广西南宁市三美学校2023-2024学年九年级上学期数学开学综合练习（一）试卷
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．（2023九上·南宁开学考）如图四个图形中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·南宁开学考）下列各曲线中，不能表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·南宁开学考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·南宁开学考）如图，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得，则池塘的宽度AB（ ）m.
A．40 B．20 C．10 D．15
5．（2023八下·红谷滩期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·南宁开学考）如图，在中，下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·南宁开学考）一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023九上·南宁开学考）某工厂生产的某种产品，今年产量为500件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到2600件，若设这个百分数为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023九上·南宁开学考）如图，在中，AE平分且交BC于点，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·南宁开学考）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这杆一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何 ”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大 题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（ ）
A．78平方里 B．65平方里 C．60平方里 D．30平方里
11．（2023九上·南宁开学考）若二次函数的与的部分对应值如下表：
… -1 0 1 2 3 …
… …
则下列说法错误的是（ ）
A．二次函数图象与轴交点有两个
B．时随的增大而增大
C．二次函数图象与轴交点横坐标一个在之间，另一个在之间
D．对称轴为直线
12．（2023九上·南宁开学考）小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图所示，小明用个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙.则图形的总长度与图形个数之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每题2分，共12分）
13．（2023九上·南宁开学考）若有意义，则的取值范围是 .
14．（2023九上·南宁开学考）若是方程的根，则的值为 .
15．（2023九上·南宁开学考）甲、乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方差与的大小关系是 .(填“>”、“<”或“=”).
16．（2023九上·南宁开学考）如图，的面积为18，点在BC上，点F，G在AD上，则图中阴影部分的面积为 .
17．（2023九上·南宁开学考）某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行时间（单位：秒）的函数关系式为，则该飞机着陆后滑行 秒停止.
18．（2023九上·南宁开学考）【动手实践】小明学习了课本“实验与探究”后做了如下探索：他按图1方法把边长为5厘米和3厘米的两个正方形切割成5块，按图2方式拼成的一个大正方形，则大正方形的边长是 厘米.
三、解答题（共8小题，共72分）
19．（2023九上·南宁开学考）计算：.
20．（2021九上·碑林期末）解方程： .
21．（2023九上·南宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，，是的顶点.
（1）画出关于轴的对称图形；
（2）直接写出点的坐标 ；
（3）求的长.
22．（2023九上·南宁开学考）某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：
其中，八年级20名学生的成绩是：80，81，82，82，84，85，86，87，89，90，90，91，94，96，96，96，96，96，99，100.
九年级20名学生的成绩在组中的数据是：90，91，92，92，93，94.
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 90 90 b 38.7
九年级 90 c 100 38.1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值： ， ，九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 ；
（2）你认为这次比赛中哪个年级的竞赛成绩更好，为什么
（3）若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数.
23．（2023九上·南宁开学考）如图，在中，过点作于点于点，且.
（1）求证：是菱形；
（2）若，求AB的长.
24．（2023九上·南宁开学考）如图，四边形ABCD中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
（1）求证：
（2）如果筝形的两条对角线长分别为，则筝形的面积= .
（3）已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足.试求当AC，BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少
25．（2023九上·南宁开学考）任意球是足球比赛的主要得分手段之一，在某次足球比赛中，李强站在点О处发出任意球，如图，把球看做点，其运行轨迹的高度（米）与水平距离（米）满足函数关系式，李强罚任意球时防守队员站在李强前方8米处组成人墙，防守队员的身高为2米，对手球门与李强的水平距离为18米，已知足球球门的高是2.43米.
（1）当时，求与的函数关系式；
（2）在第（1）问的前提下，足球能否越过人墙 足球能否直接射进球门 请分别说明理由；
（3）若李强罚出任意球一定能直接射进球门得分，直接写出的取值范围.
26．（2023九上·南宁开学考）数学活动课上，同学们用矩形纸片折叠作特殊的角.操作如下：
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：再一次折叠纸片，使折痕经过点，得到折痕BM，点的对应点为点，把纸片展平，连接MN，BN.
（1）如图1，当点N落在EF上，直接写出BM和MN的数量关系 .
（2）如图2，当AB=BC时，延长MN交CD于点P.
①求证：点P在∠NBC的平分线上；
②若AB=8cm，CP=3cm，求AM的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，A错误；
B、不是轴对称图形，B错误；
C、不是轴对称图形，C错误；
D、不是轴对称图形，D正确；
故答案为：D.
【分析】 平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形 叫轴对称图形.
2．【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、在该变化过程中，当x取一个值时，有可能对应值y是两个，A不是函数，A正确；
B、C、D都能表示y是x的函数
故答案为：.
【分析】 在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给x一个值，y就有唯一确定值与它对应，那么x是自变量，y叫做x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量.
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：根据题意知：当x=2时，y=5，即该函数的顶点坐标为（2，5）
故答案为：B.
【分析】抛物线，当x=h时，该抛物线有最值y=b，即其顶点坐标为（h，b）.
4．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意知：
∵M、N分别是OA、OB的中点
∴=20m
∴AB=40m
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线的性质定理：一个三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边，由此可知=20m，可求AB=40m.
5．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，A不符合题意
B：，B不符合题意
D：，D不符合题意
故答案为C
【分析】判断一个二次根式是二次最简根式的条件：被开方的因数是整数，因式是整式；被开方的因式或因数的指数都小于根指数2。
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD， AB//CD，AD=BC，AD//BC；AC与BD互相平分；
∴C正确，A、B、D错误.
故答案为：C.
【分析】平行四边形对边平行且相等；对角线互相平分；对角相等.
7．【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意可知：函数y=x+1，k=1＞0，该函数的图象经过一、三象限，而b=1则表示函数图象与y轴的交点为（0，1），交点在y轴的正半轴上，图像又经过第二象限.综上所述：y=x+1的图像经过一、二、三象限.
故答案为：A
【分析】一次函数图象的走势与k、b有关.当k＞0，b＞0时，函数图象经过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，函数图象经过二、三、四象限.
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知：
故答案为：B.
【分析】第一年的产量是500件；第二年的产量是500（1+x）件；第三年的产量为：500（1+x）2件，根据“第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=总产量”可得出方程.
9．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=58°
∴∠B=∠D=58°，AB//CD
∴∠BAD=122°
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=61°
∴∠AEC=∠B+∠BAE=58°+61°=119°
故答案为：C.
【分析】关键就是为利用三角形外角定理准备条件.利用平行四边形的性质得出对角∠B=∠D=58°，对边AB//CD，两直线平行，同旁内角互补，可得出∠BAD=122°，有角平分线的性质可知∠BAE=61°，最后根据三角形外角定理可知∠AEC=119°.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：∵52=25，122=144，132=169
∴52+，122=169=132
∴该沙田的形状为直角三角形，直角边的长分别为5里，12里
∴该沙田的面积为：平方里.
故答案为：D.
【分析】先判断沙田的形状，再利用三角形的面积公式求解即可.利用勾股定理逆定理，一个三角形的三边分别为a、b、c，若三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，所以根据题意可知52+，122=169=132，可判断出沙田的形状是直角三角形；最后根据直角三角形的面积公式即可求出面积.
11．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格信息得：
A、二次函数的图象与x轴有两个交点，故A不符合题意；
B、当x≥2时，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
C、二次函数图象与x轴交点横坐标一个在-1～0之间，另一个在2～3之间，故C不符合题意；
D、对称轴为直线x=1，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据x与y的部分对应值，再结合二次函数的图象与性质得出：抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，二次函数的图象与x轴有两个交点，交点横坐标一个在-1～0之间，另一个在2～3之间，逐项进行判断，即可得出答案.
12．【答案】A
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：当x=1时，y=6×1+4，
当x=2时，y=6×2+4，
当x=3时，y=6×3+4，
∴y=6x+4.
故答案为：A.
【分析】根据图形得出当x=1时，y=6×1+4，当x=2时，y=6×2+4，当x=3时，y=6×3+4，即可得出y与x之间的关系式为y=6x+4.
13．【答案】a≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴a-1≥0，
∴a≥1.
故答案为：a≥1.
【分析】根据二次根式有意义的条件得出a-1≥0，即可得出a的取值范围为a≥1.
14．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x=1是方程mx2+2x-3=0的根，
∴m+2-3=0，
∴m=1.
故答案为：1.
【分析】把x=1代入方程mx2+2x-3=0得出m+2-3=0，求出m的值，即可得出答案.
15．【答案】＞
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲地平均气温波动较大，乙地平均气温波动较小，
∴＞.
故答案为：＞.
【分析】比较两地平均气温的波动大小，根据波动越大方差越大，即可得出答案.
16．【答案】9
【知识点】三角形的面积；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设平行线四边形ABCD的高为h，
∴S平行四边形ABCD=BC·h=18，
∴S阴影=S△BEF+S△CEG=BE·h+CE·h=BC·h=9，
故答案为：9.
【分析】利用三角形的面积得出S阴影=S△BEF+S△CEG=S平行四边形ABCD，即可得出答案.
17．【答案】18
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：s=54t-t2=-（t-18）2+486，
∴当t=18时，s取最大值，
∴该飞机着陆后滑行18秒停止.
故答案为：18.
【分析】将二次函数s=54t-t2化为顶点式，得出当t=18时，s取最大值，即可得出该飞机着陆后滑行18秒停止.
18．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
由题意得ME=AB=5厘米，EF=CD=3厘米，∠MEF=∠B=90°，
∴MF=厘米，
∴大正方形的边长是厘米.
故答案为：.
【分析】观察图1和图2，得出ME=AB=5厘米，EF=CD=3厘米，∠MEF=∠B=90°，利用勾股定理得出MF的长，即可得出答案.
19．【答案】解：
=
=
=
=0.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式混合运算顺序，先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。有分母的通过分母有理化进行化简。
20．【答案】∵ ，
∴ ，
∴ ，
故原方程的根为 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法求解即可.
21．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求，
（2）C1（1，-1）
（3）解：AC1==5.
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）由图可知，C1（1，-1）.
【分析】（1）作出△ABC各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系中C1的坐标即可得出答案；
（3）利用勾股定理求出AC1的长，即可得出答案.
22．【答案】（1）40；96；92.5
（2）九年级，理由：1.九年级测试成绩的众数大于八年级；2.九年级测试成绩的方差小于八年级。
（3）答：估计参加此次活动成绩优秀 的九年级学生人数为980人。
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】(1)由题意得，a％=1--10％-20％=40％，所以a=40；
八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的96分，所以众数b=96；
九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为92、93，所以中位数为c==92.5
故答案为：40；96；92.5；
【分析】(1)用1减去其他三组的百分比，即可得到a的值，根据众数和中位数的定义即可得到b、c的值；
(2)可从平均值、众数、中位数和方差角度分析解答；
(3)用样本估计总体即可。
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF=，
∵∠ABE=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=AB，
∵AB2-BE2=AE2，
∴AB2-AB2=3，
∴AB=2.
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用ASA证出△ABE≌△ADF，得出AB=AD，再根据菱形的判断即可证出平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据△ABE≌△ADF，得出AE=AF=，再利用直角三角形两个锐角互余得出∠BAE=30°，从而得出BE=AB，再根据勾股定理得出AB2-BE2=AE2，即可得出AB的长.
24．【答案】（1）证明：∵AD=CD，AB=BC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴AC⊥BD；
（2）24
（3）解：∵S筝形=AC·BD，BD=6-AC，
∴S筝形=AC·BD=AC·（6-AC）=-AC2+3AC=-（AC-3）2+，
∴当AC=3时，筝形ABCD的面积最大，最大值为，
∴当AC=BD=3cm时，筝形ABCD的面积最大，最大值为cm2.
【知识点】二次函数的最值；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：（2）S筝形=S△ACD+S△ACB=AC·DO+AC·BO=AC·BD=×6×8=24cm2.
故答案为：24；
【分析】（1）根据线段垂直平分线的判断得出BD是线段AC的垂直平分线，即可证出AC⊥BD；
（2）利用S筝形=S△ACD+S△ACB得出S筝形=AC·BD，代入数值进行计算，即可得出筝形的面积；
（3）根据题意得出BD=6-AC，代入筝形的面积得出S筝形=-（AC-3）2+，再根据二次函数的性质得出当AC=3时，筝形ABCD的面积最大，最大值为，即可得出答案.
25．【答案】（1）解：∵函数y=a（x-12）2+h的图象经过原点，h=3，
∴a（0-12）2+3=0，
∴a=，
∴y与x的函数关系式为y=（x-12）2+3；
（2）解：当x=8时，y=×（8-12）2+3=，
∵＞2，
∴足球能越过人墙，
当x=18时，y=×（18-12）2+3=2.25，
∵2.25＜2.43，
∴足球能直接射进球门；
（3）≤h≤3.18.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）当x=18，y=2.43时，×（18-12）2+h=2.43，
∴h=3.18，
当x=8，y=2时，×（8-12）2+h=2，
∴h=，
∴h的取值范围为≤h≤3.18.
【分析】（1）把原点坐标和h的值代入函数表达式，求出a的值，即可得出答案；
（2）求出当x=8时y=＞2，得出足球能越过人墙，求出x=18时y=2.25＜2.43，即可得出足球能直接射进球门；
（3）分别求出当x=18，y=2.43时和当x=8，y=2时h的值，即可得出答案.
26．【答案】（1）MN=BM
（2）解：①证明：如图，连接BP，
由折叠的性质和正方形的性质得BN=AB=BC，∠C=∠BNM=90°，
在Rt△PBN与Rt△PBC中，
，
∴Rt△PBN≌Rt△PBC（HL），
∴∠PBN=∠PBC，
∴点P在∠NBC的平分线上；
②∵Rt△PBN≌Rt△PBC，
∴PN=PC=3cm，
由折叠的性质得MN=AM，
∴MP=MN+PN=（AM+3）cm，
∵AD=CD=AB=8cm，CP=3cm，
∴DP=5cm，DM=（8-AM）cm，
∵MP2=DM2+DP2，
∴（AM+3）2=（8-AM）2+52，
∴AM=.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）由折叠的性质得BE=AB，BN=AB，∠BEF=∠BNM=90°，∠ABM=∠NBM，
∴BE=BN，
∴∠BNE=30°，
∴∠NBE=60°，
∴∠ABM=∠NBM=30°，
∴MN=BM，
故答案为MN=BM；
【分析】（1）根据折叠的性质得出∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=90°，即可得出MN=BM；
（2）①连接BP，利用HL证出Rt△PBN≌Rt△PBC，得出∠PBN=∠PBC，即可得出点P在∠NBC的平分线上；
②根据题意得出MP=（AM+3）cm，DP=5cm，DM=（8-AM）cm，再根据勾股定理得出MP2=DM2+DP2，从而得出（AM+3）2=（8-AM）2+52，解方程即可得出AM的长.
1 / 1广西南宁市三美学校2023-2024学年九年级上学期数学开学综合练习（一）试卷
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．（2023九上·南宁开学考）如图四个图形中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，A错误；
B、不是轴对称图形，B错误；
C、不是轴对称图形，C错误；
D、不是轴对称图形，D正确；
故答案为：D.
【分析】 平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形 叫轴对称图形.
2．（2023九上·南宁开学考）下列各曲线中，不能表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、在该变化过程中，当x取一个值时，有可能对应值y是两个，A不是函数，A正确；
B、C、D都能表示y是x的函数
故答案为：.
【分析】 在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给x一个值，y就有唯一确定值与它对应，那么x是自变量，y叫做x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量.
3．（2023九上·南宁开学考）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：根据题意知：当x=2时，y=5，即该函数的顶点坐标为（2，5）
故答案为：B.
【分析】抛物线，当x=h时，该抛物线有最值y=b，即其顶点坐标为（h，b）.
4．（2023九上·南宁开学考）如图，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得，则池塘的宽度AB（ ）m.
A．40 B．20 C．10 D．15
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意知：
∵M、N分别是OA、OB的中点
∴=20m
∴AB=40m
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线的性质定理：一个三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边，由此可知=20m，可求AB=40m.
5．（2023八下·红谷滩期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，A不符合题意
B：，B不符合题意
D：，D不符合题意
故答案为C
【分析】判断一个二次根式是二次最简根式的条件：被开方的因数是整数，因式是整式；被开方的因式或因数的指数都小于根指数2。
6．（2023九上·南宁开学考）如图，在中，下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD， AB//CD，AD=BC，AD//BC；AC与BD互相平分；
∴C正确，A、B、D错误.
故答案为：C.
【分析】平行四边形对边平行且相等；对角线互相平分；对角相等.
7．（2023九上·南宁开学考）一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意可知：函数y=x+1，k=1＞0，该函数的图象经过一、三象限，而b=1则表示函数图象与y轴的交点为（0，1），交点在y轴的正半轴上，图像又经过第二象限.综上所述：y=x+1的图像经过一、二、三象限.
故答案为：A
【分析】一次函数图象的走势与k、b有关.当k＞0，b＞0时，函数图象经过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，函数图象经过二、三、四象限.
8．（2023九上·南宁开学考）某工厂生产的某种产品，今年产量为500件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到2600件，若设这个百分数为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知：
故答案为：B.
【分析】第一年的产量是500件；第二年的产量是500（1+x）件；第三年的产量为：500（1+x）2件，根据“第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=总产量”可得出方程.
9．（2023九上·南宁开学考）如图，在中，AE平分且交BC于点，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=58°
∴∠B=∠D=58°，AB//CD
∴∠BAD=122°
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=61°
∴∠AEC=∠B+∠BAE=58°+61°=119°
故答案为：C.
【分析】关键就是为利用三角形外角定理准备条件.利用平行四边形的性质得出对角∠B=∠D=58°，对边AB//CD，两直线平行，同旁内角互补，可得出∠BAD=122°，有角平分线的性质可知∠BAE=61°，最后根据三角形外角定理可知∠AEC=119°.
10．（2023九上·南宁开学考）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这杆一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何 ”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大 题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（ ）
A．78平方里 B．65平方里 C．60平方里 D．30平方里
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：∵52=25，122=144，132=169
∴52+，122=169=132
∴该沙田的形状为直角三角形，直角边的长分别为5里，12里
∴该沙田的面积为：平方里.
故答案为：D.
【分析】先判断沙田的形状，再利用三角形的面积公式求解即可.利用勾股定理逆定理，一个三角形的三边分别为a、b、c，若三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，所以根据题意可知52+，122=169=132，可判断出沙田的形状是直角三角形；最后根据直角三角形的面积公式即可求出面积.
11．（2023九上·南宁开学考）若二次函数的与的部分对应值如下表：
… -1 0 1 2 3 …
… …
则下列说法错误的是（ ）
A．二次函数图象与轴交点有两个
B．时随的增大而增大
C．二次函数图象与轴交点横坐标一个在之间，另一个在之间
D．对称轴为直线
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格信息得：
A、二次函数的图象与x轴有两个交点，故A不符合题意；
B、当x≥2时，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
C、二次函数图象与x轴交点横坐标一个在-1～0之间，另一个在2～3之间，故C不符合题意；
D、对称轴为直线x=1，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据x与y的部分对应值，再结合二次函数的图象与性质得出：抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，二次函数的图象与x轴有两个交点，交点横坐标一个在-1～0之间，另一个在2～3之间，逐项进行判断，即可得出答案.
12．（2023九上·南宁开学考）小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图所示，小明用个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙.则图形的总长度与图形个数之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：当x=1时，y=6×1+4，
当x=2时，y=6×2+4，
当x=3时，y=6×3+4，
∴y=6x+4.
故答案为：A.
【分析】根据图形得出当x=1时，y=6×1+4，当x=2时，y=6×2+4，当x=3时，y=6×3+4，即可得出y与x之间的关系式为y=6x+4.
二、填空题（共6小题，每题2分，共12分）
13．（2023九上·南宁开学考）若有意义，则的取值范围是 .
【答案】a≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴a-1≥0，
∴a≥1.
故答案为：a≥1.
【分析】根据二次根式有意义的条件得出a-1≥0，即可得出a的取值范围为a≥1.
14．（2023九上·南宁开学考）若是方程的根，则的值为 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x=1是方程mx2+2x-3=0的根，
∴m+2-3=0，
∴m=1.
故答案为：1.
【分析】把x=1代入方程mx2+2x-3=0得出m+2-3=0，求出m的值，即可得出答案.
15．（2023九上·南宁开学考）甲、乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方差与的大小关系是 .(填“>”、“<”或“=”).
【答案】＞
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲地平均气温波动较大，乙地平均气温波动较小，
∴＞.
故答案为：＞.
【分析】比较两地平均气温的波动大小，根据波动越大方差越大，即可得出答案.
16．（2023九上·南宁开学考）如图，的面积为18，点在BC上，点F，G在AD上，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】9
【知识点】三角形的面积；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设平行线四边形ABCD的高为h，
∴S平行四边形ABCD=BC·h=18，
∴S阴影=S△BEF+S△CEG=BE·h+CE·h=BC·h=9，
故答案为：9.
【分析】利用三角形的面积得出S阴影=S△BEF+S△CEG=S平行四边形ABCD，即可得出答案.
17．（2023九上·南宁开学考）某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行时间（单位：秒）的函数关系式为，则该飞机着陆后滑行 秒停止.
【答案】18
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：s=54t-t2=-（t-18）2+486，
∴当t=18时，s取最大值，
∴该飞机着陆后滑行18秒停止.
故答案为：18.
【分析】将二次函数s=54t-t2化为顶点式，得出当t=18时，s取最大值，即可得出该飞机着陆后滑行18秒停止.
18．（2023九上·南宁开学考）【动手实践】小明学习了课本“实验与探究”后做了如下探索：他按图1方法把边长为5厘米和3厘米的两个正方形切割成5块，按图2方式拼成的一个大正方形，则大正方形的边长是 厘米.
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
由题意得ME=AB=5厘米，EF=CD=3厘米，∠MEF=∠B=90°，
∴MF=厘米，
∴大正方形的边长是厘米.
故答案为：.
【分析】观察图1和图2，得出ME=AB=5厘米，EF=CD=3厘米，∠MEF=∠B=90°，利用勾股定理得出MF的长，即可得出答案.
三、解答题（共8小题，共72分）
19．（2023九上·南宁开学考）计算：.
【答案】解：
=
=
=
=0.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式混合运算顺序，先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。有分母的通过分母有理化进行化简。
20．（2021九上·碑林期末）解方程： .
【答案】∵ ，
∴ ，
∴ ，
故原方程的根为 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法求解即可.
21．（2023九上·南宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，，是的顶点.
（1）画出关于轴的对称图形；
（2）直接写出点的坐标 ；
（3）求的长.
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求，
（2）C1（1，-1）
（3）解：AC1==5.
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）由图可知，C1（1，-1）.
【分析】（1）作出△ABC各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系中C1的坐标即可得出答案；
（3）利用勾股定理求出AC1的长，即可得出答案.
22．（2023九上·南宁开学考）某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：
其中，八年级20名学生的成绩是：80，81，82，82，84，85，86，87，89，90，90，91，94，96，96，96，96，96，99，100.
九年级20名学生的成绩在组中的数据是：90，91，92，92，93，94.
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 90 90 b 38.7
九年级 90 c 100 38.1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值： ， ，九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 ；
（2）你认为这次比赛中哪个年级的竞赛成绩更好，为什么
（3）若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数.
【答案】（1）40；96；92.5
（2）九年级，理由：1.九年级测试成绩的众数大于八年级；2.九年级测试成绩的方差小于八年级。
（3）答：估计参加此次活动成绩优秀 的九年级学生人数为980人。
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】(1)由题意得，a％=1--10％-20％=40％，所以a=40；
八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的96分，所以众数b=96；
九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为92、93，所以中位数为c==92.5
故答案为：40；96；92.5；
【分析】(1)用1减去其他三组的百分比，即可得到a的值，根据众数和中位数的定义即可得到b、c的值；
(2)可从平均值、众数、中位数和方差角度分析解答；
(3)用样本估计总体即可。
23．（2023九上·南宁开学考）如图，在中，过点作于点于点，且.
（1）求证：是菱形；
（2）若，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF=，
∵∠ABE=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=AB，
∵AB2-BE2=AE2，
∴AB2-AB2=3，
∴AB=2.
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用ASA证出△ABE≌△ADF，得出AB=AD，再根据菱形的判断即可证出平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据△ABE≌△ADF，得出AE=AF=，再利用直角三角形两个锐角互余得出∠BAE=30°，从而得出BE=AB，再根据勾股定理得出AB2-BE2=AE2，即可得出AB的长.
24．（2023九上·南宁开学考）如图，四边形ABCD中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
（1）求证：
（2）如果筝形的两条对角线长分别为，则筝形的面积= .
（3）已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足.试求当AC，BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少
【答案】（1）证明：∵AD=CD，AB=BC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴AC⊥BD；
（2）24
（3）解：∵S筝形=AC·BD，BD=6-AC，
∴S筝形=AC·BD=AC·（6-AC）=-AC2+3AC=-（AC-3）2+，
∴当AC=3时，筝形ABCD的面积最大，最大值为，
∴当AC=BD=3cm时，筝形ABCD的面积最大，最大值为cm2.
【知识点】二次函数的最值；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：（2）S筝形=S△ACD+S△ACB=AC·DO+AC·BO=AC·BD=×6×8=24cm2.
故答案为：24；
【分析】（1）根据线段垂直平分线的判断得出BD是线段AC的垂直平分线，即可证出AC⊥BD；
（2）利用S筝形=S△ACD+S△ACB得出S筝形=AC·BD，代入数值进行计算，即可得出筝形的面积；
（3）根据题意得出BD=6-AC，代入筝形的面积得出S筝形=-（AC-3）2+，再根据二次函数的性质得出当AC=3时，筝形ABCD的面积最大，最大值为，即可得出答案.
25．（2023九上·南宁开学考）任意球是足球比赛的主要得分手段之一，在某次足球比赛中，李强站在点О处发出任意球，如图，把球看做点，其运行轨迹的高度（米）与水平距离（米）满足函数关系式，李强罚任意球时防守队员站在李强前方8米处组成人墙，防守队员的身高为2米，对手球门与李强的水平距离为18米，已知足球球门的高是2.43米.
（1）当时，求与的函数关系式；
（2）在第（1）问的前提下，足球能否越过人墙 足球能否直接射进球门 请分别说明理由；
（3）若李强罚出任意球一定能直接射进球门得分，直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：∵函数y=a（x-12）2+h的图象经过原点，h=3，
∴a（0-12）2+3=0，
∴a=，
∴y与x的函数关系式为y=（x-12）2+3；
（2）解：当x=8时，y=×（8-12）2+3=，
∵＞2，
∴足球能越过人墙，
当x=18时，y=×（18-12）2+3=2.25，
∵2.25＜2.43，
∴足球能直接射进球门；
（3）≤h≤3.18.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）当x=18，y=2.43时，×（18-12）2+h=2.43，
∴h=3.18，
当x=8，y=2时，×（8-12）2+h=2，
∴h=，
∴h的取值范围为≤h≤3.18.
【分析】（1）把原点坐标和h的值代入函数表达式，求出a的值，即可得出答案；
（2）求出当x=8时y=＞2，得出足球能越过人墙，求出x=18时y=2.25＜2.43，即可得出足球能直接射进球门；
（3）分别求出当x=18，y=2.43时和当x=8，y=2时h的值，即可得出答案.
26．（2023九上·南宁开学考）数学活动课上，同学们用矩形纸片折叠作特殊的角.操作如下：
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：再一次折叠纸片，使折痕经过点，得到折痕BM，点的对应点为点，把纸片展平，连接MN，BN.
（1）如图1，当点N落在EF上，直接写出BM和MN的数量关系 .
（2）如图2，当AB=BC时，延长MN交CD于点P.
①求证：点P在∠NBC的平分线上；
②若AB=8cm，CP=3cm，求AM的长.
【答案】（1）MN=BM
（2）解：①证明：如图，连接BP，
由折叠的性质和正方形的性质得BN=AB=BC，∠C=∠BNM=90°，
在Rt△PBN与Rt△PBC中，
，
∴Rt△PBN≌Rt△PBC（HL），
∴∠PBN=∠PBC，
∴点P在∠NBC的平分线上；
②∵Rt△PBN≌Rt△PBC，
∴PN=PC=3cm，
由折叠的性质得MN=AM，
∴MP=MN+PN=（AM+3）cm，
∵AD=CD=AB=8cm，CP=3cm，
∴DP=5cm，DM=（8-AM）cm，
∵MP2=DM2+DP2，
∴（AM+3）2=（8-AM）2+52，
∴AM=.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）由折叠的性质得BE=AB，BN=AB，∠BEF=∠BNM=90°，∠ABM=∠NBM，
∴BE=BN，
∴∠BNE=30°，
∴∠NBE=60°，
∴∠ABM=∠NBM=30°，
∴MN=BM，
故答案为MN=BM；
【分析】（1）根据折叠的性质得出∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=90°，即可得出MN=BM；
（2）①连接BP，利用HL证出Rt△PBN≌Rt△PBC，得出∠PBN=∠PBC，即可得出点P在∠NBC的平分线上；
②根据题意得出MP=（AM+3）cm，DP=5cm，DM=（8-AM）cm，再根据勾股定理得出MP2=DM2+DP2，从而得出（AM+3）2=（8-AM）2+52，解方程即可得出AM的长.
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