2023——2024 学年度高二年级上学期期中考试数学学科试卷
班型：实验班、平行班 时长：120 分钟 试卷满分：150 分
一、单选题（每小题 5 分，共 8 小题，满分 40 分）
1．若ac 0,bc 0，则直线 ax +by +c = 0可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点 P 2,3 ，点 Q是直线 l：3x 4y 3 0上的动点，则 PQ 的最小值为（ ）
4 9
A． B． C．2 D．3
5 5
3．已知 a 1,0,1 ，b 2, 1,1 ， c 3,1,0 ，则 a b 2c （ ）
A． 9,3,0 B． 0,2, 1 C． 9, 3,0 D． 9,0,0
4．已知点 A 2，0 ， B 3，3 ，则直线 AB的倾斜角为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
5．已知圆C1 : (x 3)
2 (y 1) 2 4 C : (x 1)2，圆 2 (y 4)
2 9 ，则圆C1，C2的位置关系为（ ）
A．外切 B．相离 C．内切 D．相交
6 2 2．已知圆 x y 2ax 4ay 5a2 9 0上所有点都在第二象限，则 a的取值范围（ ）
A． , 3 3 3B． ， 3 C ． 3,
D
3, ．
2 2
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABQQKEggiAQAAAARhCQQHoCAAQkAECAIoOhBAIMAAAwBNABAA=}#}
7 2 2．直线mx m 1 y 2 0 m R 与圆 x 1 y 1 1相切，则m （ ）
A．1 B．3 C． 0或1 D． 0或3
8．如图，ABCD－EFGH是棱长为 4的正方体，若 P在正方体内部且满足
P（3，1，2），则 P到 AB的距离为（ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D．2 2
二、多选题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分.少选得 2 分，错选不得分）
9 3 2．（多选）若点 1,a 到直线 x y 1 0的距离是 ，则实数 a为（ ）
2
A． 1 B．5 C．1 D． 5
10．有下列命题：其中错误的是（ ）
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；
B．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；
C．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；
D．坐标平面上所有的直线都有斜率．
11．对于直线 l : x my 1 0 ，下列说法错．误．的是（ ）
A．直线 l斜率必定存在 B．直线 l恒过定点 (1,0)
1
C．m 3时直线 l的倾斜角为60 D．m 2时直线 l与两坐标轴围成的三角形面积为 4
12．平面直角坐标系 xOy中，点P 3,6 ，圆O : x2 y2 9与 x轴的正半轴交于点 Q，则（ ）
A．点 P到圆 O上的点的距离最大值为3 5 3
B．过点 P与圆 O相切的直线方程为 3x 4y 15 0
C．过点 P且斜率为 1的直线被圆 O截得的弦长为3 2
D．过点 P的直线与圆 O交于不同的两点 A，B，则直线QA，QB的斜率之和为定值-1
试卷第 2页，共 4页
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三、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分）
13．在△ABC中，A 1, 2, 1 ,B 0, 3,1 ,C 2, 2,1 ．向量 n为平面 ABC的一个法向量，则n的坐标为 ．
14．已知点P x, y 是直线 kx y 4 0 0 k 2 6 上一动点，PA，PB是以点C为圆心的圆 x2 y2 2y 0
的两条切线，A， B是切点，若四边形PACB的最小面积是 2，则 k的值为___________
15．如图，四棱锥P ABCD的各棱长均为 13，M，N分别是 PA BD上的点，且 PM :MA BN :ND 5 :8 ，
则线段 MN的长为 .
16 ax2 2．圆 ay a 1 x y 0面积的最小值是 ．
四、解答题
17．已知 ABC的顶点 A(2,3),B(1, 2),C(4,1).
(1)求 BC边上的高所在直线的方程；(2)求△ABC的外接圆的方程.
18．已知等腰三角形 ABC，底边上两顶点坐标为 B 1, 4 ，C 3,8 ，顶点 A在直线上 x y 6 0，
(1)求 BC边垂直平分线的方程；(2)求点 A的坐标.
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABQQKEggiAQAAAARhCQQHoCAAQkAECAIoOhBAIMAAAwBNABAA=}#}
19．如图所示，在四棱锥 P ABCD中，底面四边形 ABCD是正方形，侧面 PDC是边长为 a的正三角形，
且平面 PDC 底面 ABCD .
(1)求直线 AP与平面 ABCD所成角的正弦值；
(2)求平面 PAD与平面PBC夹角的正弦值.
20．已知直线 l的斜率为3，纵截距为 1 .
（1）求点（2，4）关于直线 l的对称点坐标； （2）求与直线 l平行且距离为 10 的直线方程.
21．已知点 A 4, 4 ,B 0,3 ，圆C的半径为 1.
(1)若圆C的圆心坐标为C 3,2 ，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；
(2)若圆C的圆心C在直线 l : y x 1上，且圆C上存在点M ，使 MB 2 MO ，O为坐标原点，求圆心C
的横坐标 a的取值范围.
22．已知半径为 4的圆C与直线 l1 : 3x 4y 8 0 相切，圆心C在 y轴的负半轴上.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线 l2 : kx y 3 0 与圆C相交于 A,B两点，且 ABC的面积为 8，求直线 l2的方程.
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABQQKEggiAQAAAARhCQQHoCAAQkAECAIoOhBAIMAAAwBNABAA=}#}2023——2024 学年度高二年级上学期期中考试数学学科答案
1．【答案】C
a c a c
【详解】由题意知，直线方程可化为 y x , ac 0,bc 0, ab 0, 0, 0，
b b b b
故直线的斜率小于 0，在 y轴上的截距大于 0．
2．【答案】B
3 2 4 3 3
【详解】解：由题意，PQ 的最小值为点 P 2,3 到直线 l：3x 4y 3 0 9的距离 d
32 42 5
3．【答案】A
【详解】 a b 2c (1,0,1) ( 2, 1,1) (6,2,0) (3,1,0) (6,2,0) (9,3,0) .
4．【答案】B
3 0
【详解】解：由题得直线 AB的斜率 k 3，设直线的倾斜角为 ， tan 3, [0 ,180 )，
3 2
所以 =60 .
5．【答案】D
【详解】因为圆C1的圆心为 3,1 ，圆C2的圆心为 1,4 ，所以 C 2 21C2 ( 3 1) (1 4) 13.因为圆C1，
C2的半径分别为 2，3，且3 2 13 2 3，所以圆C1，C2相交.
6．【答案】A
a 0
【详解】圆心坐标 a, 2a ，半径为3，所以 a 3 ，所以 a 3
2a 3
7．【答案】D
m m 1 2 2m 1
【详解】圆 x 1 2 y 1 2 1的圆心为 1,1 ，半径为1，由题意可得 1
m2 m 1 2 2m2 2m 1
，
解得m 0或3 .
8．【答案】C
【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 AB 4,0,0 ，
AB
AD 0,4,0 ， AE 0,0,4 ， AP 3,1,2 ，a AP 3,1,2 ，u 1,0,0 ，AB AP在 AB上的投影向量
AP
的长度为
AB a u a ， 2 32 12 22 a
u 14， 3 1 1 0 2 0 3，
AB
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{#{QQABQQKEggiAQAAAARhCQQHoCAAQkAECAIoOhBAIMAAAwBNABAA=}#}
所以点 P到 AB 的距离 d a2 a u 2 14 9 5．
9．【答案】AB
|1 a 1| 3 2
【详解】解:由点到直线的距离公式得 ，解得 a 1或 5．
2 2
10．【答案】BD
【详解】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率当倾斜角为90 时，斜率不存在
11．【答案】AC
【详解】A.当m 0时，直线 l : x 1，此时斜率不存在，A错误；
B.直线 l : x my 1 0，即 x 1 my，直线 l恒过定点 (1,0)，B正确；
C.m 3时，直线 l : y
x 1
3，此时斜率为 ，倾斜角为30 ，C错误；
3 3 3
1
D.m 2时，直线 l : x 2y 1 0，在 x轴， y轴上截距分别为1, ，此时直线 l与两坐标轴围成的三角形
2
1 1 1
面积为 1 ，故 D正确.
2 2 4
12．【答案】ACD
【详解】对于选项 A，点 P到圆 O上的点的距离最大值为 P到 O的距离与圆 O的半径之和，即为
3 0 2 6 0 2 3 3 5 3 ，故选项 A正确；
对于选项 B ，圆心坐标为 0,0 ，半径 r 3，则圆心 0,0 到直线 x 3的距离为 3 0 3 r，符合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为 k，直线方程为 y 6 k(x 3)，即 kx y 3k 6 0，则圆心 0,0 到直线
| 3k+6 | 3
的距离为 d r 32 ，解得 k ，则直线方程为3x 4y 15 0，k 1 4
综上，过点 P与圆 O相切的直线方程为 x 3和 3x 4y 15 0 .故选项 B不正确；
3 2
对于选项 C，过点 P且斜率为 1的直线为 x y 3 0，则圆心 O到该直线的距离为 d ，由圆的弦长
2
公式知，弦长为3 2，故选项 C正确；
y 6 k (x 3)
对于选项 D 2 2 2，由题意知点Q(3,0)，联立 2 2 得 1 k x 6k(k 2)x 9k 36k 27 0，
x y 9
x x 6k(k 2) 1 2 2
1 k2
设 A(x1, y
9k 36k 27
1),B(x2 , y2 ) ，则 x1x2 2 ，
1 k
0
第 2 页 共 6 页 高二实验平行班数学答案
{#{QQABQQKEggiAQAAAARhCQQHoCAAQkAECAIoOhBAIMAAAwBNABAA=}#}
y1 y2 k x1 3 6 k x2 3 6所以 kQA kQB x1 3 x2 3 x1 3 x2 3
6 6 6 x
2k 2k 1
x2 6
x1 3 x2 3 x1x2 3 x 1 x 2 9
6 6k(k 2) 6 2
2k 1 k 2 2k ( 2k 1) 1 .故选项 D正确.9k 36k 27
2 3
6k(k 2)
9
1 k 1 k 2
13．【答案】 2,4,1 （答案不唯一）
uuur uuur
【详解】根据题意可得： AB 1, 1,2 ,AC 1,0,2 ，设 n x, y, z ，
y n AB x y 2z 0
x
2
∵ n与平面 ABC垂直，则 ，可得 y ， n AC x 2z 0 z
4
当 y 4时，则 x 2, z 1；当 y 4时，则 x 2, z 1；∴ n的坐标为 2,4,1 或 2, 4, 1 ．
14．【答案】2
【详解】解：圆C : x2 y2 2y 0 (y 1)2 x2 1，圆心C 0,1 ，半径为 1．
1
如图， PA PB，CB PB，CA PA， S 2 PA CA PA四边形PACB ．2
SPACB 2， PA 2． PC 2 PA2 CA2 PA2 1， PC2 5，
|1 4 |
即点C到直线的距离为 5． d 52 ，解得： k 2．因为k 1
0 k 2 6，所以 k 2
15．【答案】7
所以四棱锥 P ABCD是正四棱锥，所 PA BD , PAB 60 , ABD 45 ，
又 M，N分别是 PA BD上的点，且PM :MA BN :ND 5:8，所以MA 8, AB 13,BN 5 2，又
MN MA AB BN 2 2 2 2 ，所以MN MA AB BN 2MA AB 2MA BN 2BN AB，
2 1 2
82 132 5 2 2 8 13 2 8 5 2 0 2 13 5 2
2
49，所以 MN 7
2
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16．【答案】
8
0,0 1 1 【详解】圆恒过 与 , 两点，即两点连线为直径时，面积最小.
2 2
17．
2 1 1
【详解】（1）直线 BC的斜率 kBC ，设 BC边上的高所在直线的斜率为 k，1 4 3
1
则 k 3，所以所求直线为 y 3 3 x 2 ，即3x y 3 0k ．BC
（2）设 ABC外接圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，由 A(2,3),B(1, 2),C(4,1)在圆上，
13 2D 3E F 0 D 5
则 5 D 2E F 0
，解得 E 3 .故 ABC外接圆的方程为 x2 y2 5x 3y 6 0．
17 4D E F 0 F 6
18．
k 8 4 1【详解】（1） BC 2，且 BC的中点M 2,6 ，所以 BC边的垂直平分线的斜率为 ，3 1 2
且经过点M 2,6 1，所求方程为 y 6 x 2 ，整理得 x 2y 14 0 .
2
（2）由题可得，等腰三角形 ABC的顶点在 BC边的垂直平分线 x 2y 14 0上，
且在直线 x y 6 0上，联立得 x 2， y 8，即 A 2,8
19．
3
【详解】（1）取DC的中点O，连接 PO，∵△PDC为正三角形，O为DC的中点，则PO DC，PO a，
2
又∵平面 PDC 平面 ABCD，平面 PDC 平面 ABCD DC，PO 平面 PDC，∴PO 平面 ABCD．
以点O为坐标原点，OC、OP所在的直线分别为 y、 z轴建立如下图所示
3 a a
的空间直角坐标系O xyz，则 P 0,0, a2
， A a, ,0 ， B a, ,02
，
2
C 0,
a ,0 a a 3 ，D 0, , 0 ，则 PA a, , a ，易知平面 ABCD的一 2 2 2 2
3 a
个法向量为 n 0,0,1 ，设直线 AP与平面 ABCD所成的角为 PA n 2sin cos PA,n 6 .
PA n 2a 1 4
因此直线 AP与平面 ABCD 6所成角的正弦值为 .
4
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{#{QQABQQKEggiAQAAAARhCQQHoCAAQkAECAIoOhBAIMAAAwBNABAA=}#}
a 3
（2）由（1）得 PB a, , a ， PC 0,
a , 3 a 3 a ， PD 2 2 2 2
0, , a ，
2 2
PA m ax
a y 31 1 az1 0
设平面 PAD的法向量为m x1, y1, z
2 2
1 ，则
，
PD m a 3 y az 0 2 1 2 1
取 z1 1，则 x1 0, y1 3，故m 0, 3,1 ，
PB m
ax a 2 y
3
2 az 2 0 2 2
设平面 PBC的法向量为 x2 , y2 , z2 ，则
，
a 3
PC m y az 0 2 2 2 2
取 z2 1，则 x2 0, y2 3，故 0, 3,1 ，
π
设平面 PAD与平面 PBC夹角的夹角为 ，则 0 ，
2
m 3 1 1 3
所以 cos cos m , ，则
2 sin 1 cos
2 ，
m 3 1 3 1 2
所以平面 PAD 3与平面 PBC夹角的正弦值 .
2
20．
【详解】已知直线 l的斜率为3，纵截距为 1，则方程为： y 3x 1，
（1）设点 2, 4 为点A，则A关于直线 l的对称点坐标为 A a,b ，则直线 AA 与直线 l垂直，则 kAA kl 1，
b 4
3 1
2 a 4 b 4 b 2 a
即 ①，且 AA 的中点 , 在直线 l上，所以 3 1②，a 2 2 2 2 2
7 21 7 21
联立①和②，解得 a ,b ，所以点 2, 4 关于直线 l的对称点坐标为 ， .5 5 5 5
（2）设所求的直线为 l ，因为直线 l 与直线 l平行且距离为 10 ，又因为直线 l方程为： y 3x 1，
c 1
即3x y 1 0，所以可设直线 l 的方程为：3x y c 0，则 102 ，解得 c 9或-11.32 1
所以直线 l 的方程为：3x y 9 0或3x y 11 0 .
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21．
【详解】（1）由题意得圆C标准方程为 (x 3)2 (y 2)2 1，当切线的斜率存在时，设切线方程
为 y 4 k x 4
2 k 3
，由 d 1，解得： k ，
k 2 1 4
当切线的斜率不存在时，切线方程为 x 4，满足题意；所以切线的方程为 x 4或3x 4 y 4 0 .
（2）由圆心C在直线 l : y x 1上，设C a,a 1 ，设点M x, y ，由 MB 2 MO ，
得： x2 (y 3)2 2 x2 y2 ，化简得： x2 ( y 1)2 4，所以点M 在以D 0, 1 为圆心，2为半径的圆
上.又点M 在圆C上，所以圆C与圆D有交点，则1 CD 3，即1 a2 a2 3，
2 3 2 3 2 2
解得： a 或 a .
2 2 2 2
22．
4b 8
【详解】（1）由已知可设圆心C 0,b b,0 ，则 4，解得b 3或b 7（舍），
32 42
所以圆C的方程为 x2 (y 3)2 16 .
（2）设圆心C到直线 l2的距离为d ，则 AB 2 16 d 2 ,S
1
ABC AB d d 16 d
2 8，
2
3 3
即 d 4 16d 2
7
64 0 2，解得 d 2 2，又 d ，所以 k ，解得2 2 k
14
，
k 1 2
所以直线 l2的方程为 14x 2y 6 0或 14x 2y 6 0
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