A9高中联盟2023年秋季期中联考
高二数学试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B C C A B A B AD BC ACD AD
13．
14．
15．
16．
12．【详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，
设，
则，
所以，解得，
故，即，，，四点共面，故A正确；
因为，，
所以，
所以与所成角的大小为，故B错误；
假设在线段上存在点，符合题意，
设（），则，
若平面，则，,
因为，，
所以，此方程组无解，
所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；
因为，所以，
又平面，平面，所以平面，
故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，
又的面积是定值，
所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确；
16．【详解】因为，所以，
因为与互补，且，
由余弦定理可得，
可得，所以.
17．【详解】（1）直线的斜率为，---------1分
所以边的高所在直线的斜率为，---------２分
所以边的高所在直线的方程为.-----------4分
（2）法一：直线的斜率为，
若直线与直线平行，则直线的方程为.-----------６分
线段的中点坐标为，
若直线过，则直线的方程为.-----------９分
综上所述，直线的方程为---------１０分
法二：当直线的斜率不存在时，直线，点A到直线的距离为3，点B到直线的距离为5，不满足题意应舍去。-----------５分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为,即
点A、B到直线的距离相等，，解得，-----------９分
故直线的方程为-----------１０分
18．【详解】（1）由可知，
由正弦定理，得，即.---------３分
所以，
又，所以；---------６分
又，所以，---------８分
由（1）知，所以
.所以，即，---------１１分
所以的周长为.---------１２分
19．【详解】（1）
证明：如图，在棱上取点，使得，连接，，
因为，所以且，
由正方形，，得且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．---------５分
（2）
若，则可设，所以．
以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ---------６分
则点，，，，，
则，，，---------８分
设平面的法向量为，则
由得
令，得平面的一个法向是为， ---------１０分
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为． ---------１２分
20．【详解】（1）由题意可知：，，
解得，；---------４分
（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
第分位数等于；---------８分
（3）根据分层抽样，和的频率比为
故在和中分别选取4人和1人，分别设为和
则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有
共10个，
即，记事件“两人来自不同组”，
则事件包含的样本点有
共4个，即，
所以.---------１２分
21．【详解】（1）由椭圆的离心率为，即，可得，
由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，
解得，，，
所以椭圆的方程．---------４分
（2）解：因为直线的倾斜角为，可设的方程，
由方程组，整理得，---------６分
可得，解得，---------７分
设，，则，，---------９分
又由，
解得，满足，---------１１分
所以直线的一般式方程为或．---------１２分
22．【详解】（1）因为直线可变形，
所以，解得，故直线经过的定点为.---------４分
将点代入圆的方程有，---------５分
所以点在圆C的内部，所以直线l与圆C恒有两交点.---------６分
（2）由（1）知，因为，
所以当时，面积最大，---------７分
此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径.
此时点C到直线l的距离，，---------９分
所以，解得或.
故所求直线l的方程为或.---------１２分
答案第1页，共2页A9高中联盟2023年秋季期中联考
高二数学试卷
试卷满分：150分
一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1．（ ）
A． B． C． D．
2．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ）
A.
B．
C.
D.
3．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计600棵，比例如图所示.青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为（ ）
A．30棵 B．50棵
C．72棵 D．80棵
4．若直线与直线平行，则的值是（ ）
A．1或 B． C． D．或
5．已知母线长为5的圆锥的侧面积为，则这个圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C．-4 D．4
8．公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分．
9．若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆
B．若，则C为椭圆
C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则
D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则
10．甲 乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲 乙都投得6点”与事件“甲 乙不全投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
11．已知圆和圆，下列说法正确的是（ ）
A．两圆有两条公切线
B．两圆的公共弦所在的直线方程为
C．点在圆上，点在圆上，的最大值为
D．圆上有2个点到直线的距离为
12．如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．，，，四点共面
B．与所成角的大小为
C．在线段上存在点，使得平面
D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，的夹角为，且，，则 ．
14．如图，由到的电路中有4个元件，分别为，，，，若，，，能正常工作的概率都是，记“到的电路是通路”，则= .
15．已知实数x，y满足，则的取值范围为 ．
16．点M在以O为中心，、为焦点的椭圆上，满足，则该椭圆的离心率为 .
四、解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知的三个顶点是．
(1)求AB边的高所在直线的方程；
(2)若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程．
18．（本小题满分12分）已知的内角的对边分别为，向量，且.
(1)求角
(2)若的面积为，求的周长.
19．（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，底面是正方形，E，F分别在棱，上且，．
(1)证明：∥平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的分位数（精确到0.1）；
(3)在第四、第五两组志愿者中，采用等比例分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．
(1)求椭圆的方程；
(2)倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．
22．（本小题满分12分）已知圆，直线.
(1)求证：直线l与圆C恒有两个交点；
(2)若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.
