西宁市海湖中学 2023—2024 学年度第一学期
高一数学第二阶段学情考试（解析）
一、单选题
1．已知集合 A x Z| 2 x 3 ，B x∣ 2 x 2 ，则 A∩B（ ）
A． x∣ 2 x 2 B． 0,1 C． 1,0,1 D． 0,1, 2
1
2．函数 f (x) ln(2 3x) 的定义域为（ ）
x
2 2 2 2
A． 0, B． 0, C． 0, D． 0,
3 3 3 3
3．已知 x R ， p : x 2 1，q :1 x 5，则 p 是 q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1 log2 (2 x) (x 1)
4．设函数 f (x) ，则 f 2 f log 12 x 1 2 （ ）
2 (x 1)
A．3 B．6 C．9 D．12
0.3 2
5．若a log2 0.3,b 2 ,c 0.3 ，则 a，b，c的大小关系是（ ）
A．b c a B．c b a C．c a b D．b a c
x
6．函数 f x 的图像大致为（ ）
2ln x
A． B．
答案第 1 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
C． D．
1
7．已知函数 f x 2x ，则 f x （ ）
2x
A．是奇函数，且在R 上是增函数 B．是偶函数，且在 0, 上是增函数
C．是奇函数，且在R 上是减函数 D．是偶函数，且在 0, 上是减函数
2
8．函数 y lg x x 2 的单调递增区间是
1 1
A． , B． , C． ( , 2) D． (1, )
2 2
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）
1 2
A． 26 x2 x3 B． lgx lgx
1 1 1
C．若a a 1 4 ，则 a2 a 2 6 D．若a log32，则 log23 a
10．已知函数 f x 2x2 x 4的零点所在的区间是（ ）
A． 2,0 B． 1,0 C． 0,1 D． 1, 2
11．若函数 f x log1 x，则下列说法正确的是（ ）
2
A．函数定义域为R B．0 x 1时， y 0
1 1
C． f x 1的解集为 , D． f f 0
2 2
12．已知a 0，b 0，a b 1，则（ ）
4 1
A．2a 2b 2 2 B． 10
a b
1
C． log2a log2b 2
2 2
D．a b
2
答案第 2 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
三、填空题
13．当 x 0, 2 时， x 2 x 的最大值为 ．
14．实数a 0且a 1，则函数 y ax 1 3的图象恒过定点 ．
1
15．已知幂函数 y f x 的图象经过 2, ，则 f log1 4 ．
8 2
2a 1 x 4a x 1
f x
f x 1
f x2
16．已知函数 a ，满足对任意的实数 x1 x2 ，都有 0
x 1 x x
2x
1 2
成立，则实数 a的取值范围为 .
四、解答题
17．计算下列各式的值：
1
(1) 1 0.5 1
3
2
0 ；
2 27
lg5 log 3 log 2 eln 2(2) 2 3 lg2 .
18．设全集为 R，集合 A x x2 2x 3 0 , B {x a 1 x 2a 3}．
(1)若a 1，求 A B；
(2)在① A B A，②A ∩ B = B，③( RA) ∩ B = ，这三个条件中任选一个作为已知条件，
求实数 a的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
19．已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，当时 x 0时， f (x) x2 2x 1
（1）求 f (x)解析式
（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）
2
20．已知幂函数 f x 2m2 6m 5 xm m 1，且在 0, 上是增函数．
(1)求 f x 的解析式；
(2)若 f 2a 1 f 3 a ，求实数 a的取值范围；
答案第 3 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
a 2x
21．已知定义域为R 的函数 f (x) 是奇函数．
b 2x
(1)求 a,b的值；
(2)判断 f (x)的单调性并用定义证明；
22．已知函数 f x log2 x a ．
(1)当 a= 2时，解不等式： f x 2log2 x ；
(2)若函数 y f (x) 在 x 1, 2 上的最大值为 log2 3，求a 的值；
参考答案：
1．C
【分析】应用集合的交集运算即可.
【详解】由 A x Z| 2 x 3 { 1,0,1,2}，B x∣ 2 x 2 ，
则 A∩B= 1,0,1 .
故选：C
2．A
【分析】根据函数解析式建立不等关系求解即可.
1 x 0
【详解】∵ 函数 f (x) ln(2 3x) ∴
x 2 3x 0
2
∴0 x
3
2
∴函数 f (x)的定义域为 0,
3
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数的定义域，不等式的解法，属于容易题.
3．A
【分析】先化简命题 p，再利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：由 x 2 1，得1 x 3，
因为{x |1 x 3} {x |1 x 5}，
所以 p 是 q的充分不必要条件，
答案第 4 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
故选：A
4．C
【分析】根据分段函数解析式代入计算即可.
1 log2 (2 x), x 1
【详解】解：函数 f (x)
2x 1
，
, x…1
即有 f ( 2) 1 log2(2 2) 1 2 3，
log 12 1 log 12 1 1
f (log2 12) 2
2 2 2 12 6，
2 2
则有 f ( 2) f (log2 12) 3 6 9．
故选：C.
5．A
【分析】根据题意，以及指数和对数的函数的单调性，来确定 a，b，c 的大小关系.
【详解】解：Q y log2 x是增函数
a log2 0.3 log2 1 0，
Q y 2x 是增函数.
b 20.3 20 1，
又Q c 0.32 0.09
0 c 1，
b c a .
【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查指数函数和对数函数性质等基础知识，考查运
算求解能力，是基础题.根据题意，构造合适的对数函数和指数函数，利用指数对数函数的
单调性判定a,b的范围是关键.
6．C
【分析】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.
x
【详解】 f x 的定义域为 x | x 0,且 x 1 ，
2ln x
因为 f x f x ，所以 f x 为奇函数，排除 A，D，
当 x 0,1 时， f x 0 ，B 错误，
故选：C.
答案第 5 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
7．C
【分析】根据奇函数的定义判断，然后利用单调性的性质判断单调性即可求解.
1 x 1 x x 1
【详解】函数 f x 2 定义域为 R．又 f ( x) 2 2 f (x)，
2x 2 x 2x
1
所以函数 f x 2x 为奇函数，设 t 2x ， t 0，函数 t 2x 单调递增，
2x
1 1 1
设 y t ，则 y t 在 (0, )上单调递减，故函数 f (x) 2x
2x
在 R 上是减函数.
t t
故选：C.
8．D
2
【分析】首先考虑对数的真数取值大于0；其次将函数 uy lg x x 2 拆成外层函数 y lg 和内
层函数u x2 x 2 ，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后
即可求得 y lg x2 x 2 的单调增区间.
【详解】由 x2 x 2 0可得 x< 2或 x 1
∵u x2 x 2 在 (1, )单调递增，而 y lgu 是增函数，
2
由复合函数的同增异减的法则可得，函数 y lg x x 2 的单调递增区间是 (1, )，
故选 D.
【点睛】复合函数单调性的判断方法：同增异减.（同：内外层函数单调性相同时，整个函
数为增函数；异：内外层函数单调性不同时，整个函数为减函数）.
9．CD
【分析】取 x 0可判断 AB 选项；利用指数幂的运算性质可判断 C 选项；利用对数的换底
公式可判断 D 选项.
1
【详解】对于 A 选项，当 x 0时， 6 x2 0 ， x3 3 x 0，A 错；
2
对于 B 选项，当 x 0时， lg x2 有意义， lg x 无意义，B 错；
1 1
对于 C 选项，若a a 1 4 ，则a 0， a2 a 2 0，
2
1 1 1 1
因为 a 2 a 2 a a
1 2 4 2 6，故 a2 a 2 6 ，C 对；
答案第 6 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
1 1 1 ln3
log 3
对于 D 选项，若a log32，由换底公式可得
2
a log3 2 ln 2 ln 2 ，D 对.
ln3
故选：CD.
10．AD
【分析】确定函数有两个零点，计算 f 2 0， f 0 0， f 1 0， f 2 0 ，得到答案.
2
【详解】 f x 2x x 4， 1 32 33 0，故函数有两个零点，
f 2 8 2 4 2 0， f 0 4 0 ，故 2,0 上有零点；
f 1 2 1 4 1 0， f 2 8 2 4 6 0 ，故 1, 2 上有零点；
故零点所在的区间为 2,0 ， 1, 2 .
故选：AD
11．BD
【分析】根据对数函数得图像性质解决即可.
【详解】由题知， f x log1 x，
2
对于 A，函数定义域为 0, ，故 A 错误；
对于 B， f x log1 x在 0, 上单调递减，
2
当0 x 1时， f x log1 x log1 1 0，故 B 正确；
2 2
f x log x 1 1 对于 C， 1 在 0, 上单调递减， f x 1，即 log 1 x log 1 ，解得 0, ，故
2 22 2 2
C 错误；
1
对于 D， f f f (1) log1 1 0，故 D 正确.
2 2
故选：BD
12．ACD
【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即
答案第 7 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
可求解.
【详解】对于 A：因为a 0，b 0，a b 1，
1
所以 a b a b a b ，当且仅当2a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，即a b 时，等号成立，故 A
2
正确；
4 1 4 1 4b a 4b a
对于 B：因为a 0，b 0，a b 1，所以 a b 5 5 2 9，
a b a b a b a b
4b a 2 1
当且仅当 ，即a ，b 时，等号成立，故 B 错误；
a b 3 3
2
a b 1
对于 C：因为a 0，b 0，a b 1，所以 log2 a log2 b log2 ab log2 log2 2 ，
2 4
1
当且仅当a b 时，等号成立，故 C 正确；
2
2 2 2 1
对于 D：因为a 0，b 0，a b 1，所以 a b 2a2 2b2，即a b ，
2
1
当且仅当a b 时，等号成立，故 D 正确.
2
故选：ACD
13．1
【分析】直接利用基本不等式即可求得最大值.
x 2 x
【详解】因为 x 0, 2 ，所以2 x 0, 2 ，则 x 2 x 1，
2
所以 x 2 x 12 1，当且仅当 x 2 x 即 x 1时，等号成立，
所以 x 2 x 的最大值为 1.
故答案为：1
14． 1, 4
【分析】令 x 1 0，结合指数函数的性质即可得解.
【详解】令 x 1 0，则 x 1, y 4，
所以函数 y ax 1 3的图象恒过定点 1, 4 .
故答案为： 1, 4 .
答案第 8 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
1
15． / 0.125
8
a 1
【分析】设 f x x ，根据 f 2 可求出a 的值，可得出函数 f x 的解析式，代值计算
8
可得出 f log 1 4 的值.
2
1
【详解】设 f x 3 xa a，则 f 2 2 ，则a 3，则 f x x ，
8
3 1
所以， f log 1 4 f 2 2 .
82
1
故答案为： .
8
2 1
16． ,
11 2
【分析】根据分段函数的单调性列式求解.
f x1 f x2
【详解】对任意的实数 x1 x2 ，都有 0成立，
x1 x2
2a 1 0
2 1
所以函数 f x 在 R 上为减函数，可得 a 0 ，解得 a ，
11 2a
2a 1 4a
2
2 1
所以实数 a 的取值范围为 , .
11 2
2 1
故答案为： ,
11 2
17．(1)5
(2) 2
【分析】（1）根据指数幂的运算即可得出答案；
（2）根据对数的运算性质即可得出答案.
1
1
3
【详解】（1）解： 1 20.5 0
1 1
2 1 3
3 3 1 1 3 5；
2 27 2
ln 2
（2）解： lg5 log2 3 log3 2 e lg2 lg5 lg2 1 2 2 .
答案第 9 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
18．(1)A ∪ B = {x|x < 1或 x > 3}.
(2) ( , 2] [4, )
【分析】（1）先化简两个集合，再 求其交集；
（2）先选择条件得到B A，再讨论B 和 B ，利用集合的端点值的大小进行求解.
(1)
解：因为全集为 R，
且 A x x2 2x 3 0 {x | x 1或 x 3}，
当a 1时，B {x a 1 x 2a 3} {x 2 x 1}，
所以A ∪ B = {x|x < 1或 x > 3}.
(2)
解：选择①：
因为 A B A，所以B A .
当 B 时， a 1 2a 3，解得a 4；
a 1 2a 3 a 1 2a 3
当 B 时， 或 ，
2a 3 1 a 1 3
a 4 a 4
解得 或 ，
a 2 a 4
即 4 a 2或a 4；
综上所述，实数 a的取值范围是 ( , 2] [4, ) .
选择⑵：
因为A ∩ B = B，所以B A .
当 B 时， a 1 2a 3，解得a 4；
a 1 2a 3 a 1 2a 3
当 B 时， 或 ，
2a 3 1 a 1 3
a 4 a 4
解得 或 ，
a 2 a 4
即 4 a 2或a 4；
综上所述，实数 a的取值范围是 ( , 2] [4, ) .
答案第 10 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
选择③：
因为③( RA) ∩ B = ，所以B A .
当 B 时， a 1 2a 3，解得a 4；
a 1 2a 3 a 1 2a 3
当 B 时， 或 ，
2a 3 1 a 1 3
a 4 a 4
解得 或 ，
a 2 a 4
即 4 a 2或a 4；
综上所述，实数 a的取值范围是 ( , 2] [4, ) .
x2 2x 1, x 0
19．（1） f (x) 0, x 0 ；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为： 1,1 ，
2
x 2x 1, x 0
单调递减区间为： , 1 ， (1, ) .
【分析】（1）根据奇函数的性质，当 x 0时，f (0) 0，当 x 0时，f (x) f ( x) x2 2x 1，
即可得解；
（2）根据二次函数的图像与性质，直接画图像，并求出单调性.
【详解】（1）当 x 0时， f (0) 0，
当 x 0时， x 0， f (x) f ( x) x2 2x 1，
x2 2x 1, x 0
所以 f (x) 0, x 0 ，
x2 2x 1, x 0
（2） f (x)的图像为：
答案第 11 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
单调递增区间为： 1,1 ，
单调递减区间为： , 1 ， (1, ) .
20．(1) f (x) x
2
(2) ,
3
【分析】（1）直接根据幂函数的定义及性质列方程求解即可；
（2）利用幂函数的单调性去掉 f ，结合函数定义域列不等式求解即可.
【详解】（1）由已知得2m2 6m 5 1， 解得m 1或m 2，
1 1
当m 1时， f (x) x ，此时 f x 在 0, 上是减函数，不满足题意；
x
当m 2时， f (x) x ，此时在 0, 上是增函数，满足题意；
所以 f (x) x ；
（2）易知 f (x) x 的定义域为R ，且在R 上为增函数，
2
所以由 f 2a 1 f 3 a ，得2a 1 3 a，解得a ，
3
2
所以 a的取值范围为 , .
3
21．(1) a 1,b 1；
(2)函数 f (x)在R 上是减函数，证明见解析；
【分析】（1）首先由 f x 是奇函数可知 f (0) 0，得出a 1，后面再根据当 x 0时，有恒
等式 b 1 2x 1 0成立即可求出b 1；
答案第 12 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
（2）根据函数单调性定义即可证得函数 f x 单调递减；
【详解】（1）因为函数 f (x)是定义在R 上的奇函数，
a 1
所以 f (0) 0，即 0，所以a 1，
b 1
1
a
x a 2x
又因为 f ( x) f (x) ，所以 2
1 b 2x
，
b
2x
2x 1 2x 1
将a 1代入，整理得 ，
b 2x 1 b 2x
当 x 0时，有b 2x
x
1 b 2x，即 (b 1) 2 1 0恒成立，
又因为当 x 0时，有2x 1 0，所以b 1 0，所以b 1.
经检验符合题意，所以a 1,b 1 .
x 1 2x 2
（2）由（1）知：函数 1 2 2f (x) 1 ，
1 2x 1 2x 1 2x
函数 f (x)在R 上是减函数.
设任意 x1, x2 R ，且 x1 x2，
2 2
则 f (x1) f (x2 ) 1 x 1 x 1 2 1 1 2 2
2 2x2 2x1 2 2x1 2x2 x1 1
1 2x1 1 2x2 1 2x1 1 2x2
由 x1 x2，可得
x2 x x2 1 1 0，又1 2 1 0,1 2
x2 0,2x1 0，
2 2x1 2x2 x1 1
则 0，则 f (x1) f (x2)，
1 2x1 1 2x2
则函数 f (x)在R 上是减函数.
22．(1) 2,+
(2)不存在
【分析】（1）直接根据对数函数单调性解不等式即可，注意首先要使得对数有意义.
（2）直接对 log2 ( 1 a) , log2 (2 a) 比较大小分类讨论即可.
【详解】（1）由 f x 2log2 x, a 2，得 log2 x 2 2log2 x，
答案第 13 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
则 x 2 0 ,x 0，且 x 2 x2 x 1或 x 2，即不等式的解集为 2,+ .
（2）由复合函数单调性可知 f x log2 x a 在 x 1, 2 上单调递增，
故函数 y f (x) 在 x 1, 2 上的最大值为max log2 ( 1 a) , log2 (2 a)
5
若 log2 ( 1 a) log2 (2 a) ，则 log2 (2 a) log2 3 a 1或a ，
3
1 a 0 a 1，矛盾，故舍去
若 log2 ( 1 a) log2 (2 a) ，则 log2 ( 1 a) log2 3, log2( 1 a) 0 log2(2 a)
4 10
log2( 1 a) log2 3 a ，但此时 log2( 1 a) log2 3 log2(2 a) log2 ，矛盾，
3 3
故舍去.
所以： a的值不存在.
答案第 14 页，共 14 页
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}西宁市海湖中学 2023—2024 学年度第一学期
A． B．
高一数学第二阶段学情考试
时间：120 分钟 满分：150 分
第 I卷（选择题） C． D．
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分）
1．已知集合 A x Z| 2 x 3 ， B x∣ 2 x 2 ，则 A∩B（ ） 1
7．已知函数 f x 2x ，则 f x （ ）
2x
A． x∣ 2 x 2 B． 0,1 C． 1,0,1 D． 0,1, 2
A．是奇函数，且在R 上是增函数 B．是偶函数，且在 0, 上是增函数
1
2．函数 f (x) ln(2 3x) 的定义域为（ ）
x C．是奇函数，且在R 上是减函数 D．是偶函数，且在 0, 上是减函数
2 2 2 2
A． 0, B． 0, C． 0, D． 0,
3 3 3 3 28．函数 y lg x x 2 的单调递增区间是（ ）
3．已知 x R ， p : x 2 1，q :1 x 5，则 p 是ｑ的（ ） 1 1
A． , B． , C． ( , 2) D． (1, )
2 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
二、多选题（每小题 5分，共 20分，少选得 2分，多选错选不得分）
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．下列说法中正确的有（ ）
1 log2 (2 x) (x 1)
4．设函数 f (x) x 1 ，则 f 2 f log2 12
1
（ ） 2
2 (x 1) A．
2
6 2 3 B． lgx lgx
x x
1 1 1
A．3 B．6 C．9 D．12 C．若a a
1 4 ，则 a2 a 2 6 D．若a log32，则 log23 a
5．若a log2 0.3,b 2
0.3,c 0.32，则 a，b，c的大小关系是（ ） 210．已知函数 f x 2x x 4的零点所在的区间是（ ）
A．b c a B．c b a C．c a b D．b a c
A． 2,0 B． 1,0 C． 0,1 D． 1, 2
x
6．函数 f x 的图像大致为（ ）
2ln x 11．若函数 f x log1 x，则下列说法正确的是（ ）
2
{#{QQABKQAAogCAQBIAARgCUQXKCAIQkAGCCKoOhAAEIAAAwRNABAA=}#}
A．函数定义域为R B．0 x 1时， y 0 取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
1 1
C． f x 1的解集为 , D． f f 0
2 2
12．已知a 0，b 0，a b 1，则（ ） 19．已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x 0时， f (x) x2 2x 1
4 1
A．2a
f (x)
2b 2 2 B． 10 （
1）求 解析式；
a b
1 （2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）．
log a log 2 2C． 2 2b 2 D．a b
2
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
2
x 0, 2 x 2 x 2 m m 113．当 时， 的最大值为 ． 20．已知幂函数 f x 2m 6m 5 x ，且在 0, 上是增函数．
14．实数a 0且a 1，则函数 y ax 1 3的图象恒过定点 ． (1)求 f x 的解析式；
1
15．已知幂函数 y f x 的图象经过 2, ，则 f log1 4 ． (2)若 f 2a 1 f 3 a ，求实数 a 的取值范围．
8 2
2a 1 x 4a x 1
f x1 f xf x 2
16．已知函数 a ，满足对任意的实数 x1 x2 ，都有 0成立，则
x 1x x x
1 2
2
a 2x
实数 a的取值范围为 . 21．已知定义域为R 的函数 f (x) 是奇函数． b 2x
三、解答题（17题 10分，其它题各 12分，共 70分) (1)求a,b的值；
17．计算下列各式的值：
(2)判断 f (x)的单调性并用定义证明．
1
(1) 1
3
20.5 0
1
；
2 27
ln 2
(2) lg5 log2 3 log3 2 e lg2 .
22．已知函数 f x log2 x a ．
(1)当a= 2时，解不等式： f x 2log2 x ；
2
18．设全集为 R，集合 A x x 2x 3 0 , B {x a 1 x 2a 3}．
(2)若函数 y f (x) 在 x 1, 2 上的最大值为 log2 3，求a 的值．
(1)若a 1，求 A B；
(2)在① A B A，②A ∩ B = B，③( RA) ∩ B = ，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数 a的
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