
解：∵ ∴
∴ ∴cos2 =
又∵ ∴2 (, 2)
∴sin2 =
∴sin4 = 2sin2cos2 =第5课时 向量的数乘（2）
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学习要求
1．理解并掌握向量共线定理；
2．能运用向量共线定理证明简单的几何问题；
3．培养学生的逻辑思维能力.
【课堂互动】
自学评价
1.向量的线性表示：
如果（），则称向量可以
用非零向量线性表示.
2.向量共线定理：
一般地，对于两个向量（），，
如果有一个实数λ，使
（）
那么与是共线向量；反之，如果
与是共线向量，那么有且只有一个
实数λ，使
.
思考: 向量共线定理中有条件的限制，若无此限制，会有什么结果？
【答】 _______
_______________________________
【精典范例】
例1．如图Ｄ，Ｅ分别为 △ＡＢＣ的边ＡＢ，ＡＣ的中点，求证：
（1）与共线，
（2）将用线性表示．
分析：
本题运用共线向量的知识和向量的数乘解决一些共线与线性表示的问题．
【证明】
∵Ｄ，Ｅ分别为ＡＢ，ＡＣ的中点，
∴ＤＥ∥ＢＣ，
即与共线．
又 ∵ＤＥ＝，
且与同向，
∴ ＝
点评:
本题的讲解是为引人向量共线定理作
准备.
例2．
设、是两个不共线的向量，已知
，，
=，若A、B、D三点共线，求
k的值.
分析：
本题是两个向量共线的条件的应用，只
要利用、两个向量共线就可以
列出关于k的方程，然后利用消元法解
方程组即可求出k的值.
【解】
=（）（）
=
∵ A、B、D三点共线，故存在实数
λ，使得
即
=
由向量相等的条件得
所以
点评: 一般地，若、不共线，
而与共线，
对应相等.
【变式】
设、是两个不共线的向量，已知
，，
=，
求证：A、B、D三点共线.
分析： 利用向量的运算求出
，再利用向量共线定理证明共线，即A、B、D三点共线.
【证明】略
例3．
如图：△ＯＡＢ中，Ｃ为直线ＡＢ上一
点，＝λ（λ≠－１）．
求证：＝．
分析：
将已知条件中的，用结论式中的
，，表示，进而解出．
【证明】 因为＝
又 ＝λ，
所以＝λ（－），
即（１＋λ）＝＋λ
又因为 λ≠－１，
即 １＋λ≠０，
所以
思考:
（1）当λ=１时，你能得到什么结论？
【答】
当λ=１时，C是线段AB的中点.
(2)上面所证明的结论
表明：起点为O，
终点为直线AB上一点C的向量可
以用，表示，那么两个不共线
的向量，可以表示平面内任意
一个向量吗？
【答】
用不共线的两个向量，可以表 示平面内任意一个向量.
追踪训练一
1.已知向量＝２－２，＝－３（
－），求证：与是共线向量．
【证明】
因为=
所以与是共线向量．
2. 设、是两个不共线的向量，，，若与
是共线向量，求k的值.
【解】
∵与是共线向量，
∴存在实数λ，使得
∴
∴
３．如图，在△ＡＢＣ中，＝＝，记＝，＝，
求证：＝（）．
【证明】
∵，
∴
∴
=（）．
【选修延伸】
例4．
已知向量，，
其中、是两个不共线，向量
，是否存在这样的实数λ，μ
使得与共线？
分析：根据向量共线定理，设存在，然后
列出方程组，若方程组有解就存在，
否则就不存在．
【解】
=k
∴
∴λ=
故存在实数λ，μ满足条件．
例5．（2002年天津）平面直角坐标系中，
已知，若点满足
，其中且
，求点的轨迹方程？
分析：
把代人，先
对向量式进行化简，也可以利用结论判断A、B、C、共线．
【解】
由，得
，
，
∴A、B、C、共线，即点C的轨迹为
直线AB
∴点C的轨迹方程为：x+2y-5=0．
点评:本题的考查意图就是向量共线定理．
追踪训练二
1.求证：起点相同的三个非零向量，
的终点在同一条直线上．
【证明】设起点为O，，
，则，
，，
∴共线且有公共点A,
∴A、B、C、共线，即，，的
终点在同一条直线上．
2.已知：在⊿ABC中，设
，，CD与BE交于
P，试用，表示．
=
3．证明：如果存在不全为０的实数ｓ，ｔ，使得ｓ＋ｔ＝，那么与是共线向量；如果与不共线，且ｓ＋ｔ＝，那么ｓ＝ｔ＝０．
【证明】
（1）不妨设,则
∴与是共线向量
（2）假设ｓ，ｔ不全为0，
由ｓ＋ｔ＝知：
与是共线向量，这与已知 与不共线矛盾，
∴ｓ＝ｔ＝０．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
听课随笔
听课随笔
向量共线定理
共线定理的应用
向量的数乘（2）
听课随笔必修4 第1章 三角函数
单元检测
一．基础检测
1、已知为第二象限角，且，那么= （ ）
A、或 B、 C、 D、
2、函数为增函数的曲间是 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、下列函数中，既是奇函数，又是以为最小正周期的函数是 （ ）
A、 B、
C、 D、
4、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
5、设角的终边经过点，则的取值范围是
6、已知：，且，则角的取值范围是
7、函数的定义域
8、函数ｆ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（ω＞０，φ∈［０，２π））的图象如图所示，试求该函数的振幅、频率和初相．
9、已知，若是第二象限角，求实数的值？
10、求证：
11、已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值为3，当时，取得最小值为-3，求函数的解析式。
12、已知关于的方程的两根为和，，求：
（1）的值；（2）的值；（3）方程的两根及此时的值。
二．选修检测
13、的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
14、函数的图象 （ ）
A、关于点对称 B、关于点对称
C、关于直线对称 D、关于直线对称
15、函数的值域为（ ）
A、（
B、
C、
D、
16、若把函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，在把所有的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，最后得到的图象正好与函数的图象相同，则的解析式为 （ ）
A、 B、
C、 D、
17、角终边上一点M（，-2），且，则=_ .
学生质疑
教师释疑
18、的大小关系是
19、如果函数的图象关于对称，那么等于
20、定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为
21、已知
求的值。
22、已知；，求值：（1）；（2）。
23、已知：函数的最大值为0，最小值为-4，若实数，求的值
24、已知函数，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。
本节学习疑点第3课时
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学习要求
1．全面理解向量数量积的含义；
2．熟练应用向量的数量积的运算律和向量的坐标表示来计算向量的数量积．
【课堂互动】
自学评价
1．已知是单位向量，当它们之间的夹角分别为450、900、1350时，在方向上的投影为 （ ）
A、 B、
C、 D、
2.已知=0，则a与b的夹角为（ ）
A、600 B、900
C、450 D、300
3.已知均为单位向量，它们的夹角为600，那么=（ ）
A、 B、
C、 D、4
4.已知点A（1，2），B（4，-1），能否在y轴上找到一点C，使=900？若能，求出C点的坐标；若不能，说明理由.
【精典范例】
例1：已知向量
t为正实数，求的k的最小值.
【解】
例2：平面直角坐标系中有点,,
⑴、求向量与的夹角的余弦用x表示的函数f(x);
⑵、求的最大值和最小值.
【解】
追踪训练一
1. 已知且，那么 ;
2. 已知段BC的中点，则向量的夹角的余弦值为______
3. 已知向量在x轴上有一点P，使有最小值，则P的坐标为___________
【选修延伸】
例3：用向量的方法求点P(2,5)到直线l:3x-4y-1=0的距离.
【解】
追踪训练二
1.已知是平面坐标系中分别与轴正方向同向的两个单位向量，O为坐标原点，且，，则△OAB的面积为
2.在△ABC中，已知=4，试确定△ABC的形状.
【师生互动】
教师释疑
学生质疑
学习札记
垂直条件
长度公式
夹角公式
两点距离公式
数量积的运算律
数量积的几何意义
力做功
数量积的定义
向量的夹角
数量积的坐标表示
数量积的定义
向量的数量积
学习札记第6课时 平面向量基本定理
【学习导航】
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学习要求
1．了解平面向量的基本定理及其意义；
2．掌握三点（或三点以上）的共线的证
方法；
3．提高学生分析问题、解决问题的能力．
【课堂互动】
自学评价
1．平面向量的基本定理：
如果，是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数，，使
．
2．基底：
平面向量的基本定理中的不共线的向量，，称为这一平面内所有向量的一
组基底．
思考：
（1） 向量作为基底必须具备什么条件？
【答】
不共线
（2）一个平面的基底唯一吗？
不唯一
3. 向量的分解、向量的正交分解：
一个平面向量用一组基底，表示成
的形式，我们称它为向量的分解，当，互相垂直时，就称为向量的正交分解．
思考：
平面向量的基本定理与向量共线定理在内容
和表述形式上的区别与联系？
【答】
由平面向量共线定理可知，任意一个向量可
以用一个与它共线的非零向量来线性表示，
而且这种表示是唯一的；平面向量的基本定
理是向量共线定理的推广．
4. 点共线的证明方法：
共起点（或共终点）的向量共线．
【精典范例】
例1：
如图：平行四边形ABCD的对角线AC和BD
交于一点M，，，试用，
，表示．
分析：
利用关系式和来
求解．
【解】
=．
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以
所以
．
点评:
（1）画图,直观,形象,具体化.
（2）把所求向量放到三角形或平行四边形
中, 运用法则进行求解．
例2：设是平面 的一组基底，如果
，
求证：A、B、D 三点共线．
分析：
欲证A、B、D 三点共线，只需证明共起点的两个向量与共线，即证
．
【证明】
=
=
=5
所以 向量与共线，
又与有公共的起点A，
所以A、B、D 三点共线A、B、D 三点共线．
点评:
（1） 将点共线问题转化为向量共线问题；
（2）共起点（或共终点）的必要性，点的选择任意．
例3：
如图，在平行四边形ABCD中，点在AB的延长线上，且,点在上，且，用向量法证明：
、、 三点共线
分析：
只需证明与共线，即等于某一个实数与的积，可选择一组
向量为基底，把、都用基底来
表示．
【证明】
设，则
同理
∴
∴=3，∴与共线
∵ 与有公共的点
∴ 、、 三点共线
点评:
证明两个向量共线，可以选择一组恰当的
基底来表示这两个向量．
追踪训练
1.若是平面内所有向量的一组基底，则
下面的四组向量中不能作为一组基底的是
（ ）
．和
．与
．和
．与
2. 若是平面内所有向量的一组基底，
那么下列结论成立的是 （ ）
．若实数使，则
．空间任意都可以表示为
∈R
．∈R不一定表示平
面内一个向量
．对于这一平面内的任一向量，使
的实数对有无
数对
3. 三角形ABC中，若D，E，F依次是
的四等分点，则以
为基底时，
用表示
4. 若=,=，
，写出用表示
, 的形式
【解】
设=则:
=(
即：
【师生互动】
听课随笔
听课随笔
听课随笔
学生质疑
教师释疑
基底
向量
共线
定理
向量的分解
平行四边形法则
平面
向量
基本
定理第14课时
函数的图象(1)
【学习导航】
学习要求
1．了解函数的实际意义；
2．弄清与函数的图象之间的关系；
3．会用五点法画函数的图象;
4．理解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想．
【课堂互动】
自学评价
1．函数与函数图象之间的关系；
（1）函数的图象是将的图象向___平移______个单位长度而得到;
(2) 函数的图象是将的图象向___平移______个单位长度而得到.
一般地，函数（），的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左（时）或向右（时）平行移动个单位长度而得到，这种变换称为相位变换．
2. 函数与函数图象之间的关系;
(1) 函数，的图象是将
的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变的情况下）而得到;
(2) 函数，的图象是将
的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到;
一般地，函数, 的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（时）或缩短（时）到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到，这种变换称为振幅变换．因此，，的值域是，最大值为，最小值为．
3. 函数与函数图象之间的关系;
(1)函数，的图象是将
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变的情况下）而得到;
(2)，的图象是将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变的情况下）而得到;
一般地，函数，（）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（时）或伸长（时）到原来的倍（纵坐标不变的情况下）而得到的，这种变换称为周期变换．
4. 函数与图象之间的关系
(1)例4、作出函数的图象
想一想：他们的周期有什么关系？
问题：函数是将函数的图象向___平移______个单位长度而得到;
(2)函数的图象
想一想：他们的周期有什么关系？
问题：函数是将函数的图象向___平移______个单位长度而得到.
一般地，
问题归纳：
一般地函数的图象可以看作是把的图象上所有的点向左()或向右()平移||个单位长度而得到的．
【精典范例】
例1．（1）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
（2）将函数的图象上所有的点
得到的图象，再将 的图象上的所有点
可得到函数的图象．
（3）要得到的图象，只须将函数的图象 ．
（4）要得到函数的图象，需将函数的图象 ．
（5）已知函数，若将的图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍，然后将整个函数图象向上平移个单位，得到曲线与的图象相同，则的解析式是 ．
【解】：（1）将的图象向左平移个单位；
（2）向右平移个单位；纵坐标缩短为原来的（横坐标不变）；
（3）向左平移的单位；
（4）向左平移个单位；
（5）．
例2：要得到的图象，需要将函数的图象进行怎样的变换？
分析：函数名称化为相同时，才可以进行平移变换
【解】
需要将函数的图象向右平移个单位。
例3：已知函数
（）在一个周期内，当时， 有最大值为2，当时，有最小值为－2．求函数表达式，并画出函数在一个周期内的简图。（用五点法列表描点）
【解】
图略.
追踪训练一
1.将函数的图象向右平移2个单
位，再向上平移1个单位后可得到函数
2．已知，
，则的图象 （ D ）
A．与图象相同
B．与图象关于y轴对称
C．向左平移个单位得到的图象
D．向右平移个单位得到的图象
3. 将函数图象上每一点的纵坐标缩小为原来的倍，横坐标压缩为原来的倍，再将整个图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，则函数
．
【师生互动】
听课随笔
听课随笔
听课随笔
学生质疑
教师释疑第2课时 任意角、弧度
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学习要求
1． 理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；
2． 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题；
3． 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系.
【课堂互动】
自学评价
1．规定：周角 为1度的角； 叫做1弧度的角.
2．角度制与弧度制相互换算：
1弧度= （度）；1度= （弧度）
注意：（1）用“弧度”为单位度量角，当弧度数用来表示时，如无特别要求，不必把写成小数，例如弧度，不必写成弧度。
（2）角度制与弧度制不能混用。
3．把下列各角从弧度化为度：
4．把下列各角从度化为弧度：
5．下列命题中，假命题的是（ ）
A、“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；
B、1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；
C、根据弧度的定义，一定有成立；
D、不论是用角度制还是用弧度制量角，它们与圆的半径长短有关.
6．角的弧度数的绝对值（为弧长，为半径）
若｜α｜≤２π，则有圆心角为α的扇形的面积为
（其中为弧长，为半径）
【精典范例】
一、弧度制的概念
例1．把下列各角从弧度化为度：
（1） （2）
分 析：主要考查弧度与角度的换算
【解】
（1）；
（2）
例2．把下列各角从度化为弧度：
（1） （2）
分 析：主要考查弧度与角度的换算
【解】
（1）；
（2）
二、弧长公式和扇形面积公式
例3．已知扇形的周长为8厘米，圆心角为2弧度，求该扇形的面积.
分 析：主要考查扇形的弧长公式和面积公式
【解】
【选修延伸】
若扇形的周长为定值，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？
追踪训练
1．把下列各角从弧度化为度：
（1） （2）
（3） （4）
答:（1） （2）
（3） （4）
2．把下列各角从度化为弧度：
（1） （2）
（3） （4）
答:（1） （2）
（3） （4）
3．将表示成的形式，且.
答:
4．（1）用弧度制表示： 终边在分别在轴、y轴、坐标上的角的集合
（2）用弧度制表示：第二象限角的集合
答:
（2）
【师生互动】
任意角的三角函数
教师释疑
学生质疑
听课随笔
弧长公式
扇形面积公式
特殊角的弧度数
弧度化角度
听课随笔
角度化弧度
角度与弧度的互化
弧度数
定义
弧度数复习课1
【学习导航】
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学习要求
1、公式正用要善于拆角；逆用要构造公式结构；变用要抓住公式结构
2、化简
（1）化简目标：项数尽量少
（2）化简基本方法：异角化同角；异名化同名；切割化弦；常值代换
3、求值
（1）求值问题的基本类型：给角求值；给值求值；给值求角；给式求值
（2）技巧与方法：切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换
4、证明
（1）证明基本方法：化繁为简法、左右归一法、变更命题法
注意：条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的差异与联系。
重点难点
重点：两角和与差的余弦、正弦、正切公式
难点：灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明
【自学评价】
两角和与差的正、余弦公式
【精典范例】
例1求值：（1）
（2）sin18°和cos36°
例2已知，，，求sin2的值。
例3已知 ， 求的值。
例4 若且
,求的值。
例5 已知锐角, , 满足sin+sin=sin, coscos=cos, 求的值。
例6已知tan，tan是关于x的一元二次方程x2+px+2=0的两实根，求的值。
例7 若，求f (x)= sinx
+cosx的最大值和最小值，并求出此时的x值。
例8 已知f (x)=-acos2x-asin2x
+2a+b，其中a>0，x[0,]时，-5≤f (x)≤1，设g(t)=at2+bt-3，t[-1,0]，求g(t)的最小值。
思维点拔：
无论是化简、求值还是证明都要注意：角度的特点、函数名称的特点；其中切弦互化是常用手段；三角变换公式要灵活应用，注意角的范围对解题的影响，同时要掌握有关解题技巧：化弦、辅助角、角变换、公式逆用、正余弦和积互换。
【追踪训练】：
1． 在△ABC中，C>90，则tanAtanB与1的关系适合 （ ）
A tanAtanB>1 B tanAtanB>1
C tanAtanB =1 D 不确定
2．若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝，sinβ＋cosβ＝b，则（ ）
A ab＜1 B a＞b
C a＜b Ｄ ab＞2
3．
＋ ?
4．设，(,)，tan、tan是一元二次方程的两个根，求 + .
5．已知tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两个根,求sin2（α＋β）－3sin（α＋β）cos（α＋β）－3cos2（α＋β）的值。?
学生质疑
教师释疑
6．已知α、β为锐角，cosα＝，tan（α－β）＝－，求Cosβ的值。?
7．已知sin(45 ) = ，且45 < < 90，求sin .
8试求函数
的最大值和最小值。若呢？
【师生互动】
听课随笔
听课随笔
听课随笔
相除
相除
以代
以代第16课时
函数的图象(3)
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学习要求
1．能由正弦函数的图象通过变换得到的图象；
2．会根据函数图象写出解析式；
3．能根据已知条件写出 中的待定系数．
【课堂互动】
自学评价
1． 函数图象可由“五点法”画出。
2． 由正弦函数的图象，通过平移以及将图象上的点的横、纵坐标进行伸长或缩短等方法，得到图象，体现从特殊到一般的思想和数形结合思想的运用。
3． 利用待定系数法，根据适当的条件，求的解析式。
4． 利用三角函数解决实际问题的一般步骤：（1）审题，获取有用信息；（2）构建三角模型，即立三角关系式；（3）求解三角关系，得出结论；（4）给出实际问题的解答。
【精典范例】
例1：求的最大值。
【解】当时，
当时，
总之：函数的最大值为
例2：已知函数
的最小正周期不大于2，则求正整数k的最小值。
【分析】函数的最小正周期为，可知该函数的最小正周期为，由已知，即
所以k的最小正整数值为13
例3：求函数
的周期、单调区间和最大值、最小值。
【分析】
，
∴周期
当
时，函数单调递增，故所求函数的递增区间为8
当
时，
函数单调递减，故所求函数的递减区间为
当时，
当
例4：把曲线C：
向右平移a（a>0）个单位，得到的曲线Ｃ‘关于直线对称。
（1） 求a的最小值
（2） 就a的最小值证明：当
时，曲线Ｃ‘上的任意两点的直线斜率恒大于零。
【解】：（１）∵
故曲线Ｃ‘的方程为
它关于直线对称，
∴，即
，
解得：
∵a>0,∴a的最小值是
（２）当时，曲线Ｃ‘的方程为
，由该函数的图像可知，
当时，该函数是增函数，所以当x1所以（即斜率恒大于零）。
追踪训练一
1.下列函数中，最小正周期为，且图象关于 对称的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答：Ｄ
２．为了得到的图象，可以将函数的图象（ ）
Ａ．向右平移个单位长度
Ｂ．向右平移个单位长度
Ｃ．向左平移个单位长度
Ｄ．向左平移个单位长度
答：Ｂ
３．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，求的最小值．
答：
【师生互动】
听课随笔
听课随笔
听课随笔
学生质疑
教师释疑第10课时 三角函数的周期性
【学习导航】
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学习要求
1,理解三角函数的周期性概念，
2,理解三角函数的周期性和函数的奇偶性之间的关系，
3,会求三角函数的最小正周期，提高观察、抽象的能力
【课堂互动】
自学评价
1．对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期
2．最小正周期
对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期．
例如，是正弦函数的所有周期中的最小正数，所以是正弦函数的最小正周期，同样地，也是余弦函数的最小正周期．研究三角函数周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．
3．及
型的三角函数的周期公式
例1若摆钟的高度h（mm）与时间 t(s)之间的函数关系如图所示。
（1） 求该函数的周期；
（2） 求t=10s时摆钟的高度。
【解】
(1)由图象可知该函数的周期为1.5s.
(2)设h=f(t) 由函数f(t)的周期为1.5s，可知f(10)= f(1+61.5)= f(1)=20，故t=10s时摆钟的高度为20mm.
【归纳总结】
根据图象的周期变化可得周期;如在一周期中的任一x对应的f(x)的值可求，则对定义域内的任意x+T对应的f(x)可求。
例2.求下列函数的周期：
（1）y=cos2x
（2）y =sinx
（3）y =2sin（x - ）
【分析】该例的三个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归纳为基本三角函数去处理。
【解】（1）如果令2x=则cos2x=cos是周期为2的函数
cos(2x+2)=cos2x
即cos2（x+)= cos2x
cos2x的周期为
（2）如果令x=则sin=sinx是周期为2的函数
sinx(+2)= sin
即sin[(x+4)]= sin
sin的周期为4
(3)2sin(-+2)=2sin（x - ）即2sin[(x+6)-]=2sin（x - ）
2sin（x - ）的周期为6
【归纳总结】由上例我们可以看到函数周期的变换仅与自变量x的 系数有关，一般地，y =Asin（x+ ）或
y =Acos（x+ ）的周期为T=（>0）
例3．已知函数，满足对于一切都成立，求证：是的一个周期．
【证明】
4是的一个周期。
追踪训练
1．求下列函数的周期：
2.若函数的最小正周期为，求正数ｋ的值．
3．若弹簧振子对平衡位置的位移（ｃｍ）与时间ｔ（ｓ）之间的函数关系如图所示：(1)求该函数的周期；
(2)求ｔ＝10.5ｓ时弹簧振子对平衡位置的位移
参考答案
1， ; 6 2，K=3
3，（１）周期为4
（２）-8cm
【师生互动】
三角函数的周期性
比较函数的奇偶性
最小正周期
听课随笔
教师释疑
学生质疑
听课随笔第1章 三角函数
【知识结构】
【重点难点】
重点：任意角、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数间的关系、诱导公式、以及三角函数的图象和性质；
难点：任意角的三角函数、三角函数的图象和性质.
1.1 任意角、弧度
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【知识网络】
【学习要求】
1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念；
2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示.
【课堂互动】
【自学评价】
1．角的定义：
.
2．正、负的概念：按 方向旋转所 成的角叫正角，按 方向旋转所成的角叫负角，如果一条射线 ，我们称它形成了一个零角.
注意：正角、负角的引入是从正、负数类比 而来.它是用来表示具体相反意义的旋转量的，其正、负的规定出于习惯，就像正、负数的规定一样.
3．象限角的概念：在直角坐标系中研究角 时，如果角的顶点与 ，角的始边与 ，那么，角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角，若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为 .
思考: （1）下列角分别是第几象限角？
这当中一些角有什么共同特征？
（2）具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与角终边相同的角的集合吗？
【答】（1） .
（2） .
4．终边相同的角
一般地，与角终边相同的角的集合：
注意：（1）；
（2）是任意角；
（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。终边相同的角有无限多个，它们相差的整数倍。
【精典范例】
一、角的概念
例1．（1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？
（2）若将钟表拨慢10分钟，则时针和分针分别转了多少度？
分 析：主要考查正、负角的概念，时针、分针换算制
【解】
二、终边相同的角
例2．在到的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
（1）（2）（3）
分 析：只需将这些角表示成的形式，然后根据来确定它们所在的象限
【解】
例3．已知与角终边相同，判断是第几象限角.
【解】
例4． 写出终边落在第一、三象限的角的集合.
分 析： 主要考查终边相同角的概念的应用
【解】
追踪训练
1． 下列命题正确的是（ ）
A、 第一象限角一定不是负角
B、 小于的角一定是锐角
C、 钝角一定是第二象限角
D、 第一象限角一定是锐角
2． 试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角：
（1）－550 ° （2）
（3） （4）
3．若是第四象限角，试分别确定是第几象限角？
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
任意角的三角函数
三角函数线
终合运用
应用
弧长与扇形面积公式
同角三角函数的基本关系式
计算、化简、证明恒等式
应用
应用
任意角的概念
角度制与弧度制
任意角的三角函数
三角函数的图象与性质
诱导公式
应用
学习札记
学习札记
听课随笔
终边相同的角
象限角
正角、负角和零角
角的概念的推广第3课时 任意角的三角函数(1)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1． 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义；会用三角函数线表示任意角三角函数的值；
2． 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.
【课堂互动】
自学评价
1． 设点P是角终边上任意一点，坐标为，，用
（1）比值 叫做的正弦，记作，即= ；
（2）比值 叫做的余弦，记作，即= ；
（3）比值 叫做的正切，记作，即= .
其中， 和的定义域分别是：；而的定义域是： 除上述情况外，对于确定的值，比值、、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、是以角为自变量，一比值为函数值的函数，分别叫做角的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为三角函数．
2．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
说明：（1）若终边落在轴线上，则可用定义 求出三角函数值；
（2）正弦函数值的符号与的符号相同，余弦函数值的符号与的符号相同．
【精典范例】
一、任意角的三角函数
例1． 已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切值.
分 析：任意角的三角函数的定义
【解】
，
思考 ：若角的终边经过点
，求
二、三角函数的定义域
例2． 取什么值时，有意义.
分 析：三角函数的定义域
【解】
的定义域是，
要使分式有意义只要分母有意义并不等于0
且，
即 .
三、三角函数值在各象限的符号
例3． 确定下列三角函数的符号：
（1）；
（2）；
（3）；
分 析：主要考查弧度与角度的换算
【解】
（1）是第二象限的角，
所以；
（2）；
（3）.
追踪训练
1． 设是三角形的一个内角，在中，哪些有可能是负值？
答：
2． 确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：
（1）； （2）；
（3）； （4）
答：（1）正负负；
（2）负正负；
（3）负负正；
（4）负正负
3． 已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.
答：，，
【师生互动】
三角函数值在各象限的符号
三角函数的定义域
任意角的三角函数的定义
正弦线、余弦线、正切线
任意角的三角函数
学生质疑
听课随笔
听课随笔
教师释疑第9课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期现象的重要模型.
2．培养学生分析问题的能力和解决问题的能力.
【课堂互动】
自学评价
1、三角函数可以作为描述现实世界中
________________现象的一种数学模型.
2、是以_________________
为周期的波浪型曲线.
【精典范例】
例1．
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深．
（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为４ｍ，安全条例规定至少要有１．５ｍ的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）若船的吃水深度为４ｍ，安全间隙为１．５ｍ，该船在２：００开始卸货，吃水深度以每小时０．３ｍ的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
分析：
1、考察数据，可选用正弦函数，再利用待
定系数法求解；
2、在涉及三角不等式时，可利用图象求解．
【解】
点评:
这是一个与潮汐运动有关的港口的水深问题，是现实生活中的周期问题，它可以用三角 函数模型来解决，三角函数模型是描述 周期现象的重要模型．
追踪训练一
1、某港口相邻两次高潮发生时间间隔１２ｈ２０ｍｉｎ，低潮时入口处水的深度为２．８ｍ，高潮时为８．４ｍ，一次高潮发生在１０月３日２：００．
（１）若从１０月３日０：００开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深ｄ（ｍ）和时间ｔ（ｈ）之间的函数关系；
（２）求１０月５日４：００水的深度；（３）求１０月３日吃水深度为５ｍ的轮船能进入港口的时间．
【解】
例2．
如图，摩天轮的半径为40cm，点O距
地面的高度为50cm，摩天轮做匀速转动
，每3min转一圈，摩天轮上的P点的起始
位置在最低点处．
（1） 试确定在时刻t(min)时点P距离地面的高度；
（2） 在摩天轮转动的一圈内，有多长
时间点P距离地面超过70m
【解】
追踪训练二
1．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120∕80Hg为标准值，设某人的血压满足函数式，其中为血压，(mmHg)，t为时间(min),试回答下列问题：
①求函数的周期；
②此人每分钟心跳的次数；
③画出函数的草图；
④求出此人的血压在血压计上的读数．
2．已知某海滨浴场海浪高度y(m)是时间
t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：
，下表是某日各时的浪高数
据：
经长时间观察，的曲线可近似
看成．
（１）根据以上数据，求函数
的周期T，振幅A及函数表达式．
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对
对冲浪爱好者开放，请根据（１）的
结论，判断一天内的上午8：00时至
晚上20：00时之间，有多少时间可供
冲浪者进行运动？
【解】
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
三角函数的
图象与性质
解决一些简单的实际问题
学习札记
学习札记1.2 任意角的三角函数
【学习导航】
知识网络
学习要求
1． 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义；会用三角函数线表示任意角三角函数的值；
2． 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.
【课堂互动】
自学评价
1． 设点P是角终边上任意一点，坐标为，，用
（1）比值 叫做的正弦，记作，即= ；
（2）比值 叫做的余弦，记作，即= ；
（3）比值 叫做的正切，记作，即= .
其中， 和的定义域分别是_____________；而的定义域
是 _________.除上述情况外，对于确定的值，比值、、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、是以角为自变量，一比值为函数值的函数，分别叫做角的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为____________．
2．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为_______对于第三、四象限_______；
②余弦值对于第一、四象限为_______对于第二、三象限为_______；
③正切值对于第一、三象限为_______对于第二、四象限为________．
说明：（1）若终边落在轴线上，则可用定义 求出三角函数值；
（2）正弦函数值的符号与的符号相同，余弦函数值的符号与的符号相同．
【精典范例】
一、任意角的三角函数
例1． 已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切值.
分 析：任意角的三角函数的定义
【解】
思考 ：若角的终边经过点
，求的值
二、三角函数的定义域
例2． 取什么值时，有意义.
分 析：三角函数的定义域
【解】
三、三角函数值在各象限的符号
例3． 确定下列三角函数的符号：
（1）； （2）；
（3）；
分 析：主要考查弧度与角度的换算
【解】
追踪训练
1． 设是三角形的一个内角，在中，哪些有可能是负值？
2． 确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：
（1）； （2）；
（3）； （4）
3． 已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.
【师生互动】
三角函数值在各象限的符号
三角函数的定义域
任意角的三角函数的定义
正弦线、余弦线、正切线
任意角的三角函数
学习札记
学习札记
学生质疑
教师释疑第15课时 三角函数的应用(2)
分层训练
1．炮弹以初速度∕沿与水平方向成角的方向射出，则它的最大射程和此时的角分别为 （ ）
A．、450 B．、900
C．、450 D．不确定
2．某铁道转弯处成圆弧形，其圆弧的半径为2km，一列火车以30km∕h的速度通过，则该火车10s内转过的角度上是 （ ）
A．100 B．5.10 C．2.40 D． 20
3．已知是周期为的函数，当时，，则
的解集是
A．
B．
C．
D．
4．下列命题：①小明将慢15分钟的手表拨到准时，分针转过900；②若的终边在第一象限，则为正角；③若的终边在第四象限，则为负角．正确的个数是_________
5．已知某市1999―2005年月平均气温的函数模型为，请写出一个与该函数模型等价的模型来描述这几个月平均气温的变化情况，如_____________
6．由函数 ≤x≤与函数
围成的封闭的面积为_____________
7．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星亮度与时间之间关系的一个三角函数为_________
8．一物体对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：
则可近似地描述该物体的位移y和t之间关系
的一个三角函数为______________________
9．设A、B、C是三角形的内角，且
又、是关于的方程：
的两个根，求k的值．
拓展延伸
10．一个大风车的半径为8m,12min旋转一周
它的最低点离地面2m，求风车翼片的一个
端点离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系？
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑复习课2
【学习导航】
（一）两角和与差公式
（二）倍角公式
2cos2α=1+cos2α 2sin2α=1-cos2α
注意：倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。
注： （1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”；
（3）掌握“角的演变”规律，
（4）将公式和其它知识衔接起来使用。
重点难点
重点：几组三角恒等式的应用
难点：灵活应用和、差、倍角等公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
【精典范例】
例1 已知
求证：
例2 已知求的取值范围
分析 难以直接用的式子来表达，因此设，并找出应满足的等式，从而求出的取值范围.
例3 求函数的值域.
例4 已知
且、、均为钝角，求角的值.
分析 仅由，不能确定角的值，还必须找出角的范围，才能判断的值. 由单位圆中的余弦线可以看出，若使的角为或若则或
【选修延伸】
例5 已知
求的值.
例6 已知，
求的值.
例7 已知
求的值.
例8 求值：（1） （2）
【追踪训练】
1．等于 （ ）
A． B． C． D．
2．已知，且
，则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
3．求值：= .
4．求证：（1）
（2）
（3）
12第11课时 向量的数量积(3)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．全面理解向量数量积的含义；
2．熟练应用向量的数量积的运算律和向量的坐标表示来计算向量的数量积．
【课堂互动】
自学评价
1．已知是单位向量，当它们之间的夹角分别为450、900、1350时，在方向上的投影为 （ C ）
A、 B、
C、 D、
2.已知=0，则a与b的夹角为（ C ）
A、600 B、900
C、450 D、300
3.已知均为单位向量，它们的夹角为600，那么=（ C ）
A、 B、
C、 D、4
4.已知点A（1，2），B（4，-1），能否在y轴上找到一点C，使=900？若能，求出C点的坐标；若不能，说明理由.
答：不存在.
【精典范例】
例1：已知向量
t为正实数，求的k的最小值.
分析：由可得，进而可得到关于k的表达式，然后利用不等式求.
【解】
=（）
∴
∵∴且仅当t=1时等号成立.
点评：通过本题可以看出，利用平面向量的数量积可以解决有关垂直的最值问题.
例2：平面直角坐标系中有点,,
⑴、求向量与的夹角的余弦用x表示的函数f(x);
⑵、求的最大值和最小值.
分析：利用夹角公式可得f(x)的表达式.
【解】
⑴、=
=
∴
即：
⑵、
∴
∴
点评：本题主要考查向量的数量积的坐标运算及利用函数单调性求最值的能力
追踪训练一
1. 已知且，那么 2 ;
2. 已知段BC的中点，则向量的夹角的余弦值为
3. 已知向量在x轴上有一点P，使有最小值，则P的坐标为（3，0）
【选修延伸】
例3：用向量的方法求点P(2,5)到直线l:3x-4y-1=0的距离.
【解】在直线l上取一点A(３,２)
∴
又是与直线l垂直的一个向量
∴点P到直线l的距离.
点评:运用了投影的知识.
追踪训练二
1.已知是平面坐标系中分别与轴正方向同向的两个单位向量，O为坐标原点，且，，则△OAB的面积为 5
2.在△ABC中，已知=4，试确定△ABC的形状.
答：正三角形
【师生互动】
向量的数量积
数量积的定义
数量积的坐标表示
向量的夹角
数量积的定义
力做功
数量积的几何意义
数量积的运算律
两点距离公式
夹角公式
长度公式
垂直条件
听课随笔
听课随笔
学生质疑
教师释疑第11课时 三角函数图象和性质(3)
分层训练
1．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域 （ ）
A． B．
C．
D．
4．下列不等式中，正确的是 ( )
A． tanπ＞tanπ B． tan(-π)＞tan(-π)
C． tan 4＜tan3
D． tan281°＞tan665°
5．下列命题中正确的是 ( )
A．在第一象限单调递增．
B． 在中，x越大y也越大
C． 当x＞0时，＞0．
D． 的图象关于原点对称
6．若，
则 （ ）
A．α>β B．α<β
C．α+β>3π D．α+β<2π
7．直线y = a（a为常数）与y = tanωx
（ω>0）的相邻两支的交点距离为（ ）
A． B．π
C． D．与a有关的值
8．在下列函数中，同时满足的是（ ）
①在(0，)上递增 ②以2π为周期 ③是奇函数
A．y＝tanx B．y＝cosx
C．y＝tanx D．y＝－tanx
9．在区间（－，）内，函数 与函数图象交点的个数为_______
10．求函数y=3tan(2+)的对称中心及单调区间？
拓展延伸
11．求函数≤≤且 的值域．
12．作出函数的图象，并根据图象
确定其奇偶性，周期性，和单调区间．
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第12课时 向量的应用
【学习导航】
知识网络
矢量的合成
物理问题
矢量的分解
向量的应用
数学问题 几何问题
学习要求
1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题，力学问题的思想方法，体会向量是一种重要的数学工具。
2.通过问题的解决培养学生运算能力和解决实际问题的能力。
【课堂互动】
自学评价
1.力、 速度、加速度 位移等都是向量;
2.力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 加减法 ，运动的叠加亦用到向量的合成；
3.功就是力与所产生的位移的 数量积
【精典范例】
一、向量在物理中的应用
例1 如图所示，无弹性的细绳OA,OB的一端分别固定在A,B处，同质量的细绳OC下端系着一个称盘，且使得OB⊥OC,试分析OA,OB,OC三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大。
【解】 设ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ三根绳子所受的力分别为，，，则＋＋＝．，的合力为′＝＋，｜｜＝｜′｜
如图（２），在平行四边形中，
因为?⊥， ，
所以，．
即｜｜＞｜｜，｜｜＞｜｜，
所以细绳ＯＡ受力最大．
归纳研究：
①利用向量解决物理问题，首先要用向量来表示问题中的物理关系，建立相应的数学模型，然后进行向量的计算得出结果。根据结果对相关的物理关系作出解释。
②物理中的受力分析，速度分解等一般都可以用向量来解决。
二、向量在平面几何中的应用
例２ 已知：⊥，⊥
求证：.?
【证明】 因为 ⊥，⊥，
所以，
即
于是得 ，
即 ，所以 .
归纳研究：
① 能否用一个几何图形来解释例2 ？
在△ABC中,OA⊥BC, OB⊥AC,则OC⊥AB 。这几个几何现象表示为三角形的三条高交于一点O,这个O点就是△ABC的垂心。这个向量方法的证明比平面几何方法的证明要简捷。
2 事实上,许多平面几何问题都能用向量方法证明。我们可以引入向量,通过向量的运算来证明。同学可举例尝试证明,如在直角三角形中某些性质：勾股定理、斜线上中线定理等。
三、向量在解析几何中的应用
例３ 已知直线l经过点和，用向量方法求l的方程．
分析：设P是直线l上任意一点，由与共线的条件可推得直线l的方程.
【解】 设是直线l上任意一点，则Ｐ１Ｐ２＝（ｘ２－ｘ１，ｙ２－ｙ１），
Ｐ１Ｐ＝（ｘ－ｘ１，ｙ－ｙ１）．
因为Ｐ，Ｐ１，Ｐ２三点都在直线l上，
所以与是共线向量，
所以这就是直线l的方程．
追踪训练一
１．如图，一个三角形角铁支架ＡＢＣ安装在墙壁上，ＡＢ∶ＡＣ∶ＢＣ＝３∶４∶５，在Ｂ处挂一个６ｋｇ的物体，求角铁ＡＢ与ＢＣ所受的力．
4.5N,7.5N
２．用向量方法证明梯形中位线定理．
３．直线l平行于向量ａ＝（２，３），求直线l的斜率．
1.5
４．直线l经过原点且与向量ａ＝（２，３）垂直，求直线l的方程．
2x+3y=0
追踪训练二
１?如图，夹角为９０°的两根绳子提起一个重物，每根绳子用力４Ｎ，求物体的重量．
4N
２某人在静水中游泳的速度为ｍ／ｓ，河水自西向东流速为１ｍ／ｓ，若此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度．
南偏东300
2m/s
【师生互动】
听课随笔
听课随笔
学生质疑
教师释疑第4课时 向量数乘（1）
分层训练
1．在四边形ABCD中，若，则此
四边形是 （ ）
A．平行四边形 B．菱形
C．梯形 D．矩形
2．已知、是非零向量，m,n是非零实数，下列命题：①；②（m-
n) =；③；④，其中正确的命题个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在⊿ABC中，AD、BE、CF分别是边BC、CA、AB上的中线，它们的交点为，则下列各式不正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．下列各式或命题中：
① ② ③ ④若两个非零向量、 满足 (k≠0)，则、同向． 正确的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知四边形ABCD是菱形，点P是对角线AC上一点(不包括A,C)，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在⊿ABC中，已知，则用用
表示的表达式为________________
7．已知向量，，则4 －3=_____________
8．在ABCD中，= ，=，则 =_____ __， =______ ___．
9．计算下列各式：
①
②，
拓展延伸
10．如图所示：在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：．
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第10课时 三角函数图象和性质(2)
分层训练
1．函数的最小正周期是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，奇函数的个数为 （ ）
①，②，
③，④
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函数的一个对称中心是
（ ）
A． B．
C． D．
4．函数图象的一条对称轴是
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
5．下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
6．函数在上的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的单调增区间是________________________；
8．已知函数,则,,
的大小关系是_____________________
9．已知函数的最大值
为,最小值为,求函数
的最小正周期和最大值、最小值．
10．求函数的值域．
拓展延伸
11．求函数的单调递减区间
12．若函数对任意实数
都有
（1）求f ()的值（2）求的最小正值．
（3）当取得最小正值时,求在区间
上的最大值、最小值．
学生质疑
教师释疑3.3几个三角恒等式
【分层训练】
1．（05江苏）若则
（ ）
A. B. C. D.
2．（04重庆）
（ ）
A. B. C. D.
3．（05全国）（ ）
A. B. C. D.
4．（05湖北）若，则 （ ）
A. B.
C. D.
5．（05北京）已知则
；
6．（05北京）已知那么
7．（05重庆）已知均为锐角，且则；
8．（05全国）设为第四象限的角，若，则；
【拓展延伸】
9．已知求的值。
10（05福建）已知
（1） 求的值；
（2） 求的值。
【本节学习疑点】
学生质疑
教师释疑第8课时 三角函数的周期性
分层训练：
1．函数的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
2、在函数y=sinx,，中，最小正周期为的函数的个数为（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3、函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是
以2为周期的周期函数，若f(x)在[-1，0]
上是减函数，那么f(x)在[2，3]是
（ ）
A．增函数 B．先增后减的函数
C．减函数 D．先减后增的函数
4、以2为最小正周期，且在时取最大值，则一个值是 ( )
A． B． C． D．
5、函数的最小正周期 ．
6函数y=|7sin(3x-)|的最小正周期
7．函数的周期是 ．
8．函数的周期是 ．
拓展延伸：
9、求下列函数的周期：
（1）
（2）
（3）
10、已知f(x)满足f(x+3)= f(x)，且f(x)
是奇函数，若f(1)=，求
f(2006)的值
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第10课时 向量的数量积(2)
分层训练：
1.①设向量
②
③
④
上列4个命题中，正确的为____。
2.已知
_____
3. 已知向量与向量的夹角为。=2，=3，分别在下列条件下求：
⑴、=135°
⑵、
⑶、
4. 已知
⑴、若，
⑵、的夹角。
5.已知=3，=2，的夹角为60°。问⑴、当m为何值时，与垂直？⑵、当m为何值时，与共线？
6. 已知和都是非零向量，且与垂直，与垂直。求的夹角。
7. 设向量满足=1， =3，求的值。
8. 已知是夹角为600的两个单位向量，
⑴、
⑵、
拓展延伸
9. 求证：
，如何构造一个图形来解释这个公式的几何意义？
10. 设△ABC中
，判断的形状。
本节学习疑点
学生质疑
教师释疑3.1复习课(练习)
【分层训练】
1．已知θ是锐角，那么下列各值中，sinθ＋cosθ能取到的值是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值是 （ ）A． B． C． D．
3．在（0，2π）内，使0＜sinx＋cosx＜1成立的x的取值范围是 （ ）
A．（0，）
B．（,）
C．（,）∪（,2π）
D．（,π）∪（,）
4．已知
的值 （ ）
A． B． C． D．
5．都是锐角,且 则．
6．在△ABC中，， 则∠B= .
7．已知tan x = －,π8．已知，，，是方程的两个根，则=
【拓展延伸】
9．， ，
求：（1）的值．
（2）的值．
10．已知锐角三角形ABC中，
（Ⅰ）求证；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高．
【本节学习疑点】
学生质疑
教师释疑第2课时 任意角、弧度(2)
分层训练：
1若α＝－3，则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
3时钟经过一小时，时针转过了( )
A. rad B.－ rad
C. rad D.－rad
4两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形周长的
比为( )
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶ D.1∶8
5在半径为1的单位圆中，一条弦AB的长度为，则弦AB所对圆心角α是( )
A.α＝ B.α＜
C.α＝ D.α＝120
6在半径为的圆中，圆心角为周角的的角所对圆弧的长为 .
7 (用弧度制表示)第一象限角的集合为 ____________________________
8 把下列各角从弧度化为度：
（１）-512π=_____（２）=_____；
（３）=______； （４）1.4=______;
9.已知扇形AOB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求它的圆心角和弦AB的长。
.
10若角的终边与角的终边相同，在内，哪些角的终边与角的终边相同？
拓展延伸：
11若扇形的周长为定值，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第4课时 任意角的三角函数(2)
分层训练：
1．下列关系式中不正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2．的值一定（ ）
A、大于0 B、小于0
C、等于0 D、不确定
3．利用正弦线比较的大小是（ ）
A、
B、
C、
D、
4．若，则的取值范围是.
5．已知角的终边经过点且，求的值.
6．有下列命题，其中正确的命题个数是（ ）
（1） 终边相同的角的同名三角函数的值相等；
（2） 终边不同的角的同名三角函数的值不变；
（3） 若，则是第一、二象限角；
（4） 若是第二象限的角，且是其终边上的一点，则
A、1 B、2 C、3 D、4
7．函数的值域为
8．
9．根据条件写出的取值范围：
拓展延伸：
10．若为锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较之间的大小关系.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第7课时
【学习导航】
学习要求
1．能由正弦函数的图象通过变换得到的图象；
2．会根据函数图象写出解析式；
3．能根据已知条件写出 中的待定系数．
【课堂互动】
自学评价
1． 函数图象可由“五点法”画出。
2． 由正弦函数的图象，通过平移以及将图象上的点的横、纵坐标进行伸长或缩短等方法，得到图象，体现从特殊到一般的思想和数形结合思想的运用。
3． 利用待定系数法，根据适当的条件，求的解析式。
4． 利用三角函数解决实际问题的一般步骤：（1）审题，获取有用信息；（2）构建三角模型，即立三角关系式；（3）求解三角关系，得出结论；（4）给出实际问题的解答。
【精典范例】
例1：求的最大值。
例2：已知函数
的最小正周期不大于2，求正整数k的最小值。
例3：求函数
的周期、单调区间和最大值、最小值。
例4：把曲线C：
向右平移a（a>0）个单位，得到的曲线Ｃ‘关于直线对称。
（1） 求a的最小值
（2） 就a的最小值证明：当
时，曲线Ｃ‘上的任意两点的直线斜率恒大于零。
【追踪训练】
1.下列函数中，最小正周期为，且图象关于 对称的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
２．为了得到的图象，可以将函数的图象（ ）
Ａ．向右平移个单位长度
Ｂ．向右平移个单位长度
Ｃ．向左平移个单位长度
Ｄ．向左平移个单位长度
３．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，求的最小值．
【师生互动】
学习札记
学习札记
听课随笔
学生质疑
教师释疑第1课时 任意角、弧度(1)
分层训练：
1下列命题正确的是（ ）
A、第一象限角一定不是负角
B、小于900的角一定是锐角
C、钝角一定是第二象限角
D、第一象限角一定是锐角
2若是第四象限角，则 是第（ ）象限角.
A、一 B、二 C、三 D、四
3若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A． B． C． D．
4集合则有（ ）
A． B．
C． D．
5若是第一象限角，则为第_____象限角.
6若的终边关于y=x对称，且=600，则 _____________
7若，则的范围是____________,的范围是_____________
8试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大角：
（1） （2） （3） （4）
9写出终边落在第一、三象限的角的集合
拓展延伸：
10．设是第一象限角，试探究：
（1）一定不是第几象限角？
（2）是第几象限角？
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑3.2二倍角的正弦、余弦、正切(2)
【分层训练】
1.已知 （ ）
A． B．－ C． D．－
2.已知 , ,则角α是( )
Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角
Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角
3.的值为 （ ）
A． B． C． D．
4.若则( )
A. 2或－ B. －2或
C. －2 D. －
5.（05全国卷Ⅰ）当时，函数的最小值为 ( )
A 2 B C 4 D
6.计算： ．
7.化简：=__________．
8.等腰三角形底角的正弦是 ,则顶角的余弦是 ．
【拓展延伸】
9.（05重庆卷）若函数
的最大值为，求常数a的值．
10.已知 （1）化简；
（2）是否存在x，使得相等？若存在，求x的值，若不存在，请说明理由.
【本节学习疑点】
学生质疑
教师释疑第1章 三角函数
一、知识结构
二、重点难点
重点：任意角、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数间的关系、诱导公式、以及三角函数的图象和性质；
难点：任意角的三角函数、三角函数的图象和性质.
第1课时 任意角、弧度
【学习导航】
知识网络
学习要求
1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念；
2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示.
【课堂互动】
自学评价
1．角的定义： 平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 .
2．正、负的概念：按 顺时针 方向旋转所成的角叫正角，按 逆时针 方向旋转所成的角叫负角，如果一条射线 不旋转 ，我们称它形成了一个零角.
注意：正角、负角的引入是从正、负数类比而来.它是用来表示具体相反意义的旋转量的，其正、负的规定出于习惯，就像正、负数的规定一样.
3．象限角的概念：在直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与 坐标原点 ，角的始边与 x轴的非负半轴重合 ，那么，角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角，若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为 轴边角 .
思考: （1）下列角分别是第几象限角？
这当中一些角有什么共同特征？
（2）具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与角终边相同的角的集合吗？
【答】（1）角的终边相同
（2）
4．终边相同的角
一般地，与角终边相同的角的集合：
注意：（1）；
（2）是任意角；
（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。终边相同的角有无限多个，它们相差的整数倍。
【精典范例】
一、角的概念
例1．（1）钟表经过10min，时针和分针分别转了多少度？
（2）若将钟表拨慢10min，则时针和分针分别转了多少度？
分 析：主要考查正、负角的概念，时针与分针的换算制
【解】
（1）钟表经过10分钟，时针按顺针方向转了，表示为；分针转了，表示为；
（2）由（1）知分别表示为，.
二、终边相同的角
例2．在到的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
（1）（2）（3）
分 析：只需将这些角表示成的形式，然后根据来确定它们所在的象限
【解】
（1）因为
所以的角与的角终边相同，是第四象限角.
（2）的角与的角终边相同，是第三象限角.
（3）的角与的角终边相同，是第一象限角
例3．已知与角终边相同，判断是第几象限角.
【解】
由 可得
若为偶数，设，则
，
与角的终边相同，是第二象限角；
若为奇数，设，则
，
与角的终边相同，是第四象限角.
例4． 写出终边落在第一、三象限的角的集合.
分 析： 主要考查终边相同角的概念的应用
【解】
终边第一象限的角的集合为
终边在第三象限的角的集合为又 ，
故终边落在第一、三象限的角的集合为
追踪训练
1． 下列命题中正确的是（ C ）
A、 第一象限角一定不是负角
B、 小于的角一定是锐角
C、 钝角一定是第二象限角
D、 第一象限角一定是锐角
2． 试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角：
（1） （2）
（3） （4）
答：（1）， （2），
（3），（4），
3．若是第四象限角，试分别确定是第几象限角.
答：分别是第一象限角，第二象限角，第三象限角.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
计算、化简、证明恒等式
诱导公式
三角函数的图象与性质
任意角的三角函数
弧长与扇形面积公式
任意角的概念
角度制与弧度制
应用
三角函数线
终合运用
应用
同角三角函数的基本关系式
应用
学习札记
学习札记
学习札记
终边相同的角
象限角
正角、负角和零角
角的概念的推广第11课时 向量的数量积(3)
分层训练：
1.在△ABC中，，则 △ABC中是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
2.点O是△ABC所在平面内一点，且，则点O是△ABC的（ ）
A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心
3.若，那么的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，均为单位向量，它们的夹角为60o，那么等于__________
5. 已知，，与的夹角为150o，则在上的射影为___________
6. 求与向量和的夹角相等，且模为的向量的坐标
学生质疑
教师释疑
7. 设，，试求及△AOB的面积.
8. 已知O为三角形ABC所在平面内一点，且，判断三角形ABC的形状.
拓展延伸
9. 平面内有向量，，，点X为直线OP上的一个动点
（1）当取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求的值.
10. 已知点M（-1，0），N（1，0）点P使2=+，且—<0其公差小于零。求：⑴、点P的轨迹是什么曲线？⑵、若点P坐标为（x0,y0），设的夹角，求.
本节学习疑点3．3 几个三角恒等式
【学习导航】
知识网络
几组三角恒等式：
1．二倍角公式:
；
；
；
2．倍角降幂公式
3．半角公式
4．积化和差公式
5．和差化积公式
6．万能公式
7．派生公式：
(1) (sinα±cosα)2＝1±sin2α．
(2) 1＋cosα＝2cos2，
(3 )1－cosα＝2sin2，
(4) asinα＋bcosα
＝sin（α＋φ）
＝cos（α－）
（5）
学习要求
1.掌握推导积化和差、和差化积公式、半角公式和万能公式的方法，知道它们的互化关系
2.注意半角公式的推导与正确使用.
学习重点
几组三角恒等式的应用
学习难点
灵活应用和、差、倍角等公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
【自学评价】
1．积化和差公式的推导
因为和是我们所学习过的知识，因此我们考虑
；
.
两式相加得
即；
2．和差化积公式的推导
在上式中若令 + = ， = φ，则， 代入得：
∴
3．万能公式的推导
1
2
3
【精典范例】
例1已知，求3cos 2 + 4sin 2 的值.
例2已知，化简.
例3已知，，tan =，tan =，求2 + .
例4已知sin cos = ，，求和tan的值.
例5已知cos cos = ，sin sin = ，求sin( + )的值.
例6已知A、B、C是三角形的内角，.
（1）问任意交换两个角的位置，y的值是否变化？试证明你的结论。
（2）求y 的最大值。
思维点拔：
1、公式正用要善于拆角；逆用要构造公式结构；变用要抓住公式结构.
2、化简
（1）化简目标：项数尽量少、次数尽量低、尽量不含分母和根号.
（2）化简基本方法：异角化同角；异名化同名；切割化弦；高次化低次；常值代换.
3、求值
（1）求值问题的基本类型：给角求值；给值求值；给值求角；给式求值.
（2）技巧与方法：切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换
4、证明
（1）证明基本方法：化繁为简法、左右归一法、变更命题法.
（2）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的差异与联系.
【追踪训练】：
1.如果｜cosθ｜＝，＜θ＜3π,则sin的值等于( )
2.设5π＜θ＜6π且cos＝a,则sin等于( )
3.已知tan76°≈4，则tan7°的值约为( )
4.tan－cot的值等于
5.已知sinA＋cosA＝1，0＜Ａ＜π，则tan＝ .
6.已知tanα、tanβ是方程7ｘ2－8ｘ＋1＝0的两根，则tan＝
7.设25sin2ｘ＋sinｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tan.
8.已知cos2θ＝，求sin4θ＋cos4θ的值.
9.求证
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
听课随笔
听课随笔1.3 三角函数的图象和性质
第1课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1,理解三角函数的周期性概念，
2,理解三角函数的周期性和函数的奇偶性之间的关系，
3,会求三角函数的最小正周期，提高观察、抽象的能力
【课堂互动】
自学评价
1．对于函数f(x),如果存在一个________T，使得定义域内的____________值，都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做__________，T叫做这个函数的_________
2．最小正周期
____________________________________________________________________的最小正周期．
例如，是正弦函数的所有周期中的最小正数，所以是正弦函数的最小正周期，同样地，也是余弦函数的最小正周期．研究三角函数周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．
3．及
﹝A≠0,W≠0﹞型的三角函数的周期公式为______ _
【精典范例】
例1若摆钟的高度h（mm）与时间 t(s)之间的函数关系如图1-3-1所示。
（1） 求该函数的周期；
（2） 求t=10s时钟摆的高度。
例2求下列函数的周期：
（1）y=cos2x
（2）y =sinx
（3）y =2sin（x - ）
例3已知函数，满足对于一切都成立，求证：是的一个周期．
追踪训练
1．求下列函数的周期：
2.若函数的最小正周期为，求正数ｋ的值．
3．若弹簧振子对平衡位置的位移（mm）与时间ｔ（ｓ）之间的函数关系如图所示：(1)求该函数的周期；
(2)求ｔ＝10.5ｓ时弹簧振子对平衡位置的位移
【师生互动】
最小正周期
比较函数的奇偶性
三角函数的周期性
学生质疑
教师释疑
学习札记
学习札记三角函数的复习课
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．掌握任意角的概念和弧度制；
2．掌握任意角的三角函数，诱导公式以及
同角三角函数的基本关系式；
3．掌握三角函数的图象和性质；
4．了解的实际意义；
5.能应用三角函数解决一些简单的实际
问题，体会三角函数是描述周期变化现象
的重要数学模型.
【课堂互动】
自学评价
【基础训练】
（1）的值为________________
（2）（2004年北京海淀）若是第四象限角， 是 （ ）
A.第一象限角 B. 第二象限角
C.第三象限角 D. 第四象限角
（3）（2004年天津）定义在R上的函数
既是偶函数又是周期函数，若
的最小正周期是，且当x∈
[ ， ]时，=sinx，则
的为 （ ）
A. B.
C. D.
（4）把曲线ycosx+2y-1=0先沿x轴向右平移个单位，在沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）
A.(1-y)sinx+2y-3=0
B.(y-1)sinx+2y-3=0
C.(y+1)sinx+2y+1=0
D.-(y+1)sinx+2y+1=0
【解】
【精典范例】
例1：
求下列函数的定义域：
（1）
（2）
分析：
先由函数表达式有意义，可得三角不等式
然后借助三角函数图象或单位圆的三角
函数线来求解.
【解】
点评:
在求解三角不等式时，要注意数形结合的思想、分类讨论的思想的运用.
例2：已知关于x的方程
的两根为和，，求：
(1)的值；
(2) 的值；
(3) 方程的两根及此时的值.
分析：已知一元二次方程的两根的关系，用一元二次方程的根与系数的关系，再辅助三角知识来解题，该题就容易多了.
【解】
例3：设函数
(1)写出函数的周期及单调区间；
(2)若时，函数的最
小值为2，求当x取何值时，函数
取得最大值 .
(3)在(2)的条件下，怎样由
变换到？
分析：利用正弦函数的图象与性质来研究的有关性质.
【解】
点评:
本题是一道研究三角函数性质的综合题解题的关键是把问题进行转化，然后利用正弦函数的图象与性质来解决问题.
【追踪训练】
1、 若，且，则角
的终边所在象限是 （ ）
A.第一象限角 B. 第二象限角
C.第三象限角 D. 第四象限角
2、已知函数，则
下列命题正确的是 （ ）
A.是周期为1的奇函数
B. 是周期为2的偶函数
C. 是周期为1的偶函数
D. 是周期为2的奇函数
3、已知函数
，在一周期内，当时，取得最大值3，
当时，取得最小值-3，求
函数的解析式.
【解】
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
学习札记
诱导
公式
学习札记
三角函数
的应用
任意角
的概念
同角三角函数
的基本关系式
应用
角度制
与弧度制
任意角的
三角函数
三角函数的
图象和性质
计算、化简、
证明恒等式
应
用
弧长与扇形
面积公式
应用
学习札记第6课时 向量的基本定理
分层训练
1．和 是表示平面内所有向量的一组基底,则下列向量中不能作为一组基底的是( )
A．+和
B．32和 6+4
C．+2和+2 D． 和+
2．已知= +2 ， =2 ，则向量与 ( )
A．一定共线. B． 一定不共线
C．仅当与 共线时
D．仅当 =时共线
3．如果和是平面所有向量的一组基底，那么 （ ）
A．若实数m,n使m+n=，则m=n=0
B．任意一向量都可以表示= m+ n
其中m.,n为实数
C．对m,n,m+n不一定在其平面上
D．对平面中的某一个向量，存在两对以上实数m,n,使 =m+n
4．已知和 是不共线的向量，若，，且∥，
则k的值为 （ ）
A．8 B．-8 C．3 D．-3
5．已知，，，则下列结论成立的是（ ）
A．A、B、C三点共线
B．A、B、D三点共线
C．A、D、C三点共线
D．D、B、C三点共线
6．四边形ABCD中，，
，，其中，不共线，则四边形ABCD为 （ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．梯形 D．菱形
7．和 是平面内不共的单位向量，与共线，与共线，与共线，则AD是∠BAC的______________________
8．设为非零向量，四边形ABCD中，
则四边形是
9．已知四边形ABCD中，，
，的中点为、，则____________________________
10．设，是两个不共线向量，已知
,，，求证：A、B、D三点共线
拓展延伸
11．在平行四边形ABCD中，、分别为
、的中点，，试
用表示
12．设、不共线，，求证：
，
且
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第3课时
【学习导航】
1． 掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。
2． 通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
3．能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
教学重点：
学习重点
能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式
学习难点
进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【自学评价】
1．两角和与差的正、余弦公式
2．tan(+)公式的推导
∵cos (+)0
tan(+)=
当coscos0时, 分子分母同时除以coscos得：
以代得：
其中都不等于
3． 注意：
1必须在定义域范围内使用上述公式tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式.
2注意公式的结构，尤其是符号.
4．请大家自行推导出cot(±)的公式—用cot，cot表示
当sinsin0时,cot(+)=
同理，得：cot()=
【精典范例】
例1已知tan=，tan=2 求cot()，并求+的值，其中0<<90, 90<<180 .
【解】
例2 求下列各式的值：
（1）
（2）tan17+tan28+tan17tan28
（3）tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°
【解】
点评：可在△ABC中证明
例3 已知 求证tan=3tan(+).
【证】
例4已知tan和是方程 的两个根，证明：pq+1=0.
【证】
例5已知tan=，tan()=(tantan+m),又,都是钝角，求+的值.
【解】
思维点拔：
两角和与差的正弦及余弦公式, 解题时要多观察，勤思考，善于联想，由例及类归纳解题方法，如适当进行角的变换，灵活应用基本公式，特殊角函数的应用等是三角恒等到变换中常用的方法和技能．
【追踪训练一】
1.若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cos（A＋B）的值为( )
2.在△ABC中，若0＜tanA·tanB＜1则
△ABＣ一定是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
Ｃ.锐角三角形 Ｄ.钝角三角形
3.在△ABC中，tanA＋tanB＋tanＣ＝3，tan2B＝tanAtanＣ，则∠B等于 .
4.＝ .
5.已知 .
6.已知
（１）求；
（２）求的值（其中）．
【选修延伸】
例6已知A、B为锐角，证明的充要条件是（1＋tanA）（1＋tanB）＝2.
【证】
思维点拔：
可类似地证明以下命题：
(1)若α＋β＝，
则（1－tanα）（1－tanβ）＝2；
(2)若α＋β＝，
则（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2；
(3)若α＋β＝，
则（1－tanα）（1－tanβ）＝2.
【追踪训练二】
1.an67°30′－tan22°30′等于( )
A.1 B. Ｃ.2 Ｄ.4
2.an17°tan43°＋tan17°tan30°＋tan30°tan43°的值为( B )
A.－1 B.1 Ｃ. Ｄ.－
3.(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)… (1＋tan44°)(1＋tan45°)＝ .
4.＝
5.已知3sinβ＝sin（2α＋β）且tanα＝1，则tan（α＋β）=
6.已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ且α，β∈
（－)，求sin2（α＋β）＋sin（α＋β）cos（α＋β）＋2cos2（α＋β)的值.
7.已知函数的图象与轴交点为、，
求证：.
学生质疑
教师释疑
【师生互动】
听课随笔
听课随笔
听课随笔第3课时 向量的减法
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．理解向量减法的概念；
2．会作两个向量的差
3．会进行向量加、减的混合运算
3．培养学生的辨证思维能力和认识问题的能力.
【课堂互动】
自学评价
1.向量的减法：
① 与的差：
若__________________，则向量叫做 与的差.记为_________________
②向量 与的减法：
求两个向量差的运算叫做向量的减法
注意：
向量的减法是向量加法的逆运算.
2.向量的减法的作图方法：
已知 ，，求作：
作法：①在平面内任取一点O；
②作，；
③连结AB；
则
3.减去一个向量等于加上这个向量的相
反向量.
用下面的图来验证：
思考：
在这样验证过程中体现一个什么思想？
【答】
数形结合的思想
4.关于向量的减法需要注意以下几点：
①在用三角形法则作向量的减法时，只要
记住连结两向量的终点，箭头指向被减
向量即可.
②以向量，为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为，，
这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该
加强理解记住.
③对任意一点O，，简记“终
减起”，在解题中经常用到，必须记住.
【精典范例】
例1．
已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd
分析：
根据向量减法的作图方法，按步骤作出来即
可.
【解】
（1）在平面上取一点O，作= a, = b, = c, = d,
（2）作, , 则= ab, = cd
点评:
在作两个向量的差时，要注意“共起
点，箭头指向被减向量”
思考题：
如果∥，怎样作出？
分析：用三角形法则一样作，只不过
作在一条直线上.
例2．
如图，O是平行四边形的对角线的交点，若，，，
试证明：
分析： 要证，只要证
.
【证明】
∵
∴
即
点评:
1．本题还可以的考虑方法：
（1）
（2）
2．任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和.
例3．化简下列各式：
①
②
③
分析：
向量的减法运算可以统一成向量的加法
运算，运算时，要恰当运用运算律，有
时需要去括号后重新组合，有时需要适
当添括号.
【解】
①=
②=
③=
点评:
这类题目，一般不需要作图，只要利用向
量加法法则、减法法则、相反向量及有关
运算律即可.
追踪训练
1.在⊿ABC中，∠C=900，AC=BC，则下列几个 等式是成立的？
（1）
（2）
（3）
（4）
都成立.
2．已知四边形ABCD的对角线AC与BD教于O点，且，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
因为，可得：
即
故四边形ABCD是平行四边形.
3. O为平行四边形ABCD平面上的点,设, , , 则 ( B )
A.
B.
C.
D.
思维点拔：
例4．
如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知，试用、
表示和.
分析：连结CN，将梯形ABCD分为平行四边形ANCD和⊿BCN，在进行向量运算.
【解】
连结CN，N是AB的中点，
∵ AN∥CD，且AN=CD
∴ 四边形ANCD 是平行四边形，
∵
又
∴
点评:
未知向量用已知向量来表示，一般要用
到平行四边形法则、三角形法则、平行
向量的性质、闭合向量为零向量等运算技
巧.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
听课随笔
听课随笔
向量减法的运用
向量减法的作图
向
量
的
减
法
向量减法的定义第13课时
函数的图象(3)
分层训练
1．将函数的图象上所有的点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的，得到新函数的图象，那么这个新函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．若 其中
的最小值为，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标相差，且图象过（0，1.5），则该函数解析式为( )
A．
B．
C．
D．
3．是正实数,函数在
上递增,那么( )
A. B.
C. D.
4．已知函数,则下列命题正确的是( )
A．f(x)是周期为1的奇函数.
B．f(x)是周期为2的偶函数。
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数。
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数。
5．函数的单调减区间为____________________________.
6．函数值sin2, sin3, sin4的大小顺序是_________________________.
7．已知
（1）求它的振幅、周期、初相；
（2）用五点作图法作出它在长度为一个周期的区间上的图象；
（3）说明的图象可由的图象经过怎样的变换而得到。
拓展延伸
8．一个大风车的半径为8m, 12min旋转一周，它的最低点离地面2m, 求风车翼片的一个端点离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系？
学生质疑
教师释疑第5课时 同角三角函数关系1
分层训练：
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
3．若 , ,其中为第二象限的角,则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或 D．
4．已知，，且，则在（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限
5．已知，在第二象限，则________，_______，________，________．
6．已知，，则_______，_______，______．
7．若且，则的值是_____________．
8．若，则的值是___________．
拓展延伸：
9．计算：
（1），求，的值．
（2）已知，求的值．
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第9课时 三角函数图象和性质(1)
分层训练
1．在同一坐标系中函数与的图象
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．形状不同，位置相同
D．形状不同，位置不同
2．下列图象相同的是
A．y=sinx与y=sin(+x)
B．与
C．y=sinx与y=sin（-x）
D．y=sinx与y=sin（x）
3．函数的定义域是（ ）
A．[-3，0] B．（0，3]
C．（-3，3] D．
4．函数的最小值 （ ）
A．3 B． C． D．
5．函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
6． 使有意义的m的取值范围
是 （ ）
A．m≥0 B．m≤0
C．-11
7．设，分别是的最大值、最小值，则， （ ）
A． B． C． D．
8．不等式的解集为
_________________________________
9．已知函数的最大值为2，最小值为1，则a、b的值为__________________
10．用五点法画出函数
11．求下列函数的最值，并指出此时的x值
拓展延伸
12．①如果直线与函数
有且只有一个交点，
则 ；
②如果直线与函数
有且只有两个交点，则 ．
13．方程有解，求a的范围？
学生质疑
教师释疑第13课时
函数的图象(2)
分层训练
1．不是∕4的单调区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数图象关于对称的是( )
A． B．
C． D．
3．已知函数奇函数，则的一个值为 （ ）
A．0 B． C． D．
4．将函数的图象向右平移个单位后再作和x轴对称的曲线，得到的图象，则是 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的最小正周期不大于2，那么正整数k的最小值为
（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
6．已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值2；当时，取得最小值-2，那么这个函数解析式是（ ）
A. B. C. D.
7．的图象如图，则解析式是（ ）
A. B.
C. D.
8．函数y＝Asin(ωx＋)在一个周期上的图像如图所示,则函数的解析式 ( )
A.B. C. D.
9．函数的值域为_____________
10．已知函数≤
≤图象的一条对称轴是，且这条对称轴与相邻对称轴间的曲线交轴于点（6，0），求这个函数的解析式．
拓展延伸
11．已知函数
是R上的偶函数其图象关于点
对称，且在区间上为单调函数，求
和的值．
学生质疑
教师释疑
－eq \f(4π,3)
eq \f(2π,3)
eq \f(8π,3)
x
y
o
－2
2必修４第2章 平面向量 单元检测
一．基础检测
1．下列命题正确的是( )
A模为的向量与任一向量平行
B共线向量都相等
C单位向量都相等
D平行向量不一定是共线向量
2.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是( )
A一点 B两点 C圆 D线段
3．点关于点的对称点是（ ）
A B C D
４． 已知且∥，则x等于（ ）
A 3 B C D
５．若，与的夹角是，则等于__________
６．若则与的夹角的余弦值为______________
７．已知
８．已知向量与的夹角为1200，且||=2，||=5，则（2－）·= _____．
９．已知
∥，，求及夹角.
10. 设=（3，1），=（-1，2），
⊥，∥，试求满足+=的的坐标，其中O为坐标原点.
11．已知向量都是非零向量，且满足，求向量与的夹角.
12． 已知||=，||=3，和夹角为450，求当向量+λ与λ+夹角为锐角时，λ的取值范围.
二．选修检测
13．已知平面内三点，，，则x的值为( )
A 3 B 6 C 7 D 9
14．已知平面上四个互异的点A、B、C、D，满足
则的形状是 （ ）
A等边三角形 B等腰三角形
C直角三角形 D斜三角形
15．已知,,且与的夹角为钝角,则的取值范围是（ ）
A B C D
16．已知点C在线段AB的延长线上，且等于 ( )
A 3 B C D
17．已知｜｜＝4,｜｜＝8，与的夹角为120°，则｜4-2｜＝
18．已知向量｜｜=5,且=(3,x -1),x∈N,与向量垂直的单位向量是____________
19的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m=____
20．已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A、B两点，且|AB|=，则____________
21．O为所在平面内一点，且
，求证：
22．已知向量 =(),,
=(),当为何值时，向量、不能作为平面向量的一组基底.
23．求与向量=，-1）和=（1，）夹角相等，且模为的向量的坐标.
24．如图，在△ABC中，点D为边AC的中点，3AE=AB，BD、CE交于点P，设=，=.
（1）试用，表示;
（2）试用，表示.
学生质疑
教师释疑
本节学习疑点
P
E
D
C
B
A第12课时 向量的应用
分层训练：
1．人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度的大小为（ ）
A － B +
C ||－|| D
2．已知G为 内一点,且满足△ABC
,则G为△ABC的 ( )
A 外心 B 内心
C 垂心 D重心
3．已知 的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足，则点P 与△ABC的关系为 （ ）
A P在 的内部
B P在 的外部
C P在AB边所在直线上
D P在AC边的一个三等分点处
4． 某人以时速为a km向东行走，此时正刮着时速为a km的南风，则此人感到的风向及风速分别为（ ）
A东北，a km/h B东南，a km/h
C西南，a km/h D东南，a km/h
5．设平面上有4个互异的点A、B、C、D，已知，则△ABC的形状是（ ）
A 直角三角形 B 等腰三角形
C 等腰直角三角形 D 等边三角形
6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为||个单位）设开始时点P的坐标为(－5,10)，则5秒后点P的坐标为（ ）
A( －2,4) B( －30,25)
C(15, －5) D(5, －10)
7．两个力作用于同一个质点P，使P从A(20,5)移到B(7,0)，则对质点P做的功是=________
8．已知两点，，试用向量的方法证明以线段ＡＢ为直径的圆的方程为．
拓展延伸
9．在四边形ＡＢＣＤ中，，，试证明四边形ＡＢＣＤ是菱形．
10．已知向量 ， ，满足条件
＋＋＝，且｜｜＝｜｜＝｜｜＝１，求证：△ＡＢＣ是正三角形．
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第8课时三角函数的诱导公式(2)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1. 能近一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值
2. 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程
3. 近一步准确记忆并理解诱导公式,灵活运用诱导公式求值
口诀：奇变偶不变，符号看象限
【课堂互动】
自学评价
1．复习四组诱导公式：函数名不变，
符号看象限；
2已知：，求
的值．
解：∵，
说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的较简单的三角函数式。
3．问题：
若角的终边与角的终边关于直线对称（如图）
(1)角与角的正弦函数与余弦函数值之间有何关系
(2)角的终边与角的终边是否关于直线对称？
(3)由(1),(2)你能发现什么结论？
答：诱导公式五：
诱导公式六：
推导方法：（1）运用公式二和公式五；
（2）与前面推导方法相同，可利用单位圆中的三角函数线．
说明：①公式中的指任意角；
②若是角度制，同样成立；
③公式特点：函数名改变，符号看象限
结合前面四组公式，记忆方法为：奇变偶不变，符号看象限；
【精典范例】
例1．求证：
证明：
．
例2 已知cos（75+）=，
且-180<<-90，求cos（15-）的值。
【分析】注意到（15-）+（75+）
=90，因此可将cos（15-）转化为
sin（75+）
【解】 由-180<<-90，
得-105<75+<-15则sin（75+）<0
又cos（75+）=
cos（15-）= cos[90-（75+）]
= sin（75+）
追踪训练
1．已知：，
求的值．
2. 若cos(75+α) = ,α是第三象限角，cos(105-α)+sin(α-105)
的值等于 ___
3．判断函数
的奇偶性．
答案：3、奇函数
【师生互动】
任意角的三角函数
三角函数线
诱导公式的运用
诱导公式的推导
听课随笔
听课随笔
教师释疑
学生质疑3.2 二倍角的三角函数
第1课时
【学习导航】
知识网络
1.二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题.
2.二倍角公式不只限于是的二倍的形式，其它如是的两倍，是的两倍，是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含义，即当时，就是的二倍角.凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式.尤其是“倍角”的意义是相对的.
3.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式.
4.公式成立的条件是
学习要求
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.
重点难点
重点：1.二倍角公式的推导；?
2.二倍角公式的简单应用.?
难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.
【自学评价】
1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
2.二倍角公式的推导
在公式，，中，当时，得到相应的一组公式：
；
；
；
注意： 1°在中 2°在因为，所以公式可以变形为
或
公式，，，统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式.
【精典范例】
1、 倍角公式的简单运用
例1不查表．求下列各式的值
（１） （２）
（３）
（４）
【解】
例2若tan = 3，求sin2 cos2 的值
【解】
例3用表示
【解】
点评：
1、加深对“二倍角”的理解，即角的变换；
2、进一步体会“化归思想”（三倍角化归为两角和与二倍角）。
例4已知，求的值。
【解】
点评：进一步体会角的变换的妙处。
二、
之间的关系
例5已知，，求，，，的值。
【解】
三、倍角公式的进一步运用
例6求证：
【解】
例7求的值。
【解】
进一步探讨的值。
思维点拔：
要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.?
二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.
【追踪训练】：
1.若270°＜α＜360°，则等于 ( )
A.sin B.cos
C.－sin Ｄ.－cos
2.求值：
(1)sin2230’cos2230’=
(2)
(3)
(4)
3.求值
(1)sin10°sin30°sin50°sin70°
(2) cos200cos400cos600cos800
4.已知，求sin2，cos2，tan2的值.
5.已知，，
且，求的值。
6.已知求的值．
7.已知求的值．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
学习札记
学习札记
学习札记第5课时 同角三角函数关系2
分层训练：
1．已知在第二象限，，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知为第一象限的角,则的符号是（ ）
A．负值 B．正值 C．正、负值都有可能 D．无法确定
5．已知，
则________，________．
6．已知，，则_______，______，________，________．
的值为___________．
8．设，且，则的值是___________．
拓展延伸：
9．若，
求值：（1）； （2）
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第2课时 向量加法作业
分层训练：
1． 在平行四边形ABCD中，
（ ）
． ． ． ．
2． 向量化简
后的向量为 （ ）
． ． ． ．
3． 已知⊿ABC是正三角形，则下列各等式中不成立的是 （ ）
．
．
．
．
4．如图，在四边形ABCD中，
． ． ． ．
5．设⊿ABC三边上的中线分别为AD、BE、CF且它们相交于点G，则下列三个向
、、
中等于的个数是 （ ）
．3 ．2 ．1 ．0
6．下列结论成立的是 （ ）
．
．当时，则
．当时，则
．，不共线时，则
7．设，而，则下列各结论中：①∥；②；③；④，正确的
是_________________________
8．当、满足条件__________时，使得 所在直线平分、所在直线间的夹角．
9．化简下列各式：
①
②
③
拓展延伸：
10．如图，P、Q是⊿ABC的边BC上的两点，且BP=QC，
求证：
11．已知：⊿ABC为直角三角形，∠A=900,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a,b,c,AD⊥BC，若沿AB及AC方向的两个力的大小分别为 ①试求的大小
②求证：的方向与的方向相同
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑3.2 二倍角的三角函数
【学习导航】
知识网络
1.二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题.
2.二倍角公式为仅限于是的二倍的形式，其它如是的两倍，是的两倍，是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含义，即当时，就是的二倍角.凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式.尤其是“倍角”的意义是相对的.
3.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式.
4. 公式，，，成立的条件是:
公式成立的条件是.其他.
学习要求
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；?
2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.
学习重点
1.二倍角公式的推导；?
2.二倍角公式的简单应用.?
学习难点
理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.
【自学评价】
1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
2.二倍角公式的推导
在公式，，中，当时，得到相应的一组公式：
；
；
；
注意：
因为，所以公式可以变形为
或
公式，，，统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式.
【精典范例】
1、 倍角公式的简单运用（以及体会角的变换）
例1不查表．求下列各式的值
（１） （２）
（３） （４）
解: （１）
（２）
（３）
（４）
例2若tan = 3，求sin2 cos2 的值
解：sin2 cos2 =
例3用表示
说明：1、加深对“二倍角”的理解，即角的变换；
2、进一步体会“化归思想”（三倍角化归为两角和与二倍角）。
例4已知，求的值。
说明：进一步体会角的变换的妙处。
二、之间的关系
例5已知（），求，，，的值。
说明：1、教师一一个给出所求结论；
2、用三角图总结之间的关系。
三、倍角公式的进一步运用
例6求证：
说明：关键是降次。
例7求的值。
进一步：求的值。
思维点拔：
要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.?
二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.
【追踪训练】：
1.若270°＜α＜360°，则等于 ( Ｄ )
A.sin B.cos C.－sin Ｄ.－cos
解：∵cos2α＝2cos2α－1? ∴cosα＝2cos2－1?
∴
又∵270°＜α＜360° 135°＜＜180°?
∴原式＝
2.求值：
(1)sin2230’cos2230’=
(2)
(3)
(4)
3.求值(1)sin10°sin30°sin50°sin70°
(2) cos200cos400cos600cos800
解：(1)∵sin10°＝cos80° ,sin50°＝cos40°, sin70°＝cos20°?
∴原式＝cos80°cos40°cos20°
＝× EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
(2)略
4.求证：8cos4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3
证明：8cos4θ＝8（cos2θ）2＝8()2?
＝2（cos22θ＋2cos2θ＋1）?＝2（）＋4cos2θ＋2?
＝cos4θ＋4cos2θ＋3?
5.已知，求sin2，cos2，tan2的值.
解：∵ ∴
∴sin2 = 2sincos =
cos2 = tan2 =
6.已知，，且，求的值。
7.已知求的值．
解：由得．
又因为．
于是；
；．
8.已知求的值．
解：，由此得
解得或．第6课时 同角三角函数关系
【学习导航】
知识网络
学习要求
1，掌握同角三角函数的三个基本关系
2，能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值
3，对于同角三角函数来说，认清什么叫“同角”，学会运用整体观点看待角。
4，结合三角函数值的符号问题，求三角函数值
【课堂互动】
自学评价
1.同角三角函数的两个基本关系
平方的关系：
商的关系：
2.解题时应注意的问题
善于应用sin2α+cos2α=1处理关于sinα+cosα、sinα-cosα、sinα·cosα题目
一般涉及到开方运算时，要分类讨论（根据三角函数在个象限的符号）
善于应用商关系：tanα=sinα/cosα化简关于sinα、cosα的齐次式（构造分式为齐次式即“化切”）
掌握“1”的妙用、“切割化弦” 的解题思想
【精典范例】
例1已知sin=,又是第二象限角,求cosα, tanα的值。
【分析】考查三角函数值的确定和同角三角函数关系式的运用。
【解】， 又α是第二象限角，因此cosα<0 ，故
cosα==
tanα=sinα/cosα= -
例2 已知tanα=3，求
（1）sinα 和 cosα 的值
（2）sin-3 sinαcosα的值 .
【分析】根据已知角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值（可简称“知一求二”）时，要注意这个角所在的象限。
【解】（1）sinα+ cosα=1
又 tanα=3= sinα/cosα>0，又是第一，三象限角
当是第一象限角时，有
sinα=
cosα=
当是第三象限角时，有
sinα=-
cosα=-
（2）法一：由（1）得，
sin-3 sinαcosα=0
法二：
原式=
由得即可（或者分子和分母同除以）
例3 求证：=
【分析】考查证明三角恒等式的方法
【解】分子分母同乘cosα左边
=====右边
【思考】还有其他解法吗？
追踪训练
1，已知tanα=2，求下列各式的值
（1）.
（2）.
2，已知0<α<π,sinα·cosα= - ，
则sinα-cosα= ;
3，化简下列各式
(1).
(2).
参考答案
1,-1 ,5/7 2,7/5
3,cos40,
【师生互动】
,
听课随笔
听课随笔
同角三角函数关系
教师释疑
学生质疑
同角三角函数关系公式的运用
同角三角函数关系公式的推导三角函数的复习课
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．掌握任意角的概念和弧度制；
2．掌握任意角的三角函数，诱导公式以及
同角三角函数的基本关系式；
3．掌握三角函数的图象和性质；
4．了解的实际意义；
5.能应用三角函数解决一些简单的实际
问题，体会三角函数是描述周期变化现象
的重要数学模型.
【课堂互动】
自学评价
【基础训练】
（1）的值为________________
（2）（2004年北京海淀）若是第四象限角， 是 （ ）
A.第一象限角 B. 第二象限角
C.第三象限角 D. 第四象限角
（3）（2004年天津）定义在R上的函数
既是偶函数又是周期函数，若
的最小正周期是，且当x∈
[ ， ]时，=sinx，则
的为 （ ）
A. B.
C. D.
（4）把曲线ycosx+2y-1=0先沿x轴向右平移个单位，在沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）
A.(1-y)sinx+2y-3=0
B.(y-1)sinx+2y-3=0
C.(y+1)sinx+2y+1=0
D.-(y+1)sinx+2y+1=0
【解】
（1）
（2） C
（3） D
（4） C
【精典范例】
例1：
求下列函数的定义域：
（1）
（2）
分析：
先由函数表达式有意义，可得三角不等式
然后借助三角函数图象或单位圆的三角
函数线来求解.
【解】
(1)
由cos(sinx)≥0，可得
而对任意实数x，都有-1≤sinx≤1，
从而有，
故所求函数的定义域为R.
(2)据题意可得：
[-5，-∪.
点评:
在求解三角不等式时，要注意数形结合的思想、分类讨论的思想的运用.
例2：
已知关于x的方程
的两根为和，，求：
(1)的值；
(2) 的值；
(3) 方程的两根及此时的值.
分析：
知一元二次方程的两根的关系，用一元二次方程的根与系数的关系，再辅助三角知识来解题，该题就容易多了.
【解】
由题意可知：
此时
(1)
==
(2)
(3)当时，原方程为：
，解得：
， 即
所以，或
.
例3：
设函数
(1)写出函数的周期及单调区间；
(2)若时，函数的最
小值为2，求当x取何值时，函数
取得最大值 .
(3)在(2)的条件下，怎样由
变换到？
分析：
利用正弦函数的图象与性质来研究
的有关性质.
【解】
(1)
增区间：
减区间：
(2) ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当时，
ymin=2
∴
即
(3)略
点评:
本题是一道研究三角函数性质的综合题解题的关键是把问题进行转化，然后利用正弦函数的图象与性质来解决问题.
追踪训练
1、 若，且，则角
的终边所在象限是 （ ）
A.第一象限角 B. 第二象限角
C.第三象限角 D. 第四象限角
2、已知函数，则
下列命题正确的是 （ ）
A.是周期为1的奇函数
B. 是周期为2的偶函数
C. 是周期为1的偶函数
D. 是周期为2的奇函数
3、已知函数
，在一周期内，当时，取得最大值3，
当时，取得最小值-3，求
函数的解析式.
【解】
1、D
2、B
3、
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
诱导
公式
听课随笔
三角函数
的应用
任意角
的概念
同角三角函数
的基本关系式
应用
角度制
与弧度制
任意角的
三角函数
三角函数的
图象和性质
计算、化简、
证明恒等式
应
用
弧长与扇形
面积公式
应用
听课随笔第6课时 三角函数的诱导公式1
分层训练：
1．sin(-1500°)的值是( )
A．- B．
C．- D．
2．下列等式正确的是( )
A．sin(- ＋180°)＝-sin B．sin2( ＋ )＝-sin2
C．cos(- ＋ )＝-cos( - ) D．tan( - )＝tan
3．设f(x)＝asin( x＋ )＋bcos( x＋ )，其中a，b， ， 都是非零常数，若f(1992)＝-1，则f(1993)等于( )
A．-1 B．0
C．1 D．2
4．已知sin( - )＝log8，且 ∈(-，0)，则tan(2 - )的值为( )
A．- B． C．± D．-
5．cos225°＋tan(-120°)＋sin(-420°)＋cot(-570°)＝________．
6．已知函数f(x)＝cos，给出下列4个等式．①f(2 -x)＝f(x) ②f(2 ＋x)＝f(x)
③f(-x)＝f(x) ④f(4 ＋x)＝f(x)
其中成立的是________(只填代号)．
7．已知cos( ＋ )＝，且tan ·cos ＞0，则tan 的值是________．
8．设＝2，则sin cos ＝________．
拓展延伸：
9．计算：sin(30°＋ )tan(135°＋ )tan
(135°- )·
10．已知2sin( - )-cos( - )＝1(0＜ ＜ ，求cos(2 - )＋sin( ＋ )的值．
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第8课时 三角函数的恒等变形(复习)
【分层训练】
1．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子中不正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知，则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
5．已知，且是第三象限角，则的值是( )
A． B． C．或 D．或
5．求值：=
6．已知，则角是第 象限角.
7．已知、、均为锐角，且，则= .
8．求值：（1）
学生质疑
教师释疑
（2）
【拓展延伸】
9．已知，求的值.
10．（1）已知求
（2）已知求
【本节学习疑点】第6课时 任意三角函数3
分层训练：
1．在内，使成立的x的取值范围是（ ）
A． B.
C. D.
2.若满足
，则在
（ ）
A． 第一象限 B.第二象限
B． 第三象限 D.第四象限
3．已知扇形的周长是6cm，面积为2cm2
则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．1 B.4 C.1或4 D.2或4
5.的值为__________.
6.已知点在第三象限，则角的终边在第________象限.
6.已知
(1)写出所有与终边相同的角;
(2)写出在内与终边相同的角;
(3)若角与终边相同,则是第几象限角
拓展延伸：
7．已知圆心角为的扇形,它的弧长为,求这个扇形的内切圆半径.
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑三角恒等变换 参考答案
3.1.1两角和与差的余弦练习
1-6、A B A C B D
7、． 8、．
8提示：
9、（1）；（2）． 10、．
3.1.2两角和与差的正弦 参考答案
1~6、BDCAA
6、． 7、． 8、．
9、．
10、由已知可得：，；
∵，∴
∴
．
3.1.3两角和与差的正切 参考答案
1-4 D B B C
5、1． 6、。 7、。
8、1．
9、解：
由得： ，
由正切公式得：，又
由得：
，
所以是顶角为的等腰三角形
10、，，；或，，。
3.1复习课(练习)参考答案
1-4 、 Ａ Ａ Ｃ Ｄ 5、。 6、。 7、。 8、（1）；（2）。
9、（1）；（2）。
10、（Ⅰ）证明：
所以
（Ⅱ）解析：，
即 ，将代入上式并整理得
解得，舍去负值得，
设AB边上的高为CD.
则：；；
∵ ；∴ 。
3.2二倍角的正弦、余弦、正切(1)参考答案
1-6 A B C D C A
7、． 8、．
9、原式．
10、∵，，，
∴ ；因而：．
∵ ，∴ ．
3.2二倍角的正弦、余弦、正切(2)参考答案
1-5 D C A C C
6、4． 7、。 8、。 9、。
10、（1）；
（2）存在，此时．
3.3几个三角恒等式解答：
1-4题答案： A B B C
5. 6. 7.
8.提示：关键：
，则
9.（2004湖南）已知求的值。解：由
有，
而在里仅有使，
=
=
10．略
1．C 2．D 3．D 4．A
5． 6．四 7． 8．（1）， （2） 9． 10．（1） （2）
三角恒等变换 单元检测参考答案：
1．B 由2sinAcosB＝sin(A＋B)sin(B－A)＝0B＝A．
2．C 原式＝＝eq \f(cos20°,cos20°)＝．
则f(x)＝eq \f(,1＋t)＝∈[eq \f(－－1,2),―1]∪(―1, eq \f(－1,2))．
3．D．4．B ∵sinθ＞0，cosθ＜0，tan－cot＝eq \f(sin,cos)－eq \f(cos,sin)＝－＞0．
∴tan＞cot．
5． 令t＝sin x＋cos x＝sin(x＋)∈[―,―1]∪(―1, )．
6． tan＋cot＝＝．∴sinα＝．cosα＝．
sin(α－)＝sinα－eq \f(,2)cosα＝eq \f(4－3,10)．
7．。 8．1 解：cosθ＝sin2θ，∴sin6θ＝cos3θ，sin8θ＝cos4θ．
∴sin2θ＋sin6θ＋sin8θ＝cosθ＋cos3θ＋cos4θ＝cosθ＋cos2θ(cosθ＋cos2θ)
＝cosθ＋cos2θ＝1．
9．分析：∵＝(α―)―(－β)．
解：∵α∈(,π)β∈(0, )．∴＜α－＜π，－＜－β＜．
∴由cos(α－)＝－得sin(α－)＝eq \f(4,9)，由sin(－β)＝．得cos(－β)＝eq \f(,3)．
∴cos＝cos[(α―)―(―β)]＝…＝eq \f(7,27)．∴cos(α＋β)＝2×(eq \f(7,27))2－1＝－．
10．解：依题知α≠，cosα≠0．方程可化为6tan2α＋tanα－2＝0．tanα＝－或 (舍)．
∴sin(2α＋)＝sin2αcos＋cos2α·sin＝sinαcosα＋eq \f(,2)(cos2α－sin2α)
＝＋eq \f(,2)·＝＋eq \f(,2)×＝－＋eq \f(5,26)．
11．C
12．B 解：由tan＝＝＝sinC。∴cosC＝0，C＝．
∴A＋B＝．故①式＝tan2A≠1。②式＝sinA＋cosA＝sin(A＋)∈(1，)，
③式＝2sin2A≠1，④式＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C．
13．A 解：当α∈(0, )时，sinα＋cosα＝sin(α＋)＞1．故α∈(,π)．
∴sinα＞0,cosα＜0．且|sinα|＞|cosα|∴|tanα|＞1．
由(sinα＋cosα)2＝sin2α＝－＝－tanα＝－或tanα＝－(舍)．
14．解：。
15．7 解：y＝3sin(x＋20°)＋5[sin(x＋20°)cos60°＋cos(x＋20°)sin60°]
＝sin(x＋20°)＋eq \f(5,2)cos(x＋20°)＝7sin(x＋20°＋φ)≤7．
16．,,,，解∵＝．故四条弧所对圆心角分别为，，，．
四内角分别为(＋)＝π．(＋)＝，，．
17．解：sinA＋cosA＝cos(A－45°)＝eq \f(,2)， ∴cos(A－45°)＝．
∵0°＜A＜180°，∴A－45°＝60°，A＝105°，
∴tanA＝tan(60°＋45°)＝―2―， sinA＝sin(60°＋45°)＝eq \f(＋,4)，
∴S△ABC＝AC·AB．sinA＝×2×3×eq \f(＋,4)＝(＋)．
18．解：如图作PE⊥AD于E．设BP＝X． 则x＋a＝，∴x＝，
∴AE＝BP＝，DE＝PC＝a，∴tan∠APD＝tan(∠1＋∠2)＝eq \f(＋,1－×)＝18．
19．解1：由①得＋β＝，∴tan(＋β)＝eq \f(tan＋tanβ,1－tantanβ)＝．
将②代入得tan＋tanβ＝3－．∴tan,tanβ是方程x2―(3―)x＋2－＝0的两根．
解得x1＝1，x2＝2－．若tan＝1，则α＝与α为锐角矛盾．∴tanβ＝1, tan＝2－，
∴β＝．代入①得α＝．满足tan＝2－．
解2：由①得＝－β，代入②得：tan(－β)·tanβ＝2－eq \f(－tanβ,1＋tanβ)·tanβ＝2－．
tan2β―(3―)tanβ＋2－＝0；tanβ＝1或2－．
若tanβ＝1，则β＝，α＝．
若tanβ＝2－．代入②得cot＝1，则α＝不合题意．故存在α＝，β＝使①、②同时成立．
20.(1)m∈［-,］ (2)m=-时，sin(α+β)=-1
21.(1)f(θ)=2acosθ+2asinθ+2asin(60°-θ)
(2)当θ=15°时，f(θ)max=(+)a
A
E
D
C
P
B
1
23．3几组三角恒等式
【学习导航】
知识网络
几组三角恒等式：
1．二倍角公式:
；
；
；
2．倍角降幂公式
3．半角公式
4．积化和差公式
5．和差化积公式
6．万能公式
7．派生公式：
(1) (sinα±cosα)2＝1±sin2α．
(2) 1＋cosα＝2cos2，
(3 )1－cosα＝2sin2，
(4) asinα＋bcosα
＝sin（α＋φ）
＝cos（α－）
（5）
学习要求
1.掌握推导积化和差、和差化积公式、半角公式和万能公式的方法，知道它们的互化关
2.注意半角公式的推导与正确使用.
学习重点
几组三角恒等式的应用
学习难点
灵活应用和、差、倍角等公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
【自学评价】
1．积化和差公式的推导
因为和是我们所学习过的知识，因此我们考虑
；
.
两式相加得；
即；
2．和差化积公式的推导
在上式中若令 + = ， = φ，则， 代入得：
∴
3．万能公式的推导
1
2
3
1
2
3
【精典范例】
例1已知，求3cos 2 + 4sin 2 的值.
解：∵ ∴cos 0 (否则 2 = 5 )
∴ 解之得：tan = 2
∴原式
例2已知，化简.
解：，
故原式=.
例3已知，，tan =，tan =，求2 + .
解： ∴
又∵tan2 < 0，tan < 0 ∴，
∴ ∴2 + =
例4已知sin cos = ，，求和tan的值.
解：∵sin cos = ∴
化简得：
∴
∵ ∴ ∴
即
例5已知cos cos = ，sin sin = ，求sin( + )的值.
解：∵cos cos = ，∴ ①
sin sin =，∴ ②
∵ ∴ ∴
∴
例6已知A、B、C是三角形的内角，.
（1）问任意交换两个角的位置，y的值是否变化？试证明你的结论。
（2）求y 的最大值。
解：（1）
=
∴ 任意交换两个角的位置，y的值不变.
（2）由（1）可知，不妨设C为锐角
∴
=
当且仅当时，等号成立。故y 的最大值为。
思维点拔：
1、公式正用要善于拆角；逆用要构造公式结构；变用要抓住公式结构.
2、化简
（1）化简目标：项数尽量少、次数尽量低、尽量不含分母和根号.
（2）化简基本方法：异角化同角；异名化同名；切割化弦；高次化低次；常值代换.
3、求值
（1）求值问题的基本类型：给角求值；给值求值；给值求角；给式求值.
（2）技巧与方法：切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换
4、证明
（1）证明基本方法：化繁为简法、左右归一法、变更命题法.
（2）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的差异与联系.
【追踪训练】：
1.如果｜cosθ｜＝，＜θ＜3π,则sin的值等于(C )
2.设5π＜θ＜6π且cos＝a,则sin等于( D )
3.已知tan76°≈4，则tan7°的值约为( A )
4.tan－cot的值等于 －2 .
5.已知sinA＋cosA＝1，0＜Ａ＜π，则tan＝ 2－ .
6.已知tanα、tanβ是方程7ｘ2－8ｘ＋1＝0的两根，则tan＝ －2 或
7.已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0.
求证：α＋2β＝?
证法1：由已知得3sin2α＝cos2β ①?
3sin2α＝2sin2β ②?
①÷②得tanα＝
∵α、β为锐角?
∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，?
∴－＜－2β＜
∴α＝－2β，α＋2β＝
证法2：由已知可得：?
3sin2α＝cos2β?
3sin2α＝2sin2β?
∴cos（α＋2β）＝cosα·cos2β－sinα·sin2β?
＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α?
＝3sin2αcosα－sinα·3sinαcosα＝0?
又由α＋2β∈（0，）?
∴α＋2β＝?
证法3：由已知可得
∴sin（α＋2β）＝sinαcos2β＋cosαsin2β
＝sinα·3sin2α＋cosα·sin2α?
＝3sinα（sin2α＋cos2α）＝3sinα?
又由②，得3sinα·cosα＝sin2β ③?
①2＋③2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1?
∴sinα＝，即sin（α＋2β）＝1?
又0＜α＋2β＜
∴α＋2β＝
评述：一般地，若所求角在（0，π）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在（－，)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切.
8.设25sin2ｘ＋sinｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tan.()
9.已知cos2θ＝，求sin4θ＋cos4θ的值.()
10.求证
①
②第11课时 三角函数图象和性质1
【学习导航】
知识网络
学习要求
1、 能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象；
2、 会用五点画图法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图；
3、 借助图象理解正、余弦函数的图象性质(1)(2)
4、初步运用正、余弦函数的图象性质(1)(2)
【课堂互动】
自学评价
一、平移正弦线画出正弦函数的图象
1．在单位圆中，作出对应于的角及相应的正弦线
2．作出y=sinx在[0，2]区间上的图象
(1)平移正弦线到相应位置
(2)连线
3．作出y=sinx在R上的图象
二、用五点画图法画出正弦函数在[0，2]区间上的简图
三、平移正弦曲线的方法画出余弦函数的
图象；
思考:
1、y=sinx、y=cosx有什么的关系？为什么？
____________________________
2、由y=sinx的图象怎样作出y=cosx的
图象？
______________________________
四、用五点画图法画出正弦函数在[0，2] 区间上的简图
四、仔细观察正弦曲线和余弦曲线，总结
正弦函数与余弦函数的的图象性质：
(1)定义域
_______________________________
(2)值域
_______________________________
对于y=sinx：
当且仅当x=_________________时，
当且仅当x=_________________时，
对于y=cosx：
当且仅当x=_________________时，
当且仅当x=_________________时，
【精典范例】
1、 用“五点法”画函数的简图
例1：画出下列函数的简图
（1）y=cosx,xR
y=2cosx,xR
（2）y=sinx, xR
y=sin2x, xR
分析：作出函数图象首先要列表，然后描点，
连线，然而作图的关键是找“五点”
【解】（1）
先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性得整个图象
思考:
函数y=sinx与y=cos2x的图象之间有何
联系？
【解】（2）
先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性得整个图象
点评:抓住“五点”
二、求三角函数的最值
例2：求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量x的集合
（1）y=cos (2) y=2-sin2x
【解】
（1）
（２）
点评:运用“整体思想”解题
三、求三角函数的定义域
例3：求下列函数的定义域
分析：要求其定义域，需满足sinx≥0
且cosx≠-1，这是函数本身的要求，又sinx，cosx的定义域为
R，因此只需考虑以上两个条件
即可
【解】
点评:
（1） 求函数的定义域时，对限制条件不要遗漏，解每个不等式时，结果要
表示成集合的形式；
（2） 在解有关三角不等式时，常运用三角函数的图象，数形结合，解法简捷、直观。
追踪训练
1、 下列等式有可能成立吗？为什么？
（1） 2cosx=3
（2） sin2x=0.5
【解】
（1）
（2）
2、 画出下列函数的简图，并比较这些图象与正弦函数曲线的区别与联系
(1) y=sinx-1
(2) y=2sinx
3、求下列函数的最小值及取得最小值时的自变量x的集合
(1) y=-2sinx
(2) y=2-cos
4、求下列函数的定义域
（1）
（2）已知的定义域为
[0，]，求的
定义域
思维点拔：
例4：求函数
的值域
点拔：
（1）经过换元后，把这个三角函数转化 为二次函数特定区间求值域的问题；
（2）注意：换元时，一定要考虑换元的
取值范围。
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
三角函数线
周期性
初步运用
三角函数图象和性质(1)(2)
听课随笔
听课随笔
听课随笔2.5 向量的应用
【学习导航】
知识网络
矢量的合成
物理问题
矢量的分解
向量的应用
数学问题 几何问题
学习要求
1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题，力学问题的思想方法，体会向量是一种重要的数学工具。
2.通过问题的解决培养学生运算能力和解决实际问题的能力。
【课堂互动】
自学评价
1.力、_________________位移等都是向量;
2.力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的__________，运动的叠加也用到向量的合成；
3.功就是力与所产生的位移的___________
【精典范例】
一、向量在物理中的应用
例1 如图 (1)所示，无弹性的细绳OA,OB的一端分别固定在A,B处，同质量的细绳OC下端系着一个称盘，且使得OB⊥OC,试分析OA,OB,OC三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大。
【解】
归纳研究：
①利用向量解决物理问题，首先要用向量来表示问题中的物理关系，建立相应的数学模型，然后进行向量的计算得出结果。根据结果对相关的物理关系作出解释。
②物理中的受力分析，速度分解等一般都可以用向量来解决。
二、向量在平面几何中的应用
例２ 已知：⊥，⊥
求证：.?
【证明】
归纳总结：
① 能否用一个几何图形来解释例2 ？
在△ABC中,OA⊥BC, OB⊥AC,则OC⊥AB 。这几个几何现象表示为三角形的三条高交于一点O,这个O点就是△ABC的垂心。这个向量方法的证明比平面几何方法的证明要简捷。
2 事实上,许多平面几何问题都能用向量方法证明。我们可以引入向量,通过向量的运算来证明。同学可举例尝试证明,如在直角三角形中某些性质：勾股定理、斜线上中线定理等。
三、向量在解析几何中的应用
例３ 已知直线l经过点和，用向量方法求l的方程．
分析：设P是直线l上任意一点，由与共线的条件可推得直线l的方程.
【解】
追踪训练一
１．如图，一个三角形角铁支架ＡＢＣ安装在墙壁上，ＡＢ∶ＡＣ∶ＢＣ＝３∶４∶５，在Ｂ处挂一个６ｋｇ的物体，求角铁ＡＢ与ＢＣ所受的力．
２．用向量方法证明梯形中位线定理．
３．直线l平行于向量ａ＝（２，３），求直线l的斜率．
４．直线l经过原点且与向量ａ＝（２，３）垂直，求直线l的方程．
追踪训练二
１?如图，夹角为９０°的两根绳子提起一个重物，每根绳子用力４Ｎ，求物体的重量．
２某人在静水中游泳的速度为ｍ／ｓ，河水自西向东流速为１ｍ／ｓ，若此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度．
【师生互动】
听课随笔
听课随笔
学生质疑
教师释疑必修4第1章三角函数参考答案
第1课时 任意角、弧度（1）
1． C 2． A 3. C 4．C
5．一、二象限或轴非负半轴
6．
7． 8． 9．
10．（1）一定不是第三,四象限角;
（2）是第一,二,三象限角.
第2课时 任意角、弧度（2）
1．C 2．B 3．B
4．C. 5．C. 6．40
7． . 8．；
9．AB=2sin1
10．
11..
第3课时 任意角的三角函数(1)
1．A 2．A 3．三 4．（－1，
5．解：（1）因为当时，，，所以
， ， ．
（2）因为当时，，，所以
， ， ．
（3）因为当时，，，所以
， ， 不存在．
6．解：（1）∵是第三象限角，∴；
（2）∵是第四象限角，∴；
（3）∵，即是第一象限角，∴；
（4）∵，即是第四象限角，∴
7．解：由题设知，，所以，得，
从而，解得或．
当时，， ；
当时，，；
当时，，．
8．解：因为过点，所以，
当； ；；
当；；．
9．二或四;小于0,小于0
第4课时 任意角的三角函数(2)
1．A 2．B 3．C
4．
5． 6．A 7．{ 2 ，-2 ，0 } 8．
9．
10．
第5课时 任意角的三角函数(3)
1．C 2.B 3.C
4. 5.二
6．
，第一、三象限
7．1
第6（1）课时 同角三角函数关系(1)
1．B 2．B 3．A 4．A
5．，，，6．，， 7． 8．
9。（1）当在第一象限时，，
当在第二象限时，，
（2）当在第一象限时，
当在第三象限时，
第6（2）课时 同角三角函数关系2
1．A 2．A 3．A 4．A
5．， 6．，， 7． 8．9．（1）；
（2）
第7课时 三角函数的诱导公式1
1．C 分析：sin(-1500°)＝-sin60°．
2．D 分析：tan( - )＝-tan( - )
＝-(-tan )＝tan
3．C
4．B 分析：∵ sin( - )＝log8，
∴ sin ＝-，又 ∈(-，0)，∴ cos ＝．
又tan(2 - )＝-tan ＝-故选B．
5．- 6．③④
7．-2 分析：∵ cos( ＋ )＝，
∴ -cos ＝， ∴ cos ＝-＜0，
∵ tan ·cos ＞0，∴ tan ＜0，
∴ 在第二象限，又sin ＝，
∴ tan ＝
8． 分析：先利用诱导公式化简．
9．原式＝sin［90°-(60°- )］tan［270°-(135°- )］tan(135°- )sec(60°- )
＝cos(60°- )cot(135°- )·tan(135°- )sec(60°- )＝1
10．解：∵ 2sin( - )-cos( - )＝1
∴ 2sin ＋cos ＝1 ①
又cos(2 - )＋sin( ＋ )＝cos -sin
由①得2sin ＝1-cos
∴ 4sin2 ＝1-2cos ＋cos2
∴ 4(1-cos2 )＝1-2cos ＋cos2
∴ 5cos2 -2cos -3＝0
∴ cos ＝-或cos ＝1
∵ 0＜ ＜ ，∴ cos ＝-，
∴ sin ＝
∴ cos -sin ＝--＝-
∴ cos(2 - )＋sin( ＋ )＝-．
第8课时 三角函数的诱导公式2
1．A 2．B 分析：sin(A＋B)＝sin( -C)＝sinC．
3．D 分析：∵ cos［＋( -)］＝-sin( -)=cos( ＋)＝cos［＋( -)］
∴ sin( -)＋cos( ＋)＝0
4．A 分析：分奇数、偶数讨论n的取值．
5．B 分析：f(sin150°)＝f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos120°＝-．
6．1-sinθ 7．3 8．- 9．-1
10．± 分析：f(cos10°)＝f(sin80°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝-cos60°＝-
f(cos10°)＝f［cos(-10°)］
＝f［cos(90°-100°)］
＝f(sin100°)＝cos300°＝cos(360°-60°)
＝cos60°＝
11．原式＝
∵ cos20°＞sin20°，
∴ ｜sin20°-cos20°｜＝-(sin20°-cos20°) ．
∴ 原式＝-1．
12．∵ ∴
∴ sin2 ＋(cos )2＝(sin )2＋(cos )2，
∴ sin2 ＋3cos2 ＝2，
∴ sin2 ＋3(1-sin2 )＝2，
∴ sin2 ＝，
∴ sin ＝±， ∵ ∈(0， )，
∴ sin ＝， ∴ ＝或 ＝
当 ＝时，sin ＝sin ＝，∴ sin ＝
∴ ＝或 ＝
当 ＝时，有同样的结果．
∴ ＝或， ＝或．
第9课时 三角函数的诱导公式3
1．B 2.D 3.A 4。A
5. 6. 7.-1 8。 9。3
10．[0 9/4] 11。（1）略 （2）1/4
第10课时 三角函数的周期性
1、C 2、B 3、A 4、C 5、． 6、
7, 8,T=4
9、（1）；（2）； （3）；
10．f(2006)=-
第11课时三角函数的图象和性质(1)
1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．B
7．D 8． 9．或
10．略
11．解：①当时，
当时，
②当时，
当时，
12．① ②
13．[-4,4]
第12课时 三角函数图象和性质(2)
1．C 2．C 3．B 4．D 5．C
6．B 7．
8．
9．T=,,
10．(-4,
11．
12．解：
（1）求f ()=
（2） 的最小正值为
（3）
第13课时 三角函数图象和性质(3)
1．B 2．B 3．C 4．B 5．D
6．A 7．A 8．C
9．3
10．，
11．
12．解：作图略
偶函数；不是周期函数；增区间为
及；
减区间为及
第14课时
函数的图象(1)
1．D 2．C 3．B 4．B 5．C
6．B 7．D 8．答案不唯一 9．
10．作图略
11．（I） y取得最大值必须且只需
所以当函数y取得最大值时，自变量
x的集合为
（II）将函数依次进行如下变换：
（i） 把函数 的图象向左平，得到函数 的图象；
（ii）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
；
（iii）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象 ；
（iv）把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象：
；
12．
第15课时
函数的图象(2)
1．D 2．C 3．C 4．B 5．A
6．A 7．D 8．C 9．(-1,1)
10．
11． 或2，
第16课时
函数的图象(3)
1．C 2.B 3.A 4。B
5.
6.sin2>sin3>sin4 7。略
8．
第17课时 三角函数的应用(1)
1．C 2．C 3．A 4．A 5．D
6．，
7． 8． 0
9． ①3cm, ②6cm, ③1s.
10．解：由条件可知：出厂价格函数为：
销售价格函数为：
则利润函数为：
当x=6时，即6月份
赢利最多．
第18课时 三角函数的应用(2)
1．A 2．C 3．B 4． 0个
5． 答案不唯一
6． 7．
或
8．或
9．解：∵ ，∴
∴ ，
∴
10．建立如图所示的直角坐标系，
在中，
，∴OQ=-8cos+8而
，
∴
必修4 第1章 三角函数
单元检测
基础检测
1、C 2、C 3、D 4、A
5、
6、
7、
8、A=3 ， ，
9、解：为第二象限角
或（舍去）
10、证明简略
11、
12、（1）原式=
（2）
（3）或
选修检测
13、B 14、B 15、B 16、A 17、 18、
19、-1 20、 21、-2 22、（1）； （2）
23、
24、定义域为，
为偶函数，的值域为第2课时
【学习导航】
【知识网络】
学习要求
1． 理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；
2． 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题；
3． 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系.
【课堂互动】
自学评价
1．规定：周角 为1度的角； 叫做1弧度的角.
2．角度制与弧度制相互换算：
1弧度= （度）；1度= （弧度）
注意：（1）用“弧度”为单位度量角，当弧度数用来表示时，如无特别要求，不必把写成小数，例如弧度，不必写成弧度。
（2）角度制与弧度角制不能混用。
3．把下列各角从弧度化为角度：
4．把下列各角从角度化为弧度：
5．下列命题中，假命题的是（ ）
A、“角度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；
B、1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；
C、根据弧度的定义，一定有成立；
D、不论是用角度制还是用弧度制量角，它们与圆的半径长短有关.
6．角的弧度数的绝对值（为弧长，为半径）
若｜α｜≤２π，则有圆心角为α的扇形的面积为
（其中为弧长，为半径）
.
【精典范例】
一、弧度制的概念
例1．把下列各角从弧度化为角度：
（1） （2）7/2π
分 析：主要考查弧度与角度的换算
【解】
例2．把下列各角从角度化为弧度：
（1） （2）
分 析：主要考查弧度与角度的换算
【解】
二、弧长公式和扇形面积公式
例3．已知扇形的周长为8厘米，圆心角为2弧度，求该扇形的面积.
分 析：主要考查扇形的弧长公式和面积公式
【解】
追踪训练
1．把下列各角从弧度化为角度：
（1） （2）
（3） （4）
2．把下列各角从角度化为弧度：
（1） （2）
（3） （4）
3.将表示成的形式，且.
【师生互动】
任意角的三角函数
教师释疑
学习札记
学生质疑
弧长公式
扇形面积公式
特殊角的弧度数
弧度化角度
学习札记
角度化弧度
角度与弧度的互化
弧度数
定义
弧度制第二章 平面向量
一、知识结构
二、重点难点
重点：
向量及其相关概念；向量的坐标表示；向量的运算；利用向量的思想方法解决问题
难点：
通过作图的方法理解两个基本定理；掌握向量夹角的概念，会用平面向量的数量积
解决有关长度、角度和垂直的简单问题。
第1课时 向量的概念及表示
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；
2．通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；
3．通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
【课堂互动】
自学评价
1．向量的定义：
称为向量．
2.向量的表示：
（1）图形表示：______________________
（2）字母表示：______________________
3. 向量的相关概念：
（1） 向量的长度（向量的模）：
______________________，
记为______________________，
（2）零向量：
______________________，
记为______________________，
（3）单位向量：
______________________，
思考:平面直角坐标系内，起点在原点的单
位向量，它们终点的轨迹是什么图形？【答】
（4）平行向量：
____________________________叫做
平行向量．
（5）共线向量：
____________________________叫做
共线向量．
思考:
（i）平行向量与共线向量的关系？
【答】
（ii）向量“共线”与几何中“共线”有何的区别？
【答】
（6）相等向量与相反向量：
_________________________,
_________________________．
【精典范例】
例1：判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
分析：本题考查的是向量的概念、向量的模
及平行向量、相等向量和单位向量，
所以从概念出发解决本题较容易．
【解】
（1）不一定
（2）不一定
（3）零向量
（4）零向量
（5）平行向量
（6）长度相等且方向相同
（7）不一定
点评:
正确解答该题的关键是把握住向量的两个要素，并从两个要素人手，区分其
它有关概念．
例2：
一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北500走了200千米到达C点，最后又改变
方向，向东行驶了100千米到达D点，
（1）作出向量
（2）求．
分析：
首先确立指向标，然后再根据行驶方向
确定出有关向量，进而求解.
【解】
（1）如下图所示：
（2）由题意知，与方向相反，故与共线，又，∴在四边形ABCD中，∥CD且相等，四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
点评:
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小
确定向量的终点．
例3：
如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量．
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？
变式三：与向量共线的向量有哪些？
分析：
结合向量的模、相等向量、共线向量解答．
【解】
（略）
变式一：11个
变式二：（存在）
变式三：（）
点评:
多观察图形，结合概念进行解答．
追踪训练一
1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一
定不同.
【解】
①不正确
②不正确
③不正确
④、⑤ 正确
⑥不正确
2．已知Ｏ为正六边形ＡＢＣＤＥＦ的中心，在图所标出的向量中：
（1）试找出与共线的向量；
（2）确定与相等的向量；
（3）与相等吗？
【解】
（1）
（2）
（3）不相等
3. 在图（1）中的４×５方格纸中有一个向量 ＡＢ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与ＡＢ相等的向量有多少个？与ＡＢ长度相等的共线向量有多少个？（ ＡＢ除外）
【解】
7个
15个
思维点拔：
例3：
若E、F、M、N分别是四边形ABCD的边AB、
BC、CD、DA的中点，
求证：
【证明】
如图所示，连结AC，在⊿DAC中，
∵N、M分别是AD、CD的中点，
∴∥，且
且与的方向相同，同理可得
且与的方向相同，
故有
且与的方向相同，
∴．
追踪训练二
1．已知四边形ABCD中，，且
，则四边形ABCD的形状是
_________________
等腰梯形
2．⊙O的周长是2，AB是⊙O直径，C
是圆周上的一点，∠BAC=,CD⊥AB于D,
这时________
．
3．已知飞机从甲地按北偏东300的方
向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南
偏东300的方向飞行2000km到达丙地，
再从丙地按西南方向飞行1000km到
达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁
地距甲地多远？
丁地在甲地的东南方向，
距甲地1000km．
学生质疑
教师释疑
字母表示
听课随笔
听课随笔
平面向量
听课随笔
背景
相等向量
向量的运算
向量的表示
向量的应用
向量的概念
单位向量
向量的模
零向量
表示方法
几何表示
向量的定义
向量
听课随笔
平行(共线)向量
线性运算
数量积3.1.3两角和与差的正切
【学习导航】
1． 掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。
2． 通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
3．能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
教学重点：
学习重点
能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式
学习难点
进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【自学评价】
1．两角和与差的正、余弦公式
2．tan(+)公式的推导
∵cos (+)0
tan(+)=
当coscos0时, 分子分母同时除以coscos得：
以代得：
其中都不等于
3．注意：1必须在定义域范围内使用上述公式tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能用诱导公式.
2注意公式的结构，尤其是符号.
4．引导学生自行推导出cot(±)的公式—用cot，cot表示
cot(+)=
当sinsin0时,cot(+)=
同理，得：cot()=
【精典范例】
例1已知tan=，tan=2 求cot()，并求+的值，其中0<<90, 90<<180
解：cot()=
∵ tan(+)=
且∵0<<90, 90<<180 ∴90<+<270 ∴+=135
例2 求下列各式的值：
（1）
（2）tan17+tan28+tan17tan28
（3）tan20°tan30°＋tan30°tan40°＋tan40°tan20°
解：（1）原式=
（2） ∵
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17tan28)=1 tan17tan28
∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
（3）原式＝
说明：可在△ABC中证明.
例3 已知 求证tan=3tan(+)
证：由题设：
即
∴
∴tan=3tan(+)
例4已知tan和是方程 的两个根，证明：pq+1=0
证：由韦达定理：tan+=p ，tan =q
∴
∴pq+1=0
例5已知tan=，tan()=(tantan+m),又,都是钝角，求+的值
解：∵两式作差，得：tan+tan=(1tantan)
即 ∴
又 ,都是钝角 ∴<+<2 ∴+
思维点拔：
两角和与差的正切及余切公式, 解题时要多观察，勤思考，善于联想，由例及类归纳解题方法，如适当进行角的变换，灵活应用基本公式，特殊角函数的应用等是三角恒等到变换中常用的方法和技能．
【追踪训练】
1.若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cos（A＋B）的值为( C )
2.在△ABC中，若0＜tanA·tanB＜1则△ABＣ一定是( B )
A.等边三角形 B.直角三角形 Ｃ.锐角三角形 Ｄ.钝角三角形
3.在△ABC中，tanA＋tanB＋tanＣ＝3，tan2B＝tanAtanＣ，则∠B等于 .
4.＝ － .
5.已知(5)
6.已知
（１）求；
（２）求的值（其中）．
分析：
（１）观察（）的结构，直接代入公式；若改求呢？
（２）由（１）直接运用公式（）容易求出的值．但由已知的三角函数值求角时，所得的解不唯一的．因此，必须根据已知条件进行分析，这就要确定的范围．
【选修延伸】
例6已知A、B为锐角，证明的充要条件是（1＋tanA）（1＋tanB）＝2.
选题意图：考查两角和与差的正切公式的变换应用和求角的方法.
证明：(先证充分性)
由(1＋tanA）（1＋tanB）＝2即1＋（tanA＋tanB）＋tanA·tanB＝2
得tan（A＋B）［1－tanAtanB］＝1－tanA·tanB
∴tan（A＋B）＝1
又0＜A＋B＜π ∴A＋B＝
(再证必要性)
由
整理得（1＋tanA）（1＋tanB）＝2.
说明：可类似地证明以下命题：
(1)若α＋β＝，则（1－tanα）（1－tanβ）＝2；
(2)若α＋β＝，则（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2；
(3)若α＋β＝，则（1－tanα）（1－tanβ）＝2.
【追踪训练】
1.an67°30′－tan22°30′等于( C )
A.1 B. Ｃ.2 Ｄ.4
2.an17°tan43°＋tan17°tan30°＋tan30°tan43°的值为( B )
A.－1 B.1 Ｃ. Ｄ.－
3.(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)……(1＋tan44°)(1＋tan45°)＝ 223 .
4.＝ .
5.已知3sinβ＝sin（2α＋β）且tanα＝1，求tan（α＋β）.?
选题意图：考查两角和与差的三角函数公式的应用和三角函数关系式的变形能力.
解：由3sinβ＝sin（2α＋β）即3sin［（α＋β）－α］＝［sin(α＋β)＋α］
得：3sin（α＋β）cosα－3cos（α＋β）sinα
＝sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα
∴2sin（α＋β）cosα＝4cos（α＋β）sinα
∴tan（α＋β）＝2tanα
又tanα＝1 ∴tan（α＋β）＝2
说明：本题解法的关键是要注意到β＝（α＋β）－α，2α＋β＝（α＋β）＋α.
6.已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ且α，β∈
（－)，求sin2（α＋β）＋sin（α＋β）cos（α＋β）＋2cos2（α＋β)的值
选题意图：考查两角和三角函数公式和平方关系的应用.
解：根据韦达定理
说明：解题的整个过程就是统一角，统一函数的过程.
7.已知函数的图象与轴交点为、，
求证：.
证明:∵函数的图象与轴交点为、
∴+= =－1
∴＝
∴.
说明：在三角函数关系式的变形过程中，要注意统一角、统一函数，要注意角与角之间的和、差、倍、半关系和特殊角之间的关系等.第2课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．能够理解和熟练运用模长公式，两点距离公式及夹角公式；
2．理解并掌握两个向量垂直的条件．
【课堂互动】
自学评价
1．若则
____________________
2．向量的模长公式：
设则
=_______________
3． 两点间距离公式：
设则
_____________________
4．向量的夹角公式：
设,的夹角为，则有
_________________
5．两个向量垂直：
设,
,
___________________
注意：对零向量只定义了平行，而不定义垂直。
【精典范例】
例1：已知＝（２，－１），＝（３，－２），求（３－）·（－２）．
【解】
例2：设.
.试求△AOB的面积.
【解】
例3：设
【解】
追踪训练一
1.
求：.
2. 已知向量，若与垂直，则实数k=_____
3.
平行，则x=_______
例4: 在△ABC中，设且△ABC为直角三角形，求k的值．
【解】
例5： 设向量，其中
⑴、试计算的值；
⑵、求向量的夹角大小。
【解】
追踪训练二
1．已知A、B、C是平面上的三个点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1）。那么_______,∠ACB=________
△ABC的形状为_______________
2．已知
，且的夹角为钝角，求实数m的取值范围。
【师生互动】
向量的
数量积
的坐标
表示
模长公式
两点间距离公式
垂直条件
夹角公式
学习札记
学习札记
学生质疑
教师释疑第12课时
函数的图象(1)
分层训练
1．如果函数的最小正周期为4，那么常数为 （ ）
A．4 B．2 C． D．
2．要得到函数的图象，只需将函数的图象 （ ）
A．向右平移 B．向左平移
C．向右平移 D．向左平移
3．函数的一个对称中心是
（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的一条对称轴是
（ ）
A． B．
C． D．
5．要得到的图象，只要把 的图象上每一点（纵坐标不变）的横坐标变
为原来的 （ ）
A．3倍 B．6倍
C．倍 D． 倍
6．由函数和函数的图象可知，在区间上满足的x的值有 （ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
7．函数的图象经过下列平移变换，就可得到函数（ ）
A．向右平移 B．向左平移
C．向左平移 D．向右平移
8．当=_________时，函数
的图象关于y轴对称．
9．一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系为
，若已知 此振动的振幅为3，周期为，初相为
则这个函数的解析式为_________________
10．用五点法画出函数．
11．已知函数
（I）当函数y取最大值时，求自变量x的集合；
（II）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
拓展延伸
12．若将的图象向右平移∕8个单位得图象，再把图象上的每一个点的横坐标变为原来的2倍得图象，再把图象上的每一个点的纵坐标变为原来的3倍得图象，若是函数的图象，试求的表达式？
本节学习疑点
学生质疑
教师释疑第3课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1、 借助正、余弦函数的图象，说出正、余弦函数的图象性质；
2、掌握正、余弦函数的图象性质，并会运用
性质解决有关问题；
3、培养学生分析问题、解决问题的能力．
【课堂互动】
自学评价
正弦函数、余弦函数的图象性质：
(1)定义域：
_______________________________
(2)值域：
_______________________________
对于y=sinx：
当且仅当x=_________________时，
当且仅当x=_________________时，
对于y=cosx：
当且仅当x=_________________时，
当且仅当x=_________________时，
(3)周期性：
正弦函数和余弦函数都是周期函数，并 且周期都是2π．
(4)奇偶性：
①y=sinx
正弦函数是奇函数，其图象关于_____
对称，它的对称中心是_____________
正弦函数的对称轴方程是
________________________
②y=cosx
余弦函数是偶函数，其图象关于_____
对称，它的对称轴方程是__________
____________________________
正弦函数的对称中心是
________________________
(5)单调性：
①
在每一个闭区间[，]（k∈Z）上，
是单调增函数．
在每一个闭区间[，]（k∈Z）上，是单调减函数．
②
在______________________________
上，是单调增函数．
在______________________________
上，是单调增函数．
思考:
正、余弦函数的图象的这些性质也可以从 单位圆中的三角函数线得出吗？
【答】
【精典范例】
一、判断函数的奇偶性
例1： 判断下列函数的奇偶性
(1) ；
(2) ）；
(3) ．
分析：
判断函数的奇偶性，首先要看定义域是
否关于原点对称，然后再看与的关系，对(1)用诱导公式化简后，更便于判断．
【解】
（1）
____________________________
（2）
（3）
点评:
判断函数的奇偶性时， 判断“定义域是
否关于原点对称”是必须的步骤．
追踪训练一
判断下列函数的奇偶性
(1)
(2)
(3)
二、运用三角函数的单调性
例2：
比较下列两个三角函数值的大小
(1) sin2500、sin2600
(2) cos
【解】
点评:
(1)比较同名的三角函数值的大小，找到单 调区间，运用单调性即可，若比较复杂，
先化间；
(2)比较不同名的三角函数值的大小，应先 化为同名的三角函数值，再进行比较．
例3：求函数y=sin(2x+)的单调增区间．
分析：
求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性．
【解】
点评:
（1）“整体思想”解题
（2）思考：
y=sin(-2x+)的单调增区间怎样求呢？
【解】
追踪训练二
1、 下列函数的单调区间：
①y=sin(x+
②y=3cos
2 、函数y=sinx（的值域为
________________________
3、比较下列两个三角函数值的大小
(1) sin140、sin1550
(2) cos1150与cos2600
(3) sin1940与cos1600
高考热点
例4：
如果函数y=sin2x+asinx的图象关于直线对称，求a的值．
【解】
追踪训练三
求下列函数的的对称轴、对称中心
(1)
(2) ．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
值域
周期性
三角
函数
图象
和性
质
学习札记
学习札记
性质的运用
对称中心
对称轴
定义域
奇偶性
单调性
学习札记第3章 三角恒等变换
【学习导航】
1． 本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。
2． 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值变化的规律，是研究三角函数性质及其应用的一种工具。学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理能力和运算能力。
3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的兴趣，体会数学是一个有机联系的整体，二不是各不相关的内容的堆积。
知识网络
学习要求
1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。
3.1.1两角和与差的余弦
【学习导航】
1． 掌握推导两角差的余弦公式的多种方法，充分认识到两角差的余弦公式是本单元所有公式的基础。
2． 掌握的诱导公式。
学习要求
1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；
2、应用公式，求三角函数值.
3．培养探索和创新的能力和意识.
【自学评价】
1．探究
反例：
问题：的关系？
解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线
2．探究：在坐标系中、角构造+角
3．探究：作单位圆，构造全等三角形
4．探究：写出4个点的坐标
，
，，
5．计算，
=
=
6．探究 由=导出公式
展开并整理得
所以 可记为
7．探究 特征
①熟悉公式的结构和特点；
②此公式对任意、都适用
③公式记号
8．探究 cos()的公式
以代得：
公式记号
【精典范例】
例1 计算① cos105 ②cos15 ③coscossinsin
解：①cos105=cos(60+45)=cos60cos45sin60sin45
=
②cos15 =cos(6045)=cos60cos45+sin60sin45
=
③coscossinsin= cos(+)=cos=0
例2已知sin=，cos=求cos()的值
解：∵sin=>0，cos=>0
∴可能在一、二象限，在一、四象限
若、均在第一象限，
则cos=，sin= cos()=
若在第一象限，在四象限，
则cos=，sin= cos()=
若在第二象限，在一象限，
则cos=，sin= cos()=
若在第二象限，在四象限，
则cos=，sin= cos()=
例3已知cos(2α-β)=-,sin (α-2β)=,且<α<,0<β<,
求cos(α+β)的值。
分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，
即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。
解：∵,
∴<2α-β<π,- <α-2β<,
由cos(2α-β)=-得，sin (2α-β)=;
由sin (α-2β)=得，cos(α-2β)=。
∴cos(α+β)=cos［(2α-β)-(α-2β)］=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin (2α-β)sin (α-2β)=- ×+×=。
例4不查表，求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）
思维点拔：
在三角变换中，首先应考虑角的变换如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的常用的变换角的方法有：α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,
,…
【追踪训练】：
1．sinsin=，coscos=，(0, ),(0, ),求cos()的值。
解: ∵sinsin=，coscos=，(0, ),(0, ),
∴，
∴2-2 cos()= ∴cos()=
2．求cos75的值
解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45sin30
=
3．计算：cos65cos115cos25sin115
解：原式= cos65cos115sin65sin115=cos(65+115)=cos180=1
4 计算：cos70cos20+sin110sin20
原式=cos70cos20+sin70sin20=cos(70+20)=0
5．已知锐角,满足cos= cos(+)=求cos
解：∵cos= ∴sin=
又∵cos(+)=<0
∴+为钝角
∴sin(+)=
∴cos=cos[(+)]=cos(+)cos+sin(+)sin
= （角变换技巧）
6．已知cos()=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值
解: (sin+sin)2+(cos+cos)2=2+2 cos()=2+=
【选修延伸】
例5已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以
点评：注意角、的象限，也就是符号问题.
例6设，且，
求的值。
解：因为所以
所以，，
所以
故
【追踪训练】：
1．满足的一组的值是 （ D ）
A. B. C. D.
2．若，则的值为 （ D ）
A. 0 B. 1 C. D. —1
3．已知cosα= ,α∈（，2π），则cos（α－）= 。
4．化简： = 。
5．利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
tan2α=
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α- sin2α
=2cos2α-1=1-2 sin2α
tan（α+β）=
tan（α-β）=
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ第2课时
【学习要求】
1． 掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。
2． 通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。
并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
3． 掌握诱导公式
重点难点
重点：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式
难点：进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
【自学评价】
1． 两角和的正弦公式的推导
sin(+)=cos[(+)]
=cos[()]
=cos()cos+sin()sin
=sincos+cossin
即：
以代得：
2公式的分析，结构解剖：正余余正符号同。
【精典范例】
例1求值
【解】
例2 ：已知，求的值.
例3已知sin(+)=,sin()= 求的值.
【解】
例4（1）已知，
求tanα: tanβ的值.
【解】
思维点拔：
由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
【追踪训练一】：
1. 在△ABC中，已知cosA =，cosB =，则cosC的值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2.已知，，，，求sin( + )的值.
3.已知sin + sin = ，求cos + cos的范围.
4.已知sin(+) =，sin() =，求的值.
4． 已知sin+sin=
① cos+cos= ② 求cos()
【解】
【选修延伸】
例5化简.
【解】
思维点拔：
我们得到一组有用的公式：
⑴ sinα±cosα
＝sin＝cos．
(2) sinα±cosα
＝2sin＝2cos．
(3) asinα＋bcosα
＝sin（α＋φ）
＝cos（α－）
【追踪训练二】：
1．化简
2．求证：cosx+sinx=cos(x) .
3. 求证：cos+sin＝2sin(+).
学生质疑
教师释疑
4. 已知，求函数的值域.
5.求的值.
【师生互动】
学习札记
学习札记
学习札记第5课时 向量数乘（2）
分层训练
1． ，且共线，
则与 （ ）
A．共线 B．可能共线，也可能不共线
C 不共线 D．不能确定
2．设是不共线的两个向量，有下列四组向量，其中与共线的组数为 （ ）
①；②
；③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在四边形ABCD中，，
，，其中与不共线，则四边形ABCD为 （ ）
A．梯形 B．平行四边形
C 菱形 D．矩形
4．已知，若
向量与共线，则 （ ）
A． B．
C．∥ D．∥或
5．已知⊿ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则（ ）
A．P在⊿ABC的内部
B．P在⊿ABC的外部
C．P在AB边所在直线上
D．P在AC线段上
6．已知：点M是⊿ABC的重心，则
为 （ ）
A． B．
C． D．
7．若，，则∠AOB的平分线上的向量为 （ ）
A． B．
C． D．
8．，与不共线，若
，则x=__________,y=________
9．，与不共线，非零向量
，若∥，则和满足的条件
为_______________________
10．已知，，
，其中与不共线，且B、C、D三点共线，求的值．
拓展延伸
11． 已知：平行四边形ABCD中，E是DC中点，AE交BD于M，试用向量的方法证明：M是BD的一个三等分点．
12．设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是⊿ABC的边BC、CA、AB上的点，且AF=AB，，
，若记＝，＝，试用，表示，，．
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第9课时三角函数的诱导公式(3)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1. 能近一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值
2. 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程
3. 近一步准确记忆并理解诱导公式,灵活运用诱导公式求值
口诀：奇变偶不变，符号看象限
【课堂互动】
自学评价
1． 在诱导公式中，存在着角之间的关系，首先可以把负角的三角函数化为正角的三角函数，然后把正角的三角函数化为角的三角函数，最后化为锐角三角函数，这是三角函数化简、求值、证明的基础。
2． 诱导公式的形式及符号尤为重要，开如的三角函数必定符合某一个诱导公式，公式记忆归纳为“奇变偶不变，符号看象限”，要注意理解和区别，以保证解题的准确性。
【精典范例】
例1． 已知：
求：的值。
【略解】原式=
例2． 已知A、B、C为的三个内角，求证：
【略】
例3．若，求满足
的x.
【略解】
追踪训练
1． 若
求的值。
答：，
2．在中：
，判断
的形状。
答：等腰三角形或直角三角形。
3．已知是关于x的方程
两实根，且
，求的值。
答：
【师生互动】
任意角的三角函数
三角函数线
诱导公式的运用
诱导公式的推导
听课随笔
听课随笔
教师释疑
学生质疑3.2二倍角的正弦、余弦、正切(1)
【分层训练】
1.若，则的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
2.已知 sin（x－）= ,则sin2x =（ ）
A． B．
C． D．－
3.若x = ，则sin4x－cos4x的值为（ ）
A． B．
C． D．
4.（ ）
A、
B、
C、
D、
5.若，则的值等于 （ ）
A、 B、
C、 D、
6.的值等于（ ）
A、 B、 C、2 D、4
7.计算tan－cot= ．
8.函数的最大值等于 ．
【拓展延伸】
9.已知：tanx = －2，求：的值．
10.已知：，求：的值．
【本节学习疑点】
学生质疑
教师释疑第2课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．能正确的用坐标来表示向量；
2．能区分向量的坐标与点的坐标的不同；
3．掌握平面向量的直角坐标运算；
4．提高分析问题的能力．
【课堂互动】
自学评价
1．一般地，对于向量，当它的起点移至_____时，其终点的坐标称为向量的（直角）坐标，记作_______________
2.有向线段AB的端点坐标为A(,)，
B(,)，则向量的坐标为____________________
3.若=(,)， =(,)
+=____________________
-=____________________
4.线段的定比分点坐标公式: ()
若 则P点坐标是_____________________
【精典范例】
例1：如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限，，求向量的坐标.
【解】
例2：已知A（-1，3），B（1，-3），C（4，1），D（3，4），求向量的坐标.
【解】
例3：平面上三点,,,
求D点坐标,使A,B,C,D这四个点构成平行四边形的四个顶点.
【解】
追踪训练一
1. 与向量平行的单位向量为（ ）
A. B.
C. 或 D.
2. 若O（0，0），B（－1，3）且=，
则坐标是：_______________
3. 已知O 是坐标原点，点A在第二象限，求向量的坐标。
例4: 已知是直线求P的坐标。
【解】
追踪训练二
1．已知A，B两点的坐标分别为（m, －n）,
(-m,n),C点分所成的比为-2，那么C点坐标为_____________________
2．已知两点（-1，-6），（3，0），点P（）分有向线段所成的比为，则=_________，y=__________
3．已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为
（－2，1），一组对边AB，CD，的中点分别为M（3，0）N（－1，－2），求平行四边形其余各顶点的坐标。
【师生互动】
中点坐标公式
坐标运算
平面
向量
的坐
标运
算
平面向量的坐标
学习札记
学习札记
学生质疑
教师释疑第7课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1. 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值
2. 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程
3. 近一步准确记忆并理解诱导公式,灵活运用诱导公式求值
【口诀】：奇变偶不变，符号看象限
【课堂互动】
自学评价
1． 在诱导公式中，存在着角之间的关系，首先可以把负角的三角函数化为正角的三角函数，然后把正角的三角函数化为角的三角函数，最后化为锐角三角函数，这是三角函数化简、求值、证明的基础。
2． 诱导公式的形式及符号尤为重要，如的三角函数必定符合某一个诱导公式，公式记忆归纳为“奇变偶不变，符号看象限”，要注意理解和区别，以保证解题的准确性。
【精典范例】
例1． 已知：
求：的值。
例2． 已知A、B、C为的三个内角，求证：
例3．若，求满足
时的x的值.
追踪训练
1． 若
求的值。
，
2．在中：
，判断
的形状。
3．已知是关于x的方程
的两实根，且
，求的值。
【师生互动】
任意角的三角函数
三角函数线
诱导公式的运用
诱导公式的推导
学习札记
学习札记
教师释疑
学生质疑第4课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．理解并掌握向量共线定理；
2．能运用向量共线定理证明简单的几何问题；
3．培养学生的逻辑思维能力.
【课堂互动】
自学评价
1.向量的线性表示：
如果（），则称向量可以
用非零向量线性表示.
2.向量共线定理：
一般地，对于两个向量（），，
如果有一个实数λ，使
__________________________
那么与是共线向量；反之，如果
与是共线向量，那么有且只有一个
实数λ，使
.
思考: 向量共线定理中有条件的限制，若无此限制，会有什么结果？
【答】 _______
_______________________________
【精典范例】
例1．如图Ｄ，Ｅ分别为 △ＡＢＣ的边ＡＢ，ＡＣ的中点，求证：
（1）与共线，
（2）将用线性表示．
分析：
本题运用共线向量的知识和向量的数乘解决一些共线与线性表示的问题．
【证明】
点评:
本题的讲解是为引人向量共线定理作
准备.
例2．
设、是两个不共线的向量，已知
，，
=，若A、B、D三点共线，求
k的值.
分析：
本题是两个向量共线的条件的应用，只
要利用、两个向量共线就可以
列出关于k的方程，然后利用消元法解
方程组即可求出k的值.
【解】
点评:
一般地，若、不共线，而
与共线，对应相等.
【变式】
设、是两个不共线的向量，已知
，，
=，
求证：A、B、D三点共线.
分析： 利用向量的运算求出
，再利用向量共线定理证明共线，即A、B、D三点共线.
【证明】略
例3．
如图：△ＯＡＢ中，Ｃ为直线ＡＢ上一
点，＝λ（λ≠－１）．
求证：＝．
分析：
将已知条件中的，用结论式中的
，，表示，进而解出．
【证明】
思考:
（1）当λ=１时，你能得到什么结论？
【答】
_________________________________
(2)上面所证明的结论
表明：起点为O，
终点为直线AB上一点C的向量可
以用，表示，那么两个不共线
的向量，可以表示平面内任意
一个向量吗？
【答】
_________________________________
追踪训练一
1.已知向量＝２－２，＝－３（
－），求证：与是共线向量．
2. 设、是两个不共线的向量，，，若与
是共线向量，求k的值.
３．如图，在△ＡＢＣ中，＝＝，记＝，＝，
求证：＝（）．
【证明】
【选修延伸】
例4．
已知向量，，
其中、是两个不共线，向量
，是否存在这样的实数λ，μ
使得与共线？
分析：根据向量共线定理，设存在，然后
列出方程组，若方程组有解就存在，
否则就不存在．
【解】
例5．（2002年天津）平面直角坐标系中，
已知，若点满足
，其中且
，求点的轨迹方程？
分析：
把代人，先
对向量式进行化简，也可以利用结论判断A、B、C、共线．
【解】
点评:本题的考查意图就是向量共线定理．
追踪训练二
1.求证：起点相同的三个非零向量，
的终点在同一条直线上．
2.已知：在⊿ABC中，设
，，CD与BE交于
P，试用，表示．
3．证明：如果存在不全为０的实数ｓ，ｔ，使得ｓ＋ｔ＝，那么与是共线向量；如果与不共线，且ｓ＋ｔ＝，那么ｓ＝ｔ＝０．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
学习札记
学习札记
向量共线定理
共线定理的应用
向量的数乘（2）
学习札记
