A9 高中联盟 2023 年秋季期中联考
高二数学试卷
试卷满分：150 分
一、单选题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项符合题目要求的．
1． 1 2i 1 i （ ）
A． 1 3i B．3 3i C． 1 i D．3 i
2．如图，空间四边形 OABC中，OA a，OB b，OC c，点 M在OA上，
且OM 2MA，点 N为 BC中点，则MN （ ）
A. 1 a 2 1 b c2 3 2
2 a 1 b 1 c B．
3 2 2
1 1 a b 1 c C.
2 2 2
2 1
D. a b c
3 2
3．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，A市某高中全体教师于
2023年 3月 12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共
计 600棵，比例如图所示.青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活
动的人数之比为5 : 3 : 2，若每种树苗均按各年龄段报
名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数
量为（ ）
A．30棵 B．50棵
C．72棵 D．80棵
4．若直线 ax 2y 0与直线 x (a 1) y (a2 1) 0平行，则 a的值是（ ）
A．1或 2 B． 1 C． 2 D． 2或 1
湖北省 A9 高中联盟高二数学试卷 第 1页（共 6页）
{#{QQABSQAEogAIQBJAARhCUQE4CAMQkACCAIoOgBAEIAAAAANABAA=}#}
5．已知母线长为 5的圆锥的侧面积为15π，则这个圆锥的体积为（ ）
A．12π B．16π C．24π D． 48π
6．已知 ABC的三个顶点分别为 A 3,1,2 ，B 1, 1, 2 ，C 1, 3,2 ，则
BC边上的高等于（ ）
A 2 3 B 8 3 C 4 6 8 6． ． ． D．
3 3 3 3
x2 27 y．已知椭圆 1及椭圆内一点 P 1,2 ，则以 P为中点的弦所在直线
12 6
的斜率为（ ）
1 1
A． B． C．-4 D．4
4 4
8．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了
经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平
面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为 1）的动点轨
迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点 A( 1,0)和
B(2,1)，且该平面内的点 P满足 PA 2 PB ，若点 P的轨迹关于直线
mx ny 2 0 m,n 0 2 5对称，则 的最小值是（ ）
m n
A．10 B．20 C．30 D．40
二、多选题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四
个选项中有多项符合题目要求的，全部选对的得 5 分，有错选的得 0 分，
部分选对的得 2 分．
x2 y29．若方程 1所表示的曲线为 C，则下面四个说法中正确的是（ ）
3 t t 1
A．曲线 C可能是圆
B．若1 t 3，则 C为椭圆
C．若 C为椭圆，且焦点在 x轴上，则 2 t 3
D．若 C为椭圆，且焦点在 y轴上，则 2 t 3
10．甲 乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
湖北省 A9 高中联盟高二数学试卷 第 2页（共 6页）
{#{QQABSQAEogAIQBJAARhCUQE4CAMQkACCAIoOgBAEIAAAAANABAA=}#}
A．事件“甲投得 5点”与事件“甲投得 4点”不是互斥事件
B．事件“甲投得 6点”与事件“乙投得 5点”是相互独立事件
C．事件“甲 乙都投得 6点”与事件“甲 乙不全投得 6点”是对立事件
D．事件“至少有 1人投得 6点”与事件“甲投得 6点且乙没投得 6点”是
相互独立事件
11．已知圆O : x2 y 2 4和圆M : x2 y2 4x 2y 4 0，下列说法正确的是
（ ）
A．两圆有两条公切线
B．两圆的公共弦所在的直线方程为 y 2x 2
C．点 E在圆O上，点 F 在圆M 上， EF 的最大值为 5 3
D．圆O上有 2个点到直线 x y 2 0的距离为 2
12．如图，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F ，G，H分别
是DD1， A1B1，CD，BC的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． E， F ，G，H四点共面
B． BD与 EF 所成角的大小为
3
C．在线段 BD上存在点M ，使得 MC1 平面 EFG
D．在线段 A1B上任取一点 N，三棱锥 N EFG的体积为定值
湖北省 A9 高中联盟高二数学试卷 第 3页（共 6页）
{#{QQABSQAEogAIQBJAARhCUQE4CAMQkACCAIoOgBAEIAAAAANABAA=}#}
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量 a，b的夹角为 ，且 a· a b 1， a 2，则 b ．3
14．如图，由 X 到Y 的电路中有 4个元件，分别为A， B，C，D，若A，
B，C，D 1能正常工作的概率都是 2 ，记 N “ X 到Y 的电路是通路”，则
P N = .
15．已知实数 x，y满足 x2 y2 2 y 3 0，则 2x y的取值范围为 ．
16．点M在以O为中心，F1、F2为焦点的椭圆上，满足 MF1 2 MO 2 MF2 ，
则该椭圆的离心率为 .
四、解答题：本大题共 6 题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤．
17．（本小题满分 10分）已知 ABC的三个顶点是 A(1,2),B( 1,4),C(4,5)．
(1)求 AB边的高所在直线的方程；
(2)若直线 l过点 C，且点 A，B到直线 l的距离相等，求直线 l的方程．
18．（本小题满分 12分）已知 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，
向量 p a,c b ,q sin C sin B,sin A sin B ，且 p∥q .
(1)求角C；
(2)若 c = 3 2 , ABC 3 3的面积为 ，求 ABC的周长.
2
湖北省 A9 高中联盟高二数学试卷 第 4页（共 6页）
{#{QQABSQAEogAIQBJAARhCUQE4CAMQkACCAIoOgBAEIAAAAANABAA=}#}
19．（本小题满分 12分）在四棱锥 P ABCD中， PA 平面 ABCD，底面
1
ABCD是正方形，E，F分别在棱 PD， BC上且 PE PD，CF 1 BC．
3 3
(1)证明：CE∥平面 PAF；
(2)若 AD AP，求直线CD与平面 PAF所成角的正弦值．
20．（本小题满分 12分）第 19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是
亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现
随机抽取了 100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二
组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所
示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为 0.7，第一组和第
五组的频率相同．
(1)求 a，b的值；
(2)估计这 100名候选者面试成绩的60%分位数（精确到 0.1）；
(3)在第四、第五两组志愿者中，采用等比例分层抽样的方法从中抽取 5人，
湖北省 A9 高中联盟高二数学试卷 第 5页（共 6页）
{#{QQABSQAEogAIQBJAARhCUQE4CAMQkACCAIoOgBAEIAAAAANABAA=}#}
然后再从这 5人中选出 2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的
概率．
x2 y221 3．（本小题满分 12分）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的离心率为 ，a b 3
椭圆上的点到焦点的最小距离是 3 1．
(1)求椭圆C的方程；
(2) 45 l A,B 8 3倾斜角为 的直线 交椭圆于 两点，已知 | AB | ，求直线 l的一
5
般式方程．
22 2 2．（本小题满分 12分）已知圆C : x 1 y 2 9，直线
l : m 1 x 2m 1 y m 2 0 .
(1)求证：直线 l与圆 C恒有两个交点；
(2)若直线 l与圆 C交于点 A，B，求△CAB面积的最大值，并求此时直线 l
的方程.
湖北省 A9 高中联盟高二数学试卷 第 6页（共 6页）
{#{QQABSQAEogAIQBJAARhCUQE4CAMQkACCAIoOgBAEIAAAAANABAA=}#}A9 高中联盟 2023 年秋季期中联考
高二数学试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B C C A B A B AD BC ACD AD
13．3
11
14．
16
15．[1 2 5,1 2 5]
16 6．
3
12．【详解】以A为原点，以 AB， AD， AA1所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图
所示的空间直角坐标系，
则 A 0,0,0 ，B 2,0,0 ，C 2,2,0 ，D 0, 2,0 ，B1 2,0,2 ，D1 0,2,2 ，E 0,2,1 ，F 1,0,2 ，
H 2,1,0 ，G 1, 2,0 ，
设 AH xAE yAF zAG，
则 2,1,0 x 0,2,1 y 1,0,2 z 1,2,0 ，
y z 2
x 1
所以 2x 2z 1
1
，解得 y ，
2
x 2y 0
z
3
2
故 x y z 1，即 E，F ，G，H四点共面，故 A正确；
uuur
因为 BD 2, 2,0 ， EF 1, 2,1 ，
BD EF
cos BD, EF 6 3所以 ，
BD EF 8 6 2
所以 BD与 EF 所成角的大小为 ，故 B错误；
6
假设在线段BD上存在点M ，符合题意，
设BM BD （ 0≤ ≤1），则MC1 BC1 BM BC1 BD 2 , 2 2 , 2 ，
湖北省 A9 高中联盟高二数学试卷答案第 1页，共 6页
{#{QQABSQAEogAIQBJAARhCUQE4CAMQkACCAIoOgBAEIAAAAANABAA=}#}
若 MC1 平面 EFG，则MC1 EF 0，MC1 EG 0 ,
因为 EF 1, 2,1 ， EG 1,0, 1 ，
2 4 4 2 0
所以 2 2 0 ，此方程组无解，
所以在线段BD上不存在点M ，使得 MC1 平面 EFG，故 C错误；
因为 A1B 2,0, 2 2EG ，所以 A1B//EG，
又 A1B 平面 EFG， EG 平面 EFG，所以 A1B //平面 EFG，
故 A1B上的所有点到平面 EFG的距离即为 B到平面 EFG的距离，是定值，
又 EFG的面积是定值，
所以在线段 A1B上任取一点 N，三棱锥 N EFG的体积为定值，故 D正确；
4
16．【详解】因为 MF1 MF2 2 MF2 MF2 3 MF2 2a，所以 MF1 2 MO 2 MF2 a，3
因为 F1OM与 F2OM互补，且 F1F2 2 OF1 2 OF2 2c，
由余弦定理可得
c2 4 a2 16 a2 c2 4 a2 4 a2
9 9 9 9 0，
2 c 2 a 2 c 2 a
3 3
c2 2 2 6
可得
a2
，所以 e .
3 3 3
4 2
17．【详解】（1）直线 AB的斜率为 1，---------1 分
1 1
所以 AB边的高所在直线的斜率为1，---------２分
所以 AB边的高所在直线的方程为 y 5 1 x 4 , y x 1 .-----------4 分
（2）法一：∵直线 AB的斜率为 1，
若直线 l与直线 AB平行，则直线 l的方程为 y 5 x 4 , y x 9 .-----------６分
线段 AB的中点坐标为 0,3 ，
若直线 l过 0,3 5 3，则直线 l的方程为 y x 1 3, y x 3 .-----------９分
4 0 2
综上所述，直线 l的方程为 x + y 9 = 0或ｘ－２ｙ＋６＝０---------１０分
湖北省 A9 高中联盟高二数学试卷答案第 2页，共 6页
{#{QQABSQAEogAIQBJAARhCUQE4CAMQkACCAIoOgBAEIAAAAANABAA=}#}
法二：当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x = 4，点 A到直线 l的距离为 3，点 B到
直线 l的距离为 5，不满足题意应舍去。-----------５分
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y 5 = k（x 4）,即 kx y 4k + 5 = 0
|k 2 4k+5| | k 4 4k+5|
∵点 A、B １到直线 l的距离相等，∴ =2 2 ，解得 k = 1或 ，-----------９分1+k 1+k ２
故直线 l的方程为 x + y 9 = 0或ｘ－２ｙ＋６＝０-----------１０分
18．【详解】（1）由 p∥q可知 a sin A sin B c b sin C sin B ，
由正弦定理，得a a b c b c b ，即 a2 b2 c2 ab.---------３分
2 2 2
所以 cosC a b c 1 ，
2ab 2
C 2π又C （0，π），所以 ；---------６分
3
（2）又 S 1△ABC ab sinC
3 ab 3 3 ，所以 ab 6，---------８分
2 4 2
由（1）知 a2 b2 c2
2
ab，所以 a b ab c2 18
2 2a b 18 ab .所以 a b 18 ab 24，即 a b 2 6 ，---------１１分
所以 ABC的周长为 a b c 3 2 2 6 .---------１２分
19．【详解】（1）
G PG 1证明：如图，在棱 PA上取点 ，使得 PA，连接 EG， FG，
3
PE PG 1 1
因为 ，所以GE//AD且GE AD，
PD PA 3 3
1 1
由正方形 ABCD，CF BC，得CF //AD且CF AD，
3 3
所以GE//CF且GE CF，
所以四边形 FGEC为平行四边形，所以CE//GF，
又CE 平面 PAF，GF 平面 PAF，所以CE //平面 PAF．---------５分
湖北省 A9 高中联盟高二数学试卷答案第 3页，共 6页
{#{QQABSQAEogAIQBJAARhCUQE4CAMQkACCAIoOgBAEIAAAAANABAA=}#}
（2）
若 AD AP，则可设 AD AP 3，所以 AB BC 3．
以A为原点， AB， AD， AP所在的直线分别为 x轴， y轴， z轴建立如图所示的空间直角
坐标系， ---------６分
则点 A 0,0,0 ，C 3,3,0 ，D 0,3,0 ，P 0,0,3 ， F 3, 2,0 ，
则CD 3,0,0 ， AP 0,0,3 ， AF 3, 2,0 ，---------８分
设平面 PAF的法向量为m
x, y, z ，则
m
AP x, y, z 0,0,3 3z 0 z 0,
由
m
得
AF x, y, z 3,2,0 3x 2y 0 x
2y
,
3
令 y 3，得平面 PAF的一个法向是为m 2,3,0 ， ---------１０分
设直线CD与平面 PAF所成角的大小为 ，
m CD 2,3,0 3,0,0
sin 2 13则 ，
m CD 13 3 13
2 13
即直线CD与平面 PAF所成角的正弦值为 ． ---------１２分
13
20．【详解】（1）由题意可知：10a 0.65 0.7， 2a b 0.065 10 1，
解得 a 0.005，b 0.025；---------４分
（2）前两个分组频率之和为 0.3，前三个分组频率之和为 0.75，
第60%分位数等于65
0.6 0.3 625
10 71.7；---------８分
0.75 0.3 9
0.02
（3）根据分层抽样， 75,85 和 85,95 的频率比为 4
0.005
故在 75,85 和 85,95 中分别选取 4人和 1人，分别设为 a1,a2 ,a3 ,a4 和b1
则在这 5人中随机抽取两个的样本空间 包含的样本点有
湖北省 A9 高中联盟高二数学试卷答案第 4页，共 6页
{#{QQABSQAEogAIQBJAARhCUQE4CAMQkACCAIoOgBAEIAAAAANABAA=}#}
a1a2 ,a1a3 ,a1a4 ,a1b1,a2a3 ,a2a4 ,a2b1,a3a4 ,a3b1,a4b1共 10个，
即n 10，记事件 A “两人来自不同组”，
则事件A包含的样本点有
a1b1,a2b1,a3b1,a4b1共 4个，即 n A 4，
n A
P A 2所以 n 5 .---------１２分
2 2
21 1 C : x y 1 3 e c 3．【详解】（ ）由椭圆 2 2 的离心率为 ，即 ，可得 a 3c，a b 3 a 3
由椭圆上的点到焦点的最小距离是 3 1，可得a c 3 1，
解得 a 3， c 1，b 2 ，
x2 y2
所以椭圆的方程 1．---------４分
3 2
（2）解：因为直线 l的倾斜角为 45 ，可设 l的方程 y x m，
x2 y2
1
由方程组 3 2 ，整理得5x2 6mx 3m2 6 0 ，---------６分
y x m
36m2 4 5 3m2 6 24 5 m2可得 0，解得 5 m 5，---------７分
A x , y B x , y x x 6m x x 3m
2 6
设 1 1 ， 2 2 ，则 1 2 ， 1 2 ，---------９分5 5
2 2
又由 AB 1 k 2 x1 x2 1 k
2 x x 21 2 4x x 2
6 3m 6 8 3
1 2 m
4 ，
5 5 5
解得m 1，满足 0，---------１１分
所以直线 l的一般式方程为 x y 1 0或 x y 1 0．---------１２分
22．【详解】（1）因为直线 l : m 1 x 2m 1 y m 2 0可变形 x y 2 m x 2y 1 0，
x y 2 0 x 3
所以 ，解得 ，故直线经过的定点为 P 3,1 x 2y .---------４分 1 0
y 1
将点 P 3,1 2代入圆的方程有 3 1 1 2 2 5 9 ，---------５分
所以点 P 3,1 在圆 C的内部，所以直线 l与圆 C恒有两交点.---------６分
1
（2）由（1）知 PC 5，因为 S ABC AC BC sin ACB，2
所以当 ACB 90 时， ABC面积最大，---------７分
湖北省 A9 高中联盟高二数学试卷答案第 5页，共 6页
{#{QQABSQAEogAIQBJAARhCUQE4CAMQkACCAIoOgBAEIAAAAANABAA=}#}
1 9
此时 ABC 2为等腰直角三角形， ABC面积最大值为 S ABC r ，其中 r为圆的半径.2 2
ｒ ３
此时点 C到直线 l的距离，ｄ＝ ＝ ，---------９分
２ ２
m 1 2(2m 1) m 2 3 6
所以
(m 1)2
m m 0
(2m 1)2 2
，解得 或 .
13
故所求直线 l的方程为 x y 2 0或7x y 20 0 .---------１２分
湖北省 A9 高中联盟高二数学试卷答案第 6页，共 6页
{#{QQABSQAEogAIQBJAARhCUQE4CAMQkACCAIoOgBAEIAAAAANABAA=}#}
